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• Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas susResolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus
soluciones.
soluciones.
•
• Los métodos deLos métodos de igualación, sustitución y reducciónigualación, sustitución y reducción consistenconsisten
en encontrar y resolver, para cada una de las
en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas.incógnitas.
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• A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través deA estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de
una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se
una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se
van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones
van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones
previas.
previas.
•
• Los métodos de igualación, sustitución, reducción y GaussLos métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss
se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones
se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones
compatibles determinados e indeterminados.
compatibles determinados e indeterminados.
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• Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobarEstos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar
si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de
si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de
cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese
cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese
incompatible, a una igualdad que es falsa,
incompatible, a una igualdad que es falsa, por eemplo!por eemplo!
"#$R%&'(("
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)#
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• Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas susResolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus
soluciones.
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• Los métodos deLos métodos de igualación, sustitución y reducciónigualación, sustitución y reducción consistenconsisten
en encontrar y resolver, para cada una de las
en encontrar y resolver, para cada una de las incógnitas.incógnitas.
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• A estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través deA estas ecuaciones, con solo una incógnita, se llega a través de
una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se
una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se
van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones
van obteniendo tienen menos incógnitas que las ecuaciones
previas.
previas.
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• Los métodos de igualación, sustitución, reducción y GaussLos métodos de igualación, sustitución, reducción y Gauss
se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones
se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones
compatibles determinados e indeterminados.
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• Estos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobarEstos mismos métodos también pueden utilizarse para comprobar
si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de
si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilización de
cualquiera de ellos conduciría, en el caso de que el sistema fuese
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incompatible, a una igualdad que es falsa,
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• (onsiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para(onsiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para
reducir el nmero de incógnitas -asta llegar a a ecuaciones con
reducir el nmero de incógnitas -asta llegar a a ecuaciones con
solo una incógnita.
solo una incógnita.
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• umar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuaciónumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación
cuyo miembro derec-o /izquierdo0 es la suma de los miembros
cuyo miembro derec-o /izquierdo0 es la suma de los miembros
derec-os /izquierdos0 de las ecuaciones que se suman por algo
derec-os /izquierdos0 de las ecuaciones que se suman por algo
que sabe venom.
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•
*+$%&% &E RE&'((")#
1A%!
2. e preparan las dos ecuaciones, multiplic3ndolas por los nmeros que convenga.
4. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 5. e resuelve la ecuación resultante.
6. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.
*+$%&% &E RE&'((")#
Eemplo 2!
58 9 6y: ;< 48 = 6y: 2<
En este caso lo m3s f3cil sería suprimir la >y?, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones @ pero optaremos por suprimir la >8?, para que veamos meor el proceso.
58 9 6y: ;< 48 = 6y: 2< 84 /;50 <8 9 By: ;24 ;<8 9 24y: ;6B
*+$%&% &E RE&'((")#
Restamos y resolvemos la ecuación! <8 9 By: ;24 ;<8 9 24y: ;6B ;4Cy : ;<C y : ;<CD;4C y: 5ustituimos el valor de >y? y en la segunda ecuación inicial.
48 = 65: 2< 48 = 24: 2< 48: 6 8: 4 olución!
*+$%&% &E RE&'((")#
Eemplo 4!
48 = Fy : 24 58 = 7y: F
• El primer paso consiste en multiplicar cada ecuación por un nmero conveniente para que quede después una variable multiplicada por el mismo nmero cambiado de signo.
*+$%&% &E RE&'((")#
1aso 2!48 = Fy : 24
58 = 7y: F /;504
• *ultiplicamos la primera ecuación por ;5 y la segunda por 4.
1aso 4!
<8 ; 42y : ;5<
<8 = 2Cy: 26 • umamos término a término. • #os queda una ecuación con
una sola incógnita. ;22y: ;44
*+$%&% &E RE&'((")#
1aso 5!• Resolvemos la ecuación y tenemos la solución de una de las incógnitas.
1aso 6!
• ustituimos en una de las dos ecuaciones iniciales.
;22y: ;44 y: ;44
;22 : 4
• En 48 = Fy: 24 sustituimos >y? por 4 y resolvemos!
48 = 26: 24 48:24;26: ;4
Luego 8: ;2
• 1or tanto la solución del sistema es!
*+$%&% &E '$"$'(")#
1A%!
2. e despea una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
4. e sustituye la e8presión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita /esto en el caso de ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas0, si el sistema posee mas de dos incógnitas se va despeando una incógnita diferente por ecuación y luego se va sustituyendo sucesivamente a Hn de que la ecuación Hnal posea una sola incógnita.
5. e resuelve la ecuación resultante, despeando la incógnita e8istente.
6. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparece la incógnita despeada.
Eemplo 2!
58 9 6y: ;< 48 = 6y: 2<
1aso #I C2! &espeamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones que conforman el sistema, por lo general tiende a
despearse la incógnita que tenga coeHciente numérico mas bao, mas sin embargo es una opinión y este criterio no es limitativo.
En nuestro caso se decidió despear de la segunda ecuación /48 = 6y : 2<0 la variable 8, quedando de la siguiente manera!
*+$%&% &E '$"$'(")#
1aso #I C4! ustituimos en la otra ecuación que conforma el sistema, la variable 8 por el valor obtenido del paso #I C2 /8 : B 9 4y0.
58 9 6y : 9< J 5/B 9 4y0 9 6y : 9< J 46 9 <y 9 6y : 9< J 46 9 2Cy : 9<
1aso #I C5! Resolvemos la ecuación obtenida a Hn de despear la incógnita.
46 9 2Cy : 9< J y:/;< ;460D2C J y : 5
1aso #I C6! ustituimos el valor obtenido /1aso #I C50 en la variable despeada /1aso #I C20.
8 : B 9 4y@ con y : 5 implica que! 8 : B 9 4/50 J 8 : B 9 < J 8 : 4
1aso #I C7! Los valores que constituyen la solución del sistema son! 8:4 y:5.
(omprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda@
58 9 6y : 9< J 5/40 9 6 /50 : 9< J < 9 24 : 9 < J 9 < : 9 < oK.
1rocedimiento a seguir!
2.; e despea la misma incógnita en ambas ecuaciones /en caso de ser un sistema con dos ecuaciones0.
4.; e igualan las e8presiones, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita.
5.; e resuelve la ecuación a Hn de conocer la incógnita.
6.; El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema, en las que aparecía despeada la otra incógnita.
7.; Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de "'ALA(")#.
58 9 6y : ;< 48 = 6y : 2<
1aso #I C2! &espeamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso despearemos la variable 8.
1aso #I C4! e igualan ambas e8presiones despeadas /obtenidas en el paso #I C20.
1aso #I C5! e resuelve la ecuación a Hn de obtener la incógnita.
*+$%&% &E "'ALA(")#
58 9 6y: ;< 48 = 6y: 2< 8 :6D5y 9 4 8: B 9 4y B 9 4y : 6D5y 9 4 y : 5 B 9 4y : 6D5y 9 4 *ultiplicamos la
ecuación por 5 46 9 <y : 6y
1aso #I C6! El valor obtenido se sustituye en cual quiera de las ecuaciones despeadas en el paso #I C2 a Hn de conocer la incógnita restante.
8: B 9 4y J 8: B 9 4/50 J 8 : 4
1aso #I C7! Los valores que constituyen la solución del sistema son! 8:4 y:5.
(omprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda@
58 9 6y : 9< J 5/40 9 6 /50 : 9< J < 9 24 : 9 < J 9 < : 9 < oK.
(RA*ER
El método de (ramer es un teorema del 3lgebra lineal que da
la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de
determinantes
.
e aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones
siguientes!
•
El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incógnitas.
•
El determinante de la matriz de los coeHcientes es distinto
de cero.
(RA*ER
2 2 ;2 6 ;2 7 4 4 ;5 3 1 -1 4 -1 5 &2. e coloca las cantidades que representan cada incógnita! 8, y, z.
4. Los valores de las dos primeras líneas se vuelven colocar por debao del ultimo renglón. 5. Los valores que est3n debao de cada línea roa
se multiplicara y se sumara o restara a los valores de las otras líneas roas obteniendo un resultado.
6. Así mismo se efectuara el paso 5N a las líneas verdes rest3ndoselo al valor roo.
#%$A! " &A >C? "#"O"(A P'E EL "$E*A $"E#E "#O"#"$A %L'("%#E % #% $"E#E.
(RA*ER
F 2 ;2 6 ;2 7 C 4 ;5 7 1 -1 4 -1 52. e colocan los valores del resultado en la primera columna.
4. Los valores de y, z en la segunda y tercer columna.
5. Aplicamos la regla de cramer, cruzamos líneas y obtenemos el resultado.
(RA*ER
2 F ;2 6 6 7 4 C ;5 1 7 -1 4 4 52. e colocan los valores de la primera incógnita en la primer columna,
4. En la siguiente columna los valores del resultado y en la ultima los valores del la ultima incognita.
5. Aplicamos la regla de cramer, cruzamos líneas y obtenemos el resultado.
(RA*ER
2 2 F 6 ;2 6 4 4 C 1 1 7 4 -1 42. e colocan los valores de la primera incógnita en la primer columna.
4. En la siguiente columna los valores de la segunda incognita y en la ultima los valores del resultado.
5. Aplicamos la regla de cramer, cruzamos líneas y obtenemos el resultado.
(RA*ER
A-ora bien, los valores de las determinantes vamos a utilizar para encontrar la equivalencia de las incógnitas en el sistema de ecuación.
*+$%&% &E A'
El método de Gauss para resoler sistemas de ecuaciones es, en cierta !orma, una generali"ación del tradicional
método de reducción#
$onsiste en tra%a&ar directamente con los coe'cientes del sistema escritos en un cuadro, es decir, una matri", de
!orma (ue cada 'la contiene los coe'cientes de las
incógnitas y del término independiente de cada ecuación# )ara utili"ar el método de Gauss se reali"an unas
trans!ormaciones en las 'las de esa matri" *asta (ue
conseguimos (ue los elementos por de%a&o de la diagonal principal sean todos nulos#
