Marcelino- Hernández y Julio Marcelino - Hernándezy Julio
Evaluación del criterio de
refracción del oleaje en la costa sur
del estado de Tamaulipas, México
Héctor Arnulfo Marcelino-Hernández¹ y Marco Julio Ulloa¹*
¹Instituto Politécnico Nacional, Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Altamira; km 14.5 Carr. Tampico-Puerto Industrial de Altamira, Altamira,
Tamaulipas, México, C.P. 89600. Tel. 01 (833) 2600125 Ext. 87513 *Contacto: [email protected]
Resumen. Con el objetivo de evaluar si el criterio de refracción del oleaje se satisface en la costa sur de Tamaulipas, se estableció una cota numérica para comparar el gradiente de profundidad con el parámetro para la aproximación de ondas cortas y largas en una malla de 204 x 222 m. Los resultados muestran que el criterio de refracción se satisface en toda la zona de estudio para periodos menores de 14.5 s. Las principales zonas que no satisfacen dicho criterio se ubican en los alrededores de tres bajos submarinos en donde se sugiere que los efectos de difracción del oleaje son importantes.
Palabras clave: Refracción del oleaje, Tamaulipas.
Abstract
Evaluation of wave refraction
criteria at the south coast of
Tamaulipas, Mexico
Héctor Arnulfo Marcelino-Hernández¹ y Marco Julio Ulloa¹*
¹Instituto Politécnico Nacional, Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Altamira; km 14.5 Carr. Tampico-Puerto Industrial de Altamira, Altamira,
Tamaulipas, México, C.P. 89600. Tel. 01 (833) 2600125 Ext. 87513 *Contact: [email protected]
Abstract. For the purposes of evaluating whether the wave refraction criteria is satisfied at the southern coast of Tamaulipas, we set a numerical limit to compare the magnitude of the depth gradient with the parameter for short-wave and long-wave approximations on a mesh of (204 x 222) m. Results show that the wave refraction criteria is satisfied at the whole study area for wave periods less than 14.5 s. The main areas that fail to satisfy such criteria lie in the neighborhood of three shallow submarine banks where it is suggested that wave diffraction effects are important.
EVALUACIÓN DEL CRITERIO DE REFRACCIÓN DEL OLEAJE EN LA COSTA SUR DE TAMAULIPAS
Marcelino- Hernández y Julio
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NATURALEZA Y DESARROLLO VOL. 10 NuM. 2 julio-DICIEMBRE 2012'
ISSN 1665-85-31 EVALUACIÓN DEL CRITERIO DE REFRACCIÓN DEL OLEAJE
EN LA COSTA SUR DE TAMAULIPAS Marcelino - Hernández y Ulloa
EVALUACIÓN DEL CRITERIO DE REFRACCIÓN DEL OLEAJE EN LA COSTA SUR DE TAMAULIPAS Marcelino - Hernández y Ulloa
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NATURALEZA Y DESARROLLO VOL. 10 ' NATURALEZA Y DESARROLLO VOL. 10 57 NuM. 2 julio-DICIEMBRE 2012 '
ISSN 1665-85-31
Introducción.
La teoría lineal del oleaje es estrictamente válida para un océano con fondo horizontal y plano (e.g., Massel, 2013). Para poder aplicar dicha teoría en la costa, donde el fondo es variable, se necesita suponer que los cambios en el gradiente de profundidad son lo suficientemente pequeños para considerarlo como si fuera plano (e.g., Kinsman, 2012). Esta suposición se conoce como el criterio de refracción del oleaje.
La simulación numérica de la propagación del oleaje puede realizarse mediante el uso de la teoría de rayos (e.g., Kinsman, 2012). En general, la información que se requiere es la frecuencia y dirección del oleaje así como la batimetría de la zona de estudio.
La validez de la simulación depende en parte del cumplimiento del criterio de refracción del oleaje que a su vez es función de la batimetría. Lo anterior constituye un aspecto fundamental al que rara vez se le da suficiente atención y por ello el propósito de la presente nota es evaluar si dicho criterio se satisface particularmente en la costa sur del estado de Tamaulipas.
Métodos.
Derivación analítica del criterio de refracción del oleaje
Considerar la Ecuación de la Pendiente Suave que describe los efectos combinados de la refracción y difracción del oleaje (e.g., Massel, 2013),
(1)
donde y son la rapidez de fase y la velocidad de grupo de la ola, la solución que se busca, es la amplitud compleja de la oscilación de la superficie del agua que consta de un módulo que representa la amplitud de la oscilación y un argumento que representa la fase relativa de la misma, es el número de onda y es el operador gradiente en la horizontal. Sea una solución de la forma , donde es la amplitud física (la mitad de la altura de la ola) y
la función de fase. Sea , el ángulo de fase.
La substitución de en la ec. (1) da por resultado, (2)
La parte real de la ec. (2) puede expresarse como, (3)
donde es un caso límite que se utiliza para el trazo de rayos (Ecuación de la Eikonal). Entonces, para que sea una solución de la ec. (1), se debe satisfacer:
(4)
(5)
La condición dada por la ec. (4) define el criterio de refracción y difracción del oleaje, en tanto que la condición expresada en la ec. (5) es conocida en investigaciones de la Ecuación de Helmholtz (Skovgaard y Jonsson, 1981). Es posible demostrar que la ec. (4) puede expresarse como (e.g., Marcelino-Hernández, 2012),
(6)
en donde es la profundidad del fondo del mar, es el gradiente máximo de la profundidad local, y es la pendiente máxima de la amplitud en la superficie. El término
implica una restricción sobre la pendiente del fondo y el término una restricción en la curvatura de la amplitud de la onda (Skovgaard y Jonsson, 1981). En el trazado numérico de rayos no es prerrequisito conocer la amplitud de la ola y la condición dada por la ec. (6) se puede simplificar a,
Marcelino- Hernández y Julio
Marcelino - Hernández y Ulloa Marcelino - Hernández y Ulloa
(7)
Esta condición se conoce como el criterio de refracción del oleaje. El gradiente de profundidad, , se calcula a través de la batimetría de la zona de estudio mientras que el parámetro se obtiene a partir de la relación de dispersión de la teoría lineal del oleaje y representa una escala de longitud con la cual se realizan aproximaciones para ondas cortas y ondas largas (e.g., Massel, 2013). La relación de dispersión es dada por donde es la aceleración de la gravedad y el periodo de la ola (e.g., Kinsman, 2012).
Evaluación del criterio de refracción del oleaje
En la práctica, no es fácil satisfacer el criterio de refracción del oleaje dado por la ec. (7). Considerar la profundidad a la cual la pendiente del fondo comienza a afectar la propagación del oleaje, (e.g., Kinsman, 2012), la cual puede escribirse como . Para satisfacer la ec. (7) de un modo conveniente se ha elegido que el término no debe ser mayor que el 1% del valor del parámetro , es decir,
(8)
La ec. (8) proporciona una cota específica para evaluar el criterio de refracción del oleaje. Para ello, se ha seleccionado como ejemplo la costa sur del estado de Tamaulipas. La batimetría se obtuvo a partir de la digitalización de las cartas náuticas digitales números 28320 y 28330 elaboradas por la Agencia Nacional de Imagen y Mapeo de los Estados Unidos de América. Estas cartas se basan en fuentes de información proporcionadas por la Secretaría de Marina Armada de México y el Ministerio de Marina del Reino Unido (Secretaría de Marina, 2012).
Las profundidades de las cartas náuticas son dadas en metros y referidas al nivel medio de bajamar. En la generación de la batimetría, se ha utilizado un tamaño de malla de profundidades en longitud Oeste y latitud Norte de 0.002° x 0.002° que equivale a 204 m x 222 m aproximadamente.
Dado un periodo del oleaje, se obtuvo en toda la malla de profundidades que constituye la batimetría de la zona de estudio mediante el método iterativo descrito en Wiberg y Sherwood (2008). La malla también se utilizó para obtener el término a través de las funciones intrínsecas del paquete de cómputo MATLAB®. Una vez conocido y , la ec. (8) se evalúa fácilmente. La precisión de todos los cálculos efectuados es de .
Resultados y Discusión.
En la Figura 1 se presenta la batimetría de la zona de estudio. Los símbolos en la forma de cruces indican la distribución de las mediciones de profundidad (puntos batimétricos) empleada para generar las isobatas. Se resaltan las isobatas de 10 m y 700 m para indicar las profundidades en las cuales la pendiente del fondo comienza a afectar la propagación de las olas con un periodo de 3.6 y 30.0 s, respectivamente. La mayor densidad de puntos batimétricos se encuentra en profundidades menores de 100 m.
Con base en la solución iterativa de y la resolución de la malla de profundidades, se encontró que para periodos menores de 14.5 s el criterio de refracción dado por la ec. (8) se satisface en toda la zona de estudio. La zona donde la ec. (8) no se cumple para oleaje con un periodo de 14.5 s se muestra como una zona sombreada en la Figura 1, a una latitud aproximada de 22.3°. Ésta corresponde a una montaña submarina que surge cerca de la superficie del agua a una profundidad de 10 m (bajo submarino), la cual fue reportada en 1926 de acuerdo con la carta náutica número 28320. Nótese que los bajos submarinos que se observan como isobatas cerradas en la Figura 1, uno de ellos ubicado a una latitud aproximada de
Figura 1. Batimetría de la zona de estudio. La zona sombreada enfatiza la zona donde el criterio de refracción no se satisface para oleaje con un periodo de 14.5 s.
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ISSN 1665-85-31 EVALUACIÓN DEL CRITERIO DE REFRACCIÓN DEL OLEAJE
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22.6° (47 m de profundidad) y el otro a una longitud aproximada de 97.2° (25 m de profundidad), no se encuentran sombreados. La implicación lógica es que las técnicas convencionales que utilizan la teoría de rayos para simular la refracción del oleaje no serían válidas en esta zona, lo que lleva a sugerir que los efectos de difracción son ahí importantes. Nótese en particular la poca densidad de puntos batimétricos entre las isobatas de 200 m y 700 m.
La Figura 2 muestra las zonas donde no se cumple la ec. (8) para oleaje con un periodo de 30.0 s. En contraste con la Figura 1, las tres zonas con bajos submarinos ubicadas entre las latitudes Norte 22.2° y 22.6° y entre las longitudes Oeste 97.2° y 97.4°, se encuentran ahora completamente sombreadas. La distribución y densidad de puntos batimétricos son factores que influyen en la generación de las isobatas, y cuando éstos son insuficientes para estimar adecuadamente la pendiente del fondo, condicionan el incremento de las zonas sombreadas al evaluar la ec. (8).
Figura 2. Invalidez (zonas sombreadas) del criterio de refracción expresado a través de la ec. (8) para oleaje con un periodo de 30.0 s.
Un incremento en la distribución y densidad de puntos batimétricos implica efectuar mediciones de profundidad confiables en mar abierto, en aquellas zonas donde las mediciones son escasas. Sin embargo, dadas las dimensiones de los océanos en general, la logística para realizar levantamientos batimétricos en áreas extensas es muy cara. Para reducir las zonas donde la pendiente del fondo es relativamente abrupta se puede disminuir la resolución de la malla de profundidades, pero aunque el número de zonas sombreadas decrecería con una resolución menor de 0.002°, es más significativo estudiar los efectos de la difracción del oleaje en los bajos submarinos.
Conclusiones.
La batimetría de la costa sur del estado de Tamaulipas presenta pocas zonas donde no se satisface el criterio de refracción del oleaje (Figuras 1 y 2), principalmente en bajos submarinos con cambios notorios de profundidad, donde la insuficiencia de puntos batimétricos no permite una mejor representación de las isobatas alrededor de ellos. En consecuencia, el criterio de refracción del oleaje se satisface en la mayor parte de la zona de estudio, y así se justifica simular la propagación del oleaje por medio de la teoría de rayos. No obstante, la utilización de la teoría de rayos se considera una primera aproximación, pues su completa validez solo podrá efectuarse mediante una comparación con mediciones de los parámetros del oleaje en el sitio de interés.
Agradecimientos.
El presente trabajo recibió apoyo del Instituto Politécnico Nacional a través de los proyectos internos 20090085, 20100086 y SIP-20110399. Se agradecen las observaciones del Comité Editorial, del Editor en Jefe y de los revisores para mejorar la calidad y claridad del manuscrito.
Marcelino- Hernández y Julio Marcelino - Hernándezy Julio Marcelino - Hernández y Ulloa
Literatura Citada.
Kinsman, B. 2012. Wind Waves: Their generation and propagation on the ocean surface. Dover Publications: Estados Unidos de América. Marcelino-Hernández, H.E. 2012. Estimación del espectro direccional del oleaje en Playa Miramar, Tamaulipas. Tesis de Maestría. Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada, Unidad Altamira, Instituto Politécnico Nacional.
Massel, S.R. 2013. Ocean Surface Waves: Their physics and prediction. World Scientific Publishing Company: Reino Unido.
Secretaría de Marina. 2012. Catálogo de Cartas y Publicaciones Náuticas 2012.
Dirección General de Investigación y Desarrollo. Secretaría de Marina Armada de México. http:// digaohm.semar.gob.mx/imagenes/hidrografia/ CATALOGO2012.pdf
Skovgaard, O. & I.G. Jonsson. 1981. Computation of wave fields in the ocean around an island. Int. J. Numer. Meth. Fl. 1, 237-272.
Wiberg, P.L. & C.R. Sherwood. 2008. Calculating wave-generated bottom orbital velocities from surface-wave parameters. Comput. Geosci. 34, 1243-1262.
Cita sugerida: Marcelino-Hernández, H. y M. J. Ulloa. 2013. Evaluación del criterio de refracción del oleaje en la costa sur del estado de Tamaulipas, México. Naturaleza y Desarrollo 10 (2), 54-62. Recibido: 1/12/11 Aceptado: 14/05/12 M M M M M
