tema2 presentación

(1)

Tema 2: Introducci´

on a la Estad´ıstica Descriptiva

Contenidos

I ¿Qu´e es laEstad´ıstica? - Definici´on.

I Palabras clave: población, parámetro, muestra, estad´ıstico, tamaño poblacional, tamaño muestral, individuos, objetos.

I Tipos de variables: categ´orica (ordinal, nominal) y num´erica (discreta, continua).

I ¿Por qu´e una muestra? Definici´on de muestra aleatoria simple.

(2)

Contenidos

I Gr´aficasparadatos categ´oricos(diagrama de barras, diagrama de sectores).

I Gr´aficasparadatos num´ericos(histograma, pol´ıgono de frecuencias, diagrama de cajas).

I Medidas num´ericas para describir:

I tendencia central (media, mediana, moda)

I variación (varianza, desviación t´ıpica, cuasi-varianza y cuasi-desviación t´ıpica, rango, RIC, coeficiente de variación)

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Lecturas recomendadas

I Pe˜na, D., Romo, J.,Introducci´on a la Estad´ıstica para las Ciencias Sociales.

I Cap´ıtulos 1, 2, 3, 4, 5.

I Newbold, P.Estad´ıstica para los Negocios y la Econom´ıa(2009). I Cap´ıtulo 1

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Definici´

on de Estad´ıstica

Definici´on. LaEstad´ısticaes la ciencia que trata de:

I recoger, organizar, resumir, presentar, interpretar y procesar datos para convertir los datos en informaci´on

⇐Estad´ıstica Descriptiva

I predicciones, pron´osticos, estimaci´on

⇐Inferencia Estad´ıstica

• ¿En qué ocasiones escuchaste/viste la palabraestad´ıstica? ◦ Resúmenes de partidos de fútbol/tenis

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Palabras clave

I Unapoblaci´ones la colecci´oncompletade todos los

´ıtems/individuos/objetos/sujetos de interés, o bajo investigación. N representa el tamaño poblacional

I Unamuestraes un subconjunto de la poblaci´on, elegida habitualmente para investigar las propiedades de la poblaci´on subyacente.

n representa el tama˜no muestral

I Unpar´ametroes una caracter´ıstica espec´ıfica de una poblaci´on (fija).

I Unestad´ısticoes una caracter´ıstica espec´ıfica de una muestra (var´ıa de muestra en muestra).

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Ejemplos

I Pob todos los estudiantes de la UC3M. Variable: altura∈(0,∞)

Param: Altura media detodoslos estudiantes. Estad´ıstico: Altura media de

los estudiantesmuestreados.

I Pob: todos los peces de un lago. Variable: tama˜no∈ {G,M,P}

Param: Número de peces pequeños entodoel lago. Estad´ıstico: Número de peces pequeñoscapturados.

I Pob: todos los pacientes del Hospital de Getafe. Variable: grupo sangu´ıneo∈ {A, B, AB, O}

Param: Porcentaje de grupo sangu´ıneo AB entretodoslos pacientes.

Estad´ıstico: porcentaje de grupo sangu´ıneo AB entre los pacientes

muestreados.

I Pob: todas las bombillas de la marcaAcme. Variable: tiempo de vida en d´ıas ∈ {0,1,2, . . .}.

Param: Variaci´on en el tiempo de vida detodaslas bombillas. Estad´ıstico:

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Tipos de datos

Datos (Variables)

. &

Categ´oricos (Cualitativos) Num´ericos (Cuantitativos)

. & . &

Ordinales Nominales Discretos Continuos

clases ordenables sin orden natural entero no entero

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

Talla de ropa: Grupo sangu´ıneo: node hijos: Altura:

G>M>P A,B,AB,O 0,1,2,. . . 1.55cm, 1.71cm

Notaci´on:Se usan en general las letrasX,Y,Z. Ejemplo:

X = altura en cm (letrasmay´usculasen definici´on)

x = 1.55 (letrasmin´usculaspara valores espec´ıficos)

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¿Por qu´

e se usa una muestra?

En la pr´actica no estudiamos la poblaci´on porque:

I Podemos destruir la poblaci´on (ej. tiempo de vida de una bombilla).

I La poblaci´on puede existir como concepto pero no en la realidad (ej. poblaci´on de ´ıtems defectuosos).

I Imposible de realizar (ej. poblaci´on de todos los peces del mar).

I Demasiado caro.

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Definici´

on de muestra aleatoria simple (

m.a.s.

)

Definici´on. Unamuestra aleatoria simplees una parte de la poblaci´on obtenida de forma que,

I cada miembro de la poblaci´on se elige estrictamente al azar,

I cada miembro tiene la misma probabilidad de ser elegido, y

I cada posible muestra denobjetos es igualmente probable de ser elegida. Notaci´on:Una muestra de tama˜nonobtenida de una variableX significa que:

I Tenemosnindividuos seleccionados aleatoriamente de una poblaci´on.

I Para cada uno de los individuos conocemos el valor de la variableX.

I SiX es categ´orica o discreta, es conveniente escribir losdiferentesvalores muestrales que tomaX comox1,x2, . . . ,xk, k≤n(ordenados desde el

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Frecuencias y distribuciones de frecuencias

Definici´on. Unadistribuci´on de frecuenciases

I unalista o una tabla. . .

I conteniendoagrupaciones de clases(categor´ıas o intervalos donde toman valor los datos). . .

I y las correspondientes frecuenciasmediante las cuales los datos toman valor dentro de cada clase o categor´ıa.

Frecuencias:

I frecuencia absoluta es el (n´umerode veces que el valor aparece en la muestra).

(11)

¿Por qu´

e usar distribuciones de frecuencias?

I Una distribuci´on de frecuencias es una forma de resumir los datos.

(12)

Agrupaciones por clases: datos categ´

oricos y discretos

Frec. Frec.

Frec. Frec. Absol. Relat.

Clase,xi Absol.,ni Relat.,fi Acumul.,Ni Acumul.,Fi

x1 n1 f1= n_n1 N1=n1 F1=f1

x2 n2 f2= n_n2 N2=N1+n2 F2=F1+f2

..

. ... ... ... ...

xk nk fk =n_nk Nk =n Fk = 1

Total n 1 vac´ıo vac´ıo

Nota:

I ni = n´umero dexi en la muestra,fi = n´umero de_n xi

I Ni=Ni−1+ni,Fi =Fi−1+fi

I 0≤fi,Fi≤1

(13)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 1: Los datos inferiores muestran el grupo sangu´ıneo al que pertenecen los 40 individuos de una muestra.

AB, A, B, O, A, A, A, B, O, AB,

B, O, B, B, B, A, A, A, AB, B,

O, A, A, A, AB, AB,O, B, B, AB,

O, B, O, O, A, A, O, B, AB, AB

I ¿Qué tipo de variable esgrupo sangu´ıneo? Obtén la distribución de frecuencias de los datos.

I ¿Qu´e porcentaje de la gente de la muestra pertenece al grupo sangu´ıneo A?

(14)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 1 cont.:

I Categ´orica, nominal con 4 clases diferentes. La distribuci´on de frecuencias es:

Frecuencia Frecuencia

Clase Absoluta Relativa

A 12 0.300

B 11 0.275

AB 8 0.200

O 9 0.225

Total 40 1

I 30 %

(15)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 2: La tabla inferior muestra diferentes niveles de satisfacci´on (I=insatisfecho, M=muy, S=satisfecho) en relaci´on a 901 empleados.

Frecuencia

Clase Absoluta

MI 62

I 108

S 319

MS 412

Total 901

I ¿Qué tipo de variable se está estudiando? Obtén la distribución de frecuencias de los datos.

I ¿Qu´e porcentaje de la gente muestreada est´a satisfecha?

I ¿Cu´antos individuos est´an insatisfechos o peor? ¿En %?

(16)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 2 cont.:

I Categ´orica, ordinal con 4 clases diferentes. La distribuci´on de frecuencias es:

Frecuencia Frecuencia Absoluta Relativa

Clase Absoluta Relativa Acumulada Acumulada

MI 62 0.07 62 0.07

I 108 0.12 170 0.19

S 319 0.35 489 0.54

MS 412 0.46 901 1

Total 901 1

I 35 %

I 170, 19 %

I 319 + 412 = 731 ´o 901−170 = 731, 35 % + 46 % = 81 % ´

(17)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 3:De entre las plantas que han sido tratadas con un nuevo pesticida, se seleccionaron 50 para evaluar el comportamiento del nuevo pesticida. En cada una de las plantas muestreadas se contó el número de hojas atacadas por un hongo. El resultado se muestra a continuación.

Frecuencia

xi Absoluta

0 6

1 10

2 12

3 8

4 5

5 4

6 3

8 1

10 1

(18)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 3 cont.:

I ¿Qué puedes decir acerca de la variable en estudio? Obtén su distribución de frecuencias.

I ¿Qu´e porcentaje de las plantas muestreadas tuvo s´olo 3 hojas atacadas?

I ¿Cu´antas plantas muestreadas tuvieron no m´as de 3 hojas atacadas?

I ¿Cu´antas plantas muestreadas tuvieron al menos 6 hojas atacadas?

I ¿Qu´e porcentaje de las plantas muestreadas tuvo entre 3 y 5 hojas atacadas?

I ¿Qu´e porcentaje de las plantas muestreadas tuvo al menos 8 hojas atacadas?

(19)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 3 cont.:

I Num´erica, discreta con 9 valores diferentes. La distribuci´on de frecuencias es:

xi Absoluta Relativa Acumulada Acumulada

0 6 0.12 6 0.12

1 10 0.20 16 0.32

2 12 0.24 28 0.56

3 8 0.16 36 0.72

4 5 0.10 41 0.82

5 4 0.08 45 0.90

6 3 0.06 48 0.96

8 1 0.02 49 0.98

10 1 0.02 50 1

(20)

Agrupaciones por clases

Ejemplo 3 cont.:

I 16 %

I 36

I 3 + 1 + 1 ´o 50−45 = 5

I 16 % + 10 % + 8 % = 34 % ´o (8 + 5 + 4)/50 = 34 %

I 2 % + 2 % = 4 % ´o 100 %−96 % = 4 %

(21)

Agrupaciones por clases que son intervalos: datos

continuos (y discretos)

Intervalo Marca de clase

[li−1,li) xi =

li+li−1

2 ni fi Ni Fi

[l0,l1) x1 n1 f1 N1 F1

[l1,l2) x2 n2 f2 N2 F2

..

. ... ... ... ... ...

[lk−1,lk) xk nk fk n 1

Total n 1 vac´ıo vac´ıo

Nota:

I Seincluye el extremoizquierdo, pero seexcluyeel extremoderecho

(convenci´on t´ıpica).

I Es posible aplicar la convenci´on en sentido opuesto - verifica su definici´on en el software.

(22)

Agrupaciones por clases que son intervalos: datos

continuos (y discretos)

I Muy frecuentemente los intervalos tomados como clases poseen la misma amplitud.

I Determinar la amplituda para cada intervalo mediante

a= número mayor - número menor número de intervalos deseados

I ¿Cuántos intervalos? Aproximadamente entre 5 y 20. Más concretamente: I k≈√nsinespequeño.

I k≈1 + 3,22 log(n) sinesgrande.

I Los intervalos nunca se solapan.

(23)

Agrupaciones por clases que son intervalos: datos

continuos (y discretos)

Ejemplo 4: Un fabricante de aislantes selecciona al azar 20 d´ıas de invierno y anota la temperatura m´as elevada del d´ıa (en grados Fahrenheit)

24,35,17,21,24,37,26,46,58,30,

32,13,12,38,41,43,44,27,53,27

Obt´en la distribuci´on de frecuencias de los datos.

I Se ordenan los datos primarios en orden ascendente:12, 13, 17, 21, 24, 24, 26, 27, 27, 30, 32, 35, 37, 38, 41, 43, 44, 46, 53, 58

I Se obtiene el rango (valor mayor – valor menor):58−12 = 46

I Se selecciona el n´umero de clases: es decirk= 5

I Se calcula la amplitud de los intervalos: 10 (46/5⇒redondeo).

I Se determinan los extremos:10 pero menor que 20, 20 pero menor que 30, etc.

(24)

Agrupaciones por clases que son intervalos: datos

continuos (y discretos)

Ejemplo 4 cont.:

Intervalo Marca de clase ni fi Ni Fi

[10,20) 15 3 0,15 3 0,15

[20,30) 25 6 0,30 9 0,45

[30,40) 35 5 0,25 14 0,70

[40,50) 45 4 0,20 18 0,90

[50,60) 55 2 0,10 20 1

Total 20 1

I ¿En cu´antos d´ıas la temperatura se encontraba por debajo de 30o_F?

¿En %?

(3 + 6 = 9, que es el 45 %)

I ¿En cu´antos d´ıas la temperatura se encontraba en al menos 45o_{F? ¿En %?}

(2 + 445−40

(25)

Representaci´

on gr´

afica de datos

Una vez obtenida la distribuci´on de frecuencias de los datos, se pueden determinar las siguientes representaciones gr´aficas:

Categ´orico Num´erico

⇓ ⇓

•diagrama de sectores •histograma

(26)

Gr´

aficos para datos cualitativos: diagrama de sectores

Ejemplo 1: La siguiente tabla de frecuencias corresponde a los datos de grupos sangu´ıneos obtenidos de una muestra de 40 individuos.

Clase Absoluta Relativa

A 12 0.300

B 11 0.275

AB 8 0.200

O 9 0.225

(27)

Diagrama de sectores

Ejemplo 1 cont.:

I Cada sector es una fracci´on del total del c´ırculo.

I Los sectores est´an etiquetados con losnombres de las clases.

I Muchos programas ordenan las clases en orden alfab´etico.

I Aunque esvistoso, es m´as complejo de leer que el diagrama de barras.

(28)

Gr´

aficos para datos cualitativos: diagrama de barras

Ejemplo 2: La tabla inferior muestra diferentes niveles de satisfacci´on en relaci´on a 901 empleados.

Clase Absoluta Relativa Acumulada Acumulada

MI 62 0.07 62 0.07

I 108 0.12 170 0.19

S 319 0.35 489 0.54

MS 412 0.46 901 1

(29)

Diagrama de barras

Ejemplo 2 cont.:

I Las barras tienen la misma amplitud y son equidistantes, con alturas correspondientes a las frecuencias (absolutas).

I Existenhuecosentre las barras.

I Las barras est´an etiquetadas con losnombres de las clases.

(30)

Diagrama de barras

I Los diagramas de barras pueden construirse tambi´en para datos discretos si no existen demasiados valores diferentes.

I Este es el diagrama de barras para el Ejemplo 3del Tema 1, donde se consideraba el n´umero de hojas infectadas por un hongo en una muestra de 50 plantas.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FRECUENCIAS

0

2

4

6

8

10

(31)

Gr´

aficos para datos cuantitativos: histograma y pol´ıgono

de frecuencias

Ejemplo 4: La distribuci´on de frecuencias de la temperatura m´as alta del d´ıa (en gradosoF) tomada en 20 d´ıas de invierno es como sigue:

Intervalo Marca de clase ni fi Ni Fi

[10,20) 15 3 0,15 3 0,15

[20,30) 25 6 0,30 9 0,45

[30,40) 35 5 0,25 14 0,70

[40,50) 45 4 0,20 18 0,90

[50,60) 15 2 0,10 20 1

(32)

Histograma y pol´ıgono de frecuencias

I Nohay huecosentre las barras/cajas.

I Amplitud de cajas≡amplitud de intervalos (id´enticos) y los l´ımites de las clases se marcan en el eje horizontal.

I Alturas de cajas≡frecuencias (aqu´ı, absoluta).

(33)

Histogramas de ´

area 1 (sobre una escala de densidad)

I Amplitud de cajas≡amplitud de intervalos(no necesariamente id´enticos).

I alturasde cajas = _li₋fi_li

−1

(34)

Descripci´

on num´

erica de datos

Centro Variaci´on Otros

⇓ ⇓ ⇓

• media •rango •cuartiles

• mediana •rango intercuart´ılico •percentiles • moda •varianza

•desviaci´on t´ıpica •coef. de variaci´on

Nueva notaci´on:

n X

i=1

xi =x1+x2+. . .+xn

(P_:_suma,_i_{= 1}_{: el l´ımite inferior,} _n_{: el l´ımite superior,}_x

i: ejemplo de f´ormula dependiente dei)

Ejemplo:

3 X i=−1

(35)

Tendencia central: media (aritm´

etica)

I La medida de tendencia central m´as com´un.

I Media poblacional.

µ= PN

i=1xi

N =

x1+. . .+xN

N

I Media muestral

¯ x=

Pn i=1xi

n =

x1+. . .+xn

n

I Sia,b(b6= 0) son n´umeros reales ey=a+bx, se tiene

¯

y=a+b¯x

I Afectadopor valores extremos (observaciones at´ıpicas (outliers)). Ejemplo:X:3,1,5,4,2, Y:3,1,5,4,200

¯

x =3 + 1 + 5 + 4 + 2

5 = 3 ¯y =

(36)

Tendencia central: mediana

I En la lista de observacionesordenada, la medianaM es el n´umero que est´a en la mitad de la lista.

M=

x((n+1)/2) sinimpar (n´umero en la mitad) x₍_n_/₂₎+x₍_n_/₂₊₁₎

2 ifnpar (promedio de los dos n´umeros en la mitad)

(x(1),x(2), . . . ,x(n)significa que las observaciones est´anordenadas en orden

creciente, ej.x(1)=xm´ın,x(n)=xm´ax)

I No afectadoporobservaciones at´ıpicas (outliers)

Ejemplo:Dadas las observaciones 3,1,5,4,2 (n= 5), ordenar los datos1,2, 3 ,4,5, e identificar el/los n´umeros situados en la mitad de la lista

M=x((5+1)/2)=

3o_menor z}|{

x(3) = 3

Ejemplo:Dadas las observaciones 3,1,5,4,2,0 (n= 6), ordenar los datos

0,1, 2,3 ,4,5, e identificar el/los n´umeros en la mitad de la lista

M=x(6/2)+x(6/2+1)

2 =

el promedio del 3oy el 4o z }| {

x(3)+x(4)

2 =

(37)

Tendencia central: moda

I El valor que aparecem´as a menudo.

I No afectadopor valores at´ıpicos=outliers.

I Utilizado tanto para datos num´ericos como categ´oricos.

I Puede no haber moda o puede haber m´as de una moda.

Ejemplo: Dadas las observaciones 3,1,5,4,2,nohay moda

(38)

Forma: comparaci´

on de la media y la mediana

Tres tipos de distribuciones:

I Asim´etrica a la izquierda Media<Mediana.

I Sim´etricaMedia=Mediana.

I Asim´etrica a la derechaMediana <Media.

LEFT−SKEWED

x <<< M

SYMMETRIC

x === M

RIGHT−SKEWED

M <<< x

Asimétrica Izquierda Simétrica Asimétrica Derecha

Nota:La distribuci´on en que est´a en el centro se conoce como normal o

(39)

Cuartiles y percentiles

I Loscuartilesdividen los datosordenadosen cuatro segmentos que recogen la misma cantidad de observaciones.

I Elprimer cuartilQ1 ocupa la posici´on 1₄(n+ 1).

I Elsegundo cuartilQ2 (= mediana) ocupa la posici´on 1₂(n+ 1).

I Eltercer cuartilQ3ocupa la posici´on 3₄(n+ 1).

Ejemplo:Dadas las observaciones 22,18,17,16,16,13,12,21,11 (n= 9), se ordenan los datos11, 12, 13 , 16, 16 , 17, 18, 21 , 22, a continuaci´on de identifican las posiciones

Q1=x(2,5)= 12,5 Q3= 16 Q3=x(7,5)= 19,5

I El p % de los datos (0<p<100) se encuentran por debajo o sobre elp-´esimo percentil.

(40)

Variaci´

on: rango y rango intercuart´ılico (RIC)

I El rangoes la medida de variaci´on m´as simple

R=xm´ax−xm´ın

I Ignora la manera en que se distribuyen los datos.

I Sensible a observaciones at´ıpicas (outliers).

Ejemplo: Dadas las observaciones 3,1,5,4,2,R= 5−1 = 4 Ejemplo: Dadas las observaciones 3,1,5,4,100,R= 100−1 = 99

I El rango intercuart´ılico (RIC)puede eliminar ciertos problemas con los datos at´ıpicos (outliers). Se eliminan las observaciones de mayor valor y las de menor valor y se calcula el rango de los 50 % de los datos que se encuentran en la mitad.

(41)

Variaci´

on: Rango intercuart´ılico y diagrama de cajas

I Lasobservaciones at´ıpicas (outliers) se encuentran I por debajo deQ1−1,5·RIC

I por encima deQ3+ 1,5·RIC

I Paraobservaciones at´ıpicas (outliers) extremos, reemplazar 1.5 por 3 en la definici´on anterior

25% 25% 25% 25%

12 24 31 42 58

xmin Q1 ((Q2)) MEDIANA

Q3 xmax

(42)

Medida de variaci´

on: varianza

I Promedio de cuadrados de las desviaciones de valores a la media.

I Varianzapoblacional.

σ2= PN

i=1(xi−µ)2

N

I Varianzamuestral

ˆ σ2=

Pn

i=1(xi−x¯) 2

n =

m´as r´apido de calcular z }| {

Pn i=1x

2 i −n(¯x)

2

n ⇐dividido porn

I Cuasi-varianzamuestral(varianza muestralcorregida)

s2=

Pn

i=1(xi−¯x)2

n−1 =

Pn i=1x

2 i −n(¯x)2

n−1 ⇐dividido porn−1

I σˆ2es sesgado, mientrass2es insesgado (Tema 5). Su relaci´on es

ˆ

σ2= n−1

n s

2

(43)

Medida de variaci´

on: desviaci´

on t´ıpica (DT)

I La medida de dispersión más comúnmente utilizada.

I La desviaci´on t´ıpica poblacional, la desviaci´on t´ıpicamuestraly la

cuasi-desviaci´on t´ıpicamuestralson respectivamente

σ=

√

σ2 _σ_ˆ₌√_σ_ˆ2 _s₌√_s2

I Muestra la variaci´on sobre la media.

I Posee lasmisma unidades que los datos, mientras que para la varianza se tienen unidades2

(44)

C´

alculo de la varianza y la desviaci´

on t´ıpica

Ejemplo:X:11,12,13,16,16,17,18,21,Y :14,15,15,15,16,16,16,17,

Z :11,11,11,12,19,20,20,20

¯

x= 124

8 = 15,5 ¯y= 124

8 = 15,5 ¯z= 124

8 = 15,5

n

X

i=1 xi2=11

2

+ 122+. . .+ 212= 2000

n

X

i=1

yi2=14 2

+ 152+. . .+ 172= 1928

n

X

i=1

zi2=11

2

+ 112+. . .+ 202= 2068

sx2= Pn

i=1x 2 i −n(¯x)

2

n−1 =

2000−8(15,5)2

8−1 =

78

7 = 11,1429 ⇒ sx= 3,3381

sy2=

1928−8(15,5)2

8−1 =

6

7 = 0,8571 ⇒ sy = 0,9258

sz2=

2068−8(15,5)2

8−1 =

146

(45)

Comparaci´

on de desviaciones t´ıpicas

Ejemplo cont.: X :11,12,13,16,16,17,18,21,

Y :14,15,15,15,16,16,16,17,Z : 11,11,11,12,19,20,20,20

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

z==15.5 sz==4.6

y==15.5 sy==0.9

(46)

Regla emp´ırica

Si la distribuci´on de los datos es acampanada (normal), es decir, sim´etrica y con colas suaves, se verifica:

I 68 %de los datos en (¯x−1s,x¯+1s)

I 95 %de los datos en (¯x−2s,x¯+2s)

I 99.7 %de los datos en (¯x−3s,¯x+3s)

Nota:Esta regla se conoce tambi´en como la regla del 68-95-99.7

Ejemplo: Sabemos que para una muestra de 100 observaciones, la media es 40 y la cuasi-desviaci´on t´ıpica es 5. Asumiendo que los datos poseen distribuci´on acampanada, proporciona los l´ımites del intervalo que captura el 95 % de las observaciones.

(47)

Medidas de variaci´

on: coeficiente de variaci´

on (CV)

I Es una medida relativa de variaci´on que se define como

CV = s

|¯x|

I Es un n´umero sin unidad (se expresa a veces en %’s).

I Muestra la variaci´on con respecto a la media.

Ejemplo:Stock A:Precio promedio el año anterior = 50, Desviación t´ıpica = 5 Stock B:Precio promedio el año anterior = 100, Desviación t´ıpica = 5

CVA=

5

50= 0,10 CVB = 5

100 = 0,05