Funciones: raíz cuadrada, potencia, exponencial y logaritmo

Función raíz cuadrada

La función raíz cuadrada de un número, es el número mayor o igual que cero, que elevado al cuadrado se obtiene el primer número. Su notación es =√

Por ejemplo 9=√9 si calculamos el valor √9 = 3 , puesto que 3ଶ = 9.

Es importante aclarar que como condición se mencionó anteriormente que el número obtenido debía ser mayor o igual a cero, por esto no consideramos que √9 = −3, siendo que se cumple que (−3)ଶ = 9.

=√

Algunos ejemplos

4=√4 = 2

25=√25 = 5

−9=√−9 no definida en IR , su solución es un número complejo. Para realizar su gráfica podemos tomar algunos valores

= 0 = 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9

() √₀ √₁ √₂ √₃ √₄ √₅ √₆ √₇ √₈ √₉

0 1 2 3

Sólo algunos de ellos son valores exactos, que son los que nos ayudarán a trazar su gráfica.

Podemos visualizar que = 0, ∞ y también que = 0, ∞

Nota: Tanto los valores del dominio como recorrido cambiarán de acuerdo la función raíz que ocupemos. Analizaremos una función raíz cuadrada que no se encuentre centrada en el origen.

Ejemplo. Analizar la función =√+ 2 − 3

En primer lugar analizamos los valores que podemos ocupar en el dominio de la función. Para que √+ 2 se encuentre definida, la parte subradical debe ser mayor o igual que cero, por ende, se debe cumplir que: + 2 ≥ 0

Al resolver esta inecuación simple, se obtiene que ≥ −2 Luego el dominio de esta función es: = −2, ∞

= −2 = −1 = 0 = 1 = 2 = 3 () √_{−2 + 2 − 3} √_{−1 + 2 − 3} √_{0 + 2 − 3} √_{1 + 2 − 3} √_{2 + 2 − 3} √_{3 + 2 − 3} √0 − 3 √1 − 3 √4 − 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 () _{√4 + 2 − 3} √_{5 + 2 − 3 √6 + 2 − 3 √7 + 2 − 3 √8 + 2 − 3 √9 + 2 − 3} √9 − 3 Los valores exactos que se obtienen para realizar la gráfica son

−2=√−2 + 2 − 3 =√0 − 3 = 0 − 3 = −3

−1=√−1 + 2 − 3 =√1 − 3 = 1 − 3 = −2

2=√2 + 2 − 3 =√4 − 3 = 2 − 3 = −1

7=√7 + 2 − 3 =√9 − 3 = 3 − 3 = 0

Al visualizar la gráfica podemos verificar que = −3, ∞

De forma algebraica =√+ 2 − 3, al despejar la raíz obtenemos + 3 =√+ 2 Luego al analizar que √ + 2 ≥ 0 también podemos decir que + 3 ≥ 0

Finalmente, se obtiene que ≥ −3, por ende el = −3, ∞ Traslación de gráficas

=√+ ℎ +

El valor de indica un desplazamiento horizontal de la gráfica, pero en forma contraria al valor indicado por ℎ. Por ejemplo, en la función =√+ 2 − 3, la gráfica se desplaza dos unidades a la izquierda.

El valor de indica un desplazamiento vertical de la gráfica, en el mismo sentido que indica ℎ. Por ejemplo, en la función =√+ 2 − 3, la gráfica se desplaza tres unidades hacia abajo.

Función potencia de base real y exponente natural

La función potencia es de la forma =௡ donde ∈ ℕ, ∈ ℝ

Consideramos el análisis en forma separada cuando el exponente sea par o impar.

Exponente par La función es de la forma =ଶ ; =ସ ; =଺ ; … ∶ =௡

Al realizar un análisis del comportamiento de estas gráficas, podemos decir que todas ellas son gráficas simétricas con respecto al eje y, es decir, son funciones pares.

Nota: Una función es par si satisface que f(x)= f(−x) Por ejemplo para =ଶ

, si analizamos −= (−)ଶ =ଶ

luego f(x)= f(−x). Análogamente podemos verificar lo mismo para =ସ ; =଺

Las gráficas correspondientes son:

=ଶ

=଺

Todas estas gráficas poseen igual dominio y recorrido.

=ଶ = ℝ = 0, ∞

=ସ = ℝ = 0, ∞

=଺

= ℝ = 0, ∞

A medida que el exponente va aumentando, la gráfica cada vez se va haciendo más estrecha.

Exponente impar

La función sería de la forma =ଵ

; =ଷ

; =ହ

; … ∶ =௡

Al realizar un análisis del comportamiento de estas gráficas, podemos decir que todas ellas son gráficas simétricas con respecto al origen (0,0), es decir, son funciones impares.

Nota: Una función es impar si satisface que (f − = −x) f x( ) Por ejemplo para =ଷ

, si analizamos −= (−)ଷ

= −ଷ

luego (f − = −x) f x( ). Análogamente podemos verificar lo mismo para =ହ

; =଻ Las gráficas correspondientes son:

=ହ

Todas estas gráficas poseen igual dominio y recorrido.

=ଷ = ℝ = ℝ

=ହ

= ℝ = ℝ

A medida que el exponente va aumentando, la gráfica se va haciendo más angosta.

Función exponencial

La función exponencial es de la forma =௫, > 0;≠ 1

( un número real positivo, distinto de 1) Las gráficas se dividen en dos grandes grupos

Caso 2.- > 1 la gráfica es estrictamente creciente

Analizaremos en primer lugar la función =ଵ ଶ

௫

Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene:

= −3 = −2 = −1 = 0 = 1 = 2 = 3 =1 2 ௫ 1₂ ିଷ 1₂ ିଶ 1₂ ିଵ 1₂ ଴ 1₂ ଵ 1₂ ଶ 1₂ ଷ 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 =1 2 ௫

El dominio de esta función es: = ℝ El recorrido de esta función es: = 0, ∞

Analizaremos en primer lugar la función = 2௫

Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene:

= −3 = −2 = −1 = 0 = 1 = 2 = 3 = 2௫ 2ିଷ 2ିଶ 2ିଵ 2଴ 2ଵ 2ଶ 2ଷ 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 = 2௫

El dominio de esta función es: = ℝ El recorrido de esta función es: = 0, ∞ Si ponemos atención en las gráficas de = 2௫

y =ଵ_ଶ ௫

podemos observar que ambas gráficas tienen un punto en común, que es (0,1).

Para cualquier función exponencial de la forma =௫

, el punto de intersección con el eje y, siempre será el punto (0,1).

Esto proviene de la propiedad de potencias ଴ = 1, ∀ ≠ 0

Función Logaritmo

La función logaritmo es de la forma =௔ > 0;> 0

Al igual que la función exponencial, debemos considerar el valor de para iniciar el análisis.

Caso 1.- 0 << 1 la gráfica es estrictamente decreciente

Caso 2.- > 1 la gráfica es estrictamente creciente

Analizaremos en primer lugar la función =ଶ (“logaritmo en base 2 de x”) Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene:

= 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8

=ଶ ଶ1 ଶ2 ଶ3 ଶ4 ଶ5 ଶ6 ଶ7 ଶ8

0 1 2 3

=ଶ

La gráfica no toma valores negativos (ni cero) en su dominio, a su vez, en su recorrido es estrictamente creciente.

El dominio de esta función es: = 0, ∞ El recorrido de esta función es: = ℝ

Analizaremos en primer lugar la función =భ మ

(“logaritmo en base ½ de x”) Si evaluamos algunos puntos para poder graficar, se obtiene:

= 1 = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 =ଵ ଶ ଵ ଶ 1 ଵ ଶ 2 ଵ ଶ 3 ଵ ଶ 4 ଵ ଶ 5 ଵ ଶ 6 ଵ ଶ 7 ଵ ଶ 8 0 −1 −2 −3 =ଵ ଶ

La gráfica no toma valores negativos (ni cero) en su dominio, a su vez, en su recorrido es estrictamente decreciente.

El dominio de esta función es: = 0, ∞ El recorrido de esta función es: = ℝ

Si ponemos atención en las dos gráficas analizadas, ambas tienen en común el punto (1,0). Para cualquier función logaritmo de la forma =௔ , el punto de intersección con el eje x, siempre será el punto (1,0).

Esto proviene de la propiedad de logaritmo ௔1 = 0 , ∀ > 0 Tanto las funciones exponencial y logaritmo son inversas entre sí.