Unidad 9: Límites y Continuidad

Texto completo

(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. Límite de una función en un punto 1.1. Límites laterales 1.2. Límite de una función en un punto 2. Límites en el infinito 2.1. Comportamiento de una función cuando x → +∞ 2.2. Comportamiento de una función cuando x → −∞ 3. Cálculo de límites 4. Asíntotas 4.1. Asíntotas verticales 4.2. Asíntotas horizontales 4.3. Asíntotas oblicuas 5. Continuidad de una función 5.1. Continuidad de una función en un punto 5.2. Continuidad de una función en un intervalo 5.3. Tipos de discontinuidades. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Conceptos previos: • Decimos que: x → a y se lee “ x tiende a a ”, si x toma valores cada vez más próximos a a. Ejemplo: La secuencia de números 0; 2; 0´5; 1´9; 0´8; 1´4; 0´9; 1´1; 0´99; 1´01; 0´999; 1´001;... se aproxima a 1. Escribimos x → 1 .. Podemos distinguir dos modos de acercarnos a a , por la izquierda o por la derecha:. x → a - se lee “ x tiende a a por la izquierda”, si x toma valores cada vez más próximos a a pero menores que a , es decir x < a . Ejemplo: La secuencia de números 0; 0´5; 0´8; 0´9; 0´99; 0´999;... se aproxima a 1 pero con − valores menores que 1. Escribimos x →1 .. x → a + se lee “ x tiende a a por la derecha”, si x toma valores cada vez más próximos a a pero mayores que a , es decir x > a . Ejemplo: La secuencia de números 2; 1´9; 1´4; 1´1; 1´01; 1´001... se aproxima a 1 pero con + valores mayores que 1. Escribimos x →1 .. • Decimos que: x → +∞ y se lee “ x tiende a + ∞ ”, si x toma valores cada vez “más grandes” (mayores que cualquier número real prefijado k ). Ejemplo: La secuencia de números 0; 1; 10; 100; 1.000; 10.000; 100.000; 1.000.000;... toma valores cada vez más grandes. Escribimos x → +∞ .. • Decimos que: x → −∞ y se lee “ x tiende a − ∞ ”, si x toma valores cada vez “más pequeños” (menores que cualquier número real prefijado k ). Ejemplo: La secuencia de números 0; − 1; − 10; − 100; − 1.000; − 10.000; − 100.000; − 1.000.000;... toma valores cada vez más pequeños. Escribimos x → −∞ .. Observación: Se va a tratar el concepto de límite desde un punto de vista gráfico e intuitivo. El próximo curso se definirá de modo riguroso.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1.1. Límites laterales ¿Cómo se comporta f ( x) cuando x → a − ? Pueden presentarse tres casos: 1º) Que f ( x) “crezca cada vez más” sin ninguna cota.. lím f (x) = +∞. x→a −. 2º) Que los valores de f ( x) se hagan cada vez “más pequeños y negativos”.. lím f (x) = −∞. x→a −. Nota: Hay un cuarto caso “algo más raro”: “Que los valores de f(x) no presenten tendencia alguna”, En ese caso:. ∃/ lím− f (x) x →a. 3º) Que los valores de f (x) se aproximen a un número real l.. lím f ( x) = l. x→a −. ¿Cómo se comporta f (x) cuando x → a + ? De nuevo se presentan tres casos:. lím f (x) = +∞. x→a +. lím f (x) = −∞. x→a +. lím f ( x) = l. x→a +. Se definen:. lím f (x) → Límite lateral por la izquierda de la función f en a.. x→a −. lím f (x) → Límite lateral por la derecha de la función f en a.. x→a +. A ambos se les llama límites laterales de la función f en a. Observa: Para obtener el límite lateral de una función f en a, no es necesario que esté definida la función en a. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Ejemplo 1: Observa la función definida a trozos dada por su gráfica: Si x se aproxima a 1 “por la izquierda”, f ( x ) se aproxima a 2.. lím− f (x ) = 2 x→1. Si x se aproxima a 1 “por la derecha”, f ( x ) se aproxima a 3.. lím+ f ( x ) = 3 x→1. Observa que lím− f ( x ) ≠ lím+ f ( x ) x→1. x→1. Ejemplo 2: Calcula lím− f ( x ) y también lím+ f ( x ) en los siguientes casos e indica si coinciden. x→1. a). x→1. 1 f (x ) = x −1 x f(x). 0 -1. 0´9 -10. 0´99 -100. 0´999 -1000. … …. x f(x). 2 1. 1´1 10. 1´01 100. 1´001 1000. … …. 1 = −∞ x→1 x − 1 1 = +∞ lím+ x →1 x − 1. lím−. No coinciden. b). f (x ) = x f(x) x f(x). c). 1 (x − 1)2 0 1. 0´9 100. 0´99 0´999 10000 1000000. … …. 2 1. 1´1 100. 1´01 1´001 10000 1000000. … …. 1 = +∞ 2 x→1 ( x − 1) 1 lím+ = +∞ 2 x→1 ( x − 1). lím−. Sí coinciden.. f (x ) = x + 5 2. x f(x) x f(x). 0 5. 0´9 5´81. 0´99 5´9801. 0´999 5´9980. 2 9. 1´1 6´21. 1´01 1´001 6´0201 6´002001. … … … …. lím− (x 2 + 5) = 6 x→1. (. ). lím+ x 2 + 5 = 6 x→1. Sí coinciden. 1.2. Límite de una función en un punto. ⎧+ ∞ ⎪ Si lím− f ( x ) = lím+ f ( x ) = ⎨− ∞ (alguna de las tres posibilidades), entonces se dice que x→a x →a ⎪l ⎩ existe el límite cuando x → a ( x tiende a a ) ⎧+ ∞ ⎪ y se escribe así: ∃ lím f ( x ) = ⎨− ∞ respectivamente. x →a ⎪l ⎩ Es decir: • Una función f tiene límite en un punto a si existen los límites laterales en dicho punto y además coinciden, y recíprocamente. • En caso contrario, NO existe el límite en ese punto (pero podrán existir los límites laterales). • El límite, si existe, es único. Si los límites laterales no toman el mismo valor, es decir, si lím− f ( x ) ≠ lím+ f ( x ) , o bien no existe x →a. x →a. alguno de ellos, se dice que NO existe el límite cuando x → a y se escribe: ∃/ lím f ( x ) x→ a. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Ejemplo 1 anterior:. lím f (x ) = 2⎫ ⎪ f ( x ) ya que ⎬ ⇒ ∃/ lím x →1 lím+ f (x ) = 3 ⎪ x →1 ⎭ x →1−. lím− f ( x ) ≠ lím+ f ( x ) x→1. x→1. Ejemplo 2 anterior: a) ∃/ lím x →1. 1 x −1. b) ∃ lím x →1. 1 = +∞ (x − 1)2. (. ). c) ∃ lím x 2 + 5 = 6 x →1. Por tanto, el concepto de límite de una función en un punto da respuesta a la pregunta: ¿Cómo se comporta f (x) cuando x → a ?. lím f ( x) = +∞ x→a. lím f ( x) = −∞. lím f ( x) = l. x→a. ∃/ lím f ( x). x→a. x→a. Fíjate: Si existe lím f ( x ) , entonces f(x) se aproxima al mismo valor cuando x → a , tanto si x→a. nos aproximamos a a por la izquierda como por la derecha. Ejemplo1: Fíjate en la gráfica y en el cálculo de los siguientes límites:. Dom( f ) = ℜ. Re c( f ) = ℜ. lím f ( x) = −2⎫ ⎪ f ( x) ⎬ ⇒ ∃/ xlím → −4 lím+ f ( x) = 3 ⎪ x → −4 ⎭ x → −4 −. lím f ( x) = −3⎫ ⎪ f ( x) = −3 ⎬ ⇒ ∃ lím x →1 lím+ f ( x) = −3⎪ x →1 ⎭ x →1−. Observa que, sin embargo, f (1) = 1 Ejemplo2: Observa ahora, con atención, estos otros ejemplos: a). f ( x) =. 1 x. Dom( f ) = ℜ \ {0}. Re c( f ) = ℜ \ {0} lím x →1. 1 =1 x. lím. x → −1. 1 = −1 x. ¿Sin embargo, qué valor toma lím x →0. 1 ? x. Estudiamos los límites laterales:. 1 ⎫ = −∞ ⎪ 1 ⎪ x (No existe el límite) ⎬ ⇒ ∃/ lím x →0 x 1 lím = +∞ ⎪ ⎪⎭ x →0 + x lím. Como. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. x →0 −. 5. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). b). f ( x) =. 1 x. Matemáticas I. Dom( f ) = ℜ \ {0} Re c( f ) = (0, + ∞ ) ¿Existe en este caso lím x →0. 1 ? x. ⎫ 1 = +∞ ⎪ x →0 x 1 ⎪ = +∞ ⎬ ⇒ ∃ lím x →0 x 1 ⎪ lím = +∞ ⎪⎭ x →0 + x lím−. c). f ( x) = x. Dom( f ) = [0,+∞ ). Re c( f ) = [0,+∞ ) En este caso ∃/ lím. x (Tampoco los laterales). x → −4. Tampoco existe el límite en x = 0 ya que no existe el límite lateral por la izquierda en x = 0 :. lím f ( x) = ∃/⎫ ⎪ f ( x) ⎬ ⇒ ∃/ lím x →0 lím+ f ( x) = 0⎪ x →0 ⎭ x →0 −. No obstante lím x→4. x =2. 2. LÍMITES EN EL INFINITO 2.1. Comportamiento de una función cuando x → +∞ ¿Cómo se comporta f (x) cuando x → +∞ ? Pueden presentarse cuatro casos:. 1º) Que f (x) “crezca cada vez más” sin ninguna cota.. lím f (x) = +∞. x →+∞. 2º) Que los valores de f (x) se hagan cada vez “más pequeños y negativos”.. lím f ( x) = −∞. x → +∞. 3º) Que los valores de f (x) se aproximen a un número l.. lím f ( x) = l. x →+∞. 4º) Que f (x) no presente tendencia alguna. En este caso ∃/ lím f (x) como f ( x) = sen x x → +∞. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 2.2. Comportamiento de una función cuando x → −∞ ¿Cómo se comporta f (x) cuando x → −∞ ? De nuevo pueden presentarse cuatro casos:. lím f (x) = +∞. lím f (x) = −∞. x → −∞. lím f ( x) = l. x → −∞. Ejemplo: Calcula lím f ( x ) y x → +∞. a) f ( x) = x 2. ∃/ lím f (x). x → −∞. x →−∞. lím f ( x ) en los siguientes casos. x → −∞. x f(x). 0 0. 1 1. 10 100. 100 10000. … …. x f(x). 0 0. -1 1. -10 100. -100 10000. … …. lím x 2 = +∞. lím x 2 = +∞. x → +∞. x →−∞. b) f ( x) = − x 3 x f(x). 0 0. 1 -1. 10 -1000. 100 -1000000. … …. x f(x). 0 0. -1 1. -10 1000. -100 1000000. … …. (. ). lím − x 3 = −∞. x → +∞. c) f ( x) =. 2x 2 − 3 x2 + 5. (. ). lím − x 3 = +∞. x → −∞. x f(x). 0 -0´6. 1 -0´167. 10 1´876. 100 1´999. … …. x f(x). 0 -0´6. -1 -0´167. -10 1´876. -100 1´999. … …. lím. x → +∞. 2x 2 − 3 =2 x2 + 5. lím. x → −∞. 2x 2 − 3 =2 x2 + 5. d) f ( x) = sen x. ∃/ lím sen x x → +∞. ∃/ lím sen x x → −∞. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 3. CÁLCULO DE LÍMITES El cálculo de un límite a partir de la gráfica de una función es una tarea fácil, basta con observar con atención dicha gráfica. Sin embargo no siempre se dispondrá de ella por lo que habrá que recurrir a su expresión algebraica. No obstante, el cálculo analítico del límite de una función puede ser fácil de obtener, o bien dar lugar a una indeterminación que se debe resolver del modo adecuado. Si lím f ( x ) = L. Propiedades:. ⎧⎪ a x→⎨ + ∞ ⎪⎩ −∞. lím g ( x ) = M. y. ⎧⎪ a x→⎨ + ∞ ⎪⎩ −∞. Entonces:. a ) lím. [ f (x ) ± g (x )] = L ± M. b) lím. c) lím. f (x ) L = g (x ) M. d ) lím f ( x ). ⎧⎪ a x→⎨ + ∞ ⎪⎩ −∞. ⎧⎪ a x→⎨ + ∞ ⎪⎩ −∞. (Si M. ⎧⎪ a x →⎨ + ∞ ⎪⎩ −∞. ≠ 0). [ f (x ) ⋅ g (x )] = L ⋅ M g (x ). = LM. ⎧⎪ a x→⎨ +∞ ⎪⎩ − ∞. (L > 0 ). NOTA: En algunos casos como cuando L y/o M son límites infinitos ó M=0, pueden aparecer indeterminaciones en las expresiones anteriores. Se resolverán de un modo específico. Casos de indeterminación:. ⎡ k⎤ a) ⎢ ⎥ ⎣ 0⎦. ⎡∞ ⎤ c) ⎢ ⎥ ⎣∞ ⎦. ⎡0⎤ b) ⎢ ⎥ ⎣0⎦. d ) [∞ − ∞] e) [0 ⋅ ∞]. f). [1 ] ∞. g). [∞ ] 0. h). [0 ] 0. 3.1. Cálculo de límites cuando x → a a) Casos inmediatos Se obtiene el límite calculando f (a ), es decir, lím f ( x ) = f (a ). x →a. Ejemplos:. a ) lím x 2 = 32 = 9. b) lím. x →3. x→2. d)lím(5 + 2x) = 5 =1 x. x→0. (. 5x 10 =− x−5 3. x2 cos x + e2x 02 ⋅ cos0 + e2⋅0 =1 f ) lím = x→0 ln( x + 1) + x3 + 1 ln1 + 03 + 1. x→−3. ). k) lím x − 3 = 3 x→12. x→7. e) lím x = ∃/. 0. g) lím − 2x3 + 2x2 −1 = −2⋅ 23 + 2⋅ 22 −1 = −9 x→2. c) lím 3x + 4 = 3 ⋅ 7 + 4 = 25 = 5. l) lím− x − 2 = ∃/ x→2. b) Cociente de polinomios Objetivo: calcular lím x→a. h) lím+ x = 0. i) lím− x = ∃/. x→0. m) lím+ x − 2 = 0 x→2. x→0. j) lím x = ∃/ x→0. n) lím x − 2 = ∃/ x→2. P(x ) siendo P( x ) y Q( x ) funciones polinómicas. Q(x ). Caso 1º Q (a ) ≠ 0 Sigue siendo un caso inmediato. Ejemplos:. a ) lím x→1. 9 x+8 = = −3 2 x −4 −3. b) lím. x→−1. x3 + x 2 + x + 1 0 = =0 2 x2 + 1. Caso 2º P (a ) ≠ 0 y Q (a ) = 0. Indeterminación. k 0. Se resuelve obteniendo el valor de los límites laterales.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 8. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(9) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Ejemplos:. a) lím. x →3. 2x ⎛6⎞ = ⎜ ⎟ Indeterminación. x −3 ⎝0⎠. b) lím. x →3. 2x ⎛6⎞ = ⎜ ⎟ Indeterminación. 2 ( x − 3) ⎝ 0 ⎠. Límites laterales:. Límites laterales:. 2x ⎫ = −∞ ⎪ x→3 x − 3 2x ⎪ ⎬ ⇒ ∃/ lím x→3 x − 3 2x lím+ = +∞ ⎪ ⎪ x→3 x − 3 ⎭. 2x ⎫ = +∞ ⎪ 2 x→3 ( x − 3) 2x ⎪ = +∞ ⎬ ⇒ lím x→3 ( x − 3)2 2x ⎪ lím = +∞ 2 x→3+ ( x − 3) ⎪⎭ lím−. lím−. Caso 3º P (a ) = 0 y Q (a ) = 0. Indeterminación. 0 0. Se resuelve factorizando el numerador y el denominador. Ejemplos:. a) lím x→2. x3 − 5x2 + 6x x 2 − 5x + 6 ⎛ 0 ⎞ ⎛0⎞ b ) lím = ⎜ ⎟ Indeterminación. = Indeterminación. ⎜ ⎟ 2 3 2 x→ 3 x − 7x + 16x −12 ⎝ 0 ⎠ x + 3x − 10 ⎝ 0 ⎠. Factorizando:. Factorizando:. lím. lím. x→2. c) lím. x→2. (x − 3)(x − 2) = lím x − 3 = − 1 (x + 5)(x − 2) x→2 x + 5 7. x →3. x(x − 3)( x − 2) x = lím =3 2 (x − 3)(x − 2) x→3 x − 2. x3 − 5 x 2 + 6 x ⎛0⎞ = ⎜ ⎟ Indeterminación. 3 2 x − 7 x + 16 x − 12 ⎝ 0 ⎠. Factorizando:. lím. x→2. x x(x − 3)( x − 2 ) ⎛2⎞ = lím = ⎜ ⎟ Indeterminación. 2 (x − 3)(x − 2) x → 2 x − 2 ⎝ 0 ⎠. Límites laterales:. x ⎫ = −∞ ⎪ x x3 − 5 x 2 + 6 x x→2 x − 2 ⎪ ⇒ ∃/ lím 3 ⎬ ⇒ ∃/ lím x→2 x − 2 x → 2 x − 7 x 2 + 16 x − 12 x ⎪ lím+ = +∞ ⎪ x→2 x − 2 ⎭ lím−. c) Cálculo de límites de funciones definidas a trozos. ⎧2x −5 si x < 3 ⎪ Ejemplo: Hallar el límite de la función f ( x) = ⎨− x + 7 si 3 ≤ x < 6 ⎪ x/ 6 si x ≥ 6 ⎩ En x = 1. En x = 3 Límites laterales lím f (x ) = lím− (2 x − 5) = 1 ⎫ ⎪ x →3− x →3 f (x) ⎬ ⇒ ∃/ lím x →3 lím+ f ( x ) = lím+ (− x + 7) = 4⎪ x →3 x →3 ⎭. lím f ( x ) = lím (2 x − 5) = −3 x →1. en 1, 3 y 6.. x →1. En x = 6 Límites laterales lím f (x) = lím− (− x + 7) = 1⎫ x →6− x→6 ⎪ f ( x) = 1 ⎬ ⇒ lím x x→6 lím+ f (x) = lím+ = 1 ⎪ x →6 x →6 6 ⎭ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 9. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(10) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 3.2. Cálculo de límites cuando x → +∞ a) Casos inmediatos En el caso de funciones polinómicas tendremos en cuenta el signo del coeficiente del término de mayor grado. Ejemplos:. ( d ) lím (x. ). a ) lím 3 x 2 − 7 x = +∞ x→+∞. 3. x → +∞. g ) lím. x→+∞. (. ). b) lím − 4 x 2 + 5 x = −∞ x→+∞. ). − 5000 x 2 = +∞. e) lím. x → +∞. (. ). c) lím 5 x 2 − 30 x = +∞ x → +∞. x − 3 = +∞. f ) lím. x → +∞. x 2 + 7 = +∞. 3 − x = ∃/. b) Cociente de polinomios. ∞ . Se resuelve analizando los términos de mayor grado del ∞. Surge la indeterminación. numerador y del denominador. ⎧ ⎪+ ∞ ó − ∞ ⎪ a n x n + ... + a1 x + a 0 ⎪ an =⎨ lím x → +∞ b x m + ... + b x + b bm m 1 0 ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎩ Ejemplos:. 3x 3 + 2 x − 1 = +∞ x→+∞ 10 x 2 − 7 x + 3 4 x 7 + 3x + 1 =2 d ) lím x→+∞ 2 x7 + 5. a ) lím. an a > 0 , o bien , n < 0 bm bm. si n > m , y si n = m si n < m. − 2 x3 + 5 x 2 + 1 2x4 − 7 x 1 = −∞ =− c ) lím 2 3 x → +∞ − 5 x + 3 x − 2 x → +∞ 6 x + 3x + 1 3 3x + 1 2x +1 =0 =0 e) lím f ) lím 2 2 x→+∞ 5 x + 2 x→+∞ 3 x + 5 x − 2. b) lím. 3.3. Cálculo de límites cuando x → −∞ Tendremos en cuenta que:. lím f ( x ) = lím f (− x ). x→−∞. x→+∞. y calcularemos el límite de la expresión resultante. Ejemplos:. ( b) lím (3x. ((− x ) − 5(− x) + 3) = lím (x + 5x + 3) = +∞ . ) + 2 x − 1) = lím (3(− x ) + 2(− x ) − 1) = lím (− 3 x − 2 x − 1) = −∞ . 2. a) lím x 2 − 5 x + 3 = lím x → −∞. 2. x → +∞. 3. x→−∞. x → +∞. 3. 3. x→+∞. x→+∞. 2x − 7 2(− x ) − 7 − 2x − 7 = lím = lím = 0. 2 x→−∞ 3 x + 2 x − 1 x→+∞ 3(− x ) + 2(− x ) − 1 x→+∞ 3 x 2 − 2 x − 1 0 3.4. Límites de funciones irracionales. Indeterminación e ∞−∞ 0 c) lím. 2. Se resuelven multiplicando y dividiendo la función por la expresión radical conjugada. Ejemplos:. a) lím x →1. ( lím x→1. = lím x→1. x+3 −2 ⎛0⎞ = ⎜ ⎟ Indeterminación. x −1 ⎝0⎠ x+3 −2. (x − 1)(. )(. x+3 +2. x+3 +2. 1 1 = ⇒ lím x →1 x+3 +2 4. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. ). ) = lím ( x→1. ). 2. x + 3 − 22. (x − 1)(. x+3 +2. ). = lím x→1. (x − 1)(. x −1 x+3 +2. ). =. x+3−2 1 = . 4 x −1 10. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(11) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. x −2 ⎛0⎞ = ⎜ ⎟ Indeterminación. x−4 ⎝0⎠. b) lím. x→4. ( lím x→4. )( x + 2) = lím ( x ) − 2 (x − 4)( x + 2) ( x − 4 )( x + 2 ) 2. x −2. x→4. ⇒ lím. x→4. 2. x → +∞. ( x − 4 )(. x→4. x +2. = lím. ). x→4. 1 1 = x +2 4. ) x − 2 )( x + 4 +. x 2 − 2 = (∞ − ∞ ) Indeterminación.. 2. 2. 2. x2 − 2. ) = lím ( x + 4 ) − ( x − 2 ) = 2. 2. 2. 2. x→+∞ x2 + 4 + x2 − 2 x2 + 4 + x2 − 2 x 2 + 4 − x2 + 2 6 6 = lím = = 0 ⇒ lím x2 + 4 − x2 − 2 = 0. 2 2 2 2 x→+∞ x→+∞ x +4 + x −2 x +4 + x −2 +∞. x→+∞. ). (. lím. x→+∞. x → +∞. x−4. = lím. x −2 1 = . 4 x−4. ( x +4− ( x +4− lím. c) lím. d ) lím. 2. (x. 2. ). + x − x = (∞ − ∞ ) Indeterminación.. ( x + x −x)( x + x + x) = lím ( x +x) −x = lím x + x−x lím 2. 2. x +x +x. x→+∞. 2. 2. 2. x→+∞. 2. x +x +x. 2. x→+∞. 2. 2. x +x +x 2. = lím. x→+∞. ⎛ ∞⎞ = ⎜ ⎟ Indet. x + x + x ⎝ ∞⎠ x. 2. Se divide por x el numerador y el denominador:. x x = lím 2 x + x + x x →+∞ x. lím. x → +∞. 1 x +x x + x2 x 2. = lím. x → +∞. 1 1 = ⇒ lím 2 x →+∞ 1 1+ +1 x. ( x + x − x) = 12 . 2. x +1 − 2 ⎛ 0 ⎞ = ⎜ ⎟ Indeterminación. x +6 −3 ⎝0⎠. e) lím. x →3. )( x + 1 + 2)( x + 6 + 3) = lím ⎡⎢⎣( x + 1) − 2 ⎤⎥⎦( x + 6 + 3) = ⎡( x + 6 ) − 3 ⎤ ( x + 1 + 2 ) x + 6 − 3)( x + 6 + 3)( x + 1 + 2 ) ⎢⎣ ⎥⎦ ( x + 1 − 4 ) ( x + 6 + 3) ( x − 3) ( x + 6 + 3) x+6 +3 6 3 = lím = lím = = lím x +1 + 2 4 2 (x + 6 − 9)( x + 1 + 2) ( x − 3) ( x + 1 + 2 ). ( lím (. x +1 − 2. x→3. x→3. x →3. ⇒ lím. x →3. x →3. 2. 2. 2. 2. x →3. x +1 − 2 3 = . x+6 −3 2. 3.5. Indeterminación 0 ⋅ ∞ y otros casos de ∞ − ∞. ⎛0⎞ ⎝0⎠. ⎛∞⎞ ⎟. ⎝∞⎠. Se opera previamente y pasamos a un caso de indeterminación conocida tipo ⎜ ⎟ ó ⎜ Ejemplos:. ⎛ 5x + 1 x2 − 4 ⎞ ⎟ = (0 ⋅ ∞ ) Indeterminación. a ) lím ⎜⎜ 2 ⋅ x → +∞ x − 3 4 x ⎟⎠ ⎝ ⎛ 5 x 3 + x 2 − 20 x − 4 ⎞ 5 ⎛ 5x + 1 x2 − 4 ⎞ 5 ⎟ ⎜ ⎟= . = ⇒ ⋅ lím ⎜⎜ lím ⎟ 4 x → +∞ x → +∞ ⎜ x 2 − 3 4 x 3 − 12 x 4 x ⎟⎠ 4 ⎝ ⎠ ⎝ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 11. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(12) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. ⎛ 2 x4 − 1 ⎞ ⎟ = (0 ⋅ ∞ ) Indeterminación. b) lím ⎜⎜ ⋅ 2 x → +∞ x x + 5 ⎟ ⎝ ⎠ 4 ⎛ 2 x4 − 1 ⎞ ⎛ 2x − 2 ⎞ ⎟ = +∞. ⎟⎟ = +∞ ⇒) lím ⎜⎜ ⋅ 2 lím ⎜⎜ 3 x → +∞ x → +∞ x x + 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ x + 5x ⎠ ⎛ 2x2 + 4 4x + 5 ⎞ ⎟⎟ = (∞ − ∞ ) Indeterminación. − c) lím ⎜⎜ x→+∞ − x 3 2 ⎝ ⎠ 2 2(2 x + 4 ) − (4 x + 5)( x − 3) 4 x 2 + 8 − 4 x 2 + 12 x − 5 x + 15 = lím = lím x→+∞ x→+∞ 2( x − 3) 2x − 6 lím. x→+∞. ⎛ 2x2 + 4 4x + 5 ⎞ 7 7 x + 23 7 ⎟= . = ⇒ lím ⎜⎜ − x→+∞ 2x − 6 2 2 ⎟⎠ 2 ⎝ x −3. ⎛ 3x 2 + 5 x 6 x 2 + 9 x ⎞ ⎟ = (∞ − ∞ ) Indeterminación. − d ) lím ⎜⎜ x→+∞ 4 x − 1 ⎟⎠ ⎝ 2x + 5 (3x 2 + 5x )(4 x − 1) − (6 x 2 + 9 x )(2 x + 5) = lím − 31x 2 − 50 x = − 31 lím x→+∞ x→+∞ 8 x 2 + 18 x − 5 (2 x + 5)(4 x − 1) 8 ⎛ 3x 2 + 5 x 6 x 2 + 9 x ⎞ 31 ⎟⎟ = − . ⇒ lím ⎜⎜ − x→+∞ 4x −1 ⎠ 8 ⎝ 2x + 5 ⎛ 2 x −1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ e) lím ⎜ : 2 ⎟ = ⎜ ⎟ Indeterminación. x → +∞ x x + 5 ⎝ ⎠ ⎝0⎠ Aunque no es una indeterminación del tipo que estamos estudiando, también se resuelve operando:. ⎛ 2 x 2 + 10 ⎞ ⎛ 2 x −1 ⎞ ⎟⎟ = 2 ⇒ lím ⎜ : 2 lím ⎜⎜ 2 ⎟ = 2. x → +∞ x → +∞ x x + 5 ⎝ ⎠ ⎝ x −x ⎠ 3.6. Indeterminación 1∞ Para resolverla tendremos en cuenta que: Si. lím. x → ⎧⎨ a ⎩+ ∞. f (x ) = 1 y. lím. x → ⎧⎨ a ⎩+ ∞. lím. x →⎧⎨ a ⎩+∞. g ( x ) = ∞ (ya sea + ∞ o bien − ∞ ) entonces:. f (x ). g (x ). lím. =e. x → ⎧⎨ a ⎩ +∞. g ( x )⋅[ f ( x )−1]. Ejemplos:. ⎛ x 2 + x −1 ⎞ ⎟⎟ a) lím ⎜⎜ 2 x →+∞ ⎝ x +2 ⎠ e. = 1∞ Indeterminación.. ⎛ x 2 + x −1 ⎞ −1 ⎟⎟ lím (3 x −1) ⎜⎜ 2 ⎝ x +2 ⎠. x → +∞. ⎛ 3x + 1 ⎞ b) lím ⎜ ⎟ x→+∞ ⎝ 3x ⎠ e. 3 x −1. (3 x −1)( x −3 ) x2 +2. =e. lím. x → +∞. 3 x 2 −10 x +3 x2 +2. ⎛ x 2 + x −1 ⎞ ⎟⎟ = e ⇒ lím ⎜⎜ 2 x → +∞ ⎝ x +2 ⎠ 3. 3 x −1. = e3 .. x −2. ⎛ 3 x +1 ⎞ lím ( x − 2 ) ⎜ −1 ⎟ ⎝ 3x ⎠. x → +∞. =e. lím. x → +∞. = 1∞ Indeterminación. x−2. 1 lím ⎛ 3x + 1 ⎞ = e x →+∞ 3 x = e 3 = 3 e ⇒ lím ⎜ ⎟ x →+∞ ⎝ 3x ⎠. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 12. x −2. = 3 e.. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(13) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 1. ⎛ x + 2 ⎞ x−2 ∞ c) lím ⎜ ⎟ = 1 Indeterminación. x →2 ⎝ 2x ⎠ lím. ex→2. 1 ⎛ x+2 ⎞ −1⎟ ⎜ x−2 ⎝ 2 x ⎠. =e. − x+2 x→2 2 x ( x−2 ) lím. =e. −( x−2 ) x→2 2 x ( x−2 ) lím. =e. −1 x→2 2 x lím. 1. −1 4. 4 3 e 1 4 e3 ⎛ x + 2 ⎞ x−2 . =e = 4 = ⇒ lím ⎜ ⎟ = x→2 e e e ⎝ 2x ⎠. 1. ⎛ x 2 − 4 x − 10 ⎞ x −6 ⎟⎟ = 1∞ Indeterminación. d ) lím ⎜⎜ x →6 x−4 ⎝ ⎠ e. lím. x→6. e. 1 ⎛⎜ x 2 − 4 x −10 ⎞⎟ −1 ⎟ x − 6 ⎜⎝ x−4 ⎠. ( x +1) ( x − 6 ) x→6 ( x − 4 )( x − 6 ) lím. =e. lím. = e x →6. lím. x→6. x +1 x−4. x 2 −5 x − 6. ( x − 4 )( x − 6 ). 0. = e 0 De nuevo tenemos una indeterminación. 1. 7 2. = e = e7 = e3. ⎛ x 2 − 4 x − 10 ⎞ x −6 ⎟⎟ = e 3 e . e ⇒ lím ⎜⎜ x →6 x−4 ⎝ ⎠. 4. ASÍNTOTAS 4.1. Asíntotas verticales Si. lím f ( x ) = +∞ ó − ∞. x →a +. lím f ( x ) = +∞ ó − ∞. y/o. x→a −. entonces la función tiene una rama infinita por la derecha o por la izquierda (o por las dos), y la recta x = a es una asíntota vertical.. • Posibles situaciones:. lím f ( x ) = +∞. lím f (x ) = −∞. lím f (x) = +∞. x→a −. x→a +. x→a +. lím f ( x ) = −∞. x→a. x →a. lím f (x ) = −∞. x→a −. lím f ( x ) = +∞. Observaciones: Si f ( x ) =. P(x ) racional, los candidatos a asíntotas verticales son los valores de x que Q( x ). anulan el denominador. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales.. Ejemplo: Calcula las asíntotas verticales de las siguientes funciones:. a) f (x ) =. 3 x−4. 4.2. Asíntotas horizontales Si. b) g ( x ) =. x 2 − 5x + 7 x2 − x x2 +1 c ) h( x ) = d ) i(x ) = 2 x−2 x −1 x − 2x. lím f (x ) = b (b ∈ ℜ). x→+∞. entonces la función f tiene una rama infinita cuando x → +∞ y la recta y = b es una asíntota horizontal en + ∞.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 13. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(14) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. • Posibles situaciones:. f (x ) − b > 0. f (x ) − b < 0. Análogamente si x → −∞ . Observaciones: Una función tendrá, a lo sumo, dos asíntotas horizontales, una en + ∞ y otra en − ∞ . . P (x ) es un cociente de polinomios, la función tendrá la misma asíntota Q (x ) horizontal en + ∞ y en − ∞ . Será necesario que Grado P( x ) ≤ Grado Q( x ). Si f ( x ) =. Ejemplo: Calcula las asíntotas horizontales de: a ) f ( x ) = 4.3. Asíntotas oblicuas Si. 2x2 +1 x2 − 2x. 3x 2 − 5 x + 7 x−2. b) g ( x ) =. lím [ f (x ) − (mx + n )] = 0. x→+∞. entonces la función f tiene una rama infinita cuando x → +∞ y la recta y = mx + n es una asíntota oblicua en + ∞.. m = lím. Para calcularla:. x→+∞. f (x ) x. n = lím [ f ( x ) − mx] x→+∞. • Posibles situaciones: f ( x ) − (mx + n ) < 0. f ( x ) − (mx + n ) > 0. Análogamente si x → −∞ . Observaciones:. P(x ) es un cociente de polinomios, la función tendrá asíntota oblicua si Q( x ) Grado P( x ) − Grado Q( x ) = 1 . La asíntota oblicua será el cociente obtenido al efectuar la. Si. f (x ) =. división de polinomios anterior. Una función tendrá, a lo sumo, dos asíntotas oblicuas, una en + ∞ y otra en − ∞. Si hay asíntota horizontal ⇒ No hay asíntota oblicua y viceversa.. Ejemplo 1: Calcula las asíntotas oblicuas de: a) f (x) =. 3x2 − 5x + 7 x−2. b) g(x) =. 5x3 − 2x2 + 3 x2 − 4. ax 2 + b pasa a−x por el punto (1, 2) y que tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6.. Ejemplo 2: Determina los valores de a, b ∈ ℜ, sabiendo que la función f ( x) =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 14. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(15) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. 5. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 5.1. Continuidad de una función en un punto. Una función f es continua en a si lím f ( x ) = f (a ) . x→a. Esta definición implica que se cumplan tres condiciones: 1) Existe f (a ) (Es decir, a ∈ Dom( f ). ) 2) Existe lím f ( x ) y es finito. x→ a. Continua en a. 3) lím f (x ) = f (a ) (Es decir, 1) y 2) coinciden). x →a. Si no se cumple alguna de estas tres condiciones, diremos que la función es discontinua en a. 5.2. Continuidad de una función en un intervalo f es continua en (a, b) si lo es en todo punto de ese intervalo. f es continua en [a, b] si es continua en (a, b) y, además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Nota: f es continua por la derecha en a si lím+ f ( x ) = f (a ) . x→a. f es continua por la izquierda en b si lím− f ( x ) = f (b ) . x →b. 5.3. Tipos de discontinuidades a) Discontinuidad inevitable de salto finito: Presenta un salto en ese punto. Existen los límites laterales y son finitos, pero distintos.. ⎧ x si x ≤ 2 Ejemplo: f ( x) = ⎨ ⎩1 si x > 2. Dom( f ) = ℜ. ∃ f (2) = 2 ∃/ lím f (x ) x →2. Discontinuidad inevitable de salto finito en x = 2. b) Discontinuidad inevitable de salto infinito: Tiene ramas infinitas en ese punto. Uno o los dos límites laterales son infinitos. Ejemplo: f ( x) =. 1 x−2. Dom( f ) = ℜ \ {2}. ∃/ f (2) ∃/ lím f (x ) x →2. Discontinuidad inevitable de salto infinito en x = 2. c) Discontinuidad evitable: En este caso existe lím f ( x ) , pero no coincide con x→ a. f (a ) (tiene ese punto. “desplazado”), o bien no existe f (a ) (Le “falta” ese punto). Ejemplo: (Tiene ese punto “desplazado”). si x ≠ 2 ⎧x f ( x) = ⎨ ⎩− 1 si x = 2. Dom( f ) = ℜ. En este caso:. ∃ f (2) = −1 y también ∃ lím f ( x ) = 2. Sin embargo, lím f ( x ) ≠ f (2). x→2. x→2. Esta función tiene una discontinuidad evitable en x = 2 y se evita redefiniendo f (2) = 2. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 15. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(16) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. Ejemplo: (Le “falta” ese punto). f ( x) =. x2 − 2x x−2. Dom( f ) = ℜ \ {2}. Fíjate que:. ∃/ f (2) (La función no está definida en x = 2 ) ∃ lím f ( x ) = 2 ya que: x→2. lím x→2. x 2 − 2x x( x − 2) = lím = lím x = 2 x→2 x→2 x−2 x−2. Esta función tiene una discontinuidad evitable en x = 2 y se evita definiendo f (2) = 2. d) Discontinuidad esencial: Alguno de los límites laterales no existe. Ejemplo:. ⎛1⎞ f ( x) = sen⎜ ⎟ ⎝ x⎠. Dom( f ) = ℜ \ {0}. Observa que: ∃/ f (0) (La función no está definida en x = 0 ). ∃/ lím f (x ) ya que: x →0. ∃/ lím− f ( x) ⎫ ⎪ x →0 ⎬ ∃/ lím+ f ( x)⎪ x →0 ⎭. f tiene una discontinuidad esencial en x = 0 Propiedad: Si f y g son funciones continuas en a, las siguientes funciones también son continuas en a :. a) f ± g. b) f ⋅ g. c) k ⋅ f. k ∈ℜ. d) f / g. si g (a) ≠ 0. e) f o g. Las funciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus compuestas, son continuas en su dominio de definición. Ejemplo 1: Estudiar la continuidad de cada función y clasificar sus posibles discontinuidades:. ⎧ x + 1 si x < 0 a) f (x ) = ⎨ ⎩ x − 1 si x ≥ 0. ⎧2 x − 1 si x ∈ ]− 4,−2[ ⎪ b) f ( x ) = ⎨1 + 3x si x ∈ [− 2,1[ ⎪ x2 si x ∈ [1,4[ ⎩. Representarlas gráficamente. Ejemplo 2: Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua:. ⎧e ax b) f ( x ) = ⎨ ⎩ x + 2a. si x ≤ 0 si x > 0. Ejemplo 3: Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x = 1 :. ⎧ 2x + a f (x ) = ⎨ 2 ⎩ x − ax + 2. si x ≤ 1 si x > 1. x 2 −1 no está definida en x = 1. Indica si es posible definir x3 + 7 x − 8 f (1) de modo que f sea continua en x = 1.. Ejemplo 4: La función f ( x ) =. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta? Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 16. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(17) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas I. ⎧ xe x + 1 ⎪ Ejemplo 5: Obtén el valor de a y b para que f ( x) = ⎨ax + b ⎪3 + xLn x ⎩ 2. si − 4 ≤ x ≤ 0 si 0 < x < 1 sea continua. si x ≥ 1. ⎧ x3 −8 ⎪ Ejemplo 6: Halla el valor de k para que f ( x) = ⎨ x − 2 si x ≠ 2 sea continua en x = 2. ⎪⎩ k si x = 2 Ejemplo 7: Estudia la continuidad de la función f ( x) =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 17. x −1 x. Bloque IV: Análisis de Funciones Unidad 9: Límites y Continuidad.

(18)