Modelos Multivariantes Recursivos. Variables exógenas. Modelos Uniecuacionales

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(1)Modelos Multivariantes Recursivos. Variables exógenas. Modelos Uniecuacionales. 1.

(2) Motivación (I)  En los 3 primeros temas hemos visto la modelización. ARIMA univariante. Los modelos ARIMA no son modelos econométricos pero son útiles  Para entender la propiedades de la serie como un primer. paso antes de relacionarlo en un modelo econométrico más complejo. Por ejemplo, un proceso estacionario no puede estar explicado por un proceso con tendencia (volveremos a este punto más adelante).  Los modelos ARIMA siguen siendo muy útiles en predicción debido a que son parsimoniosos y facilmente adaptables. 2.

(3) Motivación (II)  Sin embargo, los modelos ARIMA no son útiles cuando. el propósito del análisis es estudiar la relación entre varias series económicas.  El interés del economista está fundamentalmente puesto en el estudio de estas relaciones. Por ejemplo:  Funciones de reacción en las decisiones de producción 2. empresas rivales.  Efecto de determinadas políticas macroeconómicas en las ventas de una empresa.  etc 3.

(4) Motivación (III)  En el análisis de series temporales el estudio de las. relaciones entre varias variables no suele ser estático sino dinámico.  Esto es similar a lo que ocurre cuando una persona que se está. duchando pulsa el botón del agua caliente. La temperatura del agua no se ajusta instantaneamente sino sólo tras unos segundos.  Algo parecido sucede cuando se estudia la relación entre diferentes variables económicas. Por ejemplo, una variación de los tipos de interés por el banco central europeo sólo tiene efecto en la inflación tras un largo periodo de retraso (en muchos casos incluso más de un año). 4.

(5) Motivación (IV)  Por esta razón es necesario trabajar con modelos. econométricos que capturen esa dinámica.. 5.

(6) Estructura del tema 4.1. El modelo VAR(p) estacionario. Formulación. Dependencia temporal. 4.2. Causalidad en el sentido de Granger. Dependencia contemporánea. Introduccion al problema de regresión con variables explicativas endógenas 4.3. Estimación de los modelos VAR. 4.4. Modelos VAR con variables exógenas. Modelos VAR recursivos. 4.5. Modelos uniecuacionales dinámicos. Modelos de retardos autoregresivos distribuidos (AD). 4.6. Multiplicadores de impacto y de largo plazo. 4.7. Modelos con variables integradas. Regresiones espurías. Cointegración. 4.8. Modelización de acontecimientos especiales. Modelos con variables artificiales 6.

(7) El modelo VAR estacionario  Sea Xt un vector de n variables para el que definimos el. siguiente modelo VAR(p). X t  A0  A1 X t 1  A2 X t 2  ...  Ap X t  p  et donde A0, A1,…, Ap son matrices de parámetros nxn y et es una matriz de variables ruido blanco serialmente incorrelados.. 7.

(8) El modelo VAR(p) estacionario  Por ejemplo, un modelo VAR(1) para dos variables yt y. zt. yt  a10  a11 yt 1  a12 z t 1  e1t z t  a 20  a 21 yt 1  a 22 z t 1  e2t. 8.

(9) El modelo VAR(p) estacionario 𝑒1𝑡 0 𝐸 𝑒 = 0 2𝑡. 𝐸 𝑒1𝑡 , 𝑒1𝑡+𝑖 = 0. ∀𝑖 ≠ 0. 𝐸 𝑒2𝑡 , 𝑒2𝑡+𝑖 = 0. ∀𝑖 ≠ 0. 𝑒1𝑡 𝜎12 𝜎12 𝑉𝑎𝑟 𝑒 = 2𝑡 𝜎21 𝜎22 9.

(10) El modelo VAR(p) estacionario  Es fácil ver que los modelos VAR son una extensión multivariante. de los modelos AR.  Del mismo modo se pueden generalizar los modelos ARMA(p,q) a modelos VARMA(p,q). Sin embargo, en la práctica generalmente sólo se usa parte autoregresiva (modelos VAR) por estas 3 razones:  Como se ha visto, cualquier modelo de medias móviles finito se. puede aproximar con un modelo puramente autoregresivo siempre que el orden de la parte autoregresivo sea lo suficientemente alto.  La introducción de parte de medias móviles complica mucho la estimación de modelos mientras la estimación por máxima verosimilitud condicional de modelos puramente autoregresivos coincide con el estimador minimo cuadrático ordinario.  La interpretación económica de los componentes de medias móviles en un modelo econométrico no es lo suficientemente intuitiva. 10.

(11) Modelos VAR estacionarios  En el proceso AR(1) ,. yt  a0  a1 yt 1   t. la condición de estabilidad es que a1 sea menor que la unidad en valor absoluto. Hay un análogo en procesos VAR. Iterando hacia atrás un proceso VAR(1) se obtiene:. 11.

(12) Modelos VAR estacionarios X t  A0  A1 ( A0  A1 X t 2  et 1 )  et  ( I  A1 ) A0  A12 X t 2  A1et 1 Después de n iteraciones n. X t  ( I  A1  ...  A1n ) A0   A1i et i  A1n 1 X t  n 1 i 0. 12.

(13) Modelos VAR estacionarios  Si continuamos con la sustitución hacia atrás, es claro. que la convergencia requiere que. lim𝑛→∞ 𝐴1𝑛 =0 Asumiendo que el proceso es estacionario, se puede escribir la solución de xt como. . X t     A1i et i i 1. 13.

(14) Modelos VAR estacionarios De forma general, un model VAR(p). X t  A0  A1 X t 1  A2 X t 2  ...  Ap X t  p  et es estacionario si la solución de. I  A1 x  A2 x 2  ...  Ap x p  0 está fuera del círculo unidad.. 14.

(15) Modelos VAR estacionarios O, alternativamente, si la solución de.   A1 p. p 1.  A2 . p 2.  ...  Ap x  0 p. está dentro del círculo unidad.. 15.

(16) Ejemplo.  x1t   0.3 0.6  x1t 1   e1t            x2t   0.1 0.5  x2t 1   e2t    0   0.3 0.6        0  0    0.1 0.5  (  0.3)(  0.5)  0.06  0 0.66  0.14. 16.

(17) Ejemplo  Luego el proceso es claramente estacionario porque las. dos raíces de la ecuación son menores que la unidad en valor absoluto.  Ojo!!! Basta con que una sola de las raíces sea igual o mayor que la unidad para que el proceso sea no estacionario.. 17.

(18) Exogeneidad  Un problema de interés es saber en la relación entre un. grupo de variables económicas en un modelo cuales de ellas son exógenas, cuales débilmente exógena y cuales predeterminadas.. 18.

(19) Causalidad en el Sentido de Granger  En un sistema bivariante, la variable w1t no causa a la. variable w2t en el sentido de Granger si para todo s>0, el error cuadrático medio (ECM) de la predicción de w2t+s dado (w21, w22,…,w2t) es el mismo que el error cuadrático medio (ECM) de la predicción de w2t+s dado (w11, w12,…,w1t w21, w22,…,w2t) .. 19.

(20)  Importante!!! Causalidad en el sentido de Granger no. significa causalidad económica. La causalidad en el sentido de Granger es sólo un indicativo de que una variable precede a la otra. Este concepto es muy útil en predicción.. 20.

(21)  Para entender esto, suponer que tenemos dos variables: la. pluviosidad en una determinada región y el número de turistas que llegan a dicha región. Si los turistas tienen información meteorológica sobre el tiempo que va a hacer en la región llegarán más cuando las previsiones de buen tiempo sean mejores. Por lo tanto, si hicieramos un test de Granger probablemente se rechazaría que el número de turistas no causa la pluviosidad. Esto no quiere decir que los turistas sean la causa de la pluviosidad sino sólo que los movimiento en el número de turistas preceden los movimientos de pluviosidad porque esta se puede predecir. 21.

(22)  Para realizar el contraste de causalidad de Granger se. estima w2t  c  1 w2t 1  ...   p w2t  p  1 w1t 1  ...   p w1t  p   t. y luego se contrasta H 0 : 1  ...   p  0. E-views tiene una opción para hacer esto automaticamente. 22.

(23) Endogeneidad Notar que en la forma que hemos descrito el modelo VAR las relaciones contemporaneas entre las variables permanecen dentro del termino de error: modelo VAR en forma reducida.. Supongamos, sin embargo, un modelo que describa las relaciones de contemporaneidad entre variables: modelo estructural. 𝑦𝑡 = 𝛽10 + 𝛿1 𝑧𝑡 + 𝛽11 𝑦𝑡−1 + 𝛽12 𝑧𝑡−1 + 𝑢1𝑡 (1) 𝑧𝑡 = 𝛽20 + 𝛿2 𝑦𝑡 + 𝛽21 𝑦𝑡−1 + 𝛽22 𝑧𝑡−1 + 𝑢2𝑡 (2) 23.

(24) Endogeneidad Ahora los terminos de error estarian incorrelados contemporaneamente dado que las relaciones contemporaneas ya se recogen en el modelo 𝐸 𝑢1𝑡 , 𝑢2𝑡 = 0 2 𝐸 𝑢1𝑡 = 𝜎12 2 𝐸 𝑢2𝑡 = 𝜎22. Sin embargo existen dos serios problemas en este tipo de modelo 24.

(25) Endogeneidad 1) La variable 𝑧𝑡 en la ecuacion (1) seria endogena y su parametro asociado no podria estimarse consistentemente ya que 𝑧𝑡 depende a su vez de 𝑦𝑡 y por lo tanto estaria correlacionado con el termino de error 𝐸 𝑧𝑡 , 𝑢1𝑡 ≠ 0 (3) Dicho en otras palabras, no sabemos si es 𝑧𝑡 la que explica 𝑦𝑡 o al contrario ya que ambas se determinan simultaneamente. Al ocurrir esto se incumple la condicion (3) que es una hipotesis necesaria para la estimacion por MCO. 25.

(26) Endogeneidad 2) El segundo problema es que las ecuaciones (1) y (2) no pueden identificarse como ecuaciones diferentes. Sin embargo es posible convertir el modelo estructural en un modelo VAR reducido que si esta identificado y si se puede estimar. Escribiendo el modelo estructural en forma matricial 1 −𝛿2. 𝛽10 𝛽11 −𝛿1 𝑦𝑡 = + 𝑧 𝛽20 𝛽21 1 𝑡. 𝑢1𝑡 𝛽12 𝑦𝑡−1 + 𝑢 𝑧 𝛽22 𝑡−1 2𝑡. (4). 26.

(27) Endogeneidad Notar que si premultiplicamos la expresion (4) por 1 1 1 − 𝛿1 𝛿2 𝛿2. 𝛿1 1. El model o se transforma en 𝑦𝑡 𝑎10 𝑎11 𝑎12 𝑦𝑡−1 𝑒1𝑡 𝑧𝑡 = 𝑎20 + 𝑎21 𝑎22 𝑧𝑡−1 + 𝑒2𝑡. (4)′. 27.

(28) Endogeneidad Generalmente la estimacion del modelo (4) puede obtenerse a partir de (4)' tras imponer restriciones de identificacion en el modelo estructural.. En este curso nos centraremos en modelos VAR de forma reducida (4). Los parametros de estos modelos pueden estimarse de forma consistente ya que ninguna de las variables explicativas son endogenas. 28.

(29) Endogeneidad Los terminos de error del modelo reducido presenta correlacion contemporanea ya que son combinaciones lineales de 𝑢1𝑡 y 𝑢2𝑡 𝑒1𝑡. 𝑢1𝑡 + 𝛿1 𝑢2𝑡 = 1 − 𝛿1 𝛿2. 𝑒2𝑡. 𝛿2 𝑢1𝑡 + 𝑢2𝑡 = 1 − 𝛿1 𝛿2. 𝐸 𝑒1𝑡 , 𝑒2𝑡. 𝛿2 𝜎12 + 𝛿1 𝜎22 = ≠0 1 − 𝛿1 𝛿2 29.

(30) Dependencia contemporanea  Las variables que componen un modelo VAR. generalmente están correlacionadas contemporaneamente. Por esa razón, el modelo que se utiliza para hacer análisis económico es un modelo que recoge relaciones de contemporaneidad. Por ejemplo. BX t  A0  A1 X t 1  A2 X t 2  ...  Ap X t  p  et 30.

(31)  En este caso, la dependencia contemporánea entre las. variables la recogen los parámetros del modelo y los errores de este modelo no tienen correlación contemporánea.  Es inmediato comprobar que si se premultiplica el modelo anterior por B-1 se obtiene el modelo VAR en forma reducida (el que se puede estimar). En este caso, la relación contemporánea se recoge en el vector de errores.. 31.

(32) 4.3. Estimación de modelos VAR  Los modelos VAR dado que tienen el mismo número. de variables en todas las ecuaciones se estiman eficientemente por mínimos cuadrados ordinarios ecuación por ecuación.  Esto no ocurriría si las variables en las distintas ecuaciones fueran diferentes (salvo en el caso especial de los modelos recursivos que veremos más adelante).  La estimación también es más compleja si existen componentes de medias móviles.. 32.

(33) 4.4. Modelos VAR con variables exógenas. Modelos VAR recursivos  El objetivo de la exogeneidad es reducir el análisis. econométrico reduciendo el número de ecuaciones que deben entrar en el sistema.  Por lo tanto, saber si una variable es exógena es fundamental tanto la especificación y la estimación del modelo.  Existen 3 tipos de exogeneidad.. 33.

(34)  En general, si consideramos que el vector de variables wt se. puede separar en dos (yt,zt)  Entonces:t 1 t 1 t 1 t. f (Yt , Z t / Y1 , Z1 ,  )  f (Yt / Y1 , Z1 , 1 ) f (Z t / Y1t 1 , Z1t 1 , 2 ). - Exogeneidad débil: se dice que hay exogeneidad débil cuando los parámetros λ1 y λ2 son de variación libre y no tienen elementos comunes. Además, los parámetros que queremos estimar sólo dependen de λ1. Las variables debilmente exógenas también se conocen como predeterminadas. 34.

(35)  Para que haya exogeneidad fuerte, además de las 2. condiciones anteriores, no debe haber causalidad en el sentido de Granger. En este caso f (Yt , Zt / Y1t 1 , Z1t 1 , )  f (Yt / Y1t 1 , Z1t , 1 )f (Zt / Z1t 1 ,  2 ). 35.

(36) Modelos VAR recursivos  El modelo se dice que es recursivo cuando (i) es posible. ordenar las variables de forma que las matrices tengan una estructura triangular (algunas variables no causan a otras en el sentido de Granger) y (ii) la matriz de varianzas y covarianzas es triangular.. 36.

(37) Ejemplo (1) ( 2) 0 0   w1t 2   a1t   w1t  11 0 0   w1t 1  11 w    (1)  (1) 0  w    ( 2)  ( 2) 0  w   a    2t 1   21 22   2t  2   2t   2t   21 22  w3t  31(1) 32(1) 33(1)   w3t 1  31( 2) 32( 2) 33( 2)   w3t 2  a3t .  12   0 0 . 0.  22 0. 0  0  32 . 37.

(38)  En este caso w1t no es causada por w2t y w3t. Además,. w2t no es causada por w3t . Finalmente no existen relaciones contemporaneas entre las tres variables.  Cuando se cumple la hipótesis de recursividad, todas las variables explicativas en cualquier regresión son fuertemente exógenas. El modelo puede estimarse por MCO ecuación por ecuación sin perder eficiencia.. 38.

(39) Pregunta  Indique si las siguientes variables son fuertemente. exógenas, debilmente exógenas (predeterminadas) o endógenas w1t w3t w3t-1. 39.

(40) Pregunta  Indique si las siguientes variables son fuertemente. exógenas, debilmente exógenas (predeterminadas) o endógenas w1t fuertemente exógena w3t endógena w3t-1 predeterminada. 40.

(41) 4.5. Modelos uniecuacionales  Un caso de particular interés es cuando en un conjunto de. variables sólo una de ellas es endógena y el resto son fuertemente exógenas. En ese caso podemos centrar nuestro análisis sin perdida de eficiencia en una única ecuación. Por ejemplo: * Los precios de ‘commodities’ suelen ser a menudo excelentes predictores de presiones inflacionistas. En ese caso, valdría la pena centrar nuestro análisis en una única ecuación en el que la variable dependiente fuera la inflación y las variables explicativas algunos precios de commodities. 41.

(42)  Una forma de estudiar la relación dinámica entre dos. variables dentro del ámbito de un modelo uniecuacional es el modelo de retardos distribuidos.. 42.

(43)  Un modelo de retardos distribuidos es, por ejemplo:. yt  c  1 yt 1  ...   p yt  p   0 zt  1 zt 1  ...   p zt  p  ut.  El número de retardos se puede determinar siguiendo algún. criterio de información. Los resultados clásicos del estimador MCO se mantienen para este modelo. Este modelo es el modelo de regresión dinámico clásico aunque pueden plantearse problemas en su estimación por la posible multicolinealidad entre los retardos de las variables explicativas.. 43.

(44)  El multiplicador de largo plazo (o elasticidad de largo. plazo) viene dado por  0  1  ...   p 1  1  ...   p. 44.

(45) Ejemplos 𝑦𝑡 = 0.5𝑦𝑡−1 + 𝑥𝑡−2 + 𝑢𝑡 𝑦𝑡 = 0.2𝑥𝑡−1 + 0.8𝑥𝑡−2 + 𝑢𝑡. 45.

(46) La fri se asemeja a la fac de un proceso ARMA. Los primeros b retardos son cero, desde el retardo b hasta b+m no sigue una pauta de variación clara y a partir de ahí sigue una pauta de decrecimiento.. 46.

(47) ARMA(p,q). Es estacionario si las raíces de unidad.. Función de transferencia. están fuera del círculo Es estable si las raíces de están fuera del círculo unidad.. 1. yt   p ( L) q ( L)at .. 1. yt   a ( L)wm ( L) xt . *. FAC. FRI. Si p=0 y q≠0 hay q coeficientes distintos de cero y el resto Si a=0 y m≠0 hay m coeficientes distintos de cero y el resto nulo.. nulo.. Si p≠0 y q≠0 , decrecimiento geométrico y/o sinosoidal.. Si a≠0 y m=0 , decrecimiento geométrico y/o sinosoidal.. Si. p≠0 y q≠0. , decrecimiento geométrico con valores Si a≠0 y m≠0, decrecimiento geométrico con valores iniciales. iniciales sin pauta fija.. sin pauta fija.. 47.

(48)  Los modelos de retardos distribuidos y los modelos de. función de transferencia son similares y se deben entender simplemente como formas alternativas de escribir la relación entre un grupo de variables en una ecuación.. 48.

(49) Así, si tenemos. yt  c  1 yt 1  ...   p yt  p   0 zt  1 zt 1  ...   p zt  p  ut Podemos escribirlo como. 0  1L  ...   p Lp 1 yt    z u p t p t (1  1L  ...   p L ) (1  1L  ...   p L ). 49.

(50) 4.6. Multiplicadores de impacto a largo plazo  Pero el interés de modelos de función de transferencia. no está sólo en conocer la dinámica de la respuesta de la variable dependiente a cambios en la variable explicativa sino en conocer el efecto total en el largo plazo (esto se conoce como elasticidad a largo plazo, multiplicador a largo plazo o ganancia). 50.

(51)  Ganancia: valor límite de yt* cuando experimenta un. incremento unitario sostenido (escalón).  El sistema será estable si . v  0 lo que exige que el proceso i. 0. Sea convergente. v0  v1 L  v2 L2  ... 51.

(52)  La ganancia se puede computar como: w(1) G  (1). 52.

(53) Retardo medio  Además del efecto total, resulta de interés tener una. medida sobre la velocidad a la que un shock se transmite  La rapidez de transmisión de los efectos suele describirse mediante el retardo medio. Este se define como: w' (1)  ' (1) t b. w(1). .  (1).  Un mayor retardo medio implica que el shock en una. variable tarda más en transmitirse 53.

(54) Ejemplo 1 ( 2  3L ) yt  xt . 2 (1  1.1L  0.24 L ) *. 1) Obtener la fri 2) Obtener la ganancia de este proceso. 54.

(55) 1.. Fri vt ( L) . ( 2  3L ) (1  1.1L  0.24 L2 ). (1  1.1L  0.24 L2 )(v0  v1 L  v2 L2  ...)  2  3L.. 55.

(56)  Igualando potencias, tenemos: v 0  2;.  1.1v 0 L  v1 L  3L; v 2  1.1v1  0.24v 0  0;.  En general v j  1.1v j 1  0.24v j 2  0;. 56.

(57)  La ganancia sería w0  w1  ...  wm 23 1 G    0.47. 1   1  ...   a 1  1.1  2.24 2.14. 57.

(58) Ejemplo 2  Calcular la función de respuesta a impulsos, la. ganancia y el retardo medio en la función de transferencia: yt. *. 5L2  3L3  2 L4  xt , (1  0.7 L). 58.

(59)  La ganancia sería: G. 53 2  30. 1  0.7.  El retardo medio t  2. 3 4  0.7   5.03. 5  3  2 0.3.  La función de respuesta a un impulso se deja como. ejercicio para hacer en casa. 59.

(60) 4.7. Modelos con variables integradas. Regresiones espureas. Cointegración.  Cuando las variables que integran un modelo VAR son. todas estacionarias, su dinámica también es estacionaria y es posible especificar el modelo, estimarlo e interpretar sus parámetros.  Sin embargo, si las series que disponemos tienen un orden diferente de integración es necesario diferenciar las series antes de introducirlas en el modelo econométrico:  Ninguna serie con tendencia puede ser explicada por una serie. estacionaria.  Ninguna serie estacionaria puede ser explicada por una serie con tendencia. 60.

(61) 4.7. Modelos con variables integradas. Regresiones espureas. Cointegración.  Cuando las series tienen el mismo orden de. integración, en la mayoría de los casos los residuos no son estacionarios por lo que hay que diferenciar de forma que la regresión que resulte no sea espúrea (es decir, tenga sentido).  Sólo en contados casos, la regresión que especificamos entre dos series del mismo orden de integración tendrá residuos estacionarios. Cuando esto ocurre diremos que las variables están cointegradas. En este caso si que podemos estudiar la relación entre las variables pero esto se analizará con detalle en el tema siguiente. 61.

(62) 4.8. Modelización de acontecimientos especiales. Modelos con variables artificiales A partir de especificaciones de modelos de función de transferencia y de retardos distribuidos se puede estudiar el impacto de variaciones transitorias y permanentes.. 62.

(63)  Variaciones tipo impulso. t*. 0 123. c. c. …. 1. 2. …. c. c+1 t*. t-2 t-1 t. c. …. c. c. c. …. t-2. t-1. t. 63.

(64)  Intervenciones tipo escalón. 0 1 2 3. t*. c. c. …. 1. 2. …. c. c+1 t*. t-2. c+1. t-1. t. …. c+1. c+1. c+1. …. t-2. t-1. t. 64.

(65) w( L) b y  L xt  ( L) * t. El efecto de una variación transitoria en xt viene dado por los componentes vi en los diferentes periodos de tiempo. El efecto de una variación de tipo escalón viene dado por la fórmula de la ganancia o el multiplicador de largo plazo. 65.

(66)  Todo esto es equivalente al análisis que se hace con. variables artificiales tipo impulso y tipo escalón.. 66.

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