1
Cálculo óptimo de frecuencias y capacidad con mínimo consumo
energético en líneas de transporte público por ferrocarril
Autor: Miguel Ramos Mate
Tutor: Dr. José David Canca Ortiz
Departamento de Organización Industrial y
Gestión de Empresas I
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla 2016
3
Cálculo óptimo de frecuencias y capacidad con
mínimo consumo energético en líneas de
transporte público por ferrocarril
Autor:
Miguel Ramos Mate
Tutor:
Dr. José David Canca Ortiz Profesor titular
Departamento de Organización Industrial y Gestión de Empresas I
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
5 Tutor: Dr. José David Canca Ortiz
El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:
Presidente:
Vocales:
Secretario:
Acuerdan otorgarle la calificación de:
Sevilla, 2016
7
Índice
Índice ... 7
Capítulo I. Objetivos ... 9
Capítulo II. Introducción a la planificación ferroviaria ... 10
1. Problemas estratégicos ... 11
1.1 Diseño de Redes (Network Design) ... 11
1.2 Planificación de Líneas (Line Planning) ... 11
2. Problemas tácticos ... 12
2.1 Scheduling y determinación de horarios (Timetabling) ... 12
2.2 Platforming ... 14
2.3 Rolling Stock ... 14
2.4 Crew Scheduling ... 16
2.5 Crew Rostering ... 17
3. Problemas operacionales ... 18
3.1 Planificación operacional de horarios (Re-Scheduling) ... 18
3.2 Planificación operacional de material rodante (Rolling routing) ... 18
3.3 Planificación operacional de la tripulación (Crew Re-Rostering) ... 19
Capítulo III: Estado del arte ... 20
Capítulo IV: Descripción del problema de Timetabling ... 23
Capítulo V. Planteamiento del problema ... 24
Capítulo VI. Descripción de la función consumo energético del tren ... 27
1. Consumo energético por resistencias mecánicas al avance. ... 27
1.1 Resistencia mecánica en recta ... 27
1.2 Resistencia al avance por curva ... 28
2. Consumo energético debido a la resistencia a la entrada de aire ... 28
3. Consumo debido a la resistencia aerodinámica (presión y fricción) ... 29
4. Consumo energético debido a la gravedad ... 30
4.1 Pendiente de equilibrio y energía disipada en el freno ... 30
4.2 Consumo energético por incremento de energía potencial gravitatoria ... 31
5. Consumo asociado al incremento de la energía cinética ... 31
5.1 Velocidad de equilibrio en rampa ... 31
5.2 Consumo por incrementos de velocidad ... 32
6. Balance energético en el tramo ... 32
8
Capítulo VIII. Análisis de los diferentes escenarios ... 47
1. Modelo 1 ... 52 1.1 Escenario 1 ... 52 1.2 Escenario 2 ... 56 1.3 Escenario 3 ... 65 2. Modelo 2 ... 72 2.1 Escenario 1 ... 73 2.2 Escenario 2 ... 77 2.3 Escenario 3 ... 86
Capítulo IX. Conclusiones... 93
Bibliografía ... 94
9
Capítulo I. Objetivos
Uno de los principales problemas de la planificación ferroviaria consiste en tratar de satisfacer la demanda de los usuarios y a su vez tratar de conseguir que este servicio se preste con el menor coste posible. El presente trabajo pretende desarrollar un modelo matemático de optimización que aporte la información necesaria para fundamentar la toma de decisiones dentro del sector ferroviario y concretamente en lo referente a la planificación de los horarios de servicios ferroviarios en redes de ferrocarril, típicamente servicios de cercanías o de metro. Nuestro objetivo es conseguir el plan de circulación de la flota de trenes de la forma más eficiente posible, de forma que el tiempo de espera de los usuarios sea el menor posible y teniendo como objetivo principal minimizar el consumo energético de los trenes y con ellos el coste de operación.
El principal objetivo es minimizar el consumo energético de los trenes, el cual depende de factores intrínsecos del propio tren (masa, coeficiente de resistencia, potencia máxima en llantas…) y otros extrínsecos al propio tren como son las características del trazado de la línea férrea (longitud, pendiente, curvatura y velocidad máxima en cada segmento) y las magnitudes de circulación del tren (velocidad del tren y carga de pasajeros). Y estrechamente relacionado con lo anterior, el modelo nos proporcionará el tamaño de flota y el tiempo promedio de espera y viaje, los cuales queremos minimizar para cumplir con la demanda de los pasajeros.
Pasaremos a plantear y resolver el problema mencionado y en el mismo reflejaremos la posibilidad de obtener diferentes resultados mediante análisis de varios escenarios.
10
Capítulo II. Introducción a la planificación ferroviaria
La planificación de redes y servicios de transporte ferroviario es una actividad de gran complejidad debido a varios factores. La infraestructura necesaria encargada de soportar la correcta prestación de los servicios es la principal característica distintiva en cuanto al resto de tipos de transporte público.
Las grandes inversiones necesarias, en cuanto al desarrollo de infraestructuras se refiere, y la exclusividad de uso, han condicionado de manera importante su expansión y la aparición de nuevos servicios.
El estudio de la planificación del transporte ferroviario trae consigo unos problemas de alta complejidad. Debido a esto, los problemas se organizan de manera jerárquica. A la cabeza de esta jerarquía se encuentran los problemas de tipo estratégico y posteriormente los problemas de tipo operacional que exigen respuestas inmediatas.
Se va a presentar a continuación una tabla resumen de este conjunto de problemas y se va a realizar una breve descripción de cada uno de ellos.
11
1. Problemas estratégicos
1.1 Diseño de Redes (Network Design)
A la hora de realizar el estudio de la planificación de infraestructuras ferroviarias, lo primero que debe realizarse es el diseño de la red.
Resulta muy complejo el diseño de una red partiendo desde cero (el diseño de nuevas líneas de metro, por ejemplo). Normalmente, estos problemas se ciñen a la ampliación o expansión de una red existente, cuya topología debe ser respetada incluso si su evolución no ha sido favorable.
Estas nuevas infraestructuras deben ir de acuerdo a una planificación temporal que tenga en cuenta la disponibilidad de las inversiones. Los aspectos a considerar en este tipo de problemas son los económicos, los relacionados con el coste de la construcción, y los aspectos de tipo técnico, aquellos relativos a la existencia de accidentes geográficos, el tipo del suelo… que pueden condicionar la viabilidad de las nuevas infraestructuras. Otros aspectos a tener en cuenta son los políticos y sociales, que tienen una importante relevancia a la hora de la elección de nuevas soluciones.
No es habitual que las decisiones de diseño sean puramente técnicas, aunque el análisis cuantitativo de este tipo de problemas puede ayudar de forma importante a los encargados de decidir en la selección de un diseño acorde a los aspectos anteriormente mencionados.
Los problemas de tipo estratégicos habitualmente se ven rodeados de muchos aspectos cualitativos, lo que suele conllevar a una toma de decisiones de carácter político.
Los encargados de decidir en esta etapa son aquellos organismos públicos gubernamentales competentes en transporte. En el proceso de decisión suelen intervenir diferentes empresas que se encargan de realizar estudios de esta naturaleza.
1.2 Planificación de Líneas (Line Planning)
Una vez que ya está definida la red de transporte se requiere la especificación de la forma en que debe llevarse a cabo el trasporte de pasajeros o mercancías de manera regular. Hallar el camino de la red y el destino inicial y final de cada servicio es el objetivo principal de esta etapa.
Una habitual discusión cuando se trata un proyecto de ampliación o despliegue de un metro es la conveniencia o no de la puesta en servicio de una nueva línea.
Sin embargo, una vez establecida nuevas líneas y por ende la ampliación de la red con las nuevas infraestructuras, sería sencillo revisar la definición de los servicios
12 a prestar, redefiniendo las líneas, sus longitudes, orígenes y destinos, adaptando la oferta a nuevas realidades en el comportamiento de la demanda.
La solución a este problema consiste en plantear un modelo de optimización con el objetivo de desplazar al mayor número posible de usuarios, desde sus orígenes hasta sus destinos, minimizando el número de transbordos necesarios. Para realizar este proceso se suele contar con una matriz de demanda de transporte en forma de Origen-Destino (matrices cuadradas de dimensión el número de orígenes o destinos –normalmente coinciden- cuyos elementos representan el número de viajeros que se desplazan durante cierto intervalo de tiempo).
Las frecuencias necesarias para cada una de las líneas las suele proporcionar la planificación de las mismas. Este problema se aborda de forma paralela al proceso de selección de las líneas. De manera general, la determinación de líneas se concreta en un problema de selección de líneas de entre un grupo de líneas candidatas, aunque este enfoque tiene algunos problemas.
Del modelador y del decisor depende en gran parte la solución para definir el conjunto de líneas candidatas. Este método facilita enormemente tanto la formulación del modelo de planificación de líneas como el procedimiento de resolución del problema, pero también orienta de forma importante la calidad de la solución encontrada, que en principio estará formada por un conjunto de líneas de entre las definidas.
Cabe citar que la demanda máxima en cada tramo es la que determina la frecuencia de servicio en cada una de las líneas. Por ello, las frecuencias son siempre altas. Esto tiende a empeorar conforme consideramos matrices de demanda correspondientes a períodos más largos. Si se consideran matrices correspondientes a períodos cortos, entonces es difícil que las soluciones encontradas para diferentes períodos coincidan, teniendo que llevar a cabo un procedimiento de ajuste de frecuencias para intervalos consecutivos.
Generalmente, para definir el conjunto de líneas de la red, se emplea una matriz de demanda diaria. Tras ello, se utilizan matrices correspondientes a períodos punta y valle para establecer las frecuencias.
Es importante destacar que se considerarán conocidas las capacidades de las unidades que prestarán el servicio con la finalidad de determinar las frecuencias. De la misma forma que la etapa anterior, la planificación de líneas es un problema estratégico. Los encargados de decidir son los organismos públicos gubernamentales competentes en cada caso y como ya se ha citado anteriormente, apoyan sus decisiones en recomendaciones de consultoras y empresas de ingeniería.
2. Problemas tácticos
13 El siguiente paso para la resolución de los problemas asociados a la planificación del transporte ferroviario es el denominado Scheduling. Antes de avanzar es conveniente resaltar las diferencias entre los términos Scheduling y Timetabling, usados a veces de forma equivalente. El Timetabling hace referencia exclusivamente a la determinación de horarios, esto es, instantes de salida y llegada de cada uno de los servicios a cada una de las estaciones de las diferentes líneas de la red.
El término Scheduling es más general, ya que aparte de incluir la determinación de horarios considera el movimiento de los vehículos y los aspectos relacionados con el orden de paso de los mismos por ciertas estaciones (aspecto de relevante importancia para el caso de estaciones unidas mediante segmentos de vía única), es decir, trata de identificar la secuencia que siguen los trenes con el objetivo de completar los diferentes servicios ofertados.
Además, los problemas de Scheduling incorporan decisiones complementarias como pueden ser los adelantamientos, tanto en tramos de doble vía como en estaciones, los cruces en sentido contrario, las detenciones en apartaderos, tiempos largos de parada en alguna de las estaciones y el paso por estaciones sin detención. Algo parecido ocurre en otros campos, como por ejemplo en ek de producción. Los problemas de Scheduling pueden llegar a ser muy complejos y de difícil solución y suelen dar lugar a modelos de optimización que representan problemas NP-completos (NP se refiere al "tiempo polinomial no determinista"). Debido a estos inconvenientes y a que los usuarios se decantan por horarios regulares o repetitivos (en metro y cercanías), el estudio de problemas de tipo Scheduling en el campo ferroviario se ha centrado desde sus inicios en el análisis de horarios de tipo periódicos por decisión de los investigadores, en relación con las frecuencias obtenidas de la anterior etapa.
El planificador central (Adif en España) es el encargado de la definición de los horarios en cuanto al enfoque periódico se refiere. Este planificador recibe unos horarios tentativos por parte de los proveedores de servicios de transporte (diferentes compañías de transporte). El planificador es el encargado de obtener los horarios que mejor se ajusten a los deseos de sus clientes (los operadores), que hacen uso de una infraestructura común, propiedad del planificador. Esta forma de trabajo es cada vez más usual a nivel mundial, especialmente en los países desarrollados, como consecuencia de la entrada en vigor de las políticas de liberación en el mercado del transporte.
En Europa, en los últimos diez años, se ha afianzado el esquema de separación entre infraestructura y servicios, ya clásica en E.E.U.U, como consecuencia de la imposición de condiciones de libre competencia por parte de la Comisión Europea. Por lo general, los modelos de Scheduling referentes al servicio férreo no suelen tener información acerca de la demanda del transporte. Tratan de obtener un modelo repetitivo (periódico) de salidas y paso por estaciones.
14 Hay estudios de diferentes autores en los que se puede ver la obtención de horarios no periódicos. Habitualmente, estas soluciones se adecuan mejor a las variaciones de la demanda y suelen ser siempre aconsejables en los casos de larga distancia y de mercancías. Los modelos matemáticos que representan este tipo de problemas suelen ser menos estructurados.
2.2 Platforming
El paso siguiente al problema de Scheduling & Timetabling suele ser el problema de asignación de andén a los trenes que llegan a una estación (Platforming o TPP). Es posible encontrar varias versiones de este problema, el cual tiene fácil solución cuando nos encontramos en estaciones pequeñas, pero es de difícil solución cuando tratamos estaciones más grandes y con topologías mucho más complejas como las grandes estaciones europeas, que poseen cientos de trenes y decenas de andenes.
Una estación principal dispone de varias líneas externas, poseyendo usualmente dos vías que la conectan con otras estaciones, denominadas direcciones en relación con los TPP. También existen los andenes, que son los puntos donde los trenes pueden detenerse para que suban o bajen los pasajeros. Hay diferentes tipos y longitudes de andenes, algunos correspondientes a vías muertas y otros continúan a través de la estación. Las denominadas rutas son las encargadas de conectar las líneas y los andenes. Se tiene que diferenciar entre ruta de llegada y de salida de los andenes respectivamente. También existen rutas bidireccionales.
En relación con el diseño de la estación, la seguridad o aspectos operacionales es posible que existan más restricciones.
Concretar para cada tren las rutas de llegadas y salidas y el andén en el que se detendrá es el objeto del problema, teniendo que cumplir todas las restricciones operativas. y minimizando el tiempo necesario para completar los movimientos entre llegadas y salidas de la estación.
2.3 Rolling Stock
La actividad del problema de gestión de material rodante (Rolling Stock Circulation Problem (RSCP)) tiene un relevante papel para los operadores de servicios de transporte ferroviario, puesto que la adquisición de material rodante conlleva inversiones muy importantes a largo plazo. El coste de operación de los equipos móviles (desplazamiento, mantenimiento, pernoctación y operaciones de acoplamiento y desacoplamiento de vagones y locomotoras) tiene importante peso, incluyendo costes de mantenimiento, personal (tripulaciones y limpieza) y costes de la energía eléctrica consumida. Estos costes están positivamente correlacionados con el número de kilómetros recorridos.
15 La función de los operadores ferroviarios es seleccionar la cantidad y el tipo de material rodante, así como su distribución. La disponibilidad de estos materiales y su gestión son aspectos que influyen en la fase de Scheduling, de ahí que se intenten abordar conjuntamente ambos problemas.
Con la finalidad de controlar y ajustar el material rodante disponible y la demanda de viajes, la composición de los trenes puede variar a lo largo de su recorrido, añadiendo o eliminando vagones de los mismos. Ciertos costes vienen aparejados a este tipo de operaciones y deben ser considerados en el proceso, ya que pueden afectar a aspectos relacionados con la determinación de horarios y con la calidad de los servicios.
Los vagones que son separados de los trenes pueden ser utilizados en otros trenes que salgan de la misma estación, con la finalidad de incrementar la capacidad de los mismos, obligando a tener un determinado espacio empleado para almacenar los vagones y un complejo sistema de gestión.
De manera habitual, los cambios en la composición de trenes tienen que cumplir determinados criterios en relación con el tiempo de operación necesario para llevar a cabo los enganches y desenganches pertinentes y los tiempos disponibles en las estaciones entre paso de trenes consecutivos. Por este motivo, el orden del material en la composición es fundamental, debido a que las operaciones de acoplamiento o desacoplamiento necesitan un menor tiempo para equipamiento ubicado al principio o al final de los trenes.
Existen diferentes tipos del problema de gestión de material rodante, en función de la naturaleza de la red de transporte y de los equipos empleados. Dependiendo de los equipos usados, distinguimos:
1. Locomotoras y vagones de forma independiente.
2. Conjuntos locomotoras-vagones definidos, denominados unidades del tren. Estas unidades hacen referencia a trenes compuestos por un número fijo de vagones y locomotoras, los cuales pueden moverse por la vía en ambas direcciones. Un ejemplo de esto lo tenemos en los trenes de alta velocidad, compuestos por dos locomotoras y un número de vagones que suele oscilar entre seis y diez. Es posible, según sea necesario, enganchar dos unidades para obtener trenes de mayor capacidad en los momentos precisos, que posteriormente se controlan en mando único, cediendo el poder tractor a la locomotora de cabeza pero aprovechando la potencia de ambas unidades.
Para el supuesto de las locomotoras y los vagones de forma independiente, se deben establecer el tipo de locomotoras y vagones y el número de vagones para cada uno de los servicios programados en el horizonte temporal. Estos están directamente vinculados unos con otros, puesto que el número de vagones establecen el tipo y numero de locomotoras que se necesitan con la finalidad de alcanzar la suficiente capacidad de tracción.
16 En el segundo caso, unidades de tren, es necesario conocer sólo el tipo de tren y el número de unidades de cada tipo que deben ser usadas para cumplir con los servicios. En el caso de varias unidades de diferente tipo formando un convoy, el orden de las diferentes unidades es importante. Debido a que las unidades se pueden mover sobre una línea en ambas direcciones, este segundo caso posee una ventaja sobre el primero, ya que los tiempos de cambio de dirección en los extremos de las líneas son muy pequeños, lo que no ocurre en el primer caso, en el que es preciso cambiar la posición y sentido de las locomotoras o disponer de una vía especial en Y.
Dependiendo de la naturaleza de la red, se distinguen dos casos:
1.
Red de baja densidad, cuyas características son altos tiempos de viaje, largas distancias de recorrido y, relativamente, bajas frecuencias.2. Red de alta densidad, cuyas características son recorridos cortos y bajas frecuencias.
El tratamiento de los problemas es importante, en particular en lo relacionado con las operaciones de mantenimiento.
Para las redes de baja densidad, el problema de gestión de material rodante describe meticulosamente la circulación individual del material para un horizonte temporal considerado alto, contando con el correspondiente mantenimiento realizado de manera frecuente. En este tipo de redes se suele contar con un sistema de reserva de asientos, de forma que el operador pueda decidir sobre el material adecuado para satisfacer la demanda en función de las reservas.
En el segundo caso, para redes de alta densidad, se utilizan técnicas de mantenimiento preventivo, y el envío de material a los centros de mantenimiento se realiza intercambiando turnos entre las unidades debido a la coincidencia de diferentes unidades del mismo tipo en las misma estaciones. En este tipo de redes no se suelen tener en cuenta aspectos relacionados con la reserva de asientos, conociendo solamente de manera global la demanda que se espera.
2.4 Crew Scheduling
Este es el nombre con el cual se denomina al problema de obtención de turnos de trabajo. Tras establecer los diferentes servicios programados (obtenidos en las etapas anteriores de Scheduling y Timetabling) y el plan de gestión de material rodante (Rolling Stock), incluidos los desplazamientos en vacío o fuera de servicio (Train Shunting y desplazamientos en vacío para pernoctación empty runs), es necesario agrupar la carga de trabajo de conductores y tripulación en diferentes turnos que permitan atender todos los desplazamientos previstos.
Dado que las frecuencias en las líneas suelen cambiar a lo largo del día (dependiendo de las fluctuaciones de la demanda de transporte), la organización
17 de los turnos de trabajo extrañamente resultará homogénea, de forma que a ciertas horas del día se concentrarán varios turnos en paralelo.
Dicha organización se complica con aspectos relacionados con los derechos colectivos de los trabajadores adquiridos a lo largo de la actividad profesional y reflejada en los diferentes convenios laborales específicos firmados entre empresa y trabajadores.
Por lo tanto, el resultado de esta etapa será un conjunto de turnos diarios, que vendrán definidos en función del tipo de día, en el cual vendrá recogido no sólo su inicio y fin, sino información sobre el lugar de inicio, la línea asignada (incluido el vehículo), las rotaciones y el lugar de finalización.
La complejidad de esta problemática es de carácter elevado de manera normal, dependiendo en gran medida de las condiciones impuestas, resultando en ocasiones de gran complejidad obtener soluciones admisibles, lo que obliga a relajar las exigencias sobre el problema.
2.5 Crew Rostering
Cuando ya tenemos el plan de turnos que proporciona cobertura a todos los servicios programados, se continúa con la asignación individual del personal disponible.
Dado que estos turnos serán diferentes, tanto en duración como desde un punto de vista cualitativo, teniendo en cuenta, además, los derechos individuales adquiridos por los trabajadores (antigüedad, categoría, servicios especiales asumidos…), resulta fácil comprender la ardua tarea de este proceso de asignación.
Frecuentemente para los planes de asignación de conductores y tripulación se deben considerar patrones de trabajo que garanticen dos o tres días de descanso después de cierto número de días de trabajo consecutivo.
En ocasiones es necesario tener en cuenta las condiciones de lugar de inicio o finalización de servicio para determinados conductores, en particular para redes de larga distancia o cuando la explotación de las líneas se lleva a cabo por diferentes compañías/autoridades dependiendo de aspectos geográficos (por ejemplo, el caso de trenes de mercancías en líneas de larga distancia en E.E.U.U). Debido a que en multitud de ocasiones las cargas individuales de trabajo obtenidas (para un intervalo acotado de planificación) en el plan de asignación de personal no son de la misma cuantía para todos los trabajadores, puede resultar necesario considerar un sistema rotatorio de turnos que, atendiendo a las diferentes especificaciones de algunos conductores, permita equilibrar la carga de trabajo a lo largo de un período completo de explotación (típicamente un año).
Es habitual tener la necesidad de mantener una bolsa de horas a nivel individual, con el objeto de realizar compensaciones o exigir servicios especiales, bien de un año para otro o actuando sobre períodos vacacionales o períodos especiales.
18
3. Problemas operacionales
Obtenido el plan semanal genérico, realizado en la fase de planificación táctica, es ajustado en esta etapa a la demanda específica de cada semana. Las razones de dichos ajustes pueden ser debidos a eventos culturales o deportivos, fiestas nacionales, etc. Otras razones pueden deberse a la indisponibilidad de las vías por tareas de mantenimiento, lo cual requiere bastante tiempo.
En esta parte, las fases son similares a las tácticas, pero varía a la hora de su enfoque. Como el horizonte temporal es relativamente corto, la eficiencia no es el principal objetivo. Es de mayor importancia conseguir un plan ajustado rápidamente y que asegure que pueden llevarse a cabo con fluidez.
3.1 Planificación operacional de horarios (Re-Scheduling)
La planificación táctica se actualizará insertando o eliminando trenes y modificando los horarios de salida y llegada de los ya existentes. En caso de hubiera que realizar algún mantenimiento de las infraestructuras, la actualización de los horarios debe cumplir con la disponibilidad de las infraestructuras alteradas por el mantenimiento de la misma.
3.2 Planificación operacional de material rodante (Rolling routing)
Este apartado de la planificación operacional consta de dos partes: la circulación operacional y el plan de movimientos operacional.
Los planificadores centrales tienen en cuenta las posibilidades de movimiento de la misma manera que en la planificación táctica. Los pasos de seguimiento del borrador de circulación operacional se describe a continuación.
El primer paso es su envío a los planificadores locales, quienes intentan crear el correspondiente plan detallado de movimientos, requiriendo las modificaciones que sean necesarias.
Los dos elementos más importantes de los movimientos son el direccionado (routing) de los trenes a través de las estaciones y el posicionamiento de las unidades no usadas temporalmente en la zona de movimientos (shunting yard). Durante las horas de día, los trenes de paso requieren una plataforma libre que permitir a los pasajeros subir y bajar del tren. También dichos trenes tienen que estar direccionados a través de las estaciones de manera que no obstruyan el paso a otros trenes. La composición debe de ser ajustada a la demanda de pasajeros acoplando o desacoplando unidades. Esto se produce a menudo inmediatamente antes y después de las horas punta, cuando se produce una variación en el número de pasajeros. Los cambios de composición son también un motivo de los retrasos, por tanto se intentan evitar en la medida de lo posible.
19 Sin embargo durante la noche, las unidades deben almacenarse de tal manera que al comienzo del día siguiente se requiera el menor número de movimientos posibles. Además las unidades deben limpiarse cada día.
El proceso de movimientos (shunting process) tendrá lugar en las estaciones principales y lo llevaran a cabo planificadores locales.
3.3 Planificación operacional de la tripulación (Crew Re-Rostering)
Los listados de tripulación creados en la planificación táctica intentamos que no sean modificados en esta fase. En su lugar, los planificadores tratan de modificar los turnos diarios de los conductores y revisores manteniendo su número y sus características, así los turnos modificados siguen siendo compatibles con los listados y así evitamos modificar estos. De nuevo, en contraste con la planificación táctica, donde el número de labores es el principal objetivo, la planificación operacional es mucho más un problema de fiabilidad.
20
Capítulo III: Estado del arte
Procedemos a enumerar algunas de las publicaciones más destacadas sobre investigación operativa ferroviaria.
El transporte ferroviario es uno de los modos más eficientes de transporte en cuanto a consumo energético se refiere, en comparación con el autobús, para una línea genérica, su consumo es aproximadamente la tercera parte y frente al consumo de un coche privado es la doceava parte (Zhang (2010)). Sin embrago, una gran cantidad de energía es consumida debida a su aplicación masiva (Batty and Palacín (2015)), la mayoría de los costes de operación de este tipo de transporte (aproximadamente el 50% es en consumo energético. Railenergy, 2006).
Por lo tanto, se han realizado diversos estudios para conseguir aumentar el ahorro de energía y la reducción de la emisión de gases de efecto invernadero, que es debido a combustibles fósiles usados en la generación de la energía eléctrica (Brändström (2014)).
Ichikawa (1968) y Yang et al. (2015c), en sus estudios tenían como objetivo minimizar el consumo energético mecánico durante el viaje, fijado el tiempo del mismo, mediante el cálculo de control óptimo de las secuencias y los puntos de conmutación de regímenes de velocidades. En este estudio se plantean dos alternativas, el estudio en tiempo discreto y una versión continuo. Para ambos, está demostrado que la estrategia óptima de conducción incluye aceleración máxima, crucero, inercia y máximo frenado, de acuerdo al principio de Pontryagin. Para el problema de control continuo, Milroy (1980) propuso que la estrategia de eficiencia de conducción energética consistiera en máxima aceleración, inercia y máximo frenando para un viaje corto. En 1990, Howlett demostró que la conducción óptima estratégica para una línea general debe utilizar la aceleración máxima, crucero, inercia y la máxima potencia de frenado en secuencia. Las condiciones necesarias para obtener el óptimo son analizadas por las ecuaciones de Kuhn-Tucher.
Golovicher (1986), en su estudio menciona que la fuerte pendiente tendrá una influencia en la estrategia de conducción óptima, para ello introduce las restricciones de gradiente. De igual modo concluyó que la aceleración se aplicaría para tramos que estén cuesta arriba y la inercia debería ser utilizada para tramos en descenso.
El problema de control óptimo de conducción de un tren ha sido estudiado por varios investigadores recientemente, Khmelnitsky (2000); Liu and Golovitcher, (2003); Gu et al. (2014); Merakeb et al. (2014); Fernandez-Cardador and Cucala (2015); Gallo et al. (2015).
Khmelnitsky y Liu y Golovitcher presentaron un completo estudio sobre este tema, teniendo en cuenta la velocidad límite, gradiente, la fuerza de tracción variable, la
21 fuerza de frenado variable y la limitación de tiempo de viaje. Gu et al. (2014), también consideró este problema pero incluyendo la información del tráfico en tiempo real y mediante la aplicación de un método no lineal para la obtención de la estrategia óptima de conducción en un segmento. Debido al corto tiempo de computación, estos métodos tienen potencial para ser incorporados en el equipo de control de trenes en tiempo real.
Además, otros autores como Miyatake and Matsuda (2009); Qu et al. (2014); Tang et al. (2015); Martinis and Gallob (2013) consideraron la regeneración de la energía de frenado y su aprovechamiento entre trenes cercanos o el almacenamiento de la misma. El perfil de velocidades en Miyatake and Matsuda (2009) y Miyatake and Ko (2010), fue calculado con un método de programación secuencial cuadrática.
Lu et al. (2014), utiliza métodos de programación lineal. Tanget al. (2015) utiliza un algoritmo genético para calcular el perfil óptimo de velocidades del tren.
M Dominguez and Pecharromán (2012) optimizaron el consumo neto de energía de los trenes en las subestaciones, mediante un modelo de energía en la red, diseñando la trayectoria sobre la red y considerando la energía regenerada. Domínguez et al. (2010), Kim y Chien (2011), aplicaron métodos de búsqueda local y algoritmos evolutivos para resolver los problemas de control de trenes.
Su et al. (2015) propuso un modelo de control de trenes en cooperación para utilizar eficientemente la energía regenerativa mediante ajuste en los instantes de salida de los trenes de las estaciones.
Chang y Sim (1997) utilizaron un algoritmo genético para generar una secuencia de eficiencia energética de control de costes basados en la evaluación de la puntualidad, confort de conducción y el consumo de energía.
Ke et al. (2009) propusieron un modelo de optimización combinatoria y diseñaron el perfil energético eficiente de velocidad mediante un algoritmo de optimización de colonias de hormigas.
Lu et al. (2013) realizaron una comparación entre un algoritmo genético, la optimización mediante colonia de hormigas y la programación dinámica en el cálculo de la estrategia de conducción.
A la hora de implementar los modelos anteriores, es preciso considerar que algunas locomotoras, especialmente para los trenes de carga, sólo presentan ciertos valores de aceleración y cada uno de estos valores determina una tasa constante de la fuente de alimentación. El grupo de programación y control de la universidad de Australia del Sur llevó a cabo un gran avance en el problema de control discreto. Cheng y Howlett (Cheng y Howlett (1992), (1993); Howlett (2000); Howlett y Leizerowitz (2001) propusieron un modelo de control óptimo discreto y presentaron un método analítico para encontrar una estrategia teórica mediante la determinación de la duración óptima de las secuencias de control. En Howlett y Pudney (1995), Howlett probó que la solución al problema de control
22 óptimo existe y es única. Howlett analizó tanto los problemas de control continuos como discretos, y señaló que cualquier secuencia de control positivo apreciable se puede aproximar por una secuencia de pares de potencia-inercia, los cuales permiten establecer la conexion entre los problemas de control de trenes de tipo continuo y discreto. Howlett finalmente utilizó las ecuaciones de Kuhn-Tucker para encontrar las ecuaciones fundamentales que determinan los tiempos de conmutación óptimos para el problema de control discreto.
Ciertos autores Vu (2006) y Howlett et al. (2009) estudiaron el problema de control óptimo del tren cuando los trenes transitan por tramos con una cierta pendiente, en los que se producirá un reducción de la velocidad del tren, aunque se aplique toda la potencia. Un nuevo principio de minimización de energía consistiría en que el cambio de modalidad de conducción del tren desde inercia hacia aceleración debiera ser aplicado antes del escalón de pendiente y la inercia sería utilizada hasta que el tren haya pasado ese escalón.
Albrecht et al. (2013), (2015b), (2015c), demostró que los puntos de conmutación óptimos se definen de una única forma para cada tramo de subida, en los que la función de energía es convexa, presentando un único mínimo. Este autor propuso una formulación general del modelo de control de trenes y puntos de conmutación óptimos, calculados mediante el análisis de las condiciones necesarias para la conmutación óptima.
Recientemente, Albrecht y Stitch (2002), Su et al. (2013) y Goverde (2015), han enfocados sus estudios teóricos hacia el problema de diseñar un horario eficiente desde el punto de vista energético para lograr un mejor rendimiento en el ahorro de energía.
Albrecht y Stitch (2002), Albrecht (2004), propusieron, en un ejemplo simple con dos trenes, un enfoque de programación dinámica para encontrar los tiempos de conmutación eficientes a partir de la solución al problema de control óptimo de tren, así como para reducir significativamente los picos de potencia y el consumo de energía.
Su et al. (2013) utilizaron un algoritmo iterativo para obtener la estrategia de conducción para una línea completa, integrando la optimización estratégica de conducción y la distribución del tiempo de viaje. Scheepmaker y Goverde (2015a), (2015b), analizaron la operación energética eficiente de un tren mediante la distribución de suplementos de tiempo en segmentos y estudiaron la robustez del horario generado. Estudios similares se pueden encontrar en Zhao et al. (2014) y Lin y Sheu (2011). Si bien estos métodos pueden ser utilizados para resolver el horario de un solo tren, no se tiene en cuenta el frenado regenerativo. En 2014, Li y Lo propusieron un enfoque de optimización de horarios para optimizar un plan diario de operación con múltiples trenes. Usaron un algoritmo genético para determinar la estrategia óptima y los tiempos de viajes de todos los trenes, considerando frenado regenerativo para reducir al mínimo el consumo de energía neta del sistema.
23
Capítulo IV: Descripción del problema de Timetabling
La determinación de la programación de los trenes es uno de los aspectos principales de la gestión de redes ferroviarias, ya que afecta tanto al nivel de satisfacción de los usuarios como al rendimiento y rentabilidad de la red.
Este tema tiene características específicas dependiendo del servicio a prestar. De este modo, para redes de corto recorrido, como redes locales o de metro, donde la frecuencia es normalmente bastante elevada, determinar la frecuencia suele tener más importancia que definir la programación de horarios propiamente dicha. La determinación de los horarios (Timetabling) es la tercera fase en un esquema jerárquico formado por cinco etapas. Primeramente, el análisis de la demanda, seguido de la planificación de líneas y, tras ello, la programación de servicios (Scheduling). La etapa de material rodante y, posteriormente, la de gestión de personal, son las dos últimas de este esquema. Los tiempos de llegada y salida se hallan en la etapa de programación de los servicios.
En la práctica, los usuarios se aprenden los horarios regulares y también pueden ser calculados con menor esfuerzo. Por otro lado, en el caso de redes de media y larga distancia, la demanda depende de la programación de los servicios. En este tipo de escenarios en el que la demanda parece depender de la programación, el enfoque regular puede no ser eficiente.
Para la optimización de redes de metro y redes de trenes de cercanía, en la cuales la demanda es uno de los factores fundamentales para determinar los horarios, la programación periódica de los horarios, desde el punto de vista de los usuarios, no es óptima si se consideran largos intervalos de planificación. Más aún, un diseño poco eficiente puede producir comportamientos no deseables por parte de los usuarios, que podrían cambiar de medio de transporte, lo que podría producir una caída automática de la rentabilidad de la red.
La programación no periódica es particularmente importante en tramos de largo recorrido con alta densidad de tráfico. Este enfoque permite obtener tiempos de salida y llegada óptimos tras la etapa de planificación de líneas.
Cabe destacar que la mayoría de los enfoques existentes no formulan hipótesis realistas sobre el comportamiento de la demanda de cada una de las líneas a lo largo de un día completo sino que, en su lugar, utilizan una demanda uniforme contenida en una (o varias) matriz origen-destino.
Además, el estudio de la demanda habitualmente se realiza únicamente en la primera de las etapas del proceso de planificación, resultando una matriz origen-destino para el día entero que se utiliza para conseguir las frecuencias en la fase de la planificación.
24
Capítulo V. Planteamiento del problema
En este apartado se describe el problema que se va a resolver mediante un modelo que pretende minimizar el consumo energético de los trenes. El modelo proporcionará el tamaño de flota necesario para realizar el recorrido prefijado, así como el número de vagones por cada tren y las velocidades en los diferentes segmentos (o tramos), variables que afectarán directamente al consumo energético, satisfaciendo la demanda de pasajeros requerida en ese recorrido. De la misma forma, también obtendremos el tiempo de viaje y espera de los pasajeros a lo largo de dicho trayecto.
El modelo incorpora tres aspectos principales que afectan al consumo energético del tren: el trazado de la vía férrea, las propias características físicas del tren y las magnitudes que definen el recorrido del mismo (velocidades y cargas de pasajeros). El trazado de la vía férrea se encontrará dividido en segmentos (o tramos). Estos segmentos no tienen por qué corresponderse con la distancia existente entre dos estaciones o, lo que es lo mismo, que esta distancia puede estar compuesta por varios tramos. Se considera que las características de cada segmento se mantienen constantes a lo largo del mismo, pero pueden variar entre un segmento y otro. Estas características son: la longitud, la pendiente, curvatura y velocidad máxima autorizada en cada tramo. En ciertos puntos de la vía se considera la existencia de estaciones, lugares donde los trenes podrán cargar y descargar pasajeros. En relación a las características físicas del tren, la masa vendrá determina por el número de vagones y de cabezas tractoras, así como por la masa de los pasajeros que viajan en el tren (este dato se ha promediado a 70kg por pasajero). En cuanto al itinerario que realizarán los trenes, consiste en un recorrido de ida y vuelta por una línea, por lo que debemos tener en cuenta que se requiere un tiempo para dar la vuelta y orientar el tren en el nuevo sentido correcto una vez que este llegue a la última estación de la línea, tanto a la ida como a la vuelta. También se ha señalar que cuando el tren llega a cada estación queda inmovilizado durante un tiempo (en el que suben y bajan del tren los pasajeros). Ambos tiempos están acotados superior e inferiormente en este trabajo. Supondremos que el tren circulará siempre entre la velocidad máxima permitida y la velocidad mínima en cada tramo o a la que le permita su potencia máxima en llantas en función de su carga y dimensiones.
A continuación se procede a explicar los tipos de variables y datos utilizados en este problema y, posteriormente, las restricciones de dicho problema, teniendo en cuenta que la parte central de nuestro modelo serán las ecuaciones relacionadas con el consumo energético de este tipo de transporte.
Las siguientes graficas ilustrativas pueden ayudar a comprender mejor el problema. En la tercera, aparece el término headway, que hace referencia al tiempo que tiene que transcurrir desde la salida de un tren hasta la salida del
25 siguiente para la realización del mismo itinerario. Esta variable estará igualmente acotada.
El tiempo de seguridad es un tiempo que debe transcurrir desde que un tren sale y deja libre el andén, y el siguiente tren puede acceder a él para realizar las maniobras correspondientes. El tiempo de ciclo se corresponde con la duración desde que el tren comienza su maniobra de vuelta para la orientación correcta hasta que el tren regresa a esa estación después de realizar el itinerio completo.
Figura 1: Gráfica que muestra las divisiones de una línea ferrea
Siendo n el número total de estaciones, S, n-1 el número total de open track, O, que a su vez se divide en diferentes segmentos (o tramos), Seg, con diferentes características (k,j,…p).
26
Figura 2: Gráfica que enfrenta número de estaciones de una línea de un tren frente al tiempo que tarda en recorrerla el mismo
27
Capítulo VI. Descripción de la función consumo energético del
tren
Hemos considerado que el consumo energético en llantas del tren es debido a diversos factores:
1) Consumo energético por resistencias mecánicas al avance. 1.1) Resistencia mecánica en recta
1.2) Resistencia al avance en curva
2) Consumo energético debido a la resistencia a la entrada de aire
3) Consumo energético debido a la resistencia aerodinámica (presión y fricción) 4) Consumo energético debido a la gravedad
4.1) Energía disipada en el freno
4.2) Consumo energético por incremento de la energía potencial gravitatoria 5) Consumo energético asociado al incremento de energía cinética
6) Balance energético en el tramo
1. Consumo energético por resistencias mecánicas al avance.
El primer tipo de consumo que vamos a tener en cuenta es el consumo por resistencia mecánica al avance. En este apartado se diferencia según cómo sea el recorrido, recto o curvo.
1.1 Resistencia mecánica en recta
La energía en llantas empleada en el tramo para vencer la resistencia mecánica en recta depende de la masa del tren. La resistencia mecánica a la rodadura en recta puede expresarse como
( , )
Donde representa la masa del tren, ar la carga en pasajeros del tren y es el coeficiente de resistencia mecánica a la rodadura y es del orden de .
Así también, existen unas resistencias derivadas de los rozamientos internos (cojinetes y cajas de grasa de los ejes) que, aunque dependen de diversos factores, se pueden estimar en función de la masa de los vagones y del número de ejes del tren, en otros términos
,
Donde representa la masa del tren y representa el número de ejes del tren. De esta forma, la energía en llantas empleada en el tramo para vencer las resistencias mecánicas en recta se calcula como:
28
( , ) ,
1.2 Resistencia al avance por curva
En una curva se producen resistencias adicionales debidas, por un lado, al rozamiento de las pestañas de las ruedas con la cara interna del carril exterior y, por otro, al deslizamiento de las ruedas sobre el carril, dado que las dos ruedas del mismo eje giran a la misma velocidad angular pero recorren distancias diferentes (naturalmente, este último fenómeno no se produce en vehículos que, en lugar de ejes, disponen de rodales independientes, como los remolques Talgo y algunos tranvías).
Al circular por una curva de radio R, la resistencia al avance por este concepto se ha establecido empíricamente en aproximadamente
( . )
en caso de tratarse de vía de ancho estándar (1435 mm), así como ( . )
si la vía es de ancho ibérico.
Promediamos la curvatura a lo largo de todo el tramo, es decir, ( )
y calculamos el índice de curvas del tramo como
( ) ( ) Por lo tanto se puede calcular de la siguiente manera:
Así, tenemos que el consumo energético en llantas dedicado a vencer la resistencia mecánica al avance por curvas a lo largo del tramo es
( , )
sobre vía de ancho estándar.
2. Consumo energético debido a la resistencia a la entrada de aire
En un tren en circulación se introduce y se expulsa continuamente un importante flujo de aire dedicado tanto a la refrigeración de los motores como a la renovación
29 del aire en las salas de viajeros, así como para la climatización. Este aire se acelera de modo casi instantáneo a la velocidad del tren, lo que genera una resistencia al avance que es proporcional a la velocidad V del mismo. También depende proporcionalmente de la densidad del aire, luego es sensible a la presión atmosférica (condiciones meteorológicas y altura).
Si Q denota el flujo entrante de aire medido en m3 s y ρ la densidad del aire en
kg/m3, la resistencia por este concepto se expresa como
.
obteniéndose este último coeficiente para ρ , 22 kg m3, que es el valor a 15oC
de temperatura y presión atmosférica estándar al nivel del mar.
Por tanto, podemos promediar la velocidad en el tramo como V, y el consumo energético en llantas imputable a esta resistencia al avance será finalmente
.
3. Consumo debido a la resistencia aerodinámica (presión y fricción)
Como es bien sabido, la resistencia aerodinámica al avance es proporcional al cuadrado de la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el coeficiente aerodinámico del vehículo:
Este coeficiente se ve afectado por las condiciones de temperatura y presión ambientales, siendo su valor real
ρ ρ
en donde Cs denota el coeficiente medido en condiciones ambientales estándar, ρs
la densidad del aire en dichas condiciones y ρr la densidad actual del aire.
Promediando V2 a lo largo del tramo como Ṽ2 δ2V , concluimos que la
contribución de esta resistencia al consumo energético medido en llantas a lo largo del tramo es igual a
Cabe destacar que el resultado anterior es válido solamente a cielo abierto. La re-sistencia aerodinámica se ve notablemente incrementada al paso por túneles, pudiéndose estimar un “factor de túnel” (el cual depende esencialmente del cociente entre las áreas transversales del tren y del túnel) que multiplica al término en V2 y que por el momento no tendremos en cuenta.
30
4. Consumo energético debido a la gravedad
4.1 Pendiente de equilibrio y energía disipada en el frenoSi en el trayecto no se aplicara el freno, aprovechándose toda la energía potencial gravitatoria en los descensos, el consumo energético por este concepto a lo largo del tramo sería simplemente el equivalente al incremento de la energía potencial gravitatoria:
( . ) ( )
donde , son las alturas, respectivamente, en los extremos inicial y final del tramo.
Si existen pendientes pronunciadas probablemente sea necesario aplicar el freno para no sobrepasar la velocidad máxima permitida en el tramo, lo que provoca la disipación de una parte de esa energía, la cual nos proponemos estimar. Recordemos que en el tramo i-ésimo tanto la pendiente pi como la velocidad
máxima vi son constantes.
Llamamos pendiente de equilibrio para una determinada velocidad (que para nosotros será la máxima permitida en el tramo, ) a aquella que hace que la resistencia al avance sea igual a la fuerza producida por la gravedad sobre el avance del tren, es decir, la componente del peso en la dirección de dicho avance. Así, si el tren alcanza dicha velocidad descendiendo en la pendiente pe, podrá
mantenerla indefinidamente sin necesidad de aplicar tracción ni freno.
Si la pendiente del tramo es mayor que , será necesario frenar para no sobrepasar el límite permitido; por el contrario, si es menor que la correspondiente , será necesario traccionar si se desea circular a la velocidad máxima permitida.
Para el cálculo de dicha pendiente consideraremos solamente la resistencia a la rodadura en recta, la debida a la entrada de aire y la aerodinámica, obviando la contribución de las posibles curvas debido a la complejidad que entrañaría considerar una curvatura variable y, por consiguiente, una pendiente de equilibrio variable a lo largo del tramo.
La pendiente se deduce, pues, de la ecuación
( . ) . . ( ) ( . )
en cuyo segundo miembro hemos aproximado cos(α) por 1 ya que las pendientes en ferrocarriles en adherencia son necesariamente pequeñas.
Parece también razonable omitir el término del número de viajeros, cuya contribución ha de ser necesariamente pequeña, para no obtener una pendiente de
31 equilibrio dependiente de la carga y por tanto no intrínseca al vehículo y al sub-tramo. En cualquier caso,
. .
( )
( . )
Se trata de una pendiente de valor negativo al ser favorable al movimiento del tren. Así pues, la energía que se disipa en el freno en el descenso de una pendiente mayor (en valor absoluto) que la de equilibrio cuando se circula a la velocidad máxima permitida es
( ) ( . ) ( ( ) )
4.2 Consumo energético por incremento de energía potencial gravitatoria
Finalmente, la energía en llantas consumida en trabajo contra la gravedad es ( . ) ( ( ( ) )
( )
Conviene notar que no se ha considerado la posibilidad de recuperar energía en la frenada (freno regenerativo). En electrificaciones en corriente continua solo puede devolverse energía a la catenaria cuando, simultáneamente a la frenada del tren, existe otro que tracciona en el mismo sector de electrificación. No obstante, en algunos casos puede recuperarse alguna energía para la alimentación de los servicios auxiliares del tren.
5. Consumo asociado al incremento de la energía cinética
5.1 Velocidad de equilibrio en rampaDada una rampa con una determinada inclinación, la velocidad de equilibrio de un tren para esa rampa es aquella en que el esfuerzo de tracción máximo que puede desarrollar el tren se iguala a las fuerzas resistentes, de tal modo que el tren no puede superar esa velocidad aunque la velocidad máxima autorizada sea mayor. Por tanto, si calculásemos los incrementos de energía cinética suponiendo que en todos los tramos el tren alcanza la velocidad máxima permitida, en aquellos en los que dicha velocidad sea inalcanzable por causa de la rampa estaríamos computando un sumando mayor que el real. Esa es la razón por la que nos interesa estimar la velocidad de equilibrio ( ) para cada tramo en rampa (pendiente positiva).
Si P denota la potencia máxima en llantas del tren, la velocidad de equilibrio se obtiene resolviendo la ecuación
32 ( ) ( , )) , , ( ) (i)
( , ) que es una ecuación de tercer grado en ( ).
Hacemos las mismas observaciones apuntadas en el cálculo de la pendiente de equilibrio, a saber: no hemos considerado las fuerzas resistentes derivadas de las posibles curvas por idéntico motivo al de entonces; igualmente, hemos aproximado cos(α) por 1 en el término de la fuerza retardadora causada por la rampa; y sería asimismo razonable omitir los términos . para que la velocidad de equilibrio fuese determinable a priori.
5.2 Consumo por incrementos de velocidad
Llamamos a la velocidad que suponemos se va alcanzar en el tramo, es decir, que si la pendiente es menor o igual que cero, la velocidad es la que lleva el tren, pero si la pendiente es mayor que cero, esta quedará acostada al minimo valor entre la velocidad de equilibrio y la velocidad que llevaba el tren.
( , ( ))
La energía en llantas consumida por este concepto equivalente al sumatorio de los incrementos positivos de energía cinética entre tramos consecutivos en donde no debemos omitir la energía de rotación de las partes giratorias del tren:
2( . )
en donde Mg denota la masa equivalente de las partes giratorias del tren y la
velocidad inicial es cero .
Si se supone (como sucede casi siempre en la práctica) que se aplica una forma de conducción razonable que no persigue alcanzar siempre la máxima velocidad, este término debe minorarse por un coeficiente de marcha en deriva Kder, que es
función de la relación entre el tiempo mínimo posible para recorrer el tramo y el tiempo realmente empleado en el trayecto.
6. Balance energético en el tramo
Sólo queda sumar todos los términos calculados anteriormente, es decir, la energía consumida en llantas al recorrer el tramo es finalmente:
33
Capítulo VII. Modelo de resolución del problema
El modelo pretende minimizar la función de consumo energético en llantas del tren. A continuación vamos a pasar a describir los datos, las variables y las restricciones del modelo.
Conjuntos:
Conjunto de open tracks, que a todos los efectos son los tramos entre cada par de estaciones. Se usará el índice para referenciar un open track genérico.
Conjunto de estaciones (la cardinalidad del conjunto estaciones es igual a la del conjunto de open tracks +1). Se usará el índice para referenciar una estación genérica.
Conjunto de segmentos dentro del open track . Se usará el índice para referenciar un segmento concreto dentro del open track . Los parámetros referentes a un segmento concreto llevarán por tanto dos índices , para identificar el open track y el segmento dentro del open track. El índice variará entre 1 y , un escalar que representa el mayor número posible de segmentos a definir dentro de un open track.
Parámetros: sirven para declarar una o varias listas de constantes numéricas asociadas a un índice o conjunto.
, Orden de los segmentos dentro del open track .
, Longitud de los segmentos en km.
, Velocidad más restrictiva en cada segmento m del open track en sentido up en km/h. Límite inferior de velocidades en el sistema. , Velocidad más restrictiva en cada segmento m del open track en
sentido down en km/h. Límite inferior de velocidades en el sistema. , Velocidad máxima en el segmento del open track en sentido up
en km/h.
, Velocidad máxima en el segmento del open track en sentido down en km/h.
34 , Pendiente de cada segmento en el open track en sentido up. Se
considera la pendiente inversa en sentido contrario.
Carga de pasajeros del tren en cada segmento entre dos estaciones en sentido up. Se obtendrá a partir de la matriz de demandas.
Carga de pasajeros del tren en cada segmento entre dos estaciones en sentido down. Se obtendrá a partir de la matriz de demandas. Carga máxima para el open track considerando ambos sentidos.
Carga máxima en el tren a lo largo de toda la línea.
Número de personas que llegan a la estación con destino a estaciones . (Movimientos en sentido up).
Número de personas que llegan a la estación con destino a
estaciones . (Movimientos en sentido down).
Número de personas que bajan en la estación procedentes de estaciones .
Número de personas que bajan en la estación procedentes de
estaciones .
Personas que se bajan al final de cada open track (estación
+1) en sentido up.
Personas que se bajan al final de cada open track (estación
+1) en sentido down.
Total de personas que han viajado en sentido up. Total de personas que han viajado en sentido down.
Longitud de la línea.
Tiempo necesario para recorrer la línea en un sentido.
Tiempo total en dar una vuelta completa, incluyendo paradas y doble sentido.
Escalares:
Tiempo de seguridad entre dos trenes consecutivos en cualquier
estación.
Número de personas que caben en un vagón. Factor de escala para hacer crecer la demanda. Flujo entrante de aire en m3/s.
35 Número de ejes de los vagones.
Coeficiente aerodinámico en daN/kg. Coeficiente de resistencia mecánica.
Número de locomotoras.
Peso de las locomotoras en toneladas. Peso de un vagón en toneladas.
Velocidad mínima de los trenes para la velocidad de equilibrio. Potencia máxima en llantas del tren.
Peso de las partes giratorias del tren.
Gravedad.
Peso de ATT en la función objetivo.
Peso del consumo energético en la función objetivo. Peso del número de vagones en la función objetivo. Peso del tamaño de flota en la función objetivo.
Coste del vagón.
Coste de las locomotoras.
Variables positivas:
Dwell, tiempo de parada en cada estación, bajada y subida de pasajeros, en minutos.
Tiempo empleado en dar la vuelta al tren en las estaciones inicial y final en minutos.
Tiempo total de ciclo suponiendo que las velocidades son variables.
, Velocidad en el segmento del open track en sentido up,
suponiendo que son variables y están acotadas por limitaciones máximas.
, Velocidad en el segmento del open track en sentido down,
suponiendo que son variables y están acotadas por limitaciones máximas.
Tiempo total promedio de viaje en sentido up para la línea completa.
Tiempo total promedio de viaje en sentido down para la línea
36 Tiempo promedio de viaje por pasajero en sentido up.
Tiempo promedio de viaje por pasajero en sentido down. Tiempo promedio de viaje (incluye tiempos de espera).
( , )
Pendiente de equilibrio sentido up.
( , ) Pendiente de equilibrio sentido down. ( , )
Velocidad de equilibrio sentido up.
( , ) Velocidad de equilibrio sentido down.
Variables binarias:
( , )
Comparador de pendientes para cada segmento en cada open track en dirección subida (up). Se usa para determinar si se supera o no la pendiente de equilibrio.
( , ) Comparador de pendientes para cada segmento en cada open
track en dirección bajada (down). Se usa para determinar si se supera o no la pendiente de equilibrio.
( , )
Comparador de diferencias de velocidades al cuadrado en la subida.
( , ) Comparador de diferencias de velocidades al cuadrado en la bajada.
Variable libre:
Valor de la función objetivo.
Tablas:
, Demanda de pasajeros que salen de la estación i y llegan a la estación
j.
Variables enteras
Headway de la línea, tiempo entre la salida de dos trenes consecutivos de la misma estación.
37 Frecuencia de la línea.
Número de vagones.
Fleetsize, número de trenes necesarios en la línea, también llamado tamaño de la flota.
Variables positivas referidas al consumo de energía:
, Consumo de energía mecánica en recta por segmentos en la subida. , Consumo de energía mecánica en recta por segmentos en la bajada.
, Consumo de energía mecánica en curva por segmentos en la subida. , Consumo de energía mecánica en curva por segmentos en la bajada.
, Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire por segmentos en la bajada.
, Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica por
segmentos en la bajada.
, Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria por
segmentos en la bajada.
, Consumo de energía disipada en el frenado por segmentos en la subida.
, Consumo de energía disipada en el frenado por segmentos en la
bajada.
, Consumo de energía debido al cambio de velocidad por segmentos en la subida.
, Consumo de energía debido al cambio de velocidad por segmentos
en la bajada.
Consumo de energía mecánica en recta de la línea en la subida. Consumo de energía mecánica en recta de la línea en la bajada.
38 Consumo de energía mecánica en curva de la línea en la subida. Consumo de energía mecánica en curva de la línea en la bajada. Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire de la
línea en la subida.
Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire de la línea en la bajada.
Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica de la línea en la subida.
Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica de la línea en la bajada.
Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria de la línea en la subida.
Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria de la línea en la bajada.
Consumo de energía disipada en el frenado de la línea en la subida. Consumo de energía disipada en el frenado de la línea en la bajada. Consumo de energía debido al cambio de velocidad de la línea en la
subida.
Consumo de energía debido al cambio de velocidad de la línea en la bajada.
Consumo de energía mecánica en recta total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía mecánica en curva total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido a la resistencia de entrada de aire total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido a la resistencia aerodinámica total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido a la resistencia gravitatoria total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía disipada en el frenado total sumando ambos sentidos.
Consumo de energía debido al cambio de velocidad total sumando ambos sentidos.
39 Variables intermedias para el cálculo del consumo energético:
Número de ejes del tren. Masa del tren sin pasajeros. , Área de curvatura.
Restricciones del modelo en lo referente a la planificación ferroviaria:
1. Relación entre headway y frecuencia
La primera de las restricciones que vamos a tratar es la relación entre headway y la frecuencia, sabiendo que el headway es el tiempo que transcurre entre la salida de dos trenes de la misma estación o, lo que es lo mismo, la frecuencia con la que salen los trenes en el transcurso de una hora.
2. Capacidad suficiente para atender la demanda en el segmento más cargado de la línea
Para satisfacer la demanda de pasajeros es necesario imponer una restricción respecto a la capacidad del tren y además hay que tener en cuenta para ello que dependerá del número de cabezas tractoras del tren y si llevan pasajeros o no. Así definimos dos restricciones a cumplir en el modelo, una con cabezas tractoras y otras sin estas.
( )
Esta restricción es válida sólo si los vagones tractores también llevan pasajeros. En caso contrario, queda de la siguiente manera:
( )
3. Relación entre headway, tiempo de ciclo y el tamaño de la flota que se necesita para cumplir con el horario durante el tiempo definido por la matriz de demanda.
Esta ecuación nos permite calcular el número de trenes necesarios, que depende del tiempo en realizar el recorrido completo de la línea y de la frecuencia de paso por hora.
