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Pregunta 1

Las ecuaciones de demanda para dos artículos son:

2 1

1 7 2p p

q = − + q2 =6+p1 −p2

Donde las cantidades q y 1 q están dadas en miles de unidades y los precios 2 1

p y p de cada artículo están dados en dólares. Si producir una unidad de 2

cada artículo cuesta $2 y $3 de los artículos 1 y 2 respectivamente. Hallar los valores de las cantidades q y 1 q , así como de los precios para lograr la 2

utilidad máxima. Debe verificar que esta utilidad es máxima para las condiciones dadas.

Resolución

Nos piden q , 1 q , 2 p y 1 p para que la utilidad sea máxima. 2

Función objetivo: Utilidad

Ingreso total: I=p1.q1+p2.q2

) p p 6 .( p ) p p 2 7 .( p

I= 1 − 1 + 2 + 2 + 1 − 2

2 1 2 2 2 1 2

1 6p 2p p 2p p

p 7

I= + − − +

Costo total: C=2q1+3q2 +CF

CF ) p p 6 ( 3 ) p p 2 7 ( 2

C= − 1 + 2 + + 1 − 2 +

2

1 p

p CF 32

C= + − −

Utilidad total: U (7p 6p 2p p2 2p₁p₂) (32 CF p₁ p₂)

2 2 1 2

1+ − − + − + − −

=

CF 32 p p 2 p p 2 p 7 p 8

U 2 _{1 2}

2 2 1 2

1+ − − + − −

=

Condiciones de primer orden:

0 p 2 p 4 8 p

U

2 1 1

= + − = ∂

∂

4 p p

2 1 − 2 = … (I)

0 p 2 p 2 7 p

U

1 2 2

= + − = ∂

∂

7 p 2 p

2 2 − 1= … (II)

De (I) y (II): p1=7.5 y p2 =11

2 2 2

1 2

2 1 2

2 2

1 2

p U p

p U

p p

U p

U H

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

=

2 2

2 4 H

− −

= Del cual: H₁ =−4

4 2 2

2 4

H₂ =

− −

=

Dado que H1 <0 y H2 >0 decimos que cuando p1 =7.5 y p2 =11 la función

Utilidad total tienen un máximo relativo.

Con p1 =7.5 y p2 =11 al reemplazar en las ecuaciones de demanda

Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas. La Utilidad obtenida al producir “x” unidades en su primera planta e “ y ” unidades en su segunda planta está dado por la función conjunta de costo:

700 xy 5 y 2 x ) y , x (

U ₌ 2 ₊ 2 _{+ + . Si la empresa tiene una orden de suministrar}

500 unidades, ¿cuántas unidades debe producir en cada planta con el objeto de maximizar la Utilidad total?

Resolución

Nos piden x e y para maximizar la Utilidad total. Función objetivo: Utilidad total

Utilidad total: U(x,y)₌x2 ₊2y2 ₊5xy ₊700

Por condición: La empresa debe suministrar 500 unidades. 500

y

x+ = (restricción) 0

500 y

x+ − =

500 y x ) y , x (

g = + −

Debemos minimizar U(x,y) sujeta a la restricción g(x,y) Formamos la función de Lagrange:

) y , x ( g ) y , x ( U ) , y , x (

F λ = +λ

) 500 y x ( 700 xy 5 y 2 x ) , y , x (

F _{λ =} 2₊ 2 _{+ + +λ + −}

Condiciones de primer orden:

0 y

5 x 2 x F

= λ + + = ∂ ∂

y 5 x 2 + = λ

− … (I)

0 x

5 y 4 y

F _{= + +λ =}

∂

∂ _{−λ =4y+5x … (II)}

0 500 y x

F _{= + − =}

λ ∂ ∂

500 y

x + = … (III)

De (I) y (II): 2x +5y =4y+5x x

3 y =

Condiciones de segundo orden:

2 2 2

2

2 2

y F x y

F y g

y x

F x

F x g

y g x

g 0 H

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

=

4 5 1

5 2 1

1 1 0

H = Del cual: H1 = −1

4 4 5 1

5 2 1

1 1 0

H2 = =

Un departamento de carreteras está planeando construir un área de recreo para automovilistas en una carretera principal. Ha de ser rectangular con un área de 5000 m2 _{y ha de ser cercado por los tres lados no adyacentes a la} carretera. ¿Cuál es la menor cantidad de vallado que será necesaria para completar el trabajo?

Resolución

Sean x e y las dimensiones de la parcela rectangular. Carretera principal

x _{5000 m}2 _x

y

Nos piden x, y para que el vallado (longitud del cerco) sea mínimo Función objetivo: Longitud del cerco

y x 2 ) y , x ( f

L = = + … (I) Condición: El área es 5000 m2

5000

xy = (restricción) 0

5000

xy− =

5000 xy

) y , x (

g = −

Formamos la función de Lagrange: ) y , x ( g ) y , x ( f ) , y , x (

F λ = +λ

) 5000 xy

( y x 2 ) , y , x (

F λ = + +λ −

Condiciones de primer orden:

0 y 2 x F

= λ + = ∂ ∂

y 2

= λ

− … (I)

0 x 1 y

F _{= +λ =}

∂ ∂

x 1

= λ

− … (II)

0 5000 xy

F _{= − =}

λ ∂ ∂

De (I) y (II):

x 1 y 2

=

x 2 y =

En (III): x(2x)=5000 2500

x2 _{= x =50}

100

y = En (I): λ =−0.02 Condiciones de segundo orden:

2 2 2

2

2 2

y F x y

F y g

y x

F x

F x g

y g x

g 0 H

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂

=

0 x

0 y

x y 0 H

λ λ

= Evaluando para x =50, y =100 y λ =−0.02:

0 02 . 0 50

02 . 0 0

100

50 100

0 H

−

−

=

Del cual: 10000

0 100

100 0

H1 = =−

200 0

02 . 0 50

02 . 0 0

100

50 100

0

H2 =−

−

− =

Un consumidor tiene “ k ” dólares para invertir en dos artículos; el primero cuesta “a” dólares la unidad y el segundo “ b” dólares la unidad. Suponga que la utilidad generada por el consumo de “x” unidades del primer artículo e “ y ” unidades del segundo está dada por la función utilidad de Cobb-Douglas:

(

)

U ₌ α β _{donde 0<α<1 y α + β =1. Calcular los valores de x e y} que maximizan la utilidad. Deberá comprobar la solución obtenida.

Resolución

Nos piden x e y para que la utilidad sea máxima. Función objetivo: Utilidad _{U =f(x,y)= x}α_yβ Restricción: ax+by =k

0 k by

ax+ − = g(x,y)=ax+by−k

Función de Lagrange F(x,y,λ)=xαyβ +λ(ax+by−k)

Condiciones de 1er Orden:

0 ) a ( y x

F 1

x =α +λ =

β − α

a y xα−1 β

α = λ

− … (I)

0 ) b ( y

x

F 1

y =β +λ =

− β α

b y xα β−1 β = λ

− … (II)

0 k by ax

Fλ = + − = … (III)

De (I) = (II):

b y x a

y

xα−1 β _β α β−1 =

α

by y x ax

y

xα β _β α β = α

de donde:

b x a y

α β

=

En (III): k

b x a b

ax =

α β +

k x a x

aα + β =α

(

)

α =

a k

x

Dato: α+β=1 al reemplazar obtenemos: a

b k y = β

Condiciones de 2do Orden:

yy yx y

xy xx x

y x

F F g

F F g

g g 0 H =

2 1

1

1 1 2

y x ) 1 ( y

x b

y x y

x ) 1 ( a

b a

0 H

− β α −

β − α

− β − α β

− α

− β β αβ

αβ −

α α =

Del cual: 2

2

1 a

y x ) 1 ( a

a 0

H = −

− α α

= _{α− β}

) ( ) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( 0

y x ) 1 ( y

x b

y x y

x ) 1 ( a

b a

0 H

2 1

1

1 1 2

2 = +

− + +

+ − +

+ + =

− β β αβ

αβ −

α α =

− β α −

β − α

− β − α β

− α

Dado que H1 <0 y H2 >0 decimos que cuando

a k x = α e

b k

y = β la función Utilidad presenta un máximo.

Nota: En el Hessiano orlado el determinante H1 es decir el de orden 2×2 , siempre es negativo.

Hallar tres números positivos de tal manera que la suma de sus cuadrados sea 48 y tal que la suma de sus productos tomados de 2 en 2 sea el menor posible. Compruebe su solución utilizando el Hessiano orlado correspondiente, indicando el valor mínimo relativo hallado.

Resolución

Función objetivo: f

(

)

0 48 z y

x2 ₊ 2 ₊ 2 _{− =}

48 z y x ) z , y , x (

g ₌ 2 ₊ 2 ₊ 2 ₋

Función de Lagrange F(x,y,z,_λ)₌ xy ₊xz ₊yz _+λ

(

)

Condiciones de 1er. Orden:

( )

y

Fx = + +λ =

x 2

z y+ = λ

− … (I)

( )

x

F_y = + +λ =

y 2

z x + = λ

− … (II)

( )

x

Fz = + +λ = _2z

y x+ = λ

− … (III)

0 48 z y x

F ₌ 2 ₊ 2 ₊ 2 _{− =}

λ x2 + y2 +z2 =48 … (IV)

De (I) = (II):

y 2

z x x 2

z

y+ ₌ + _y2 _{+yz = x}2 _+xz

0 xz yz x

y2 ₋ 2 _{+ − =}

0 ) x y ( z ) x y )( x y

( + − + − =

0 ) z x y )( x y

( − + + =

x

y = .... (α)

(Se descarta x+y+z=0 ya que por dato los números deben ser positivos)

De (I) = (III):

z 2

y x x 2

z y+ ₌ +

xy x z

yz ₊ 2 ₌ 2 ₊

0 xy yz x

0 ) x z ( y ) x z )( x z

( + − + − =

0 ) y x z )( x z

( − + + = x

z = .... (β)

Reemplazando (α) y (β) en (IV): x2 ₊x2 ₊x2 ₌48 16

x2 ₌

4

x = y =4, z =4 Además: λ =−1

Condiciones de 2° Orden:

zz zy zx z

yz yy yx y

xz xy xx x

z y x

F F F g

F F F g

F F F g

g g g 0 H =

λ λ λ =

2 1 1 z 2

1 2 1 y 2

1 1 2 x 2

z 2 y 2 x 2 0 H

Evaluando con x =4, y =4, z =4 y λ =−1

2 1 1 8

1 2 1 8

1 1 2 8

8 8 8 0 H

− − − =

Del cual H1 <0,

0 384 2

1 8

1 2 8

8 8 0

H2 = >

− −

=

Una compañía destina su planta a la elaboración de tres productos A, B y C. Obtiene una utilidad de $2, por unidad de A y $4 por unidad de B y $6 por unidad de C. Los números de unidades de los tres tipos que puede producir mediante la planta están restringidas por la ecuación de transformación del producto, que es: x2₊ y2 ₊z2 ₊2x₊4y₊6z₋210₌0_{, con “x”, “ y ” y “ z ” los} números de unidades (miles) de A, B y C, respectivamente, producidas por semana. Halle las cantidades de cada tipo que deben producirse a fin de maximizar la utilidad.

Resolución

Nos piden x, y , z para maximizar la Utilidad total. Función objetivo: Utilidad total

Utilidad total: U(x,y,z)=2x+4y+6z

Restricción: x2 ₊y2₊z2 ₊2x₊4y₊6z₋210₌0

210 z 6 y 4 x 2 z y x ) z , y , x (

g ₌ 2 ₊ 2₊ 2 _{+ + + −}

Debemos minimizar U(x,y,z) sujeta a la restricción g(x,y,z) Formamos la función de Lagrange:

) z , y , x ( g ) z , y , x ( U ) , z , y , x (

F λ = +λ

) 210 z 6 y 4 x 2 z y x ( z 6 y 4 x 2 ) , z , y , x (

F _{λ = + + +λ} 2 ₊ 2 ₊ 2 _{+ + + −}

Condiciones de 1er. Orden:

(

)

Fx = +λ + = _{x 1}

1

+ = λ

− … (I)

(

)

4

Fy = +λ + = _{y 2}

2

+ = λ

− … (II)

(

)

Fz = +λ + =

3 z

3

+ = λ

− … (III)

0 210 z 6 y 4 x 2 z y x

F ₌ 2 ₊ 2 ₊ 2 _{+ + + − =}

λ

210 z

6 y 4 x 2 z y

x2 ₊ 2 ₊ 2 _{+ + + = … (IV)}

De (I) = (II):

2 y

2 1 x

1

+ =

+ y +2=2x +2

x 2

De (I) = (III):

3 z

3 1 x

1

+ =

+ z+3=3x +3

x 3

z = .... (β)

Reemplazando (α) y (β) en (IV): x2 ₊(2x)2 ₊(3x)2 ₊2x ₊4(2x)₊6(3x)₌210 0

210 x 28 x

14 2_{+ − =}

0 15 x 2

x2 _{+ − =}

3 x =

6

y = , z =9 Además: λ =−1/4

Condiciones de 2° Orden:

zz zy zx z

yz yy yx y

xz xy xx x

z y x

F F F g

F F F g

F F F g

g g g 0 H =

λ +

λ +

λ +

+ +

+

=

2 0

0 6

z 2

0 2

0 4

y 2

0 0

2 2

x 2

6 z 2 4 y 2 2 x 2 0 H

Evaluando con x =3, y =6, z =9 y λ =−1/4

2 / 1 0 0

24

0 2

/ 1 0 16

0 0

2 / 1 8

24 16

8 0

H

− −

− =

Del cual 64 0

2 / 1 8

8 0

H1 = − <

− =

0 160 0

2 / 1 8

16 8

0