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ESTADÍSTICA
0 INTRODUCCIÓN
Desde la antigüedad, siempre ha despertado el interés de los gobernantes conocer la población y riquezas que se hallaban bajo su potestad. No en vano, la palabra Estadística procede del vocablo “Estado”, pues era función principal de los Gobiernos de los Estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, impuestos, cosechas... La necesidad de poseer datos organizados y cifrados sobre la población y sus condiciones materiales de existencia han debido hacerse sentir desde que se establecieron sociedades humanas organizadas. Esta concepción de la Estadística, llamada Estadística Descriptiva varió totalmente con el inicio de la Estadística Inferencial, a principios del siglo veinte.
1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL
La Estadística se divide en dos ramas: Estadística descriptiva.
Se limita a describir una a o varias características de un grupo de elementos a través de sus parámetros de posición, de dispersión, etc o a través de gráficos de frecuencias.
Estadística inferencial.
A partir de los datos obtenidos de una o varias muestras en relación con una característica se estiman (infieren) los parámetros para la población de la cual proceden las muestras.
En la mayoría de los estudios estadísticos no es posible recoger información sobre una variable determinada llegando a todos los miembros de la población (lo que llamamos censo), por eso es necesario seleccionar una muestra representativa para, una vez calculados sus parámetros tratar de determinar o extender su validez para toda la población.
Ejemplo1: Para estudiar la media de edad de 2º de bachillerato del instituto (población) seleccionamos una clase: 2ºB (muestra).
Ejemplo 2. Para estudiar la proporción de alumnos enfermos en Bachillerato de Jerez durante un determinado día, seleccionamos una muestra formada por los alumnos de bachillerato del Seritium.
Las características más importantes que debe tener una muestra para poder ser utilizada en Estadística Inferencial son su representatividad y su aleatoriedad. La parte de la Estadística que se ocupa del proceso de elaboración y selección de los elementos que componen una muestra se llama Teoría de Muestras.
2 POBLACIÓN Y MUESTRAS
En toda encuesta debemos definir dos conceptos:
Población o Universo es el conjunto de todos los individuos objeto de nuestro estudio.
Muestra es un subconjunto extraído de la población. Su estudio sirve para inferir características a toda la población.
Es muy frecuente tener que recurrir a muestras para inferir datos de una población por los siguientes motivos.
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• El proceso de medición es destructivo.
• Se desea conocer rápidamente ciertos datos de una población y se tardaría demasiado en consultar a toda la población.
Para trabajar en el campo de la estadística inductiva es muy importante la muestra que se utilice de la población; si la muestra no es representativa, se dice que esta sesgada y las conclusiones que puedan extraerse no serán fiables. Por tanto una de las tareas más delicadas del trabajo estadístico inductivo es la elección de la muestra, la cual deberá ser representativa de la población.
Supongamos una ciudad en la que hay 300.000 votantes. Para tener una idea de sus opiniones políticas hacemos una encuesta a 1200 de ellos elegidos al azar. Posiblemente tengamos la sensación de que las conclusiones a las que lleguemos sean sumamente erróneas, pues cada individuo de la muestra representa a 250 individuos de la población. Sin embargo, por extraño que parezca sí podemos hacernos una idea de la población a partir de la muestra.
Fijémonos en estas dos fotografías:
La de la izquierda está formada por 300000 puntos y nos da una imagen clara de la realidad. La de la derecha es una muestra extraída de la anterior. Se ha partido en unos 1200 cuadraditos y cada uno de ellos se ha pintado del color de uno de sus puntos elegido al azar. Si la miramos de cerca lo que vemos es deforme. Pero si la observamos a una cierta distancia, la imagen gana en nitidez y nos permite tener una idea bastante clara de la realidad.
Podemos así comprobar como con una muestra de tamaño muy inferior al de la población se consigue una imagen suficientemente buena de la misma.
Hay dos aspectos de las muestras que tenemos que tener en cuenta: el método de selección de los individuos de la población, es decir, el tipo de muestreo que se va a utilizar y el tamaño de muestra.
Básicamente podemos considerar que existen tres tipos de muestreo:
Muestreo probabilístico: es aquel en el que cada muestra tiene la misma probabilidad de ser elegida.
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Muestreo sin norma: se toma la muestra de cualquier manera por razones de comodidad y se obtiene un trozo de la población. Si la población es homogénea la representatividad de la muestra será satisfactoria.
Dentro del muestreo probabilístico hemos de distinguir entre: Muestreo aleatorio con y sin reposición.
En un muestreo aleatorio todas las muestras y, en consecuencia, todos los elementos de la población, tienen la misma probabilidad de ser seleccionados para formar parte de la muestra. Cuando un elemento es seleccionado y cuantificadas las características objeto de estudio, vuelve a formar parte de la población y puede volver a ser seleccionado se denomina muestreo aleatorio con reposición.
En el caso de que el elemento no vuelva a formar parte de la población de manera que no puede volver a ser seleccionado se denomina muestreo aleatorio sin reposición o muestreo aleatorio simple.
Muestreo estratificado.
Si se conoce, con antelación al estudio estadístico, que existen subgrupos importantes en nuestra población, estos subgrupos son relevantes para nuestro estudio y, por tanto, los deberemos tener en cuenta en el diseño del muestreo.
Consideramos la población N, dividida en k subgrupos de tamaño N N N1, 2, 3,...,Nk.
Dichos subgrupos son disjuntos y se les denomina estratos. Si queremos obtener una muestra de tamaño n de la población, seleccionamos de cada estrato una muestra aleatoria de tamaño ni, de manera que n1+n2+n3+...+nk =n. Tomaremos i i
N
n n
N
= ⋅
.
Muestreo sistemático.
Supongamos que la población consta de N elementos, ordenados y numerados desde 1 hasta N, y queremos obtener una muestra de tamaño n. Dicha población la podemos dividir en n subconjuntos, cada uno de ellos con N
n
ν = elementos (N
n lo denominaremos factor o coeficiente de elevación). Tomaremos aleatoriamente un elemento de los enumerados desde 1 hasta ν =Nn, y lo llamaremos x0; después se toman los siguientes elementos
0 , 0 2 , 0 3 ,... x +
ν
x +ν
x +ν
Muestreo por conglomerados.
La selección no se hace sobre unidades físicas elementales sino sobre unidades de muestreo que comprendan un grupo de ellas. La población se divide en unidades o grupos, llamados conglomerados. Los elementos contenidos en cada conglomerado deberán ser lo más heterogéneo posible, pero homogéneos entre sí (normalmente son áreas geográficas). Por ejemplo, deseamos estudiar la altura de los alumnos de Enseñanza Secundaria de una comunidad autónoma. La población podría dividirse en cada una de las provincias que la componen, siendo cada una de ellas un conglomerado.
Otros muestreos.
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3 DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Una variable aleatoria, X , sigue una distribución de probabilidad normal, y lo escribimos como
(
,)
X ≡N
µ σ
, cuando:•La variable es una variable aleatoria continua. •Depende de dos parámetros, µ y
σ
.µ= media de la variable aleatoria.
σ
= desviación típica de la variable aleatoria. •Su función de densidad es simétrica respecto de la media.NOTA: Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una función, y= f x
( )
, que se llama función de densidad o función de probabilidad. Esta función tiene algunas propiedades como:• f x
( )
sea no negativa: f x( )
≥0 para todo x. •El área bajo la curva y= f x( )
sea igual a 1.•La probabilidad P a
[
≤x≤b]
es igual que el área bajo la curva en el intervalo[
a b,]
. •Las probabilidades de sucesos puntuales son cero: P x[
=a]
=0, P x[
=b]
=0. Por tanto,[
]
P a≤x≤b =P a
[
<x<b]
TipificaciónSea X , una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad normal, y lo escribimos como X ≡N
(
µ σ
,)
. Definimos la variable Z X µσ −
= que sigue una normal de media µ =0 y desviación típica σ =1, entonces la función de densidad de Z es simétrica respecto a la media. 4 EJERCICIOS RESUELTOS
En un instituto hay 500 alumnos en ESO de los cuales el 60 % son mujeres, 250 en Bachillerato de los cuales en 50 % son mujeres y 50 en Ciclos Formativos de los que el 20 son mujeres. Prepara una muestra estratificada de 60 estudiantes.
Solución
Se completa la tabla para la población y, a continuación, se completa la tabla para la muestra por proporcionalidad
Población ESO BAC FP Muestra ESO BAC FP
Hombres 200 125 30 355 Hombres 15 10 2 27
Mujeres 300 125 20 445 Mujeres 22 9 2 33
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El tiempo X que dedican al estudio los alumnos y alumnas de 2º de Bachillerato en Jerez sigue una normal de media 2 horas y desviación típica 0,8 horas N
(
2, 0 '8)
. Calcular las siguientes probabilidades. (Repaso de la normal)[
]
[
1
.
25
]
0
.
8944
8
.
0
2
3
3
=
<
−
=
<
=
<
P
Z
P
Z
X
P
[
3.5]
3.5 2[
1.875]
1[
1.875]
1 0.9693 0.03070.8
P X > =P Z > − =P Z > = −P Z ≤ = − =
[
]
[
0
.
75
]
1
[
0
.
75
]
1
0
.
7734
0
.
2266
8
.
0
2
4
.
1
4
,
1
=
<
−
=
−
≤
=
−
=
−
<
=
<
P
Z
P
Z
P
Z
X
P
Z
[
]
[
1.5]
[
1.5]
0.93328 . 0 2 8 . 0 8 .
0 = ≥ − = ≥− = < =
≥ P Z PZ PZ
X P
[
]
[
0.625 1.875]
0.9693 0.7324 0.23698 . 0 2 5 . 3 8 . 0 2 5 . 2 5 . 3 5 .
2 ≤ X ≤ = P − ≤Z ≤ − = P ≤Z ≤ = − =
P
[
]
[
0.625 0.25]
0.7324 0.5987 0.13378 . 0 2 8 . 1 8 . 0 2 5 . 1 8 . 1 5 .
1 ≤ X ≤ =P − ≤Z ≤ − =P − ≤Z ≤− = − =
P
[
1.5 2.2]
1.5 2 2.2 2[
0.625 0.25]
0,59871 ( 1 0,73565)0.8 0.8
0,59871 0, 26435 0, 33436
P ≤ X ≤ =P − ≤Z ≤ − =P − ≤Z ≤ = − − =
= − =
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Los resultados de un test de sensibilidad musical realizado a los alumnos de un Conservatorio se distribuyen según una ley Normal de media 65 y desviación típica 18.
¿Cuál es la distribución de la media muestral para muestras de tamaño 25?
Para muestras aleatorias de tamaño 25, halle la probabilidad de que su puntuación media esté comprendida entre 63 y 67 puntos
Solución
Las medias muestrales X de tamaño n=25 siguen una distribución normal de media µ =65 y desviación típica 18 3, 6
25 n
σ
= = , es decir: N
(
65, 3.6)
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
63 65 67 65
63 67 0, 56 0, 56 0, 56 0, 56
3, 6 3, 6
0, 56 1 0, 56 2 0, 56 1 2 0, 7123 1 0, 4246
P X P Z P Z P Z P Z
P Z P Z P Z
− −
< < = < < = − < < = < − < −
= < − − < = ⋅ < − = ⋅ − =
5 INTERVALOS CARACTERÍSTICOS
Si la variable aleatoria, X , sigue una distribución de probabilidad normal, y lo escribimos como
(
,)
X ≡N
µ σ
, se llama intervalo característico correspondiente a una probabilidad p a un intervalo centrado en la media(
µ
−k,µ
+k)
, tal que la probabilidad de que x pertenezca a dicho intervalo es p: P[
µ
−k,µ
+k]
= pEn una distribución normal N
(
0,1)
, si(
−k k,)
es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, esto es, P[
− ≤k z≤k]
= p, diremos que k es su valor crítico. Habitualmente a la probabilidad p se le designa mediante 1−α . El valor crítico correspondiente se denomina zα2 y se tienen las igualdades siguientes:2 2
P z >zα =α ; P−zα2 <z<zα2= −1 α; 2 2 P z < −zα =α ; Ejemplo: Calcula los valores críticos correspondientes a las probabilidades:
a) p=0.95. Entonces P z >zα2=0.025 ⇒ P z ≤zα2=0.975 ⇒ zα2 =1.96 b) p=0.99. Entonces P z >zα2=0.005 ⇒ P z ≤zα2=0.995 ⇒ zα2 =2.575
Principales valores críticos
1−α
α
2 zα2Página 7
6 INTERVALOS CARACTERÍSTICOS EN DISTRIBUCIONES N
(
µ σ
,)
Sea X una variable N
(
µ σ
,)
. Deseamos encontrar un intervalo centrado en la media(
µ
−k,µ
+k)
tal que P x ∈
(
µ−k,µ+k)
= p= −1 α. Es decir, un intervalo en el que se encuentre el(
1−α
)
⋅100% de los individuos de la población. Si X →N(
µ σ
,)
, entonces X µ N(
0,1)
σ −
→ .
Sabemos que el intervalo característico de una normal
(
0,1)
correspondiente a una probabilidad 1p= −α es
(
−zα2,zα2)
. Es decir, 2 2 Xzα µ zα
σ −
− ≤ ≤ con probabilidad 1−α .
Esto equivale a: µ σ− ⋅zα2 ≤ X ≤µ σ+ ⋅zα2 obteniendo así el intervalo
(
µ σ− ⋅zα2,µ σ+ ⋅zα2)
. 7 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITEDada una población de media µ, y desviación típica
σ
, no necesariamente normal, la distribución de la media de la muestras de tamaño n.•Tiene la misma media, µ, que la población.
•Tiene como desviación típica n
σ
, siendo
σ
la desviación típica poblacional.•Si n≥30 es prácticamente normal.
Este teorema es válido tanto si la distribución poblacional de partida es discreta o continua. Si la distribución poblacional de partida es normal, también lo será la distribución de las medias muestrales, cualquiera que sea el valor de n.
Consecuencias:
1. Podemos averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta esté en un cierto intervalo.
2. Control de la suma de todos los individuos de la muestra.
1 1
n n
i i
i i
x n X x
= =
= ⋅ ⇒
∑
∑
sigue una distribución normal de media n⋅µ
y desviación típica n n nσ
σ
⋅ = ⋅ .
(
)
1
, n
i i
x N n µ n σ
=
→ ⋅ ⋅
∑
. Pudiendo así calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra esté en un intervalo.3. Inferir la media de la población a partir de una muestra
Se verá más adelante.
8 ¿EN QUÉ CONSISTE LA ESTADÍSTICA INFERENCIAL?
Problema 1: Se conoce la población y se deduce el comportamiento de las muestras.
Problema 2: Conocemos una muestra y a partir de ella pretendemos deducir aspectos de la población. En concreto, se pretende inferir el valor de la media de la población a partir del conocimiento de la media de la muestra.
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9 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA.
Se desea estimar la media µ, de una población cuya desviación típica es conocida. Para ello se recurre a una muestra de tamaño n de la cual obtenemos la media (X media muestral). Si la población de partida es normal, o si el tamaño de la muestra es n≥30, entonces el intervalo de confianza de µ, con un nivel de confianza de
(
1−α
)
⋅100% es:2 , 2
x z x z
n n α α
σ
σ
− ⋅ + ⋅ . Demostración:Como X N ,
n
σ
µ
→
obtenemos el intervalo característico correspondiente a una probabilidad
1−α. Sea Z X n
µ
σ
−
= entonces Z→N
(
0,1)
.(
−zα2,zα2)
será el intervalo característico de Z.2 2 1
P z x z
n α n α
σ
σ
µ
µ
α
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = −
⇒ P n zα2 x n zα2 1
σ
σ
µ
α
− ⋅ ≤ − ≤ ⋅ = − ⇒ 2 1P x z
n α
σ
µ
α
− ≤ ⋅ = − ⇒ P x n zα2 1
σ
µ
α
− ≤ ⋅ = − ⇒2 2 1
P z x z
n α n α
σ
σ
µ
α
− ⋅ ≤ − ≤ ⋅ = −
⇒ P x n zα2 x n zα2 1
σ
σ
µ
α
− ⋅ ≤ ≤ + ⋅ = − .Por tanto el intervalo de confianza de
µ
es x z 2 ,x z 2n n α α
σ
σ
− ⋅ + ⋅ .10RELACIÓN ENTRE NIVEL DE CONFIANZA, TAMAÑO DE LA MUESTRA Y ERROR ADMISIBLE.
Como hemos visto antes x z 2
n α
σ
µ
− ≤ ⋅ . El valor E z 2 n
α
σ
= ⋅ se llama error máximo admisible. Depende de
α
y de n del siguiente modo:•Cuánto mayor sea el tamaño de la muestra, menor es E (más pequeño es el intervalo y más se afina en la estimación).
•Cuánto mayor sea 1−α, mayor es E.
1.Hallar el tamaño de la muestra dados E y
α
.2
E z
n
α
σ
= ⋅ ⇒ n z 2
E α σ = ⋅ ⇒ 2 2 n z E α
σ
= ⋅ Ejemplo:Página 9
Solución:
1−α =0.95 ⇒ α =0.05 ⇒ 0.025 2
α
= ⇒ 0.025=P Z >zα2= −1 P Z ≤zα2
⇒P Z ≤zα2= −1 0.025=0.975 ⇒ zα2 =1.96.
2 2
2
5.3
1.96 431.642176
0.5
n z
E
α
σ
= ⋅ = ⋅ =
⇒ La muestra ha de tener 432 elementos.
Nota:
Tomaremos como valor de n al entero inmediatamente superior al número obtenido. 2.Hallar el nivel de confianza conociendo E y n.
2
E z
n
α
σ
= ⋅ ⇒ 2
E
zα n
σ = ⋅ .
Una vez conocido zα2, la tabla de la normal nos dará el valor de 2 α
. De aquí obtenemos 1−α.
Ejemplo:
Un coronel desea estimar la estatura media de todos los soldados de su regimiento con un error menor que 0.5 cm utilizando una muestra de 30 soldados. Sabiendo que σ =5.3 cm. ¿Cuál será el nivel de confianza con el que se realiza la estimación?
Solución:
2 5.3 0.5
30 zα
= ⋅
2
0.5
30 0.51672
5.3
zα = ⋅ = ⇒
[
0.52]
1[
0.52]
1 0.6985 0.30152 P Z P Z
α
= > = − ≤ = − = ⇒
0.6030
α = ⇒ 1−α =0.3970
Entonces el nivel de confianza es del 39.70%. Un nivel de confianza demasiado bajo, por lo que no merece la pena realizar la experiencia.
El nivel de confianza es bajo porque se pretendía afinar mucho en el error. Con una
Página 10
11DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si en una experiencia aleatoria destacamos un suceso A y prestamos atención, exclusivamente a si ocurre Ao su contrario C
A , se trata de una experiencia dicotómica. Al suceso A se le suele llamar éxito, y a su probabilidad, p. La probabilidad de su contrario es q. Es decir, P A
[ ]
= p,1 C
P A = − p=q.
Repetimos nveces, una experiencia dicotómica, nos preguntamos por el número de éxitos, X . La variable Xes una variable discreta, esto es, solo toma valores enteros. La distribución de probabilidad de la variable X se llama distribución binomial Bi n p
(
,)
.La probabilidad de que X tome el valor k es:
[
]
n k n kP X k p q
k
−
= =
. Los parámetros de esta
distribución son: µ=np y
σ
= npq.Esta distribución binomial se parece a una distribución normal tanto más cuanto mayor son los productos np y nq. Si estos productos son mayores que 3 la aproximación es bastante buena y casi perfecta cuando superan a 5. Evidentemente la curva normal a la cual se aproxima la distribución binomial Bi n p
(
,)
tiene media µ=np y desviación típicaσ
= npq, es decir,(
,)
(
,)
Bi n p ≈N np npq . En la aproximación de la binomial a la normal, hay que tener en cuenta
que la binomial es discreta y la normal continua. Ejemplo:
Una máquina fabrica tornillos. El 5% de ellos son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 400 . Calcular la probabilidad de que en una caja haya más de 30 defectuosos.
Solución:
Sea X ≡Número de tornillos defectuosos en una caja de 400. 400
n= , p=0 '05, q= −1 p=0 '95. Entonces X sigue una distribución binomial de media 400 0 ' 05 20
np= ⋅ = y desviación típica npq= 400 0 ' 05 0 '95⋅ ⋅ = 19=4 '36. Como np=20 y 380
nq= se puede aproximar a la Normal por ser ambos productos mayores de 5. Entonces la distribución X es muy parecida a una normal X'. Bi
(
400; 0 ' 05)
≈N(
20; 4 '36)
.[
30]
[
' 30 '5]
' 20 30 '5 20[
2 ' 41]
1[
2 ' 41]
1 0 '9920 0 ' 008 4 '36 4 '36X
P X > P X ≥ =P − ≥ − =P Z≥ = −P Z≤ = − =
12DISTRIBUCIÓN DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES.
Si en una población la proporción de individuos que poseen una cierta característica C es p, la proporción de individuos de la muestra que poseen dicha característica, pr, en las muestras de tamaño n sigue una distribución normal de media p y desviación típica pq
n . Es decir, pr es ; pq
N p n
Página 11 Demostración.
Definimos X ≡número de individuos que poseen la característica C. X sigue una distribución binomial Bi n p
(
,)
. Esta binomial se aproxima a una normal de media n p⋅ y desviación típicanpq. N np
(
, npq)
. X →N np(
, npq)
. Definimos la proporción muestral como pr X n = .Entonces pr X n
= sigue una distribución N np, npq N p, pq
n n n
≈
.
13 INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORCIÓN
Se desea estimar la proporción, p, de individuos con una cierta característica que hay en una población. Para ello, se recurre a una muestra de tamaño n, en la que se obtiene una proporción muestral pr.
El intervalo de confianza de p, con un nivel de confianza de
(
1−α
)
⋅100% es:(
)
(
)
2 2
1 1
,
pr pr pr pr
pr z pr z
n n
α α
− −
− ⋅ + ⋅
Demostración:
La proporción, pr, en muestras de tamaño n, se distribuye según N p, pq n
.
El intervalo característico de pr para una proporción con probabilidad 1−α es:
(
)
2 2
1
, pr pr
pq
p z pr z
n n
α α
−
− ⋅ + ⋅
Es decir: 2 1
pq
P pr p z
n
α
α
− < ⋅ = −
Por tanto: P p pr z 2 pq,pr z 2 pq 1
n n
α α
α
∈ − ⋅ − ⋅ = −
.
La igualdad anterior puede servir para estimar el valor de pmediante un intervalo. El error máximo admisible sería: 2
pq E z
n α
= ⋅ , tiene el grave inconveniente de que está dado en función de p. Por tanto, una vez extraída la muestra y obtenida la proporción muestral, los valores de p y q serán estimados por pr y 1−pr respectivamente. Quedando así el error:
(
)
2
1
pr pr
E z
n
α
⋅ −
= ⋅
