Conjuntos de Control para Sistemas Lineales en grupos de Matrices

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(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. Conjuntos de control para sistemas lineales en grupos de matrices Tesis presentada por: Bach. Josue Christian Ramos Oviedo Para optar el Tı́tulo de Licenciado en Matemáticas Asesores: Dra. Maria Torreblanca Todco Dr. Vı́ctor Ayala. AREQUIPA - PERÚ 2018.

(2) Dedicatoria. Le dedico este trabajo primeramente a Dios, por haberme guiado por el buen camino, darme fuerzas para seguir adelante y no dejarme decaer ante los problemas que se presentaban. A mis padres,hermanos, por todo el apoyo, consejos, comprensión, amor y ayuda en los momentos difı́ciles.. I.

(3) Agradecimientos. Agradezco a mis asesores la Dra. Marı́a Torreblanca Todco y al Dr. Vı́ctor Ayala Bravo mentor del proyecto de investigación “Sistemas de control sobre grupos de matrices” por su disposición y apoyo en el asesoramiento del presente trabajo de tesis. Ası́ mismo a Bisset Gonzáles por el apoyo mostrado, al grupo de investigación y a los profesores de la Escuela Profesional de Matemáticas de la Universidad Nacional de San Agustı́n que han hecho posible mi capacitación profesional en esta área de las ciencias.. El autor.. II.

(4) Índice general. Introducción. VI. 1 Dinámica sobre el espacio Euclidiano Rn. 1. 1.1 La controlabilidad aplicada a un problema dinámico R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Dinámica en espacios Euclidianos en Rn. 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3 Dinámica sobre grupos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.4 Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2 Controlabilidad sobre espacios Euclidianos. 12. 2.1 Sistema lineal de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 2.2 Caso irrestricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.3 Caso restricto: conjuntos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 3 Grupos y álgebras de matrices. 20. 3.1 Grupos y Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sistemas de control lineales sobre grupos de matrices 4.1 D-descomposición de g y conjuntos de control . . . . . . . . . . . . . . .. III. 20 25 26.

(5) Resumen La controlabilidad de un sistema de control lineal en Rn es determinada a través del rango de la matriz de Kalman, este tipo de sistemas de control lineal pueden ser extendidos a sistemas de grupos de matrices en los cuales la controlabilidad requiere de la condición de Kalman y adicionalmente el teorema de Colonius-Klieman, ası́ podemos determinar la existencia y unicidad de conjuntos de control en los cuales la controlabilidad en el interior está asegurada y en la frontera se tiene controlabilidad aproximada.. IV.

(6) Abstract The controllability of a linear control system in Rn is determined through the range of the Kalman matrix, this type of linear control systems can be extended to systems of groups of matrices in the which the controllability requires of the condition of Kalman and additionally the theorem of Colonius-Klieman, thus we can determine the existence and uniqueness of control sets in which the controllability in the interior is assured and in the border it has approximate controllability.. V.

(7) Introducción La noción de conjunto de control fue introducida por Colonius y Kliemann [6], quienes estudiaron propiedades básicas de este tipo de conjuntos maximales respecto a la propiedad de controlabilidad, en su teorema consideraron las condiciones de existencia y unicidad de los conjuntos de control para sistemas de control lineales restrictos. En Ayala- Roman (2017); analizan el problema de controlabilidad en el espacio Euclidiano Rp . Un sistema de control lineal en Rn esta dado por: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t). (1). donde x ∈ Rn es el vector de estados del sistema, u ∈ Rp es el vector de control, A es una matriz de orden n × n y B una matriz de orden n × p. Un sistema como en (1) se dice controlable en un tiempo t0 si es posible determinar u señales de control sin restricción alguna, que transfieran un estado inicial x0 a un estado deseado xd en un intervalo de tiempo t0 ≤ t ≤ t1 . Existen dos tipos de sistemas lineales de control cuando Ω = Rp es el caso irrestricto y restricto cuando Ω ⊆ Rp , es en este último caso de sistemas que para lograr la controlabilidad se necesita encontrar conjuntos de control en cuyo interior existe controlabilidad y en la frontera podemos tener controlabilidad aproximada, a través de una sucesión de elementos controlables.. Esta tesis esta enmarcada en el proyecto de investigación “Sistemas de control sobre grupos de matrices”(IBA 2-2016-Ciencia Activa). Uno de los objetivos es comprender la dinámica de la teorı́a de control para espacios Euclidianos Rp , seguidamente analizar la idea de controlabilidad en grupos de matrices basados en la teorı́a de control para espacios Euclidianos Rp , para ello nos apoyamos en la teorı́a de grupos y álgebras de Lie , por último mencionaremos los posibles conjuntos de control para matrices de dimensión 2 o 3.. VI.

(8) En el capı́tulo 1 se presenta un ejemplo motivacional para describir la dinámica de un problema fı́sico, el objetivo es el de explicar la idea de controlabilidad; ası́ mismo, en este capı́tulo definimos que existen dos casos de controlabilidad: caso restricto y el caso irrestricto. En el capı́tulo 2, desarrollamos la controlabilidad de sistemas de control lineal en el espacio Euclidiano Rp , la misma que será evaluada a través del teorema de Kalman. Podemos mencionar que la idea de controlabilidad en Rp es la siguiente: dados x0 y xd en Rp existe un control u ∈ U y T > 0 tal que la trayectoria del campo X en la dinámica D asociada a u, transfiere x0 a xd y en T unidades de tiempo.. En el capı́tulo 3 desarrollamos la teorı́a involucrada con los grupos y álgebras de Lie para poder mostrar la idea de controlabilidad en grupos de matrices, para luego considerar el análisis de los conjuntos de control de sistemas lineales vı́a esta teorı́a.. En el capı́tulo 4 enunciamos los posibles conjuntos de control para grupos de matrices de dimensión 2 o 3, aquı́ un conjunto de control C es en esencia un subconjunto máximal en cuyo interior existe controlabilidad y en la frontera controlabilidad aproximada. La existencia y unicidad de los conjuntos de control, ası́ como la controlabilidad están basados en el teorema de Colonius-Kliemann. La metodologı́a utilizada para el desarrollo de esta tesis ha sido a través de la revisión bibliográfica de artı́culos cientı́ficos y textos relacionados con la problemática planteada. El autor. VII.

(9) Capı́tulo 1 Dinámica sobre el espacio Euclidiano Rn En este capı́tulo plantearemos un ejemplo que nos servirá para entender el objetivo de la teorı́a de control en un sistema de control lineal en Rn , para ello en nuestra primera sección describimos el ”modelo de la dinámica de un tren que se aproxima a una estación”, deseamos describir el modelo matemático que nos permite establecer el sistema de de ecuaciones diferenciales controladas. Ası́ mismo, desarrollamos la teorı́a relacionada con la dinámica en el espacio euclidiano Rn y en grupos de matrices G.. 1.1. La controlabilidad aplicada a un problema dinámico R2. Supongamos que dirigimos un tren por una lı́nea férrea y necesitamos detenerlo en la siguiente estación en tiempo mı́nimo. Para resolver este problema se pueden plantear las siguientes preguntas: ¿Existe la posibilidad de detener el tren en tiempo mı́nimo?, si la respuesta es afirmativa ¿como podrı́amos probar su existencia?, o mejor aún, ¿cómo podrı́amos calcular la solución óptima? Este es un problema tı́pico de la teorı́a de control óptimo. En esta tesis estamos interesados en el estudio de la controlabilidad. Esto es, un sistema de control se dice controlable si es posible ir de un estado inicial a un estado deseado a través de ciertos controles admisibles en tiempo no negativo. Existen dos casos relacionados con la controlabilidad estos son, el caso irrestricto y el caso restricto. Consideremos un problema ideal, es decir un movimiento sin fricción sobre la lı́nea férrea recta y denotemos por x(t) la distancia del tren a la estación, consideremos la 1.

(10) estación como el origen de la recta. De acuerdo a ley de Newton, la fuerza del sistema viene dada por F = ma (la masa por la aceleración). Sin pérdida de generalidad en este estudio cualitativo, consideremos la masa como m = 1. Obteniendo entonces un sistema de ecuaciones controladas por los distintos tipos de combinaciones a(t) entre aceleración y freno. Siguiendo la notación usual de la teorı́a de control reemplazamos a por la variable de control u y obtenemos ẋ(t) = y(t), ẏ(t) = u(t), u ∈ U. (1.1). en donde U es una familia de funciones que llamamos admisibles, dependiendo de las distintas posibles estrategias consideradas para las funciones de control u : [0, Tu ] → Ω = [−1,1] ⊂ R. (1.2). en donde por supuesto u es la aceleración del tren y 1 representa su aceleración máxima normalizada. Ahora bien, ¿Qué clase de funciones en U podrı́amos considerar admisibles? Por ejemplo, el espacio de las funciones medibles localmente integrables, el espacio de funciones continuas o incluso constantes por pedazos a valores en Ω. Estas tres clases de funciones garantizan existencia y unicidad de la solución asociada a cada estado inicial (x0 , y0 ) y para cada estrategia u ∈ U. En primer lugar, observemos que es posible describir Σ en forma matricial en el plano. De hecho, el sistema de control lineal restricto o sea que los valores de los controles están acotados sobre R2 , queda de la siguiente manera: . ẋ(t) ẏ(t). . =. 0 1 0 0. . x(t) y(t). . +. 0 1. u(t),. u ∈ U, |u(t)| ≤ 1. (1.3). representando las ecuaciones de manera mas estructurada. Geométricamente, el problema de accesibilidad que esta estrechamente ligado con el problema de controlabilidad, se traduce entonces en transferir el tren desde el estado inicial (x0 , y0 ) al origen (0, 0) del plano. Si por ejemplo y0 > 0, se entiende que al pasar por x0 el tren se mueve con velocidad y0 y en dirección a la estación. Si y0 < 0 el tren se mueve en la dirección contraria a la estación, situación que es perfectamente posible si, por ejemplo, han llamado al conductor para volver a la estación. Es necesario saber si el sistema de control lineal restricto es controlable o no, esto es, si dos estados cualquiera pueden ser conectados a través de una u-solución del sistema en tiempo no negativo. Para esto, utilizamos el Teorema de Colonius-Kliemann [6]. Como rank(B AB) = 2 y Spec(A) = {0} 2. (1.4).

(11) entonces se cumple la condición del rango de Kalman y como el espectro de la matriz A solo posee autovalores con parte real cero, el sistema restricto es controlable. En particular, cualquier condición inicial puede ser trasladada al origen y el problema de optimalidad tiene perfecto sentido. Existen muchas formas distintas de transferir la condición inicial al origen. Sin embargo, desde el punto de vista de optimización, se necesita encontrar un control óptimo u∗ que lleve (x0 , y0 ) al origen en tiempo mı́nimo. Es importante destacar que las transferencias entre estados no se realizan a través de curvas arbitrarias, sino, sólo a través de aquellas que satisfacen las ecuaciones diferenciales asociadas al sistema lineal de control Σ. Observación 1.1 De acuerdo al Principio del Máximo de Pontryagin, [9] , las únicas estrategias óptimas posibles para nuestro problema se encuentran en la frontera del conjunto de los estados accesibles. Esta información crucial, trasladada a los controles se reduce a dos posibilidades a considerar u = 1 o bien u = −1.. (1.5). Obviamente, trasladar esta información desde la frontera de los conjuntos de control a la frontera del conjunto de llegada de los controles no es inmediato. Se deduce de las ecuaciones diferenciales parciales asociadas al sistema Hamiltoniano del principio del máximo de Pontryagin, que escapan a las posibilidades de desarrollar en este estudio inicial. El mismo principio establece que una combinación adecuada de estos controles bang-bang, con un máximo de n − 1 cambios, entrega la curva óptima. En este caso, n = 2, de modo que a lo más se necesita un cambio de control: de u = 1 a u = −1 o recı́procamente. Observe que este principio reduce a priori y de manera notable, la búsqueda de una solución óptima desde un universo infinito de posibilidades contenidas en U = L1loc (R, Ω), a una combinación reducida de controles constantes por pedazos. Con esta información, ¿cómo obtener la solución óptima? Primero, debemos calcular las soluciones de la dinámicas asociadas a los controles óptimales. Entonces para u = 1, obtenemos la ecuación diferencial ẋ(t) = y(t). 3. ẏ(t) = 1. (1.6).

(12) Figura 1.1: Control u=1. cuyas soluciones son parábolas centradas en el eje y abriéndose hacia la derecha. En forma precisa, convexas respecto del eje y. Por otra parte, para el control u = −1 se obtiene el sistema ẋ(t) = y(t), ẏ(t) = −1. (1.7). Figura 1.2: Control u=-1. cuyas soluciones son parábolas centradas en el eje y, abriéndose hacia la izquierda, esto es, cóncavas respecto del eje y. De entre estas dos familias de curvas, existen dos que son esenciales, aquellas que nos trasladan al origen. Denotemos por u− la curva que nos traslada al origen con control u = −1, en el semiplano y > 0., y denotemos por u+ la curva que nos traslada al origen con control u = 1, en el semiplano y < 0. Entonces, la concatenación a través del origen de las semi curvas u− con u+ que denotamos por α, es una curva continua que divide el plano en dos componentes conexas: (R2 )− y (R2 )+ a la izquierda y derecha de α respectivamente. Considere por ejemplo, un estado inicial (x0 , y0 ) ∈ (R2 )− con y0 > 0. Entonces, usted se dirige hacia la estación con una velocidad y0 desde una distancia x0 . Según el principio, deberá acelerar al máximo siguiendo la trayectoria óptima determinada por el 4.

(13) control u = 1. Geométricamente, se moverá por la única parábola que pasa por (x0 , y0 ) y que se dirige al encuentro de la semi parábola u− . En el punto de intersección de ambas parábolas usted debe cambiar de estrategia y se trasladará al origen en tiempo mı́nimo vı́a u− . En otras palabras, siguiendo la estrategia óptimal, se acelerará al máximo durante un perı́odo de tiempo para después frenar al máximo durante otro perı́odo de tiempo. ¿Cómo saber en que momento cambiar de estrategia?. Esto es equivalente a preguntar ¿cómo calcular el punto de intersección en donde debo cambiar de control? Bueno, el principio entrega esta información de manera automática. En realidad las curvas u− y u+ son conocidas y dada cualquier condición inicial las trayectorias de los sistemas con u = 1 y u = −1 también. Obteniendo este punto de intersección lo proyectamos sobre el eje x y esta seria la información para que el maquinista sepa exactamente donde aplicar el freno. La estrategia óptimal para (x0 , y0 ) ∈ (R2 )+ con y0 > 0 es análoga, recordando que el tren posee marcha reversa.. 1.2. Dinámica en espacios Euclidianos en Rn. En esta sección daremos la teorı́a básica relacionada con la dinámica de espacios euclidianos y grupos de matrices. El objetivo principal es establecer las propiedades fundamentales de los espacios de estados y de las ecuaciones diferenciales que intervienen en los diferentes tipos de sistemas de control lineal, que serán utilizados en el presente trabajo de investigación. Ası́ mismo, es fundamental en la teorı́a de los sistemas de control sobre grupos de matrices el concepto y propiedades del corchete de Lie entre campos de vectores lo cual será desarrollado en este capı́tulo. Campos de vectores sobre Rn. Como primer punto, observamos que el espacio Euclideano real n-dimensional Rn posee un sistema de coordenadas canónico, mediante el cual, cada elemento x ∈ Rn se escribe como x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Denotemos por ei = ( ∂x∂ i ) el i-ésimo elemento de la base canónica de Rn donde i = 1, 2, . . . , n. El espacio tangente a Rn en x, denotado por Tx Rn ; se define como el espacio de todos los vectores que se inician en x, esto es: ∂ n Tx R = Span |i = 1, 2, . . . , n ∂xi x De hecho, Tx Rn es un espacio vectorial de dimensión n que se obtiene trasladando el propio Rn ≈ Tx Rn desde el origen al estado x. En otras palabras, para cada 5.

(14) i = 1, 2, . . . , n, el vector ( ∂x∂ i )x denota el vector ( ∂x∂ i )0 trasladado al punto x. Esta notación puede ser justificada de la siguiente manera. Sea V una vecindad de x, a cada vector v ∈ Tx Rn podemos asociar una clase de equivalencia de curvas [γ], con γ : (−, ) −→ V continua en su dominio y diferenciable en t = 0. Esta clase es caracterizada por las siguientes dos condiciones: γ(0) = x y la derivada de γ en t = 0 coincide con el vector v, esto es γ̇(0) = v. Introduciremos a continuación, el concepto de fibrado tangente, el cual está naturalmente asociado a problemas de la mecánica clásica: posición y velocidad. En el caso particular de Rn , este fibrado se denota por T Rn y se define como la unión disjunta de S los espacios vectoriales tangentes a los elementos de Rn , esto es, T Rn = x∈Rn Tx Rn . Este concepto, permite también obtener una visión geométrica de las ecuaciones diferenciales. En efecto, por definición, un campo de vectores X sobre Rn es una aplicación X : Rn → T Rn determinada por la elección de un vector tangente iniciándose en x, X(x) ∈ Tx Rn , para cada x ∈ Rn . Observamos de inmediato, que existe un isomorfismo entre el espacio vectorial de los campos de vectores X(Rn ) sobre Rn y el espacio F (Rn ) de las aplicaciones de Rn en si mismo. En efecto, cada f : Rn → Rn induce un campo X f ∈ X(Rn ) definido para cada x ∈ Rn por f. X (x) =. n X. fi (x). i=1. ∂ ∂xi. . ∈ Tx Rn. x. en donde f = (f1 , f2 , . . . , fn ). Geométricamente, la correspondencia f → X f se establece trasladando el vector f (x) al punto x, para cada x ∈ Rn . Recı́procamente, sea X un campo de vectores sobre Rn y x ∈ Rn . Los vectores ( ∂x∂ i )x , i = 1, 2, . . . , n, generan Tx Rn , en particular, existen n funciones reales fi : Rn → R tales que n X ∂ X(x) = fi (x) ∂xi x i=1 Ası́, cada campo X en Rn induce f X = (f1 , f2 , . . . , fn ) ∈ F (Rn ) Ejemplo 1.1 La aplicación constante e1 : Rn → Rn definida por e1 (x) = e1 , determina el campo de vectores X e1 definido por X e1 = ( ∂x∂ i ). Más generalmente, sea b ∈ Rn y denote por b : Rn → Rn la aplicación constante igual a b. Entonces el campo X b asocia a cada x ∈ Rn el propio vector b trasladado al espacio tangente Tx Rn . Esto es, P X b (x) = ni=1 bi ( ∂x∂ i )x . Ejemplo 1.2 Considere la aplicación lineal sobre R2 , tal que su matriz en la base 0 1 canónica es A = . Entonces, X A (x1 , x2 ) = x2 ( ∂x∂ 1 )x − x1 ( ∂x∂ 2 )x . Este campo −1 0 6.

(15) no es invariante por traslación en R2 . En efecto, el vector X A (x1 , x2 ) depende linealmente del par (x1 , x2 ), observe que h(x1 , x2 ), (−x2 , x1 )i = 0. Esto es, X A actúa en forma ortogonal respecto de los elementos de su dominio: .  0 0 0 Ejemplo 1.3 Considere la matriz A =  u 0 b , con (u, v) ∈ R2 y b ∈ R Esta v −b 0 matriz está asociada a un tı́pico elemento del grupo de movimientos del plano: rotación-traslación. El campo correspondiente, evaluado en x = (x1 , x2 , x3 ),viene dado por X A (x) = (ux1 + bx3 )( ∂x∂ 2 )x + (vx1 − bx2 )( ∂x∂ 3 )x . Si u = v = 0, nos encontrarı́amos en el ejemplo anterior. Ahora bien, cada campo de vectores X ∈ X ∞ (Rn ), X(x) =. Pn. i=0. fi (x)( ∂x∂ i )x , induce. la ecuación diferencial ẋ(t) = X(x(t)) =. n X. fi (x). i=0. ∂ ∂xi. . ∈ Tx Rn x. sobre Rn . Obteniéndose, un sistema ordinario de ecuaciones diferenciales de primer orden: ẋi (t) = fi (x(t)) ∈ R, i = 0, 1, 2, · · · , n El teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales garantiza que dada una condición inicial x0 ∈ R, existe una única solución γ(x0 , .) : I(x0 ) → Rn γ(x0 , t) = (γ1 (x0 , t), γ2 (x0 , t), · · · , γn (x0 , t)) γ̇i (x0 , t) = fi (γ(x0 , t)), i = 0, 1, 2, · · · , n ; t ∈ I(x0 ), con γ(x0 , 0) = x0 En este contexto, I(x0 ) es un intervalo de la recta real conteniendo el origen y topológicamente conexo-maximal respecto de la propiedad anterior. Además, la dependencia diferenciable de las condiciones iniciales garantiza que el flujo (Xt )t del campo X, a saber Xt : Dom(Xt ) ⊂ Rn → Rn definido para cada condición inicial x0 y t ∈ I(x0 ) porque Xt (x0 ) = γ(x0 , t), es un difeomorfismo local. En particular, para obtener la curva integral de la ecuación diferencial a través de x0 , esto es, la única curva solución que pasa por la condición inicial x0 en t = 0, basta aplicar el flujo Xt en x0 , obteniéndose la curva diferenciable {Xt (x0 ) : t ∈ R} de Rn . Por otra parte, las clases de sistemas de control que serán analizadas en este trabajo consideran campos de vectores completos y globalmente definidos en sus espacios de estados. Es decir, para cada condición inicial x0 , I(x0 ) = R, y Dom(Xt ) = Rn , para cada t ∈ R. Debemos notar que el flujo tiene las siguientes propiedades: 7.

(16) X0 = Id Xt ◦ Xs = Xt+s (Xt )−1 = X−t La ecuación diferencial inducida por el campo X sobre Rn , se puede interpretar geométricamente como sigue: la derivada de cada curva integral Xt (x), en cualquier instante t, coincide con el valor del campo X, en el punto Xt (x). En otras palabras Ẋt (x) = X(Xt (x)). Entonces, si entendemos un campo de vectores como una familia de flechas parametrizadas por los elementos de Rn , se concluye que integrar la ecuación diferencial asociada al campo X, nada más es encontrar una descomposición (partición) de Rn en curvas diferenciables, tal que la derivada de cada una de esas curvas, corresponde en cada punto, a la flecha predeterminada por el campo en ese punto. A continuación, establecemos las ecuaciones diferenciales y calculamos los flujos asociados a los campos de vectores de los ejemplos anteriores. Ejemplo 1.4 El campo de vectores X e1 (x) = ( ∂x∂ 1 )x en Rn , induce la ecuación diferencial ẋ1 (t) = 1, ẋ2 (t) = · · · = ẋn (t) = 0 para cada x0 , tenemos Xte1 (x0 ) = (x01 +t, x02 , · · · , x0n ) = (x0 +te1 ). Análogamente, el flujo del campo X b es Xtb (x0 ) = x0 + tb. La descomposición de Rn en las curvas integrales del sistema, corresponde a la partición de Rn en las rectas paralelas al subespacio generado por b. Ejemplo 1.5 El campo X A (x1 , x2 ) = x2 ( ∂x∂ 1 )x − x1 ( ∂x∂ 2 )x , induce sobre R2 el sistema ẋ1 (t) = x2 (t), ẋ2 (t) = −x1 (t) con flujo XtA (x01 , x02 ) = (x01 cost + x02 sent, −x01 sent + x02 cost). En este caso, R2 se descompone en la familia de cı́rculos con centro en el origen y de radios arbitrarios. Ejemplo 1.6 El campo X A (x) = (ux1 + bx3 )( ∂x∂ 2 )x + (vx1 − bx2 )( ∂x∂ 3 )x sobre R3 ,induce el sistema ẋ1 (t) = 0, ẋ2 (t) = ux1 (t) + bx3 (t); ẋ3 (t) = vx1 (t) − bx2 (t) con flujo XtA (x1 , x2 , x3 ) definido por (a, b, c) donde a = x1 b= c=. usen(tb)+v−vcos(tb)x1 b vsen(tb)−u+ucos(tb)x1 b. + cos(tb)x2 + sen(tb)x3 − sen(tb)x2 + cos(tb)x3 8.

(17) 1.3. Dinámica sobre grupos de matrices. Nuestro ambiente será el espacio vectorial de las matrices de orden n; el cual es isomor2. fo al espacio Euclidiano Rn . En particular, la topologı́a y la estructura diferenciable de los objetos a ser considerados provendrá de este isomorfismo. De esta manera, ahora consideremos la aplicación determinante det : Mn (R) → R y denotemos por, GLn (R) = [det−1 (0)]c , el grupo multiplicativo de las matrices invertibles de orden n. To2. pológicamente, GLn (R) se identifica con un subconjunto abierto de Rn y posee dos componentes conexas. De hecho, la aplicación det es un polinomio en las entradas de una matriz y por lo tanto es una aplicación continua. Además det(GLn (R)) ⊂ R − {0}. Si tr A denota la traza de A; entonces es posible probar que el siguiente diagrama conmuta, tr. Mn (R) exp. . GL+ (n, R). /. R . det. e. / R+. En particular, etrA = det(expA); ∀A ∈ Mn (R). En realidad, lo que se prueba es que la derivada de la aplicación determinante en el elemento identidad es la traza, es decir: D(det)(Id) = tr. Ahora bien, el hecho de que GLn (R) es un conjunto abierto en Mn (R), significa que es posible “moverse en todas las direcciones del espacio ambiente, en una vecindad de cada elemento de este grupo”. O sea, el espacio tangente a GLn (R) en cada matriz invertible P , coincide con el espacio vectorial Mn (R) trasladado al estado P . En realidad, sabemos que para cualquier matriz A ∈ Mn (R), la curva exp(tA) está contenida en GL+ n (R), pasa por la identidad en t = 0 y su derivada es A. Esto es, el espacio tangente a GLn (R) en el elemento identidad es exactamente el espacio vectorial Mn (R) trasladado a Id. Ejemplo 1.7 El grupo afı́n. Considere el grupo de matrices X x n Afn (R) = , X ∈ GLn (R), x ∈ R ⊂ GLn+1 (R) 0 1 Id x n n n Observe que R es un subgrupo de Afn (R). En efecto R = , x∈R 0 1 Ejemplo 1.8 El grupo especial general, SLn (R) = {P ∈ GLn (R) : det(P ) = 1} es cerrado pero no es compacto ni simplemente conexo. Observe que, diag(k; k1 ) ∈ SL2 (R), para cada k ∈ N. 9.

(18) Ejemplo 1.9 El grupo ortogonal, On (R) = {P ∈ GLn (R) : P P T = Id} ; es compacto. √ Observe que una cota es n. En efecto, cada columna de una matriz ortogonal tiene norma 1. Además, posee dos componentes conexas: rotaciones y reflexiones. Ejemplo 1.10 El grupo ortogonal especial, SOn (R) = {P ∈ On (R) : det(P ) = 1}, corresponde a la componente conexa de la identidad en On (R); esto es, al grupo de las rotaciones de Rn . Si n = 2; SO2 (R) =. cosθ senθ −senθ cosθ. . : 0 ≤ θ ≤ 2π. en donde, θ denota el ángulo de rotación en el sentido horario. Observe que SO2 (R) se identifica al cı́rculo unitario S 1 . Ejemplo 1.11 El toro n - dimensional T n es un subgrupo compacto, abeliano pero no simplemente conexo de GL2n (R). De hecho,  x1      .  n 1 1  . T = S × ··· × S =     .   .          , xi ∈ SO2 (R), i = 1, 2 · · · , n        . xn. Ejemplo de dimensión tres,  1.12 El grupo  de Heisenberg   1 x1 x3 G =  0 1 x2  : x1 , x2 , x3 ∈ Rn , es difeomorfo a R3 : En particular, es cerrado   0 0 1 simplemente conexo y no compacto.     1 0 0  Ejemplo 1.13 El grupo Euclidiano, E3 (R) =  x α β  : (x, y) ∈ R2 , α2 + β 2 = 1   y −β α es el grupo de movimientos del plano. Cerrado, pero no es compacto ni simplemente conexo.. 1.4. Corchete de Lie. Una noción particularmente importante en teorı́a de control es el corchete de Lie de campos de vectores. Definición 1.1 Si X = X f y Y = Y g ∈ X ∞ (Rn ) se define el corchete de Lie de X e Y , por [X, Y ](x) = Df (x)(g(x)) − Dg(x)(f (x)) x ∈ Rn 10.

(19) Ejemplo 1.14 Sea A una matriz de orden n, X = X A el campo lineal asociado, y considere el campo constante Y = Y b ; esto es, cuando la aplicación b : Rn → Rn es constante e igual a b. Entonces, [X, Y ](x) = [Ax, b] = Ab Ejemplo 1.15 Considere los campos lineales X = X A y Y = Y B . Entonces [X, Y ](x) = AB − BA. Desde un punto de vista geométrico, el corchete de Lie entre dos campos cualquiera X e Y , puede ser definido en término de sus flujos, como: √ d [X, Y ](x) = αx ( t), en donde, αx (t) = Y−t ◦ X−t ◦ Yt ◦ Xt dt t=0+ Este concepto, que utiliza tanto tiempos positivos como negativos, es una medida de la no conmutatividad (abertura) entre dos campos arbitrarios. Observe el siguiente ejemplo: consideremos la esfera S 2 ⊂ R3 ; el campo X, cuyas curvas integrales ¨nacen en el polo sur” y caminan a través de los meridianos en dirección del polo norte y el campo Y , cuyas curvas integrales recorren los paralelos. Entonces, si x es un elemento de la esfera , α(t) no regresa necesariamente a x. En otras palabras, αx (t) no es constante. En particular, los campos X e Y no conmutan.. A continuación se estudia la ecuación diferencial lineal ẋ = Ax, con x(0) = x0 en Rn donde A es una matriz real de orden n. Recordamos que la aplicación exponencial de matrices exp : Mn (R) → GLn (R) es definida mediante la serie convergente: exp(A) =. X 1 1 1 Ak = Id + A + A2 + · · · + Ak + · · · , con A0 = Id k! 2! k! k≥0. Existe en algunos casos, un algoritmo computable para encontrar los flujos asociados a campos de vectores lineales, esto es, que provienen de transformaciones lineales. Sea A ∈ Mn (R), ası́ la ecuación diferencial asociada al campo X A no es otra cosa que la ecuación diferencial lineal ẋ(t) = Ax(t) que como se sabe, su solución con condición inicial x, viene dada por la expresión XtA (x) = exp(tA)x. De hecho, exp(0) = Id y la serie exp(tA) converge uniformemente en R. En particular, su derivada en t = 0 la cual puede ser calculada término a término, es ( dtd )t=0 exp(tA) = A. De esta manera, pueden ser calculados los flujos de los campos de los ejemplos anteriores.. 11.

(20) Capı́tulo 2 Controlabilidad sobre espacios Euclidianos Como mencionamos en el capı́tulo 1, el problema del tren puede inducir las siguientes preguntas, ¿existe solución al problema de detener el tren en tiempo mı́nimo?, si la respuesta es afirmativa, ¿cómo podrı́amos probar su existencia? o mejor aún, ¿cómo podrı́amos calcular la solución óptima?. En el libro de Pontryaguin [9], este ejemplo aparece como un problema elemental que se resuelve con el principio del máximo de Pontryaguin. En este capı́tulo estudiamos la teorı́a de los sistemas lineales de control sobre los espacios Euclidianos que generalizan el caso del tren de dimensión 2 a una dimensión arbitraria n.. 2.1. Sistema lineal de control. Definición 2.1 Un sistema lineal de control. P , sobre el espacio Euclidiano Rn , viene. dado por la siguiente data:. ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t). (2.1). donde A ∈ gl(n, R), B ∈ gl(n × p, R), B es una matriz de orden n × p, u ∈ U es la familia de controles localmente integrables y u es una función medible del tipo u : [0, T ] −→ Ω ⊆ Rp ; y Ω es un conjunto cerrado, convexo y con 0 ∈ int(Ω). Proposición 2.1 Sea. P. un sistema lineal de control como en la definición (2.1), la. solución del sistema con condición inicial x0 y control u, viene dada por la siguiente. 12.

(21) expresión . φut (x0 ). Z. tA. = e (x0 +. t. e−τ A Bu(τ )dτ ). (2.2). 0. Demostración Derivaremos en función de t a la solución del sistema Rt d(etA (x0 + 0 e−τ A Bu(τ )dτ )) d(φut (x0 )) = dt dt Z t 0 tA u e−τ A Bu(τ )dτ ) + etA (e−τ A Bu(τ ))|t0 (φt (x0 )) = A(e (x0 + 0 u (φt (x0 ))0. = A(φut (x0 )) + Bu. Definición 2.2 Considere un sistema lineal Σ = (Rn , D), como en (2.1) x0 ∈ Rn y T ≥ 0. Un estado y ∈ Rn se dice accesible [4] desde x0 a través de Σ en T unidades de tiempo,(en exactamente T unidades de tiempo) si existe u ∈ U y t ∈ [0, T ] tal que φut (x0 ) = y, (φuT (x0 ) = y) respectivamente. Los conjuntos de accesibilidad desde x0 en T unidades de tiempo y en exactamente T unidades de tiempo son definidos por:. 2.2. S(x0 , T ) = {φut (x0 ) : 0 ≤ t ≤ T , u ∈ U}. (2.3). E(x0 , T ) = {φuT (x0 ) : u ∈ U}. (2.4). Caso irrestricto. En esta sección se introduce la matriz de Kalman [B AB A2 B ....An−1 B] y se demuestra que la controlabilidad del sistema depende solo de la controlabilidad desde el origen y que esta propiedad se obtiene cuando el rango de la matriz de Kalman coincide con la dimensión de los espacios de estados. Lo anterior es posible porque en el caso irrestricto los controles no son acotados, esto es, Ω = Rp y en particular el conjunto de estados accesibles desde el origen es un subespacio vectorial de Rn Proposición 2.2 Si 0 ≤ T1 ≤ T2 entonces E(0, T1 ) ⊂ E(0, T2 ). 13.

(22) Demostración 1. Sea x ∈ E(0, T1 ) , Entonces existe un control u1 tal que φuT11 (0) = x , y definamos el control u2 de la siguiente manera 0 u2 (t) = u1 (t − (T2 − T1 )). 0 ≤ t < T2 − T1 T2 − T1 ≤ t ≤ T2. (2.5). Como el control u1 esta definido en el intervalo [0, T1 ] ; la solución para el control u2 es: φut 2 (0). tA. t. Z. e−τ A Bu2 (τ )dτ = 0. =e. (2.6). 0. En particular para t = T2 RT φuT22 (0) = eT2 A 0 2 e−τ A Bu2 (τ )dτ RT = 0 + eT2 A T22−T1 e−τ A Bu2 (τ )dτ RT = eT2 A T22−T1 e−τ A Bu2 (τ )dτ Si τ ∈ [T2 − T1 , T2 ] entonces T2 − T1 T2 0 0. ≤ ≤ ≤ ≤. τ τ τ τ. ≤ T2 + T1 ≤ T2 + T1 − T2 + T1 ≤ T1 − (T2 − T1 ) ≤ T1. Haciendo un cambio de variable s = τ −(T2 −T1 ) luego τ = s+T2 −T1 . Observemos que s ∈ [0, T1 ] reemplazando en la integral se obtiene: φuT22 (0) = eT2 A. R T1. = eT2 A. R T1. 0. 0. e−(s+(T2 −T1 ))A Bu2 (s + T2 − T1 )ds e(−s−T2 +T1 )A Bu2 (s + T2 − T1 )ds. = eT2 A e−T2 A eT1 A = eT1 A. R T1. = eT1 A. R T1. = eT1 A. R T1. 0. 0. 0. R T1 0. e−sA Bu2 (s + T2 − T1 )ds. e−sA Bu2 (s + T2 − T1 )ds e−sA Bu1 (s + T2 − T1 − (T2 − T1 ))ds e−sA Bu1 (s)ds = φuT11 (0) = x = φuT22 (0). Entonces x ∈ E(0, T2 ) 2. Si Ω = Rp y T > 0 los conjuntos E(0, T ) y S(0, T ), SP (0) pacios vectoriales. Debemos demostrar que : 14. S. T ≥0. S(0, T ) son subes-.

(23) a. φut 1 +u2 (0) = φut 1 (0) + φut 2 (0) u1 1 b. φλu t (0) = λφt (0). Demostración En efecto, para (a) tenemos: Sean φut 1 (0) ∈ E(0, T ) y φut 2 (0) ∈ E(0, T ) con Rt φut 1 (0) = etA 0 e−τ A Bu1 (τ )dτ Rt φut 2 (0) = etA 0 e−τ A Bu2 (τ )dτ entonces. φut 1 +u2 (0) = = = =. Rt etA 0 e−τ A B(u1 + u2 )(τ )dτ Rt etA 0 e−τ A B(u1 (τ ) + u2 (τ ))dτ Rt Rt etA 0 e−τ A Bu1 (τ )dτ + etA 0 e−τ A Bu2 (τ )dτ φut 1 (0) + φut 2 (0). Para (b) tenemos: Demostración Sea φut 1 (0) ∈ E(0, T ) y λ ∈ R entonces R tA t −τ A 1 φλu e Bλu1 (τ )dτ t (0) = e 0 = λetA. Rt 0. e−τ A Bu1 (τ )dτ. 1 = λφλu t (0). Como se cumplen (a) y (b) podemos afirmar que E(0, T ) y S(0, T ) son subespacios vectoriales.. Teorema 2.1 Sea. P. un sistema lineal de control con Ω = Rp , entonces E(0, T ) = hA, Bi. (2.7). Demostración ⇒) Como hA, Bi es el menor subespacio A-invariante de Rn se deduce que A(hA, Bi) ⊂ hA, Bi hA, Bi = Ak (hA, Bi) ⊂ hA, Bi hA, Bi es un subespacio de Rn , además es topológicamente cerrado y Ak -invariante. Ahora si x ∈ E(0, T ) entonces existe un control u tal que φuT (0) = x φuT (0). TA. Z. =e. T. e−τ A Bu(τ )dτ = x. 0. 15. (2.8).

(24) La serie eτ A : Rn → Rn aplicada a cada x̂ ∈ hA, Bi sigue de la siguiente manera: eτ A x̂ = (I + τ A +. τ 2 A2! + .....)x̂ 2. = I(x̂) + τ A(x̂) +. τ 2 A2 (x̂) + ..... 2. (2.9). (2.10). Entonces hA, Bi, en efecto, como la serie converge uniformemente y I(x̂) ∈ hA, Bi es eτ A -invariante para todo τ en R. En efecto, hA, Bi es topológicamente cerrado, 2 2. I(x̂) ∈ hA, Bi , Aτ (x̂) ∈ hA, Bi , A 2τ (x̂) ∈ hA, Bi , ....... En particular toda trayectoria RT eT A 0 e−τ A Bu(τ )dτ partiendo del origen debe permanecer en hA, Bi. Por hipótesis, hA, Bi contiene a Img(B) entonces Bu(s) ∈ hA, Bi por otro lado como hA, Bi es esA invariante esA (Bu(s)) ∈ hA, Bi , Ası́ S(0, T ) ⊂ hA, Bi. (2.11). ⇐) Recı́procamente, considerando que la intersección de subespacios J = ∩T >0 E(0, T ) es también un subespacio y que la dimensión Rn es finita, se sigue que existe T0 > 0, tal que: 0 < T < T0 ⇒ E(0, T ) = J Sea u = u(t) ∈ Rn un control constante, entonces φuT (0) ∈ J, para todo T ∈ [0, T0 ], por ser J un espacio vectorial, la derivada en cualquier punto de una curva diferenciable contenida en J es un vector que pertenece a J, esto es: d φuT (0) ∈ J ∀ T ∈ [0, T0 ] dT Si u(t) = u ∈ Ω es un control constante, φuT (0) ∈ J para cada T ∈ [0, T0 ] luego d φu (0) = dT T =0 T Z T d TA (e e−τ A Bu(τ )dτ ) = dT T =0 0 Z T = AeT A e−τ A Bu(τ )dτ + eT A e−T A Bu(T ) Z0 T TA = Ae e−τ A Bu(τ )dτ + Bu(T ) 0. = Bu(0) ∈ J Para cada T ∈ [0, T0 ] definimos el control uT : [0, +∞) → R por u 0 ≤ t ≤ T, uT (t) = 0 t > T, Entonces φut T (0). =. φut (0) 0 ≤ t ≤ T, etA φut (0) t > T, 16. (2.12).

(25) Eligiendo T y t suficientemente cercano al origen, obtenemos φut T (0) ∈ J Derivando parcialmente, se obtiene que para cada k = 0, 1, 2, ..... k u ∂φT (0) ∂ = Ak Bu(0) ∈ J k ∂t t=0 ∂T T =0 Ası́ hA, Bi ⊂ J ⊂ E(0, T ) ∀T > 0 entonces hA, Bi = E(0, T ) ∀T > 0 Observación 2.1 Sabemos hA, Bi es un subespacio A − invariante, que contiene a im(B) y es minimal respecto de ambas propiedades. Si b1 , b2 , ...., bp denotan las columnas de B hA, Bi = span{Ak bi : i = 1, 2, ..., p, k = 0, 1, 2....} Debido al Teorema de Cayley-Hamilton hA, Bi = span{Ak bi : i = 1, 2, ..., p, k = 0, 1, 2....n − 1}. K = [B AB A2 B ....An−1 B] denotemos por K la matriz de controlabilidad de Kalman Teorema 2.2 (Kalman) Sea X. P. un sistema lineal irrestricto sobre Rn . Entonces. es controlable ⇔ rango(K) = n. Demostración La controlabilidad de un sistema puede verificarse, a partir de la construcción de la matriz de controlabilidad K. Ejemplo 2.1 Considere el sistema lineal ẋ = Ax + Bu, . 0  0 A=  0 0. x ∈ R4 ,. Ω=R.   1 0 0 0   0 −1 0  1 y B=  0 0 0 1  0 11 0 −1. Computando la matriz K nos resulta  0 1 0 1  1 0 1 0 K=  0 −1 0 −11 −1 0 −11 0.    .    . Como se puede observar rank(K) = 4 y por el Teorema de Kalman, el sistema es controlable. 17.

(26) 2.3. Caso restricto: conjuntos de control. Considere un sistema de control lineal. P. donde Ω es un subconjunto compacto y con-. vexo de Rp con 0 ∈ int(Ω). Como hemos visto, en la sección anterior el caso irrestricto dota al conjunto de accesibilidad del origen SΣ (0) de una estructura de espacio vectorial. En esta sección, se mostrará que sin esta propiedad la situación cambia drásticamente. En este caso, el cual corresponde a la realidad no siempre se puede esperar controlabilidad, excepto casos especiales como el teorema de Colonius-Klieman que enunciamos sin demostración; lo que se quiere, es conocer regiones del espacio en donde la propiedad de controlabilidad se cumpla. En este sentido, se introduce la noción de conjunto de control en el cual existe controlabilidad en su interior y controlabilidad aproximada en su frontera Definición 2.3 Sea. P. un sistema lineal sobre Rn y x0 ∈ Rn . La órbita positiva del. sistema a partir de x0 serı́a: tA. Z. S (x0 ) = {e (x0 + P. t. e−τ A Bu(τ )) : t ≥ 0 u ∈ U}. (2.13). 0. y a partir de ahora será denotada por O+ (x0 ) por otra parte, la órbita negativa del sistema que denotamos por O− (x0 ) viene dada por: O− (x0 ) = {y ∈ Rn : ∃u ∈ U, t ≥ 0, φut (y) = x0 } Por ejemplo en el caso del tren sabemos que el sistema es controlable, esto es, partiendo del origen podemos alcanzar cualquier estado del plano en tiempo positivo, por otra parte, desde el análisis realizado con las curvas u = 1 y u = −1 sabemos que cada estado del plano puede ser transferido al origen. O sea, en este caso O− (0) = O+ (0) = R2 Definición 2.4 Un conjunto C ⊂ Rn es llamado conjunto de control del sistema (1) si: i. Para todo x ∈ C existe una trayectoria ϕ(., x, u) correspondiendo a un estado inicial x en un tiempo t = 0 y una función de control u ∈ U tal que ϕ(t, x, u) ∈ C para todo t ≥ 0. ii. Para todo x ∈ C, se tiene C ⊂ clO+ (x). iii. C es maximal con estas propiedades es decir , si existe C 0 tal que C 0 que ⊃ C satisface i) y ii) entonces C 0 = C.. 18.

(27) Teorema 2.3 (Colonius-Kliemann) Sea. P. un sistema lineal restricto en Rn. ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) donde u ∈ U = {u : [0, Tu ] → Ω ( Rp : Ω es compacto, convexo y 0 ∈ intU} A y B son matrices de tamaño apropiado y asuma que el par (A, B) es controlable: 1. Existe un único conjunto de control C = O− (0) ∩ clO+ (0) con interior no vacı́o. 2. El sistema es controlable si y solo si SpecLy (A) ∩ R = {0} A continuación describimos un sistema de control lineal no controlable con controles restrictos y mostramos la construcción del único conjunto de control con interior no vacı́o que determina el teorema de Colonius-Klieman a través de computar las órbitas positivas y negativas del origen. Ejemplo 2.2 Consideremos el sistema lineal . ẋ ẏ. . =. 1 0 0 −1. . x y. . +. 1 1. u(t). donde u(t) ∈ U y Ω = [−1, 1] . 1 0 0 −1. . En primer lugar debemos computar el rango del par (A, B) donde A = y 1 1 1 B= , es decir K = y rank(K) = 2, lo cual implica que existe un único 1 1 −1 conjunto de control no vacı́o con C = O− (0) ∩ clO+ (0) El diagrama de fase para el sistema de ecuaciones diferenciales esta dado por:. Figura 2.1: Diagrama de fase. y el conjunto de control es C = (−1, 1) × [−1, 1] 19.

(28) Capı́tulo 3 Grupos y álgebras de matrices En esta sección, presentamos brevemente algunos de los principales resultados de la teorı́a que se necesita para la próxima sección. Mencionaremos algunas referencias sobre este tema, (Curtis, 1979), (Helgason, 1978), (San Martı́n, 1999) y (Warner, 1971). Esta sección será desarrollada en el espacio vectorial de las matrices de orden n; el cual 2. es isomorfo al espacio Euclidiano Rn . La topologı́a y la estructura diferenciable de los objetos algebraicos a ser considerados provendrá de este isomorfismo. Ası́ consideremos la aplicación determinante det : Mn (R) → R y denotemos por, GLn (R) = [det−1 (0)]c , el grupo multiplicativo de las matrices invertibles de orden n. Topológicamente, GLn (R) 2. se identifica con un subconjunto abierto de Rn y posee dos componentes conexas. De hecho, la aplicación det es un polinomio en las entradas de una matriz y por lo tanto es una aplicación continua. Además det(GLn (R)) ⊂ R − {0}.. Definición 3.1. 3.1. Grupos y Álgebras de Lie. Un grupo de matrices G es una variedad analı́tica, tal que el grupo de operaciones µ : G × G → G esto es (g, h) → gh e i : G → G : g → g −1 , son analı́ticas Ejemplo 3.1 Los siguientes conjuntos son grupos de matrices bajo la multiplicación usual 1. El espacio Euclidiano Rn . 2. El conjunto GL(d, R) = [det−1 (0)]c y GL+ (d, R) la componente conexa de la identidad. 3. El toro T d = S 1 × .... × S 1 . (d-veces el cı́rculo) 20.

(29) 4. El grupo ortogonal O(d) = {A ∈ GL(d, R)|AAt = Id}. 5. El grupo ortogonal especial SO(d) = {A ∈ O(d)|det(A) = 1}. 6. El grupo especial lineal SL(d, R) = {A ∈ GL(d, R)|det(A) = 1} 7. El grupo de Heisenberg (R3 , ∗) con (x, y, z) ∗ (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c + xb) Traslaciones Dado un grupo de matrices G se definen las aplicaciones analı́ticas Rg : G → G x → xg Lg : G → G x → gx llamadas traslación a la derecha e izquierda de G respectivamente, estas aplicaciones son difeomorfismos. El álgebra de Lie de G proviene de la noción de campo de vector invariante. Denotemos por X ∞ (G) el conjunto de C ∞ -campos de vectores de clase C ∞ sobre G. Definición 3.2 Sea X ∈ X ∞ (G). X se dice un campo de vector invariante a la derecha, si. X ◦ Rg = (Rg )∗ (X), para todo g ∈ G. (3.1). Donde (Rg )∗ o (dRg )e denota la derivada de Rg . En otras palabras, para definir un campo de vector invariante a la derecha X lo único que necesitamos es definir un vector tangente en la identidad Xe . En efecto, el valor del campo Xg en cada punto g será definido por (dRg )e (Xe ), esto es, esta definido por la derivada en la identidad de la traslación a la derecha (Rg ). En forma mas precisa (dRg )e : Te G → Tg G con Xg = (dRg )e (Xe ) Observación 3.1 Dado dos campos vector invariante a la derecha X, Y el corchete de Lie [X, Y ] entre ellos, también es un campo de vector invariante a la derecha, [12]. Además, observe que X ∈ g está determinado por su valor en la identidad. En otras palabras, g es isomorfo al espacio tangente Te G. El conjunto de campos de vector invariante a la derecha(o a la izquierda) sobre G se llama el álgebra de Lie g de G. El corchete de Lie [X, Y ] satisface las siguientes propiedades: 1. [·, ·] Es bilineal 21.

(30) 2. Antisimétrico, esto es [X, Y ] = −[Y, X], para X, Y ∈ g 3. Para X, Y, Z ∈ g se cumple: [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z, X]] = 0 que se conoce como la identidad de Jacobi. De otro lado, un subespacio V ⊂ g es una subálgebra si [V, V ] ⊂ V y es un ideal si [V, g] ⊂ V . Ejemplo 3.2 Ahora mencionaremos algunas álgebras de Lie correspondientes a algunos grupos de matrices. Recordando que el álgebra de Lie g de un grupo G es isomorfo al espacio tangente Te G, en la identidad. 1. T0 Rd = Rd 2. TId GL(d, R) = gl(d, R) es el conjunto de matrices de orden 2. 3. TId S d = Rd 4. TId SO(d, R) = so(d) = o(d) = {A ∈ gln (R) : A + AT = 0} 5. TId SL(d, R) = sl(d, R) = {A ∈ gl(d, R)/tr(A) = 0}. 6. El álgebra de Lie del grupo de Heisenberg (R3 , +, [, ]) tiene como bases {X 1 , X 2 , X 3 }, tal que [X 1 , X 2 ] = X 3 , es el único corchete que no es nulo. De hecho, el grupo Heisenberg tiene la representación matricial     1 x 1 x3  G =  0 1 x2  : x1 , x2 , x3 ∈ R   0 0 1 φ : G → R3 g → (x1 , x2 , x3 ) La derivada de γi : R → R3 , γi (t) = φ−1 (tei ) en t = 0, determina X i . A continuación daremos el concepto de la exponencial de matrices. La aplicación exponencial en grupo de matrices será: ∞ X 1 k exp : gl(d, R) → GL (d, R), donde exp A = A donde A0 = Id. k! k=0 +. 22.

(31) Dado que d(exp)0 = Id existe un vecindad V ⊂ G de e tal que exp es un difeomorfismo local. Además, para grupos de Lie nilpotentes y simplemente conexos, la exp es un difeomorfismo global, lo que significa V = G. Un homomorfismo C ∞ entre dos grupos de Lie G y H es llamado un homomorfismo de grupos de Lie . Un homomorfismo de grupo de Lie biyectivo de G consigo mismo se llama Automorfismo de grupo de Lie. Si G es conexo, el conjunto Aut(G) de G-automorfismos es un grupo de Lie con álgebra Lie aut(G), (Warner, 1971). Observación 3.2 Una relación importante entre un homomorfismo de un grupo de Lie ϕ : G → H, y su derivada (dϕ)e : TeG −→ TeH es dada por ϕ(exp X) = exp(dϕ(X)), que se deriva del diagrama conmutativo g expg. (dϕ)e. . G. ϕ. /. /. h . exph. H. Dado que d(det)e = tr se sigue que etrA = det(expA), A ∈ gl(d, R) Definición 3.3 Un álgebra de Lie g se dice que es: 1. Abeliano, si para algún X; Y ∈ g el corchete de Lie es cero. 2. Nilpotente, si existe k ≥ 1 tal que su serie descendente central se estabiliza en el origen. 0 = adk (g) = [(adk−1 ))g), ad1 (g)] ⊂ ... ⊂ adk (g) 3. Soluble, si existe k ≥ 1 tal que su serie derivada se estabiliza en el origen. 0 = adk (g) = [adk−1 (g), adk−1 (g)] ⊂ ... ⊂ adk (g) 4. Simple, si g no es abeliana y no contiene ideales propios. 5. Semisimple si la subálgebra soluble más grande r(g) de g es nula. Un grupo de Lie se dice Abeliano, nilpotente, soluble, simple, semisimple, si su álgebra de Lie es Abeliana, nilpotente, soluble, simple, semisimple respectivamente. Ejemplo 3.3 Mencionaremos algunos tipos de grupos de Lie. 1. El espacio Euclidiano Rd es Abeliano. 23.

(32) 2. El toro T n = S 1 × . . . × S n , (n-veces) es Abeliano y compacto, además cualquier grupo Abeliano tiene la forma Rd × T n para algún d, n ∈ N. A y d 3. El grupo afı́n ; A ∈ GL(d, R), y ∈ R es soluble. 0 1 4. El grupo ortogonal SO(d, R) es compacto y simple para d 6= 4 SO(d, R) = {A ∈ GL(d, R)/AAt = Id} 5. El grupo ortogonal SO(4, R) es compacto y semisimple. 6. El grupo especial lineal SL(d, R) es no acotado y semisimple SL(d, R) = {A ∈ GL(d, R)/detA = 1}. 24.

(33) Capı́tulo 4 Sistemas de control lineales sobre grupos de matrices El objetivo de esta sección es extender la definición de sistema de control lineal desde un espacio Euclidiano Rn a grupos de Lie de matrices. Estamos interesados en establecer un resultado reciente sobre la existencia y unicidad de un conjunto de control para esta nueva clase de sistemas y sus consecuencias sobre la propiedad de controlabilidad. En particular, extender el teorema de Colonius-Kliemann. Una generalización de la noción de un sistema lineal desde el espacio euclidiano Rd a un grupo de matriz especı́fico fue dado por (Markus, 1980). Después de esto, los autores en (Ayala y Tirao, 1999) llegan a una definición definitiva del tema sobre un grupo G de Lie arbitrario y conexo. Definición 4.1 Un sistema de control lineal ΣLin (G) sobre G es determinado por la data ẋ(t) = X (x(t)) +. m X. uj (t)Y j (x(t)), x(t) ∈ G, u ∈ U. (4.1). j=1. Donde, X es un campo de vectores, por definición, el flujo Xt ∈ Aut(G), t ∈ R, además, Y j ∈ g y U = L1loc (R, Ω ⊂ Rm ) con Ω es un subconjunto cerrado de Rm con 0 ∈ int(Ω). En este caso, Σ es una perfecta generalización del sistema de control lineal clásico en P j n el grupo Abeliano Rn definido por ẋ = A(x) + Bu = A(x) + m j=1 uj b , x ∈ R , u ∈ U. El grupo 1-paramétrico etA ∈ Aut(Rn ), t ∈ R, es el flujo del drift A, una matriz real de orden n. La matriz de costos B determina m campos de vectores invariantes inducidos por los vectores columna de bj ∈ Rn . La relación entre X y D ∈ ∂g esta dada por DY = −[X , Y ] y Xt (exp Y ) = exp(etD Y ), Y ∈ g y t ∈ R. 25.

(34) Sea φ(t, g, u) la solución de Σ con u ∈ U y con condición inicial g ∈ G. El sistema Σ es controlable si para algún g, h ∈ G, ∃u ∈ U, y τ > 0 : φτ,u (g) = h.. 4.1 D-descomposición de g y conjuntos de control Considere el campo X con derivación asociada D. Sea gα = {X ∈ g : (D − αI)n X = 0 para algún n ≥ 1}, entonces D es el autoespacio generalizado y α es un autovalor de D. Ası́, [gα , gβ ] ⊂ gα+β donde α + β es un autovalor L de D y cero en otro caso. Resulta que g = g+ ⊕ g0 ⊕ g− , donde g+ = α: Re(α) > 0 gα , L L − + − g0 = = son nilpotentes α: Re(α)=0 gα y g α: Re(α)<0 gα son álgebras de Lie g , g [10]. Denotaremos por G+ , G− , G0 , G+,0 , y G−,0 los subgrupos de Lie conexos de G con álgebras de Lie g+ , g− , g0 , g+,0 = g+ ⊕ g0 y g−,0 = g− ⊕ g0 respectivamente. Denotemos por O− = O− (e) la órbita negativa en la identidad y SpecLy (D) el espectro de Lyapunov de D. En [1] ha sido probado lo siguiente: Proposición 4.1 Sea Σ un sistema de control lineal sobre un grupo soluble G tal que O+ = O+ (e) es abierto. Entonces, G es descomponible, esto es, G = G+,0 G− = G−,0 G+ .. (4.2). Con esta descomposición se puede probar el siguiente resultado Conjuntos de Control sobre grupos de matrices Definición 4.2 Sea G un grupo de matrices y. P. un sistema de control lineal sobre G. entonces un conjunto C ⊂ G es llamado conjunto de control del sistema (4,1) si: i. Para todo x ∈ C existe una trayectoria ϕ(., x, u) correspondiente a un estado inicial x en un tiempo t = 0 y una función de control u ∈ U tal que ϕ(t, x, u) ∈ C para todo t ≥ 0. ii. Para todo x ∈ C, uno tiene C ⊂ clO+ (x). iii. C es maximal con estas propiedades esto es, si C 0 ⊃ C satisface i) y ii) entonces C 0 = C. Lema 4.1 Sea C un conjunto de control de. P . Si el sistema es localmente accesible en. cualquier punto del int(C)entonces para cualquier y ∈ int(C) [6] C = cl(O+ (y)) ∩ O− (y) 26. (4.3).

(35) En particular el sistema es controlable sobre int(C). Teorema 4.1 Sea Σ un sistema de control lineal sobre un grupo soluble G tal que se cumple O+ = O+ (e) es abierto. Para el conjunto de control C = cl(O+ ) ∩ O−. (4.4). de Σ se cumple que: 1. C es cerrado ⇔ O− = G 2. C es abierto ⇔ O+ = G 3. Si G es nilpotente i) C es cerrado ⇔ SpecLy (D)∩ R+ = φ ii) C es abierto ⇔ SpecLy (D)∩ R− = φ iii) C = G ⇔ SpecLy (D)∩ R = {0} . Observación 4.1 Una clase particular de campos de vectores lineales es fácil de calcular a través de un grupo 1-paramétrico de G-automorfismos. Tomemos X ∈ g un campo de vectores invariantes a la derecha y consideremos la solución Xt (g) con la condición inicial g ∈ G. por la invarianza a la derecha, la solución a través de la condición inicial g es proporcionada por la traslación a la derecha por g de la solución Xt (e) = expG (tX) a través del elemento de identidad. En otras palabras. Xt (g) = expG (tX)g.. (4.5). Donde, expG : g → G es la aplicación exponencial. Por lo tanto, X define por conjugación un grupo de 1-paramétrico de automorfismo de la siguiente manera ϕt (g) = Xt (e) g X−t (e), g ∈ G, y ϕt ∈ Aut(G) para algún t ∈ R.. (4.6). Por lo tanto, es posible calcular el campo vectorial lineal como. X (g) = (. d )t=0 Xt (g). dt. La derivación asociada D : g → g es D = −[X , Y ], Y ∈ g. 27. (4.7).

(36) Ejemplo 4.1 Considere el grupo afı́n soluble x y G= :x>0yy∈R 0 1 Con álgebra de Lie g = Span{X, Y } y [X, Y ] = Y. Es fácil mostrar que ∂g se da solo por derivación interna con la forma: 0 0 ∂g = D = : a, b ∈ R . a b El campo de vectores X asociado a D esta dado por 0 a(x − 1) + by X (x, y) = . 0 0 Sea. P. el sistema lineal transitivo en G definido por ġ(t) = X (g(t)) + u(t)X(g(t)), u ∈ U. Donde, D = ad(Y ) viene de a = −1 y b = 0. Dado ad(Y )X = −Y entonces Span {X, DX} = g. Ası́, Σ satisface la ad-condición del rango, O+ es abierto. Además, G es soluble por lo tanto, el conjunto de control Ce es el único con interior no vacı́o . Resulta que, g+ = g− = 0 ⇒ g0 = g.. (4.8). G+,0 = G ⊂ O+ y G−,0 = G ⊂ O− ⇒ Ce = G.. (4.9). Ası́,. Como conclusión, el sistema es controlable desde la identidad por la proposición anterior. Ejemplo 4.2 Sea g = RX + RY + RZ el álgebra de Lie del grupo G de Heisenberg el cual es conexo y simplemente conexo.     1 x z   3   0 1 y G= g= : (x, y, z) ∈ R   0 0 1 de dimensión 3. El generador de g son provistos por X=. ∂ ∂ ∂ ∂ ,Y = +x y Z= . ∂x ∂y ∂z ∂z. 28.

(37) El único corchete de Lie que no es 0 es [X, Y ] = Z. Cualquier derivación D es representada por una matriz de parámetros reales en la base {X, Y, Z} como sigue    0  a b    c d 0 ∂g= : a, b, c, d, e, f ∈ R .   e f a+d Además, para la derivación D el campo vectorial lineal asociado X = X D se da explı́citamente en (Jouan, 2011) por: X (g) = (ax + by). ∂ 1 1 ∂ ∂ + (cx + dy) + (ex + f y + (a + d)z + cx2 + by 2 ) . ∂x ∂y 2 2 ∂z. Consideremos el sistema lineal Σ con la derivación D determinado por los siguientes coeficientes a = d = −1, b = 1, c = −1, e = f = 0 y los vectores de control X y Z, ġ(t) = X (g(t)) + u1 (t)X(g(t)) + u2 (t)Z(g(t)), u ∈ U, con Ω = [−1, 1] . Tenemos, SpecLy (D) = {−1, −2} . Ası́, g−,0 = g− = g y g+,0 = 0 ambos son ideales de g. Por otra parte, Span {X, Z, D(X) = X − Y } = g. Se concluye que la órbita positiva es un conjunto abierto Ejemplo 4.3 En el grupo rotacional S0(3, R) con el álgebra de Lie s0(3, R) la matriz real sesgada-simétrica de la orden tres g = Span {X, Y, Z} considere el sistema lineal ġ(t) = X (g(t)) + u1 (t)X(g(t)) + u2 (t)Y (g(t)), u ∈ U, conΩ = R, donde X = ad(X). El sistema es controlable desde la identidad. En efecto, el grupo de rotaciones es compacto y el álgebra de Lie del sistema coincide con G [11] Ejemplo 4.4 Tomemos el sistema lineal Σ en el grupo de Heisenberg G como en el ejemplo 4, 2 pero con una dinámica diferente ġ(t) = X (g(t)) + u1 (t)(X − Y )(g(t)) + u2 (t)(X + Y + Z)(g(t)), u ∈ U, con Ω = [−1, 1] Donde la derivación D es proporcionado por a = 1, d = −1 y b = c = e = f = 0. Por lo tanto, D(X − Y ) = X + Y . Asi, Span {X − Y, Z, X + Y } = g y O+ es un conjunto abierto. 29.

(38) Si restringimos Σ en el plano R2 = Span {X, Y } tenemos un clásico sistema lineal en el espacio vectorial ΣR2 ẋ 1 0 x 1 = + u; ẏ 0 −1 y 1. u∈U. Ω = [−1, 1]. El cual satisface el [12], O+ = R×(−1, 1) y O− =(−1, 1) × R. Por lo tanto, el conjunto de control Ce restringido al plano es acotado.. (Ce )R2 = (−1, 1) × [−1, 1] ,. ver [4] .. sin embargo, Ce no puede ser acotado. A pesar de que g+,0 = Span {X, Z} y g−,0 = Span {Y, Z} son ideales, la derivación D = diag(1, −1, 0) es hiperbólico en el plano, no en G. Ce = (−1, 1) × [−1, 1] × (1, 1, 1)R. 30.

(39) Conclusiones 1. En esta tesis, hemos desarrollado el concepto de controlabilidad y de los conjuntos de control de los sistemas lineales en espacios Euclidianos y en grupos de matrices solubles. Se ha podido comprobar que la clase de los sistemas sobre grupos de matrices, generaliza perfectamente la clase de los sistemas de control lineal en Rn . 2. Se han obtenido generalizaciones tanto para controlabilidad como para los conjuntos de control extendiendo los resultados clásicos de Kalman y de Colonius Kliemann, respectivamente. 3. Por otra parte, esta teorı́a está lejos de un entendimiento completo. Se sabe muy poco de los conjuntos de control para sistemas lineales sobre grupos semisimples. Ası́ como, existe todo un camino de investigación y de problemas abiertos a los cuales el grupo de investigación en el cual el mentor que asesora el Proyecto de Investigación “Sistemas de control sobre grupos de matrices”, está abocado.. 31.

(40) Bibliografı́a [1] Ayala, V. y Da Silva, A. (2016). Control sets of linear systemson Lie groups. Nonlinear Differential Equations and Applications DOI 10.1007/s00030-017-0430-5. [2] Ayala, V., Tirao, J.: Linear control systems on Lie groups and controllability. In: Ferreyra, G. et al. (eds.) Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Am.Math. Soc., vol. 64, pp. 47-64. 2009. Providence, RI (1999) [3] Ayala, V., y Todco, M. T. (2018). Boundedness control sets for linear systems on Lie groups. Open Mathematics, 16(1), 370-379. [4] Ayala, V.,Roman-Flores, H.(2017). Algunos aspectos matemáticos de la clase de sistemas de control lineales vı́a un problema de optimización. Instituto de Alta Investigación. Universidad de Tarapacá. Arica.Chile [5] Colonius, F., y Kliemann, W. (2014). Dynamical systems and linear algebra (Vol. 158). American Mathematical Society. [6] Colonius, Fritz y Kliemann, Wolfgang (2000). The dynamics of control. Systems Control: Foundations and Applications. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA. [7] Curtis, M. L. (2012). Matrix groups. Springer Science and Business Media. [8] Isidori, A. (2013). Nonlinear control systems. Springer Science and Business Media. [9] L. S.Pontryagin, V. G. Boltyanskii, R.V. Gamkrelidze and Mishchenko, E. F (1961) Mateematicheskaya teoriya optimal nykh prozessov. Fizmatgiz, Moscow. Translated into English. The Mathematical Theory of Optimal Processes. John Wiley and sons(Interscience publishers), New York, 1962. Translated into German. Mathematische Theorie optialer Prozesse. AKademie-Verlag, Leipzig, 1964. Second revised German edition, Olden-bourg, Munchen, 1967 [10] San Martin, L. A. B.(2010). Algebras de Lie, Second Edition, Editora Unicamp... 32.

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(42)