RAZON Y PROPORCIONALIDAD
Razón: Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma especie. Cuando se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia (razón aritmética) y por
cociente (razón geométrica).
La razón se compone de dos términos, antecedente y consecuente, ejemplo:
Antecedente 9 - 5 consecuente
Proporción: Se define como la igualdad entre dos razones y se escribe como: 6 - 4 = 10 - 8 Proporción aritmética
2 : 1 :: 6 : 3
Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de ellas, la otra también varía.
Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra también aumenta o cuando disminuye una la otra también lo hace.
Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o cuando disminuye una de ellas la otra aumenta.
9
5
Antecedente consecuente
Proporción geométrica
2
1
6
3 =
Tanto por ciento: Se llama Tanto por ciento de una especie ó unidad, a una ó varias de las cien partes en que se puede dividir dicha especie ó unidad; y se simboliza por:
% 100
n
Ejemplos:
1. La mamá de Luis va a comprar tela para mandar hacerse un vestido. El metro de tela de
popelina cuesta $ 15.00, mientras que el de seda cuesta $ 90.00. ¿cuántos metros de
popelina puede comprar?, con el dinero que necesita para la compra de un metro de
seda?. Y ¿ cuál es la diferencia entre el costo de un metro de seda y un metro de popelina?
Datos:
Precio del metro de popelina = $15.00
Precio del metro de seda = $90.00
X = diferencia de precio de seda y popelina
Y = cociente de precio de seda entre popelina
Operaciones:
X = precio de 1m de seda – el precio de 1m de popelina
X = $90.00 - $15.00
X = $75.00; este resultado se le llama razón aritmética
Y = Costo de un metro de seda Costo de un metro de popelina
Y = 6 veces más caro el metro de seda; a este resultado se le llama razón geométrica
$15.00 $90.00
2. Un estudiante del Conalep. No.184 va a comprar sus útiles escolares y cursará 7 materias;
en cada una utilizará una libreta que le cuesta $15.00 ¿cuánto tendrá que pagar por 7
libretas?
Datos:
Una libreta = $15.00
7 libretas = $X
Operaciones:
x 7 15
1
o 115: :7 : x a esta igualdad se le llama proporción
Despejando X resulta:
X = ( 7 ) ( 15 )
X = $105.00
Se observa que a más libretas compradas más dinero gasta, a esto se le llama proporción
directa.
3. Dos estudiantes de computación tardan en capturar un trabajo 2.5 hrs.; 5 estudiantes
¿cuánto tiempo necesitan para realizarlo?
Datos:
2 estudiantes
5 estudiantes
tiempo 1 = 2.5 hrs.
tiempo 2 = X
Operaciones:
Procediendo en forma directa quedaría:
x 5 . 2 5 2
en donde 6.25
2 ) 5 . 2 )( 5 (
x hrs.
Esto es un error ya que no es posible que 5 estudiantes ocupen más tiempo en realizar el
trabajo, lo cual nos indica que la proporción no es directa, sino inversa, y procedemos de la
Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporción inversa, es decir:
5 . 2 5 2 x
1
5 ) 2 )( 5 . 2 (
x hr. Este resultado es el correcto.
1. Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, ¿Cuáles son las razones aritmética y geométrica de lo
que tiene Pedro en relación a lo que tiene Juan?
R = Razón aritmética = $10.00
Razón geométrica = El doble
2. El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado se hace
un descuento del 12%, ¿Cuánto paga un cliente al adquirir de contado el refrigerador? R
= $7,216.00
3. La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobús tarda en recorrer ésta distancia
2.75 hrs. a 80 km/hr, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si aumenta la
velocidad a 110 km/hr? R = 2 hrs
4. Si al papá de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganaría $3,795.00,
¿Cuánto gana actualmente?. R = $3,450.00
5. En un grupo de 54 estudiantes, el 33.33% son mujeres, ¿Cuántos hombres hay en el grupo?.
R = 36 hombres
6. Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó?.
R = $48.00
7. Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero él tiene
$80,000.00 y le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado lo restante
lo pagará en letras mensuales cargadas al 8%, ¿Cuánto pagará el agricultor finalmente?. R =
$57,152.00
8. Calcule el porciento indicado en cada caso:
140% de 1000 R = 1400
0.5% de 200 R = 1
9.- En la plaza Cristal, ofrecen un descuento del 35% en el departamento de farmacia. Una
señora compró medicinas por un monto de $1300.00. ¿ Cuánto pagó en total, considerando
su descuento? R = $845.00
EJERCICIOS
1. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4.3. Calcula el valor de cada número. 2. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 120 kilos y están en la razón 7:4. calcula
el peso de cada vehículo.
3. Las edades de Ana y Julia están en la razón 3:2. ¿Qué edad tiene cada una, si la suma de sus edades es 80 años?
4. El perímetro de un rectángulo es 128 cm. y la razón entre la medida de sus lados es 5:3. Calcula su área.
5. Dos amigos deben repartirse $27.000 en la razón 5:4. ¿Cuánto dinero recibe cada uno? 6. Si a + b = 54 y a : 4 = b : 5, calcula los valores de a y b.
7. Si x – y = 21 y x : y = 7 : 4, calcula x e y. 8. Calcula a y b, si 7/5 = a/b y a – b = 30. 9. Si a + b = 18 y a : 5 = b : 4, calcula a y b.
10. El dinero de dos personas están en la razón 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 más que la otra. ¿Cuánto dinero tiene cada una?
Tanto por ciento.
Concepto.- es el numero de partes que se tomaron de un entero que se dividió en 100 partes.
% símbolo 30% representan = 30/100 = 0.30
Forma fraccionaria Forma decimal. 3.2% 3.2/1000 = 0.032
0.42% .42/100 = 42/10000 = 0.0042
Convierte o expresa en forma decimal y fraccionaria. Fracción Decimal
a) 5.2% 52/1000 0.052
b) 62.8% 628/1000 0.628
c) 52.4% 524/1000 0.524
Conversión de decimal a tanto por ciento.
0.75 75/100 = 75%
0.32 32/1000 = 3.2/100 = 3.2% Conversión de fracción a tanto por ciento. En este caso se obtiene una fracción equivalente 3/5 = x/100
x=(100)(3)/5
x= 60 3/5 = 60/100 = 60%
Ejercicio: convierte a%
a) 0.82 = 82/100 =82%
b) 0.042 = 42/1000 = 4.2/100 = 4.2% c) 0.0345 = 345/10000 = 3.45/100 = 3.45% d) 1.25 = 125/100 =125%
e) 2.034 = 2034/1000 = 203.4/100 = 203.4%
Convierte de fracción a %
a)5/6= x/100 = (100)(5)/6= 500/6=83.3/100 = 83.3% a) 9/10= x/100 =(100)(9)/10 =900/10 =90/100 = 90% b) 56/58 = x/100 =(100)(56)/58 = 560/58 =96.5/100 =96.5%
c) 4/5 =x/100= (100)(4)/5 =400/5=80/100 =80% d) 1/3 =x/100=(100)(1)/3 =100/3 = 33.3/100 = 33.3%
Tanto por ciento de una cantidad.
Para obtener el % de una cantidad esta se multiplicara por la forma decimal del tanto por ciento para obtener el porcentaje.
60% de 900 900(.60) = 546 porcentaje
¿Qué tanto por ciento es un porcentaje de una cantidad?
Se establece una razón (fracción) y se obtiene el por ciento (%). ¿20es 25?
% 80 100
80 25 20
¿Cuál es la cantidad original sabiendo el porcentaje y que tanto por ciento? Se realiza a través de una regla de tres directa.
36 es el 35% de …
36 35% x= 102
35 ) 36 )( 100 (
x 100%
Ejercicio. Obtén el por ciento de las siguientes cantidades. a)20% de 45 =9
c)82% de 25000=20500 d) 15% de 3000000= 450000 e)30% de 50000 = 15000
Calcula el porcentaje es uno de otro. a) 387 de 1548=25%
1548 100
1548 ) 387 )( 100 ( =25
387 x
b)142 de 1420 =10%
1420 100 10
1420 ) 142 )( 100 (
142 x
c) 60000 de 1000000 =6%
1000000 100 6
1000000 ) 60000 )( 100 (
60000 x
d)1850 de 3700 =50%
3700 100 50
) 3700 ( ) 1850 )( 100 (
1850 x
e)32000 de 80000 =40%
80000 100 40
) 80000 ( ) 32000 )( 100 (
32000 x
Calcula el numero original sabiendo el porcentaje. a) 796 es 50% de …1592
796 es el 50% 1592
50 ) 796 )( 100 (
x 100%
b)40 es 25% de…160
40 es el 25% 160
25 ) 40 )( 100 (
x 100%
c)25000 es el 40% de…62500
25 es el 40% 62500
40 ) 25000 )( 100 (
d) 945 es el 30% de…3150
945 es el 30% 3150
30 ) 945 )( 100
(
x 100%
e) 8200 es 20% de …41000
8200 es el 20% 41000
20 ) 8200 )( 100
(
