FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA PROBLEMAS DE REDES

FORMULACIÓN DE

MODELOS DE

PROGRAMACIÓN

ENTERA

PROBLEMAS DE REDES

Postgrado de Investigación de Operaciones

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

• Una red consiste en una serie de nodos conectados por arcos que también se denominan conexiones o líneas.

• Existen redes físicas (carreteras, comunicaciones,

oleoductos, etc.) y sistemas que pueden

representarse como redes:

– Los nodos representan estados de un sistema, finalización de una operación, un período de tiempo,…

– Los arcos representan órdenes de precedencia entre operaciones,…

• Gráficamente, las redes se representan:

– Nodos mediante círculos.

– Arcos mediante líneas.

– Dirección del arco mediante puntas de flecha. Modelos de redes

Nodos Arcos

10

Funciones en los arcos

Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos de redes.

Dadas ciertas condiciones en los datos, el resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución.

Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática.

¿Por qué un experimento?

Problema de

Transporte

Problema de

Transbordo

Problema de

Asignación

Problema de la

Ruta más Corta

Problema del

Flujo con Costo

Mínimo

Problema del

Flujo Máximo

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes, con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.

Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción S_i . Se tienen n destinos. Cada destino j demanda D_j.

OBJETIVO. Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.

1

2

…

n

Recursos

1

c11

c12

…

c1n

s1

Origen 2

c21

c22

…

c2n

s2

…

…

…

…

…

m

cm1

cm2

…

cmn

sm

Demanda

d1

d2

…

dn

Destino

Costo por unidad distribuida

⋮

S₁ [

s

s

s

d

d

d

.

y

para

,

0

,

,...,

2

,

1

para

,

,...,

2

,

1

para

a

sujeta

min

j

i

x

n

j

d

x

m

i

s

x

x

c

Z

≥

=

=

=

=

=

∑

∑

∑ ∑

.

y

para

,

0

,

,...,

2

,

1

para

,

,...,

2

,

1

para

a

sujeta

min

j

i

x

n

j

d

x

m

i

s

x

x

c

Z

≥

=

=

=

=

=

∑

∑

∑ ∑

1. La oferta total no es igual a la demanda

total

2. Maximización en lugar de minimización

3. Capacidades en las rutas o mínimos en las

rutas

4. Rutas inaceptables

La farmacéutica Carlton abastece de

drogas y otros suministros médicos. Esta

tiene tres plantas en: Cleveland, Detroit,

Greensboro. Tiene cuatro centros de

distribución

en:

Boston,

Richmond,

Atlanta, St Louis. La gerencia de Carlton

desea

realizar

el

transporte

de

sus

productos de la manera más económica

posible.

Boston Richmond Atlanta St.Louis Origenes Cleveland Detroit Greensboro S₁=1200 S₂=1000 S = 800 D₁=1100 D₂=400 D₃=750 D₄=750

Ejemplo 1. Red del problema

La estructura del modelo es la siguiente: Minimizar <Costo total de transporte> sujeto a :

cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica

cantidad a recibir por la distribuidora =

demanda de la distribuidora.

Variables de decisión:

X_ij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j

donde i = 1 (Cleveland), 2 (Detroit), 3 (Greensboro) j = 1 (Boston), 2 (Richmond), 3 (Atlanta),

Boston Richmond Atlanta St.Louis D₁=1100 D₂=400 D₃=750 D₄=750 Cleveland O₁=1200 X11 X12 X13 X14 Detroit O₂=1000 X21 X22 X23 X24 Greensboro O = 800 X31 X32 X33 X34

Minimizar 35X11+30X12+40X13+ 32X14 +37X21+40X22+42X23+25X24+ 40X31+15X32+20X33+38X34 ST Restricciones de la oferta X11+ X12+ X13+ X14 1200 X21+ X22+ X23+ X24 1000 X31+ X32+ X33+ X34 800 Restricciones de la demanda: X11+ X21+ X31 1100 X12+ X22+ X32 400 X13+ X23+ X33 750 X14+ X24+ X34 750

Todos los Xij mayores que cero

= = = = = = = Ejemplo 1. Modelo matemático completo

Se transporta un producto desde 3 plantas hasta

4 centros de distribución:

Origen

Planta

Capacidad

de

Producción en 3

meses (unidades)

1

Cleveland

5000

2

Bedford

6000

3

York

2500

Total

13 500

Origen Boston Chicago St Louis Lexigton Producción Cleveland 3 2 7 6 5000 Bedford 7 5 2 3 6000 York 2 5 4 5 2500 Demanda 6000 4000 2000 1500 13500 13500 Costo por unidad distribuida

Destino

O1 [5000] O2 [6000] O3 [2500] D1 [6000] [4000] [2000] [1500] D2 D3 D4 2 4 5 Plantas Nodos de Origen Centros de Dist. Nodos de Destino Rutas de Distribución Arcos

Sea Z el costo total de transporte y sea x_ij (i=1,2,3;j=1,2,3,4) el

número de unidades transportadas de la enlatadora i al almacén j.

Max

Sujeta a las restricciones

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 11 21 31 12 22 32 13 23 33 Z 3x 2x 7x 6x 7x 5x 2x 3x 2x 5x 4x 5x x x x x 5000 x x x x 6000 x x x x 2500 x x x 6000 x x x 4000 x x x = + + + + + + + + + + + + + + = + + + = + + + = + + = + + = + + = 14 24 34 ij 2000 x x x 1500 x 0 (i 1,2,3;j 1,2,3,4) + + = ≥ = = Max

Sujeta a las restricciones

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 11 21 31 12 22 32 13 23 33 Z 3x 2x 7x 6x 7x 5x 2x 3x 2x 5x 4x 5x x x x x 5000 x x x x 6000 x x x x 2500 x x x 6000 x x x 4000 x x x = + + + + + + + + + + + + + + = + + + = + + + = + + = + + = + + = 14 24 34 ij 2000 x x x 1500 x 0 (i 1,2,3;j 1,2,3,4) + + = ≥ = =

Origen

Boston

Chicago

St Louis Lexigton Producción

Cleveland

3500

1500

0

0

5000

Bedford

0

2500

2000

1500

6000

York

2500

0

0

0

2500

Demanda

6000

4000

2000

1500

39500

Unidades que se envían

Destino

Origen

Boston

Chicago

St Louis Lexigton Producción

Cleveland

3500

1500

0

0

5000

Bedford

0

2500

2000

1500

6000

York

2500

0

0

0

2500

Demanda

6000

4000

2000

1500

39500

Unidades que se envían

Destino

COSTO

La

corporación

Versatech

producirá

tres

productos nuevos. En este momento, cinco de

sus plantas tienen exceso de capacidad de

producción. El costo unitario respectivo de

fabricación del primer producto será de $31,

$29, $32, $28 y $29, en las plantas 1, 2, 3, 4 y 5.

El costo unitario respectivo de fabricación del

segundo producto será de $45, $41, $46, $42 y

$43 en las plantas respectivas 1, 2, 3, 4 y 5; y

para el tercer producto será de $38, $35 y $40

en las plantas respectivas 1, 2 y 3, pero las

plantas 4 y 5 no pueden fabricar este producto.

Los pronósticos de ventas indican que la

producción diaria debe ser 600, 1000 y 800

unidades

de

los

productos

1,

2

y

3,

respectivamente. Las plantas 1, 2, 3, 4 y 5

tienen capacidades para producir 400, 600,

400, 600 y 1000 unidades diarias; sin importar

el producto o combinación de productos.

Suponga que cualquier planta que tiene

capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá

producir

cualquier

combinación

de

productos en cualquier cantidad.

La

gerencia

desea

asignar

los

nuevos productos a las plantas con

el

mínimo

costo

total

de

fabricación.

1

2

3

Planta 1

$31

$45

$38

400

Planta 2

$29

$41

$35

600

Planta 3

$32

$46

$40

400

Planta 4

$28

$42

-

600

Planta 5

$29

$43

-

1000

Pr Diaria

600

1000

800

3000

Capacidad

2400

Origen

Tipo de Producto

Tabla de Costos

Destino

1

2

3

Planta 1

$31

$45

$38

400

Planta 2

$29

$41

$35

600

Planta 3

$32

$46

$40

400

Planta 4

$28

$42

-

600

Planta 5

$29

$43

-

1000

Pr Diaria

600

1000

800

3000

Capacidad

2400

Origen

Tipo de Producto

Tabla de Costos

Destino

1 2 3 Planta 1 0 0 200 200 <= 400 Planta 2 0 0 600 600 <= 600 Planta 3 0 0 0 0 <= 400 Planta 4 600 0 0 600 <= 600 Planta 5 0 1000 0 1000 <= 1000 Pr Diaria 600 1000 800 $88,400.00 = = = 600 1000 800 Costo Mínimo Destino Origen Capacidad Tipo de Producto

Tabla Cantidades (asignaciones a cada planta)

La compañía Move-It tiene dos plantas que producen montacargas que se mandan a tres centros de distribución. Los costos de producción unitarios son los mismos para las dos plantas y los costos de transporte (en cientos de dólares) por unidad para todas las combinaciones de planta y centro de distribución se muestran en la tabla anexa. Se debe producir y mandar un total de 60 unidades por semana. Cada planta puede producir y mandar cualquier cantidad hasta un máximo de 50 unidades a la semana, de manera que hay una gran flexibilidad para dividir la producción total entre las dos plantas y reducir los costos de transporte.

El objetivo de la gerencia es determinar cuánto se debe producir en cada planta y después, cuál debe ser el patrón de embarque de manera que se minimice el costo total de transporte

Ejemplo 4. Problema Move-It

1 2 3 Planta A $800 $700 $400 50 Planta B $600 $800 $500 50 Dist. Sem. ? ? ? Suma Destino Centro de Distribución Tabla de Costos de Transporte

Origen 100 Capacidad 60 1 2 3 Planta A $800 $700 $400 50 Planta B $600 $800 $500 50 Dist. Sem. ? ? ? Suma Destino Centro de Distribución Tabla de Costos de Transporte

Origen

100 Capacidad

1 2 3 Planta A $800 $700 $400 50 Planta B $600 $800 $500 50 Dist. Sem. ? ? ? Suma Destino Centro de Distribución Tabla de Costos de Transporte

Origen 100 Capacidad 60 1 2 3 Planta A 0 0 50 50 <= 50 Planta B 0 0 10 10 <= 50 Dist. Sem. 0 0 60 $25,000.0

Suma COSTO Min.

= 60 60 Origen Destino Capacidad Centro de Distribución

Cantidades por planta

Resolver el problema de Move-It si

cualquier centro de distribución puede

recibir cualquier cantidad entre 10 y 30

montacargas por semana para reducir

más el costo total de envío, siempre que

el envío total a los tres centros sea igual

a 60 montacargas por semana.

1 2 3 Planta A $800 $700 $400 50 Planta B $600 $800 $500 50 Dist. Sem. 10-30 10-30 10-30 Suma Destino Centro de Distribución Tabla de Costos de Transporte

Origen 100 Capacidad 60 1 2 3 Planta A 0 10 30 40 <= 50 Planta B 20 0 0 20 <= 50 Dist. Sem. 20 10 30 $31,000.0 >=10 >=10 >=10 COSTO Min. <=30 <=30 <=30 Suma = 60 Origen Destino Capacidad Centro de Distribución

Cantidades por planta

El modelo matemático clásico de transporte hace varias suposiciones simplificatorias. Entre las más importantes están:

• Supone que los costos de envío son proporcionales a las cantidades que se envían.

• Supone que se puede enviar cualquier cantidad de mercancía de cada fábrica a cada tienda sujeta solamente a satisfacer las demandas y no exceder las capacidades de producción, no poniéndole restricciones a las capacidades de las rutas de envío.

• Solamente se considera un tipo de mercancía en todo el problema.

• Se suponen nulas las pérdidas de mercancía en cada ruta del transporte.

Una generalización que se le puede hacer al modelo es ponerle restricciones de capacidad

a las rutas de envío para modelar, por

ejemplo, la cantidad de vehículos de

transporte con que se cuenta, o la capacidad

de la infraestructura del transporte (por

ejemplo el ancho de la carretera que limita el número de vehículos que pueden transitar por hora en transporte carretero.) Es así que un

modelo llamado de Transporte Capacitado

satisface las siguientes expresiones

matemáticas:

M N

Minimizar ΣΣΣΣ ΣΣΣΣ Cij xij

j=1 i=1 M sujeto a: ΣΣΣΣ xij = bj , j = 1, 2, ..., N i=1 N ΣΣΣΣ xij = ai , i = 1, 2, ..., M j=1 kij ≥≥≥≥ xij ≥≥≥≥ 0, i = 1, 2, ..., M; j = 1, 2, ..., N

donde kij es la capacidad de transporte de la

ruta de envío que va de la fábrica i a la

tienda j.

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

• El problema de transbordo es un problema de transporte en el que la mercancía, en lugar de ir directamente de origen a destino, puede pasar por unas zonas de trasbordo intermedias.

• El planteamiento general es:

Sujeto a:

Restricciones de oferta:

Restricciones de demanda:

Balance en zonas de transbordo:

m n n K m K ij ij j k j k ik ik i 1 j 1 j 1 k 1 i 1 k 1 M in ( z ) c x c x c x = = = = = = =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

i

j

k

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Se debe minimizar el coste entre los orígenes 1 y 2 y los destinos finales 5,6 y 7; satisfaciendo la demanda.

Oferta máxima Demanda

1 5 6 7 2 3 4 100.000 200.000 65.000 60.000 40.000 Origen 3 4 5 6 7 1 900 2400 - - -2 1200 2700 - - -3 - - 2107 1223 1343 Destinos

Costes de transporte entre los puntos Ejemplo 6. Problema de transbordo

Definición de variables

x_ij Cantidad de producto transportado de i a j donde i = (1, 2), j = (3, 4) x_jk Cantidad de producto transportado de j a k donde j = (3, 4), k = (5, 6, 7)

• Función Objetivo • Restricciones Oferta Transbordo Demanda 3 5 4 5 3 6 4 6 3 7 4 7 6 0 . 0 0 0 4 0 . 0 0 0 6 5 . 0 0 0 x x x x x x + = + = + = 1 3 2 3 3 5 3 6 3 7 1 4 2 4 4 5 4 6 4 7 x x x x x x x x x x + = + + + = + + 1 3 2 3 1 4 2 4 3 5 4 5 3 6 4 6 3 7 4 7 ( ) 9 0 0 1 2 0 0 2 4 0 0 2 7 0 0 2 1 0 7 1 0 9 5 1 2 2 6 1 8 3 3 1 3 4 3 1 3 4 8 M in z x x x x x x x x x x = + + + + + + + + + 1 3 1 4 2 3 2 4 2 0 0 . 0 0 0 1 0 0 . 0 0 0 x x x x + ≤ + ≤

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

n trabajadores deben ser asignados a n

trabajos. Un costo unitario (o ganancia) C

es

asociado al trabajador i que realizará el

trabajo j.

Minimizar el costo total (o maximizar la

ganancia

total)

de

la

asignación

de

trabajadores a sus respectivos empleos que le

corresponde a cada uno, tratando de que esta

asignación sea la óptima posible.

1. El número de asignados es igual al número de tareas (se denota por n). (esto puede variar)

2. Cada asignado se asigna exactamente a una

tarea.

3. Cada tarea debe realizarla exactamente un

asignado.

4. Existe un costo c_ij asociado con el asignado i (i=1,2,…,n).

5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales.

S₁ [1] S₂ [1] S_m [1] D₁ [1] D₂ [1] D_{m [1]} c₁₁ c₁₂ c_1n c₂₁ c₂₂ c_2n c_m1 c_m2 c_mn

).

y

toda

para

binarias,

(

y

para

,

0

,

,...,

2

,

1

para

1

,

,...,

2

,

1

para

1

a

sujeta

min

j

i

x

j

i

x

n

j

x

m

i

x

x

c

Z

≥

=

=

=

=

=

∑

∑

∑∑

).

y

toda

para

binarias,

(

y

para

,

0

,

,...,

2

,

1

para

1

,

,...,

2

,

1

para

1

a

sujeta

min

j

i

x

j

i

x

n

j

x

m

i

x

x

c

Z

≥

=

=

=

=

=

∑

∑

∑∑

Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas. El tiempo para realizar una buena inspección de un área depende de la línea de producción y del área de inspección. La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo.

Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.

Area de Inspección A B C D E 1 10 4 6 10 12 Linea 2 11 7 7 9 14 Ensamble 3 13 8 12 14 15 4 14 16 13 17 17 5 19 17 11 20 19

1

2

3

4

5

Línea de ensamble Área de Inspección

A B C D E S₁=1 S₂=1 S₃=1 S₄=1 D₁₌1 D₂=1 D₃=1 D₄=1

1

2

3

1. Terry

10

15

9

2. Carla

9

18

5

3. Roberto

6

14

3

Jefe

de

Proyecto

Cliente

Tiempos estimados de terminación del

proyecto (días)

J1 [1] J2 [1] J3 [1] C1 [1] [1] [1] C2 C3 18 3 Jefes de Proyecto Nodos de Origen Clientes Nodos de Destino Asignaciones Posibles Arcos

Sea Z el tiempo total de terminación ) 4 , 3 , 2 , 1 ; 3 , 2 , 1 ( 0 1 1 1 1 1 1 3 14 6 5 18 9 9 15 10 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = = ≥ = + + = + + = + + = + + = + + = + + + + + + + + + + = j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z nes restriccio las a Sujeta Max ) 4 , 3 , 2 , 1 ; 3 , 2 , 1 ( 0 1 1 1 1 1 1 3 14 6 5 18 9 9 15 10 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 = = ≥ = + + = + + = + + = + + = + + = + + + + + + + + + + = j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z nes restriccio las a Sujeta Max

Ejemplo 8. Modelo matemático







=

así

es

no

si

cliente

al

proyecto

de

jefe

el

asigna

se

si

0

1

i

j

x

1

2

3

1. Terry

0

1

0

1

=

1

2. Carla

0

0

1

1

=

1

3. Roberto

1

0

0

1

=

1

1

1

1

=

=

=

Costo

26

1

1

1

Asignaciones

Jefe

de

Proyecto

Cliente

El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignar cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes.

Carlos Cristy David Antony José

Dorso 37.7 32.9 33.8 37 35.4

Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8

Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6

Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1

Tiempo de Nado

Carlos

Cristy

David Antony

José

Dorso

0

0

1

0

0

1

=

1

Pecho

0

0

0

1

0

1

=

1

Mariposa

0

1

0

0

0

1

=

1

Libre

1

0

0

0

0

1

=

1

1

1

1

1

0

<=

<=

<=

<=

<=

1

1

1

1

1

TIEMPO Min.

Tiempo de Nado

126.2

GENERALIZED ASSIGNMENT PROBLEM.

Se tiene un conjunto J={1,2,..,n} de índices de los trabajos a realizar y otro conjunto I={1,2,..,m} de personas para realizarlos. El coste (o valor) de asignar la persona i al trabajo j viene dado por cij. Además se tiene una disponibilidad bi de recursos de la persona i (como por ejemplo horas de trabajo) y una cantidad aij de recursos de la persona i necesarias para realizar el trabajo j. Con todo esto, el problema consiste en asignar las personas a los trabajos con el mínimo coste (o el máximo valor).

Al igual que en los otros modelos de asignación vistos, se introducen variables xij que valen 1 si la persona i se asigna al trabajo j y 0 en otro caso.

Problema de la asignación generalizada

{ }

min

c x

s.a.

a x

b

i

1,...,m

x

1

j

1,...,n

x

0,1 , i

1,...,m j

1,...,n

≤

=

=

=

∈

=

=

∑ ∑

∑

∑

En este modelo de asignación se puede asignar una persona a más de un trabajo, respetando obviamente las limitaciones en los recursos.

Algunas de las aplicaciones mas relevantes son:

– • Asignación de clientes a camiones (de reparto o recogida) de mercancías.

– • Asignación de tareas a programadores.

– • Asignación de trabajos a una red de computadores.

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo, entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n.

Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, d_ij . Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.

LINEAS FAIRWAY VAN

Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.

Salt Lake City 1 2 3 ₄ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 El Paso Seattle Boise Portland Butte Cheyenne Reno Sac. Bakersfield Las Vegas Denver Albuque. Kingman Barstow Los Angeles Tucson Phoenix 599 691 497 180 432 345 440 102 452 621 420 526 138 291 280 432 108 469 207 155 114 386 403 118

Solución - Analogía de un problema de

programación lineal

Variables de decisión

X

= 1 si un transporte debe viajar por la

carretera que une la ciudad i con la ciudad j.

0 En cualquier otro caso

Objetivo = Minimizar S d

X

7

2

Salt Lake City 1 3 4 Seattle Boise Portland 599 497 180 432 345 Butte

[El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1 X12 + X13 + X14 = 1

De una forma similar:

[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1 X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1

[El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4): X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.

Sujeto a las siguientes restricciones

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

•

Son una generalización de los problemas

de transporte y transbordo.

•

Consiste

en

“transportar”

una

cierta

cantidad de “producto” de unos orígenes a

unos destinos. El paso por cada arco

origina un costo. Se debe minimizar la

suma de los costos.

• Se debe minimizar el costo entre los orígenes 1 y 2 y los destinos 9,8 y 10 1 3 9 5 6 8 2 4 7 10 50 67 20 52 45 6 3 10 8 4 5 3 2 2 3 7 6

• El planteamiento sería: • Sujeto a: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. No negatividad: x_ij ≥0 1 3 2 4 3 9 3 6 4 5 4 7 5 6 6 8 6 9 6 1 0 7 5 7 6 M i n ( z ) = 6 x + 3 x + 1 0 x + 8 x + 5 x + 3 x + 4 x + 7 x + 3 x + 6 x + 2 x + 2 x 1 3 2 4 1 3 3 9 3 6 2 4 4 5 4 7 4 5 7 5 5 6 3 6 5 6 7 6 6 8 6 9 6 1 0 4 7 7 5 7 6 6 8 3 9 6 9 6 1 0 - x = - 5 0 - x = - 6 7 x - x - x = 0 x - x - x = 0 x + x - x = 0 x + x + x - x - x - x = 0 x - x - x = 0 x = 5 2 x + x = 2 0 x = 4 5

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

Consiste en planificar los flujos a través de una red de manera que se maximice el volumen de mercancía en circulación, teniendo en cuenta que existen restricciones de flujo máximo y, posiblemente de flujo mínimo en cada uno de los arcos.

2 5 7

1 3 9

4 6 8

Placa Principal Inst. Opciones Test

Grafo del problema

Capacidades máximas Nodo Capacidad 1 30 2 20 3 15 4 10 5 18 6 25 7 10 8 12

• La formulación del problema sería: Max (z) = x₇₉ + x₈₉ • Sujeto a: Balance de flujos: 2) x₁₂ – x₂₅ = 0 3) x₁₃ – x₃₅ – x₃₆ = 0 4) x₁₄ – x₄₆ = 0 5) x₂₅ + x₃₅ – x₅₇ = 0 6) x₃₆ + x₄₆ – x₆₇ – x₆₈ = 0 7) x₅₇ + x₆₇ – x₇₉ = 0 8) x₆₈ – x₈₉ = 0

Restricciones de flujo máximo: 1) x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ ≤ 30 2) x₂₅ ≤ 20 3) x₃₆ + x₃₅ ≤ 15 4) x₄₆ ≤ 10 5) x₅₇ ≤ 18 6) x₆₇ + x₆₈ ≤ 25 7) x₇₉ ≤ 10 8) x₈₉ ≤ 12 No negatividad: x_ij ≥0

1. Problemas de redes

2. Transporte

3. Transbordo

4. Asignación

5. Ruta más corta

6. Flujo con costo mínimo

7. Flujo máximo

8. Red PERT

• Los proyectos se descomponen en un conjunto de actividades que deben realizarse en un orden determinado.

• El proyecto puede representarse como un grafo, donde cada nodo representa una tarea y cada arco representa una relación de precedencia entre dos trabajos. La distancia entre los nodos será el tiempo previsto que se empleará en pasar de una tarea a otra.

• Un problema de gran interés es determinar el camino crítico que consiste en calcular el camino más largo que permite atravesar la red o completar el proyecto.

• Esto permitirá calcular cuál va a ser la duración total del proyecto y detectar las fases críticas (aquellas que condicionan la duración del mismo).

• El planteamiento es idéntico al de camino más corto, sólo que la función objetivo será una de maximización.

• El planteamiento sería: Max (z) = 5x₁₂ + 4x₁₃ + 6x₂₄ + 3x₂₅ + 2x₃₂+ 4x₃₅ +4x₄₆ + 2x₅₆ • Sujeto a: 1) - x₁₂ – x₁₃ = -1 2) x₁₂ + x₃₂ – x₂₄ – x₂₅ = 0 3) x₁₃ – x₃₂ – x₃₅ = 0 4) x₂₄ – x₄₅ – x₄₆ = 0 5) x₂₅ + x₄₅ + x₃₅ – x₅₆ =0 6) x₄₆ + x₅₆ =1 2 ₄ 5 6 3 6 4 5 4 4 2 1 3 2

Pensamiento de hoy

“Los gerentes no controlan la

realidad, sino los modelos o

representaciones de ésta”.