67.31 Transferencia de Calor y Masa

(1)

8. Condensaci´on 3

8.1. Introducci´on . . . 3

8.1.1. Repaso de termodin´amica . . . 3

8.1.2. Principios de la condensaci´on . . . 3

8.2. Condensaci´on en pel´ıcula . . . 5

8.2.1. R´egimen laminar . . . 5

8.2.2. Soluci´on anal´ıtica . . . 9

8.2.3. An´alisis dimensional . . . 10

8.2.4. Limitaciones de la teor´ıa . . . 10

8.2.5. Otras geometr´ıas . . . 12

8.2.6. Transici´on y turbulencia . . . 12

8.3. Condensaci´on en gotas . . . 13

8.3.1. Generalidades . . . 13

(2)

(3)

8.1 Introducci´ on

8.1.1 Repaso de termodin´amica

Recordemos el diagrama de estado de un fluido real como muestra la figura 8.1

Figura 8.1: Diagramas de estado.

8.1.2 Principios de la condensaci´on

Buscaremos dar una descripción cualitativa del fenómeno de condensación de una pared. Establecer los factores que intervienen sobre la determinación del calor transferido durante la condensación de un vapor puro en distintas geometr´ıas. La masa que condensa y los espesores de film del condensado son las cantidades glo- bales que se buscan determinar en la práctica. a partir de estas bases se debe poder comprender y prever fenómenos que ocurren en: a) Condensadores para recolección de agua potable. ; b) Condensación en plantas desalinizadoras; c) Condensación

(4)

T(^◦C) presi´on VS densidad VS

-10 2,15 2,36

0 4,58 4,85

5 6,54 6,8

10 9,21 9,4

11 9,84 10,01

12 10,52 10,66

13 11,23 11,35

14 11,99 12,07

15 12,79 12,83

20 17,54 17,3

25 23,76 23

30 31,8 30,4

37 47,07 44

40 55,3 51,1

60 149,4 130,5

80 355,1 293,8

95 634 505

96 658 523

97 682 541

98 707 560

99 733 579

100 760 598

101 788 618

110 1074,6

120 1489

200 11659 7840

Presi´on de vapor saturado para un rango de temperaturas.

Figura 8.2: Propiedades del vapor saturado.

en intercambiadores de calor; d) Condensadores de Turbinas de Vapor. La conden- sación aparece en un intercambiador de calor cuando un flujo de vapor se expone a una pared que lo enfr´ıa hasta que su temperatura es inferior a la temperatura de saturación del vapor (T_s). Si el vapor es puro, la temperatura de saturación corresponde a su presión total. Si es una mezcla (pej vapor de agua en aire), la temperatura corresponde a la presión parcial del vapor. Por ejemplo, el aire al nivel del mar saturado con vapor de agua a 20^◦C, tiene una presión parcial de 23 mbar.

Podemos distinguir dos modos posibles de condensación: en pel´ıcula, si la pared se humedece uniformemente y en gotas cuando la pared no alcanza a cubrirse uniformemente de condensado. la condensación en gotas es el estado que precede a la condensación en pel´ıcula y se caracteriza por tener muy altos coeficientes de transferencia (hasta 10 veces mayores). Las gotas pueden ser evacuadas, por la gravedad y reemplazadas, o bien se puede producir coalescencia, que conduce a la formación de una pel´ıcula. El factor principal que determina la forma de condensar es el mojado de la superficie. El efecto de mojado está relacionado con la acción de la tensión superficial. La tensión superficial distorsiona la superficie del l´ıquido en el punto en el que están en contacto la superficie de condensador, y el vapor de

(5)

mismo como muestra la figura 8.3:

Aparecen entonces tensiones asociadas a la interacci´on entre las fases s´olido l´ıqui-

Figura 8.3: Determinaci´on del ´angulo de contacto.

do (σ_wl), sólido gas[o vapor](σ_wg) y l´ıquido vapor (σ_lg). El estado de equilibrio está determinado por la ecuación:

σ_wg = σ_wl+ σ_lgcos(θ) (8.1)

cos(θ) = (σ_wg − σ_wl)/σ_lg (8.2) La condición de mojado se da para θ < 90^◦. La condensación en gotas se produ- cirá si θ > 90^◦, y para ello es necesario que la superficie del condensador (o el vapor) tenga agregados que produzcan el no mojado.

Al impedirse la formación de pel´ıculas, se evita una barrera importante en la trans- misión del calor y as´ı se explican los altos coeficientes de transferencia. Sin embargo, las condiciones necesarias para su mantenimiento son de dif´ıcil materialización a nivel industrial por lo que centraremos nuestro análisis sobre la condensación en pel´ıcula que desarrollaremos a continuación.

8.2 Condensaci´ on en pel´ıcula

La condensación se trata de un problema donde aparecen dos fases: el vapor y el l´ıquido como muestra el esquema. de la figura 8.4. Como sucede en el problema de Convección, existirán distintos reg´ımenes de acuerdo a la evolución de los parámetros del problema, aunque destaquemos que intervendrá en la ecuación de la energ´ıa un término que dará cuenta del cambio de fase. Para ello, definiremos números adimensionales que nos ayudarán a caracterizarlos.

8.2.1 R´egimen laminar

Las hip´otesis para el estudio del problema son:

(6)

Figura 8.4: Condensaci´on en pel´ıcula.

Las fuerzas de inercia que aparecen en la pel´ıcula de condensado son despreciables comparadas con las viscosas y gravitatorias.

El calor transmitido por convección y el transmitido en la dirección x son despreciables frente al calor transmitido por conducción en la dirección y.

No hay fricci´on en la interfase vapor-l´ıquido (y = δ).

La superficie externa de la pel´ıcula está a una temperatura constante igual a la de saturación del vapor, y la variación de temperatura dentro de la pel´ıcula es lineal.

Las propiedades f´ısicas del condensado son independientes de la temperatura.

La tensi´on superficial en la superficie de la pel´ıcula no afecta a la naturaleza del flujo.

Las ecuaciones a resolver son las mismas que presentamos en Convecci´on, podemos resumir:

(7)

a. La ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento.

ρ∂u

∂t + (u grad )u = ρf_v+grad p

ρ + ν∇²u (8.3)

b. La ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa (estacionaria).

ρC_pu · ∇T = σ_ik⁰ ∂u_i

∂xk

− div (λ∇T ) (8.4)

La ecuaci´on para la coordenada vertical (x) es:

u∂u

∂x + v∂u

∂y = −1 ρ

∂p

∂x + g + ν∂²u

∂y² (8.5)

Las condiciones de borde corresponden a u(y = 0) = 0 no deslizamiento ; v(y = 0) = 0 pared impermeable y ∂u

∂y y=δ

= 0 tensi´on de corte nula en la interfase.

La ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento:

∂u

∂x + v∂u

∂y =

1 − ρg

ρ_f

g + ν∂²u

∂y² (8.6)

pues el gradiente de presi´on ∂p

∂x = ρ_gg se expresa en términos de una fuerza de flo- tación. Por otra parte, el flujo laminar permite despreciar los términos convectivos de la ecuación:

*term.convec = 0 u∂u

∂x + v∂u

∂y =

1 − ρ_g

ρ_f

g + ν∂²u

∂y² (8.7)

Resulta u = u(y, δ), donde δ = δ(x) es el espesor de capa l´ımite local.

d²u dy² =

1 − ρ_g

ρ_f

g

ν (8.8)

Ecuaci´on a la que llega Nusselt en 1916.

Consideremos a continuación el planteo de la ecuación de conservación de la energ´ıa:

ρCpu · ∇T = σ_ik⁰ ∂ui

∂x_k − div (λ∇T ) (8.9)

Nuevamente, cancelamos los términos convectivos. Si despreciamos además el aporte de calor a partir de la fricción interna, frente al flujo de calor:

((ρC_p((u · ∇T =((

σ_ik⁰ ∂ui

∂x_k − div (λ∇T ) (8.10)

(8)

Resulta la ecuaci´on de Laplace para conducci´on.

∇²T = 0 (8.11)

Con condiciones de borde

T (y = 0) = T_w y T (y = δ) = T_s Se obtiene:

u = (ρ_f − ρ_g)gδ² 2µ

2y

δ

−y δ

2

(8.12)

T = T_w+ (T_s− T_w)y

δ (8.13)

Para determinar δ, recurrimos a una relaci´on para el caudal:

˙ m =

Z δ 0

ρfudy = ρf(ρf − ρg)

3µ gδ³ (8.14)

Figura 8.5: Condensación en pel´ıcula: Flujo másico y balance energético.

(9)

Si despreciamos el aporte del calor sensible al flujo de calor total, la expresión del flujo en términos de la variación del caudal másico:

|q| = k∂T

∂y y=0

= k(T_s− T_w

δ ) = h_{f g}d ˙m

dx (8.15)

Sustituyendo ˙m,

k(T_s− T_w

δ ) = h_{f g}ρ_f(ρ_f − ρ_g) µ gδ²dδ

dx (8.16)

8.2.2 Soluci´on anal´ıtica

δ = 4k(T_s− T_w)µx ρ_f(ρ_f − ρ_g)gh_{f g}

1/4

(8.17) Debido a las fuertes hipótesis, Nusselt y más tarde Rohsenow sugirieron corregir h_{f g} con el parámetro adimensional J a.

El coeficiente de transferencia h para condensaci´on se define seg´un:

h ≡ q

T_s− T_w = 1 T_s− T_w

k(T_s− T_w) δ

= k

δ (8.18)

N u_x = hx k = x

δ

N u_x = 0,707

ρ_f(ρ_f − ρ_g)gh⁰_{f g}x³ µk(T_s− T_w)

^1/4

(8.19) La solución anal´ıtica es válida en algunos casos. Para determinar los l´ımites de la validez, podemos escribir la función para h y los parámetros completos del problema:

h = F (Cp, ρf, k, hf g, g(ρf − ρg), µ, (Ts− Tw), x) (8.20) Considerando las dimensiones (Joule [calor], m, kg, s,^◦C) y las 9 variables, surgen 4 n´umeros adimensionales:

Π₁ = N u_x = hx

k Π₂ = P r ≡ ν

a (8.21)

Π₃ = J a ≡= Cp(Ts− Tw)

h_{f g} Π₄ = ρf(ρf − ρg)ghf gx³

µk(T_s− T_w) (8.22) As´ı aparece el número de Jakob J a que compara el calor sensible máximo absorbido respecto del calor latente absorbido. El cuarto número, multiplicado por J a puede ser entendido como un número de Rayleigh para la pel´ıcula de condensado.

(10)

8.2.3 An´alisis dimensional Luego,

N u_x = F ρ_f(ρ_f − ρ_g)gh_{f g}x³

µk(T_s− T_w) , P r, J a

(8.23)

NuD

Π4= ρ_f(ρ_f − ρ_g)gh_{f g}D³ µk(Ts− T_w)

Figura 8.6: Correlacion de datos de Dhir para condensación laminar en pel´ıcula, para esferas de cobre en vapor de agua. Se fija P r, y se evalúa en un rango de Π₄ y J a, con propiedades evaluadas en (T_s+ T_w)/2. En linea sólida, una solución anal´ıtica.

8.2.4 Limitaciones de la teor´ıa Recuperando el resultado:

N u_x = 0,707

ρ_f(ρ_f − ρ_g)gh⁰_{f g}x³ µk(T_s− T_w)

^1/4

sabemos que

N u_x = F (Π₄, P r, J a)

(11)

Π₄ es la variable dominante mientras P r no influye al despreciar los términos convectivos en la ecuación de energ´ıa, y J a se usa en la corrección del valor del calor latente.

Sparrow y Gregg(1959)(figura 8.7) estudiaron la influencia de P r y el grado de aproximaci´on al representar el aporte de las variaciones con el n´umero de Jakob, J a, mediante h⁰_{f g}. Funciona razonablemente en l´ıquidos no metales¹ Sadasivan y

Nux Π4 4

1/4=Nux 0,707

ρf(ρf−ρg)gh^{0 f}gx3 µk(Ts−Tw)

1/4

J a = Cp∆T /hf g

(a) Influencia de P r sobre la transferencia de calor

T−Tw Ts−Tx

y/δ

(b) Perfil de temperaturas en el condensado.

Figura 8.7: Ajustes sobre el modelo de Nusselt, Sparrow y Gregg (1959).

Lienhard(1987) produjeron una correlaci´on para la correcci´on del calor latente:

h⁰_{f g} = h_{f g}[1 + (0,683 − 0,228/P r)J a] (8.24)

1Recordemos P r = ν/a, cuando la difusión térmica es más importante que la difusión viscosa, en metales, P r 1.

(12)

Por otra parte, podemos extender el resultado de Nusselt a la longitud de la placa vertical:

¯h = 1 L

Z L 0

h(x)dx = 4 3h(L) Entonces:

N u_L= 0,9428

ρ_f(ρ_f − ρ_g)gh⁰_{f g}L³ µk(T_s− T_w)

^1/4

(8.25)

8.2.5 Otras geometr´ıas

Dhir y Lienhard(1971) determinaron una expresi´on que permite adaptar la soluci´on de Nusselt:

g_{ef f} = x(gR)^4/3 Rx

0 g^1/3R^4/3dx (8.26)

donde x es la distancia a lo largo de la pel´ıcula, g = g(x) la componente de la gravedad proyectada sobre x, y R es el radio de curvatura a lo largo del eje vertical.

En geometr´ıas donde R es fijo, puede simplificarse la expresi´on:

g_{ef f} = xg^4/3 Rx

0 g^1/3dx (8.27)

Puede as´ı extenderse el resultado a otras geometr´ıas: a) Cilindro vertical ; b) Ci- lindro horizontal ; c) Esfera ; d) Cono vertical ; e) Disco horizontal rotatorio.

8.2.6 Transici´on y turbulencia

La aparición de inestabilidades hidrodinámicas determinarán un cambio cualitativo del comportamiento. Definiremos un número de Re. Para ello, una forma más usual de designar al caudal por unidad de ancho de pel´ıcula.

Γ_c= ρ_f Z δ

0

udy

Γ_c= ρ_f(ρ_f − ρ_g)

3µ gδ³ (8.28)

Se define Re en t´erminos de Γ_c: Re_c= Γ_c

µ = ρ_f(ρ_f − ρ_g) 3µ² gδ³

(13)

Re_c determina la aparici´on de la inestabilidad del film. ² A partir de Re_c ' 7 aparecen ondulaciones (o ripples). Re_c > 400 corresponde al desarrollo de una pel´ıcula turbulenta.

Gregorig et al.(1974) mostraron la evolución de N u_L con Re_c. Los datos emp´ıricos de la pel´ıcula turbulenta se podrán resumir a partir de correlaciones. (véase Mills, Lienhard, etc.)

Figura 8.8: Evoluci´on de N u_L con Re_c.

8.3 Condensaci´ on en gotas

8.3.1 Generalidades

La condensaci´on en gotas sucede cuando el condensado no moja la superficie de la pared, y aparecen entonces gotas individuales de condensado sobre la misma.

Las gotas se forman abruptamente para luego crecer lentamente en tamaño. La for- mación se produce a partir de la ruptura espontánea de una muy fina capa de condensado. A medida que la pel´ıcula se forma y crece nuevamente, ésta podrá unirse a las gotas por coalescencia o bien producir nuevas gotas sobre la pared. Mediante este mecanismo, las gotas crecen hasta un tamaño que les permite rodar por las superficie bajo la acción de la gravedad.

La pel´ıcula de condensado que permanece entre las gotas tiene espesores t´ıpicos del orden del µm (vapor a 1 atm), inferior al espesor de condensaci´on en pel´ıcula.

Espesores delgados producen resistencias t´ermicas bajas, lo cual explica los altos valores del coeficiente de transferencia de calor en condensaci´on en gotas.

2An´alogamente a Capa L´ım. en Mec.Fluidos

(14)

A pesar del carácter no estacionario del proceso de formación y evacuación de las gotas, sus caracter´ısticas pueden ser promediadas a la hora de definir parámetros caracter´ısticos.

De Termodinámica, se sabe que la presión de vapor saturado de equilibrio sobre una superficie convexa es mayor que cuando la superficie es plana. La condensación de vapor sobre una gota esférica de radio R será posible sólo si excede un valor cr´ıtico R > R_cr. El radio cr´ıtico se determina por la ecuación de Thompson³:

R_cr = 2σT_s

h_{f g}ρ_f(T_s− T_sg) (8.29) donde σ es la tensión superficial, T_s es la temperatura de saturación a la presión del vapor y Tsg el valor de la temperatura en la superficie de la gota . Se desprende que si se tienen grandes ∆T de subenfriado, respecto de la temperatura de satu- ración, se pueden conseguir que progresen gotas de menor tamaño para una dada presión de vapor. Si R −→ ∞ (superficie plana), Tsg −→ Ts en el l´ımite (se supone que no hay salto de temperatura en la interfase).

Sobre la interfase curvil´ınea de la gota actúa una presión adicional debida a la tensión superficial acuerdo a la ecuación de Laplace pf = pg+^2σ_R. Si la tensión superficial var´ıa, aparece un movimiento asociado. En efecto, si la tensión superficial cambia de un punto a otro, sobre la superficie del l´ıquido actuará, además de la presión dirigida normalmente, una fuerza suplementaria dirigida tangencialmente.

Los cambios de tensión superficial se producen, por ejemplo, debido a variaciones en la temperatura y en la curvatura de la interfase, por la presencia de un gradiente de concentración de sustancias activas en la superficie o por acción de fuerzas volumétricas (cargas eléctricas variables) sobre la superficie del l´ıquido. Con el aumento de la temperatura del l´ıquido se produce una reducción de σ. Con una temperatura superficial variable, el movimiento en la dirección de las temperaturas decrecientes puede, por consiguiente, originarse en la capa capilar. Esta clase de movimiento se llama termocapilar.

La fuerza inductora del movimiento termocapilar pt se determina de la forma si- guiente:

p_t= ∇σ = ∂σ

∂T_sg∇T_sg (8.30)

Si llamamos ξ al coeficiente de variaci´on de la tensi´on superficial con respecto a la temperatura:

ξ = 1 σ

∂σ

∂T reescribimos:

p_t = ξσ∇T_sg (8.31)

3Una justificaci´on detallada de este resultado se encuentra en la clase de Ebullici´on.

(15)

Figura 8.9: Esquema de la formaci´on de una gota a partir de un capilar. El cambio de la presi´on interna del l´ıquido conte- nido produce variaciones de la geometr´ıa de la superficie libre La figura 8.9 presenta el esquema de un capilar de

l´ıquido en la superficie donde se produce la condensaci´on. Se observa que el l´ıquido es adsorbido (fijaci´on superficial) sobre las paredes del capilar.

La adsorción progresa y luego la columna de l´ıqui- do crece dentro del capilar. El hueco se completa y se forma una gota que podrá ser desprendida o bien se unirá al resto y se producirá condensación en pel´ıcula. A lo largo de este proceso, la temperatura var´ıa en la superficie del l´ıquido, y con ello la tensión superficial y el radio de curvatura de la interfase. De la relación de Laplace también obser-

vamos que la presión en el l´ıquido var´ıa acompañando al proceso. La figura 8.10 muestra la acumulación de l´ıquido desde la adsorción a la pared. El cambio de la geometr´ıa tal como se observa en la figura 8.9 se describe como una relación entre la presión dentro del l´ıquido y la cantidad depositada. Durante la condensación capilar, la presión no cambia al no variar el ángulo entre la superficie y el l´ıquido.

El achatamiento del menisco del capilar, que se produce al finalizar el llenado del capilar, es acompañado por un aumento de la presión interna necesaria para establecer la geometr´ıa. Dado que el proceso se repite por toda la superficie, teniendo como puntos de partida a poros de distinto tamaño, el cambio de comportamiento se da a distintas presiones (efecto detallado en la figura 8.10 con l´ınea punteada).

Por último, si las gotas coalescen, se forma la pel´ıcula de condensación a presión constante. Si la pel´ıcula se desestabiliza, el proceso puede recomenzar.

Figura 8.10: Evolución de la condensación sobre una superficie. La l´ınea punteada representa la evolución de todos los núcleos de condensación de la superficie.