APUNTES DE FÍSICA MODERNA
Universidad Distrital Francisco José de Caldas © Universidad Antonio Nariño
© Gladys Patricia Abdel Rahim Garzón Primera edición, abril de 2017 ISBN: 978-958-5434-11-0
Dirección Sección de Publicaciones Universidad Distrital Rubén Eliécer Carvajalino C.
Dirección Fondo Editorial Universidad Antonio Nariño Lorena Ruiz Serna
Coordinación editorial Miguel Fernando Niño Roa Corrección de estilo
Editorial UD. Diagramación
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Esta obra no puede ser reproducida sin el permiso previo escrito de la Sec-ción de Publicaciones de la Universidad Distrital y del Fondo Editorial de la Universidad Antonio Nariño.
Hecho en Colombia. Abdel Rahim, Gladys Patricia
Apuntes de física moderna / Gladys Patricia Abdel Rahim. --Bogotá : Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Universi-dad Antonio Nariño, 2017.
268 páginas ; 24 cm. ISBN 978-958-5434-11-0
1. Física - Enseñanza 2. Laboratorios de física 3. Magnetismo I. Tít.
530 cd 21 ed. A1567780
Índice general
Introducción VII
1. Principio de la relatividad galileana 1
1.1. La velocidad de la luz . . . 2
1.2. El experimento de Michelson y Morley . . . 4
1.3. El principio de la relatividad de Einstein . . . 6
1.4. Las ecuaciones de transformación de Lorentz . . . 12
1.5. Dinámica Relativista . . . 14
1.6. Energía Relativista . . . 21
2. Interacción entre la luz y la materia 41 2.1. Radiación de cuerpo negro . . . 42
2.2. Ley de desplazamiento de Wien . . . 43
2.3. Ley de Stefan-Boltzman . . . 44
2.4. Efecto fotoeléctrico . . . 45
2.4.1. Dedución analítica . . . 46
2.5. Efecto Compton . . . 50
2.5.1. Estudio analítico de la dispersión Compton . . . 51
2.6. Ondas electromagnéticas o radiaciones no ionizantes . . . 54
2.7. Ley de Beer -Lamber Bouguer . . . 57
2.8. Espectros ópticos . . . 58
2.8.1. Espectros discretos . . . 58
2.8.2. Espectros continuos . . . 59
2.9. Series espectrales del átomo de hirógeno . . . 59
2.9.1. Serie de Balmer . . . 61
2.9.2. Serie Lyman . . . 63
2.9.3. Serie Paschen . . . 63
2.9.4. Serie Brackett . . . 64
2.9.5. SeriePfund . . . 64
2.10. El precursor de la M.C Niels Bohr . . . 65
2.11. Los cuatro postulados del átomo de Bohr . . . 66
2.11.1. Átomos de hidrogenoides (o de ión hidrogenoide) . . . 71
ÍNDICE GENERAL
3. Onda o partícula 97
3.1. Hipótesis de De Broglie . . . 97
3.2. Experimentosqueevidenciaronelcomportamientoondulatoriode una partícula . . . 100
3.2.1. Experimento de la doble rejilla . . . 100
3.2.2. El experimento de Davisson - Germer . . . 100
3.2.3. Ley de Bragg . . . 101
3.3. La función de onda de materia . . . 102
3.4. Principio de Heisenberg . . . 104
3.4.1. Principio de incertidumbre de la posición y del momento . 104 3.4.2. Principio de incertidumbre energía - tiempo . . . 107
4. Ecuación de Schrödinger 129 4.1. La ecuación Schrödinger . . . 132
4.1.1. Escalón Potencial . . . 134
4.1.2. Barrera de potencial . . . 139
4.1.3. Barrera de potencial de paredes infinitas . . . 142
4.1.4. Pozo de potencial . . . 144
4.1.5. Pozo de potencial tridimensional de altura infinita . . . . 156
5. Los cuatro números cuánticos 165 5.0.6. Los tres números cuánticos . . . 168
5.0.7. Momento angular . . . 170
5.0.8. Magnitud del momento angular. . . 170
5.0.9. Dirección del momento angular . . . 171
5.1. ¿Qué es el momento magnético? . . . 172
5.1.1. Número cuántico de espín . . . 175
5.1.2. Principio de exclusión de Pauli . . . 176
5.1.3. Regla de Hund . . . 177
5.1.4. Configuración electrónica . . . 179
5.1.5. Ejemplos del Principio de exclusión de Pauli . . . 179
5.2. Tipos de Materiales . . . 180
5.3. Tabla periódica . . . 180
5.4. Las funciones para el átomo de Hidrógeno . . . 184
5.5. Interacción luz - materia . . . 185
5.6. Espectros de rayos X . . . 185
5.7. Transiciones atómicas . . . 186
5.8. Láseres y hologramas . . . 187
6. Elementos de física del estado sólido 199 6.0.1. Monocristal . . . 199
6.0.2. Conceptos fundamentales . . . 200
6.0.3. Estructuras cristalinas . . . 202
6.0.4. Redestridimensional . . . 202
6.0.5. Estructura cúbicacentradaenlascaras(fcc) . . . 204
6.1. Dirección y planos cristalográficos . . . 208
ÍNDICE GENERAL
7. Laboratorios 211
7.1. Medida de la velocidad de la luz . . . 211
7.2. Experimento de Michelson y Morley . . . 211
7.3. Difracción de la luz monocromática . . . 214
7.4. Efecto fotoeléctrico con el electrocopio . . . 219
7.5. Laboratorio: Efecto fotoeléctrico . . . 221
7.6. Espectrometro de difracción . . . 225
7.7. Espectros . . . 229
7.8. Aplicacióndel efectofotoeléctrico . . . 232
7.9. Laboratorio: Contador Geiger-Müller . . . 236
7.10. Laboratorio: Formación de cristales de sal . . . 238
7.11. Laboratorio: Interacción luz materia . . . 240
7.12. Difracción con rayos mircro-ondas . . . 244
7.13. Espectrocopio . . . 250
7.14. Espectrómetros . . . 250
Introducción
Estas notas han sido elaboradas con el fin de que los estudiantes puedan
acceder y contar con una herramienta pedagógica que contribuya al mejoramientodelaenseñanza-aprendizajedelafísicamoderna.
Laenseñanzadela física moderna hace evidente que en muchos casos a los estudiantes selesdificultalacomprensióndelosconceptosbásicos.Deahíquese haganecesarialautilizacióndevariasherramientaspedagógicasquecontribuyan yfacilitenel procesodeenseñanza-aprendizaje.
Entrealgunasdelasdiversasherramientasquedebeposeertodauniversidad que imparteestaáreadelconocimiento estánloslaboratoriosdefísica,que son losespaciosdondeelestudianteobserva,manipulaobjetos,mide,elaboratablasy gráficas,analiza comparando variables sirviéndose del cálculo y de la física teóricaobteniendosuspropiasconclusionesypermitiendolacomprensióndelos conceptosfísicosatravésdelapráctica.
En este texto se plantean los conceptos de física moderna que se enseña enel sílabo, donde también se muestran ejercicios resueltos y propuestos y varios laboratorios virtuales y presenciales. Además de este texto se diseñó
una páginaweb o Blogger (http://pabdelrahim.blogspot.com.co/), donde se subenlos vídeos, talleres o ensayos que se generandurante el desarrollo del curso, convirtiéndose en guía para el estudiante en el desarrollo de sus compromisosacadémicos.
Capítulo 1
Principio de la relatividad
galileana
El principio de la relatividad galileana se basa en el hecho de que las leyes de la física son las mismas para cualquier sistema de referencia inercial. Luego, no existe un marco de referencia privilegiado. Por ejemplo en mecánica newtoniana al caer dos esferas desde al mismo tiempo (t) y altura (h) pero, describiendo trayectorias diferentes (una parabólica y la otra en caída libre). Si despreciamos la resistencia del aire ambas esferas deberían caer con una rapidez dev=√22gh
y esto ocurriría para cualquier observador que se encuentre en un sistema de referencia inercial.
LaFigura1.1muestravarias cosasentrelascualesson:
1. Dos sistemas de referenciasS yS′, dondeS es un sistema en reposo con relación al sistemaS′que se mueven con velocidad constante en dirección xpositiva.
2. La relación entre las coordenadas (x, y, z, t) de un evento vistos porS y las coordenadas (x′, y′, z′, t′) vistos porS′.
3. Si algún fenómeno físico ocurre en el sistemaS y a su vez en un sistema de referencia inercial S′, que se mueve con rapidez constante. Como el
sistemaS′se mueve con rapidez constantev a lo largo dexx′donde vse mide en relación conS.
Ahora si suponemos que un evento ocurre en el punto P (Figura 1.1) y que los orígenesdeSyS′ coincidenenti=0.Lascoordenadasdelitem2serelacionan
pormediodelas siguientesecuaciones quesemediríaconrespectoaS.
x′ = x−vt (1)
y′ = y (2)
z′ = z (3)
t′ = t (4)
2 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Figura1.1:
Aestasecuacionesseledenominalatransformacióndecoordenadasgalileanas, quesebasanenelprincipiodequeelmovimientoesrelativo(ecuaciones1,2,3) yeltiempoesabsoluto(ecuación 1).
Derivando lasecuaciones(1) , (2) y(3) con respectoaltiempo, seobtienen las ecuacionesdetransformacióndevelocidadesgalileana[1].
u′x = ux−v
u′y = uy
u′z = uz
0
1.1.
La
velocidad
de
la
luz
EnlaFigura1.2 observamosdosobservadores,uno dentrode unvagónen movimientoconvelocidadconstanteubicadoenelsistemaS′yotroobservador
estacionariofueradel vagónenelsistemaS. Unpulso deluzesenviadoporel observadorS,sielpulsodeluztieneunarapidezcenrelaciónaS′.Deacuerdo
conlaecuacióndetransformacióndevelocidadesgalileana,larapidezdelpulso relativo al observador estacionario S es c+v. Ahora en la década de 1980 Maxwelldesarrollólateoría electromagnéticadondeapartirdeellasseobtiene que larapidezde la luz es:c= √µ1
εo, donde µ0 es permeabilidadmagnética del vacío y en el SI y se define como:4π×10−7T m A−1 yε
1.1. LA VELOCIDAD DE LA LUZ 3
Figura 1.2:
permitividad eléctricante que el SI y se define como:8,854×10−12F m−1, así
c = √1 µ0εo c = 1 8,854×10−12 C2 Nm 4π×10−7 T mA c = 1 111,26×10−19 C2 Nm N A2m c = 1 111,26×10−19 C2 (C s) 2 m2 c2 = 8,98×1016m 2 s2 c = 2,99792458×108m s−1
determinando que es igual para cualquier observador y que la ecuación de onda solo es válida en un marco de referencia especial, pero esto no cuadra con las transformaciones de Galileo.
Luego se presenta una contradicción entre la ecuación de transformación de velocidades galileana y la teoría electromagnética de Maxwell, ya que
El principio de la relatividad galileana es válido para la mecánica, pero no para el electromagnetismo.
Las ecuaciones de Maxwell no son correctas.
Existe un solo principio de la relatividad galileana para la mecánica y otro para el electromagnetismo.
4 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA Para salir de la duda se pensó que si la luz es una onda esta se debería propagarse en un medio llamado el éter.
En 1887 los físicos Michelson y Morley realizaron un experimento cuyo obje-tivo era tratar de detectar el viento del éter. Observando efectos de interferencia de luz esperaba poder medir la rapidez de este viento, o lo que es igual, la rapidez de la tierra respecto al éter [6].
¿Lo que oscila es el éter?
En el siglo XIX el éter tenía propiedades físicas que podían ser deduci-das observando el comportamiento de la velocidad de propagación de una on-da en un medio (aire, agua, cueron-da), como la velocion-dad de la luz es enorme
2,99792458×108m s−1 el éter debería ser algo muy rígido y en consecuencias
la Tierra no podría moverse con facilidad. Si el éter se comportaba como un fluido viscoso los planetas en órbita perderían energía paulatinamente y acabaríanporcaerenelSol,siguiendounatrayectoriaenespiralycomoesono ocurría los físicos llagarona otra conclusión definitiva sobre el éter. El éter decían,esunfluidoperfectamentemóvil sinviscosidadalguna,incomprensible, transparentequellenatodoelespacio.Conociendo tantosobreél,loúnicoque quedabaporhacer eraunexperimentoquefuera claroeirrefutable,esta tarea fuerealiza-doporlosfísicosMichelsonyMorleyquemontaronésteexperimento usando diferentes materiales y realizado en diferentes condiciones climáticas durante40años,paraquealfinalnoobtuvieronrespuestasosialgoqueellosno creíanqueeléternoexistía[6].
Tarea:
Desarrolle el laboratorio que aparece al final del texto titulado: medida de la velocidad de la luz.
1.2.
El
experimento
de
Michelson
y
Morley
El Dr. David L. Goodstein, California Institute of Technologydescribe el experimentorealizadoporlosfísicosMichelsonyMorley.Elmontajedel exper-imento contenía dos espejos planos y uno semiplano tal como se muestra en laFigura1.3. Donde un rayo de luz láser sale del punto S, golpea un semi espejo transparente que divide el rayo en dos, un rayo que va paralelo al movimientode la Tierra (espejo M1) y el otro rayo que va en dirección
perpendicular al movimiento de la Tierra (espejo M2). Estos dos rayos se
superponenformandolineasclarasyoscuros[6].
Estudioanalítico del experimento de Michelson y Morley:
Determi-namosprimero ladiferencia de tiemposen quesetoma elhazde luzen ir del espejoM1alsemiespejoydelespejoM2alsemiespejopara,luegodeterminarel
corrimientodelafranjayfinalmentecompararconloscálculosexperimentales. Buenolateoríadicequenocoincidían.
1.2. EL EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY 5
Figura 1.3:
La Figura 1.3 muestra que la distancia entre el semiespejo y el espejo M1es
Ly la rapidez de la luz a medida que se acerca y se aleja del espejo M1esc−v
yc+v, respectivamente (dondeves la velocidad del viento de eter contrario a la velocidad de la Tierra). De este modo, el tiempo sería igual a:
t1= d c+v + d c−v = 2dc c2−v2 = 2d c 1− v2 c2 −1 (1)
Ahora cuando el haz de luz que viaja hacia el espejo M2, perpendicular al viento
del éter. Ya que la rapidez del haz en relación con la Tierra es (c2−v2)1
2 en
este caso, el tiempo de viaje para cada mitad de este recorrido es d
(c2−v2)12 , y
el tiempo total para el recorrido completo es t2= 2d (c2−v2)12 =2d c 1− v2 c2 −1 2 (2) Luego la diferencia de tiempos es
∆t=t1−t2= 2d c 1− v2 c2 −1 − 1−v 2 c2 −1 2 (3) Debido a que v2
c2 ≪1, esta expresión puede simplificarse empleando el siguiente
desarrollo del binomio después de eliminar todos los términos de orden más alto que el segundo:
6 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA Luego encontramos que
∆t≃ dv
2
c3 (4)
Así, la diferencia de trayectoria que corresponde a esa diferencia de tiempo es
∆x = c(2∆t) (5) ∆x = 2c dv 2 c3 ∆x = 2 dv 2 c2 (6)
El correspondiente desplazamiento de las franjas es iguala esta diferencia de trayec-toriadivididaentrelalongituddeondadelaluz,puestoqueuncambio de longi-tudde ondadelatrayectoriadeuna longituddeondacorrespondeal corrimientodelafranja Corrimiento = ∆x λ Corrimiento = 2 dv 2 λc2 (7)
Que al sustituir estos valores con los del montaje experimental estos no coincidían.
Tarea:
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la pgina web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Experimento de Michelson y Morley_Primer Laboratorio.
Desarrolle el laboratorio que aparece en el ltimo capitulo titulado como: medida de la velocidad de la luz.
1.3.
El
principio
de
la
relatividad
de
Einstein
Einsteinenvezdebuscarformasdejustificarlosresultadosinesperadosdel experimentodeMichelsonyMorleytrabajóendospostulados:
1. Las leyes de la física coinciden en cada sistema de referencia inercial. En particular, los sistemas inerciales resultan indistinguibles, lo que destierra la noción de sistema de referencia absoluto, e incorpora implícitamente el principio de inercia.
2. La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente: Por tanto, la constancia de la velocidad de la luz pasa a ser un principio univer-sal, resultando clave para establecer las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales.
1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN 7
Figura1.4:
Desdeunpuntodevistaexperimentalelprimerpostuladonospuedellevara concluirquesiqueremosexperimentalmentemedirlarapidezdelaluzefectuado enunlaboratorioenreposodebedarelmismoresultadoquecuandoserealizaen unlaboratorioquesemuevaconrapidezconstanteconrespectoalprimero.Por lo tanto,noexiste un marcode referenciainercial privilegiado, y esimposible detectar movimiento absoluto. Observe que elpostulado 2esrequerido por el postulado 1: si la rapidez de la luz no fuera la misma en todos los marcos inerciales[1].
AceptadalateoríadelarelatividaddeEinsteinsellegaaqueelmovimiento relativonoesimportantecuandosemidelarapidezdelaluz.Alavezsedeben modificarlosconceptosdeespacioytiempo[1].
El evento o el suceso
Eleventoosucesosedefinecomoalgoqueocurreenalgúnpuntoenelespacio en undeterminadotiempoy endiferentes marcosinerciales suelendescribirel mismoeventocondiferentescoordenadas[1].
A continuación estudiaremos tres consecuencias de los postulados de A. Einsteincomoson:
1. Principiodelasimultaneidaddeeventos. 2. Dilatacióndel tiempo.
3. Lacontracción delalongitud.g
Recordemos que para la mecánica relativista el tiempo y la longitud absoluta no existe.
Principio de la simultaneidad de eventos
Para comprender el concepto de simultaneidad plantearemos un ejemplo experimental mental. Suponga que los sistemas de referencia de Lucho y Patricia
8 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
SyS′,respectivamente.YLuchoenSestádentrodeuncubodecristalquetiene dos espejos uno enfrente del otro. Este cubo semueve conrapidezconstante. AhoraLuchoenciendeuna bombillajustoenelinstanteenelqueelcubopasa pordelantedePatricia.Lapreguntaes,¿quémidecadaunodelosobservadores? Lucho queestádentro delcubo veque elespejode atrásrecibeprimerola luzantesqueelespejoqueestádelanteyPatriciavequeambosespejosreciben laluzalmismotiempo.
El anterior experimento mental demuestra claramente que los dos acon
-tecimientos,los cuales parecensersimultáneos para Patricia, noparecen serlo para Lucho. Depende del marco de referencia de donde ocurra el evento o suceso.
Dilatación del tiempo
LaFigura1.4muestradosobservadores,unoqueestádentrodeunvagónde tren(O1)quecontiene dosespejosefrentados(uno arriba yotroabajo) yotro
observadorqueestáfueradelvagóndetren(O2).Elobservadorqueestádentro
delvagónemiteunrayodeluzquepuededealgunaformaserdetectadocuando este esreflejado por elespejo (Figura1.4a). Lamedida del recorridode ida y vueltaes2dyeltiempomedidoporeloperario(O1)es:
∆t∗=2d c (1)
En la Figura (1.4b) se observan tres posiciones del vagón en su desplaza-miento de avance según indica la flecha situada encima de la Figura (1.4b). El vagón se desplaza hacia la derecha con una velocidad (v). Se ha situado un observador (O2), fijo en Tierra, y queremos determinar el tiempo que calculará
este observador para la realización del anterior experimento (emisión y reflexión del rayo de luz) [1-3, 46].
La Figura (1.4c) muestra la forma de poder calcular el tiempo que tarda el evento en recorrer la mitad del camino. La hipotenusa de este triangulo es igual a la mitad del desplazamiento del haz de luz c∆t
2 , la longitud del cateto que
actúa como base es igual a la mitad del desplazamiento del tren v∆t
2 ydes la
1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN 9 c∆t 2 2 = v∆t 2 2 +d2 c2∆t2 4 − v2∆t 4 2 = d2 ∆t2 4 (c 2−v2) = d2 ∆t = 4d2 c2−v2 ∆t = √ 2d c2−v2 ∆t = 2d c 1−v2 c2 1 c 1 c (2) Debido a que ∆t∗=2d
c, podemos expresar la ecuación (2) como
∆t= 2d c 1−vc22 = ∆t∗ 1−vc22 Donde γ= 1 1−v2 c2 (3) Luego ∆t=γ∆t∗ (4)
Donde si gammaγes mas grande que la unidad. La ecuación (3) nos indica que el intervalo de tiempo ∆t medido por un observador que se mueve respecto de un reloj es más largo que el intervalo de tiempo ∆t∗medido por un observador
en reposo respecto del reloj (esto ∆t ≻ ∆t∗). Dicho efecto se conoce como
dilatación del tiempo.
En la siguiente gráfica deγen función de la velocidad observamos que cuando la velocidad se aproxima a la rapidez de la luzγaumenta de manera dramática. Advierta que para magnitudes de velocidad menores a un décimo de la rapidez de la luz, γ está muy cerca de ser igual a la unidad. Un ejemplo, el latido del corazón de un astronauta que se mueve por el espacio mantendría el tiempo con un reloj dentro de la nave espacial. Tanto el reloj del astronauta como su latido cardiaco se retrasan respecto de un reloj estacionario allá en la Tierra (aunque el astronauta no tendrá ninguna sensación de que la vida se está retrasando en la nave espacial), [1-3, 46].
10 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA 0 1 2 3 2 4 6 8 10
v(10^8) m/s
Gamma
γ= 1−v92 −1 2 Contracción de la longitudOtra consecuencia de los dos postulados de A. Einstein es la contracción de la longitud. La distancia medida entre dos puntos depende también del marco de referencia. La longitud propia (Lp) de un objeto es la longitud medida por
un observador que está en reposo respecto del objeto. La longitud de un objeto medida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del objeto siempre es menor que la longitud propia. Este efecto se conoce como contracción de la longitud [1-5].
Considere una nave espacial que viaja a una rapidezvde un planeta a otro. Hay dos observadores: uno en reposo en la Tierra y el otro dentro de una nave espacial que viaja a velocidad constante. El observador en la Tierra, mide la distancia entre las dos planetas como la longitud propia(Lp). De acuerdo con el
observador en Tierra, el tiempo que tarde la nave espacial en completar el viaje es∆t= Lp
γ . El viajero espacial afirma que ve el planeta de destino moviendose
hacia la nave espacial a una rapidezv. Como el viajero epacial alcanza el planeta en un tiempo∆tp se tiene que
L=v∆tp (1)
Si de acuerdo con la contracción de la longitud se tiene que el tiempo medido por un observardor en movimiento es:
∆t=γ∆tp (2)
Luego sustituyendo∆tp de la ecuación (2) en la ecuación (1) obtenemos
L=v∆t γ
1.3. EL PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN 11
Figura 1.5: Donde despejando ∆tse obtiene
∆t=γL
v (3)
La longitud medida por un observardor en Tierra es Lp=v∆t (4)
Y sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (4) se obtiene Lp=v γ
L v Obtenemos la ecuación (5)
Lp=γL (5)
Despejando la distancia medida por el observador en la nave L de la ecuación (4) L= Lp γ O L=Lp 1− v2 c2 1 2 (6) 1−vc22 1 2
Donde ≺1,adviertaquelacontraccióndelalongitudocurresóloa lolargodelmovimiento,Figura1.5[1-3,46].
Tarea:
Desarrolle el laboratorio virtual que aparece en la página web
(http://pabdelrahim.blogspot.com.co/) titulado: Dilatación del tiempo y contraccióndela longitud
12 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
1.4. Las ecuaciones de transformación de Lorentz
Como la transformación galileanas no es válida para objetos que se muevan con velocidades que se aproximan a la velocidad de la luz. Luego en esta sección se presentarán las ecuaciones correctas cuando la magnitud de la velocidad se encuentran entre el intervalo de0≤v≺c, [1-3, 46].
Posición medida por dos sistemas de coordenadas inerciales
Se tienen dos observadores, uno en el marco de referencia estacionario S y otro en el marco de referencia que se mueve con velocidad constante (v) en relación con el estacionario (Figura 1.5). Suponga que un objeto se ubica en la posiciónxmedida en el sistema S′, donde las ecuaciones de posición son:
x′ = γ(x−vt) (5)
y′ = y
z′ = z
t′ = γ t−cv2x (6)
Las ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz de S →S′
Suponga que un objeto, tiene una rapidezuxmedida en el sistemaS′, donde
u′x= dx′
dt′ (7)
Derivando con respecto al tiempo las ecuaciones (5) y (6), obtenemos (8) y (9)
dx′ = γ(dx−vdt) (8)
dt′ = γ dt− v
c2dx (9)
Al sustituir las ecuaciones (8) y (9) en la ecuación (7) se obtiene la ecuación (10) u′x = dx−vdt dt−cv2dx 1 dt 1 dt u′x = dx dt −v v dx u′ x= ux−v 1−uxv c2 (10)
Donde la rapidez medida en el marcoS′, teniendo encuenta que d
dtx justo la
componente de la velocidadux del objeto medida por un observador enS, asi
1.4. LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 13 Si el objeto tiene componente de la velocidad a lo largo de los ejesyyz, las componentes medidas por un observador enS′son las sigueientes
u′y = uy γ 1−vuy c2 (11) u′z = uz γ 1−vuz c2 (12) Observe que las ecuacionesu′
y y u′z no contienen el parámetro v en el
nu-merador porque la velocidad relativa está a lo largo solo del ejex.
Cuando ux y v son mucho mas pequeñas que c(el caso no relativista) el
denominador de la ecuación (10) se aproxima a la unidad y por ellou′
x=ux−v
que corresponden a las transformaciones de las velocidades galileanas. En el otro extremo, cuando ux=cla ecuación (10) se vuelve
u′x= c−v 1−cv c2 = c 1− v c 1−v c =c
advierta que el resultado se orienta hacia el segundo postulado de Einstein [1-3, 46].
Las ecuaciones de transformación de velocidad de Lorentz de S′ → S
Se tiene dos observadores uno en el marco de referencia estacionario(S) y otro que mueve con velocidad v en relación con el estacionario (S′). Suponga que un objeto tiene una rapidez u′x medida en el marcoS, donde:
ux= dx
dt (13)
Derivando con respecto al tiempo, obtenemos
dx = γ(dx′+vdt) (14) dt = γ dt′+ v
c2dx (15)
Al sustituir la ecuación (14) y (15) en la ecuación (13), obtenemos (16)
ux = dx′+vdt dt′+ v c2dx 1 dt′ 1 dt′ ux = dx′ dt′ +v 1 + v c2dxdt′′ ux = u′x+v 1 +vu′x c2 (16)
14 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA
Figura 1.6:
1.5. Dinámica Relativista
La segunda ley de Newton se enuncia como el cambio de movimiento que es proporcional a la fuerza neta y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime, entonces para otro observador estacionario o en movimiento con rapidez constante, la fuerza permanece invariante bajo las transformaciones de Galileo[32].
Pero las magnitudes físicas cambian cuando estas se trabajan bajo las trans-formaciones de Lorentz, cuando el evento se ve en cada uno de los sistemas de referenciaS yS′.
Leyes de Newton
De acuerdo a las transformaciones de Galileo las tres leyes del movimiento de Newton deben permanecer invariantes al cambio de un marco de referencia a otro. La primera ley vista como el principio de la cantidad de movimiento debe cumplir que
momentum antes del choque = momentum después del choque
Sin embargo, al utilizar las transformaciones de Lorentz descubrimos rápi-damente que la cantidad de movimiento no se conserva invariable al pasar de un marco de referencia a otro. Esto lo podemos ver mejor considerando un experi-mento donde hay una colisión inelástica entre dos partículas, como se muestra a continuación.
La masa relativista
La Figura 1.6 se muestra una colisión entre dos partículas, este evento tiene lugar en el marco de referencia S′ que se mueve con velocidad constante u.
1.5. DINÁMICA RELATIVISTA 15 Consideremos que en el sistemaS′ las velocidades de cada una de las partículas
que presetan la colisión iguales av′y si la cantidad de movimiento se conserva.
Donde se cumple en este sistema que la cantidad de movimiento antes del choque es igual a la cantidad de movimiento despues del choque,
− →P
antes=−→Pdespues´
Luego
m′v′+m′(−v′) = 0 (2)
En la Figura 1.6 observamos que en el sistemaS, la cantidad de movimiento antes del choque es igual a la cantidad de movimiento despúes del choque, donde en este sistema no se puede asegurar que las masas de las partículas ni su velocidad sean iguales, ya que sus velocidades son diferentes, entonces se requiere que se cumpla que
mv=M0v′ (3)
O lo que es lo mismo
mv= (m+mo)v′ (4)
DondemyM0 son las masas de las partículas en movimiento ymola masa
de la partícula en reposo yvyv′ son las velocidades de las partículas para antes
y después de la colisión, respectivamente, de acuerdo con las transformación de la conservación de velocidades se tiene que: la rapidez de un evento físico que ocurre a una distanciax′del sistema de referencia S′, pero medido por un
observador en el sistema de referenciaS′ es:
v= v′+v 1 +vvc2′
= 2v′ 1 +vc′22
(5)
Noten que cuando v ≪ c, v = 2v′ y despejamos m de la ecuación (4) se ob-tienemos que
mv = mv′+mov′
m(v−v′) = mov′
m = v′
v−v′ mo (6)
Despejando v′ de la ecuación (5), se obtiene la ecuación (7) de segundo grado
parav′, así: v 1 +v′2 c2 = 2v′ v+vv′2 c2 = 2v′ v c2v′ 2−2v′+v = 0 (7)
16 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA Que corresponde a una ecuación cuadrática de la forma ax2+bx+c = 0,de
dondea= v
c2,b=−2, yc=vy cuya solución es la ecuación (8), luego:
v′ = −(−2)± 4−4 v c2 (v) 2 cv2 v′ = 2±2 1− v2 c2 2 v c2 v′ = 1± 1− v2 c2 v c2 Factorizando c2 v, obtenemos v′= c 2 v 1± 1− v2 c2 (8)
Puesto quev′ debe ser igual a v2 cuando la rapidez involucrada es pequeña son comparadas con la rapidez de la luz, el signo apropiado en la ecuación (9) es el signo negativo. Entonces:
v′=c
2
v 1− 1−
v2
c2 (9)
Ahora remplazando la ecuación (9) en la ecuación (6), obtenemos:
m = v′ v−v′ mo m = c2 v 1− 1− v 2 c2 v−c2 v 1− 1− v 2 c2 mo
Reduciendo esta ecuación en su más mínima expresión obtenemos la ecuación (10), así:
1.5. DINÁMICA RELATIVISTA 17 m = c2 v 1− 1− v 2 c2 v−c2 v 1− 1− v 2 c2 1 + 1− v2 c2 1 + 1− v2 c2 mo m = c2 v 1− 1− v 2 c2 v 1 + 1− v2 c2 −c 2 v 1− 1− v 2 c2 mo m = v v 1 + 1− vc22 −v mo
La ecuación (10 que corresponde a la masa relativista
m = 1 1− vc22 mo m = γmo (10)
La siguiente gráfica corresponde a la ecuación (11) y muestra a la masa relativista (m) de una partícula en función de vc. Donde observamos que cuando la masa relativista aumenta, la velocidad aumenta hasta cuando la velocidad de la partícula se acerca a la velocidad de la luz,c= 3×108m s−1 y que cuando
la razón entre las velocidadesv ycse aproxima a cero, se obtiene el valor de la masa del electrónm0= 9,109×10−31kg. (líneas punteadas)
m= 9,109×10−31kg 1− vc22
18 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 6.0e-31 8.0e-31 1.0e-30 1.2e-30 1.4e-30
v/c
m [kg]
masa relativista vs. v c m= 9,1093897×10−31 1− v2 c2 kgPero la masa no está aumentando. El observador que viaja en el marco de referencia S′ junto con el cuerpo verá a dicho cuerpo en reposo (con respecto
a él) y no lo verá aumentar. La materia extra es la que sería detectada por el observador que está en el marco de referencia S ante el cual el cuerpo se está moviendo a grandes velocidades.
En realidad esta masa extra tiene que ver con el consumo de energía que hay que invertir para ir acelerando el cuerpo a velocidad cada vez más cercana a la velocidad de la luz. La aceleración del cuerpo, el aumento en su cantidad de movimiento, corresponde a la energía que hay que invertir en el proceso para aumentar su rapidez de v = 0 a v = 0,7c. Esta energía va directamente al aumento en la cantidad de movimiento del cuerpo. En realidad esa masa extra aparente tiene que ver directamente con la energía invirtiendo en irle subiendo la rapidez al cuerpo.
Momentum relativista
Definida la masa relativista nos lleva a conceptualizar el momentum rela-tivista, la cual es:
−
→p = mo−→v
1−uc22
(12) Donde−→v es la velocidad de la partícula.
Cuando −→v →0el denominador de la ecuación (12) tiende a la unidad por lo que−→p se reduce a la expresión clásica igual a: −→p =m−→v y la ecuación (12)
1.5. DINÁMICA RELATIVISTA 19 se reduce a:
−
→p =γmo−→v (13)
Como la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial, sus componentes con respecto a un sistema de ejesx,y yzserán:
px = movx 1−vc22 py = movy 1−v2 c2 pz = movz 1−vc22
Donde el momentum relativista es:
− →p = mo 1−u2 c2 vxi+vyj+vzk (14) Fuerza relativista
Definida como derivada de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, así: − → Fclasico= d − →pclasico dt = d dt(mo−→v) =mo−→a
dondemoes la masa en reposo relativista, considerada constante en la expresión
anterior.
La fuerza relativista tambien será la derivada con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento, pero ahora relativista:
− → Frel = d − →prel dt − →F rel = d dt(m−→v) − →F rel = md − →v dt +−→v dm dt (15)
20 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA de la fuerza relativista es Frel = mo 1−vc22 dv dt +v d dtmo 1− v2 c2 −1 2 Frel = mo 1−vc22 dv dt +vmo d dt 1− v2 c2 −1 2 Frel = mo 1−v2 c2 dv dt +vmo − 1 2 1− v2 c2 −3 2 −2cv2 dvdt Frel = mo 1−v2 c2 dv dt + mo 1−v2 c2 −3 2 v2 c2 dv dt Frel = mo 1−v2 c2 dv dt 1 + 1 1−vc22 v2 c2 Simplificando Frel= mo 1−vc22 dv dt 1− v2 c2 + v2 c2
Finalmente, obtenemos la expresión Frel = modvdt 1−vc22 3 2 (16)
Donde para velocidades suficientemente bajas en comparación a la velocidad de la luz, la expresión para la fuerza relativista se reduce a la expresión de la segunda ley de Newton.
Aceleración relativista
Delaecuación(12)lafuerzarelativísticasedefiniócomo
− →F rel=md − →v dt +−→v dm dt
Y sim= cE2, diferenciando esta ecuación con relación al tiempo, tenemos
dm dt = 1 c2 dE dt = 1 c2 d dt m0c 2+K Esto es dm dt = 1 c2 dK dt
Si la variación de energía cinética relativística(dK)es el resultado de un trabajo diferencial(F dr). Por lo tanto,
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA 21 dm dt = 1 c2F dr dt = 1 c2F v
Al reemplazar este resultado en la ecuación (12) queda:
− →F = m−→a +−→v 1 c2F v − →a = −→F m 1− v2 c2 − →a = −→F m0 1−v 2 c2 3 2 (17)
Porelprincipiodecorrespondenciasetienequecuandolavelocidadv seapro
-xima a la velocidad de la luz c, la aceleración se anula. Si v es despreciable frente a c, la aceleración se resume a la segunda ley de Newton, es decir, la magnituddelaaceleraciónes
− →a = −→F
m0
Y la magnitud de la fuerza relativista seria igual a
F = am0
1−v2
c2 3 2
Según la mecánica de Newton, el móvil responde a la acción de la fuerza acelerándose. Esta es una manifestación de su inercia. A velocidades relativísti-cas, la inercia crece significativamente, hasta el punto de que una fuerza finita no causa reacción sobre el móvil. Para obtener una reacción visible en el móvil, la fuerza deberá también crecer. Por eso la luz cae si el campo gravitacional es tan intenso como el de un agujero negro.
1.6. Energía Relativista
Al igual que en la mecánica clásica se debe cumplir que el trabajo realizado sobre un cuerpo cuando se desplaza entre dos puntos es igual a la integral del producto punto entre la fuerza y el desplazamiento, así
W = −−→Frel•d−→l (18)
donde el teorema del trabajo y la energía es igual al cambio de la energía cinética (W = ∆K)y de acuerdo a la ecuación (18) tenemos que:
K= d−−→prel dt ·d − → l = v 0 md−→v dt +−→v dm dt · d − → l (19)
22 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA Donde si el cuerpo se desplaza en dirección horizontal, tenemos que:
K = v 0 mdv dt +v dm dt dx K = v 0 mvdv+v2dm (20)
Expresión en la cual tanto m como v son variables. Estas cantidades están relacionadas la una con la otra a través de la definición de la masa relativista
m= 1 1−vc22 mo (21)
Elevando al cuadrado la expresión (21) , obtenemos: m2 1−v 2 c2 = m 2 0 m2−m2v2 c2 = m 2 0
Y diferenciándola a ambos lados de la igualdad, da
2mdm− 2 (dm)m v 2 c2 + 2m 2v c2dv = 0 2mc2dm−2 (dm)mv2−2m2vdv = 0 mvdv+v2dm = c2dm (23) Que es precisamente el factor que se encuentra en (20). Por consiguiente
K = v 0 c2dm K = c2 m m0 dm K = mc2−moc2
De modo que la energía cinética se puede expresar como una integral de la velocidad que cambia desde el estado de reposo hasta que la fuerza deja de actuar, finalmente tenemos que:
K= m0c 2 1−vc22 1 2 − m0c2 (24)
Lo que podemos observar es que a baja velocidadK= mv2
2 , pero a velocidades
altas la curva de energía creciente comienza a parecerse a la curva de masa creciente, la ecuación (24) muestra por qué
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA 23
K=γm0c2−m0c2 (25)
A cualquier velocidad la energía cinética es igual a la variación de la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado
K= (m−m0)c2
y como m0 es la masa del cuerpo en reposo, la cantidadm0 multiplicada por
la velocidad de la luz al cuadrado recibe el nombre de la energía de la masa en reposo, E0=m0c2.
Sumando la energía cinética a la energía de la masa en reposo se obtiene la energía total del cuerpo
E=mc2 (26)
Esta ecuación se confirma rutinariamente mediante experimentos que emplean aceleradores de partículas de alta energía.
Siv→0la ecuación (24) debe reducirse a la expresión clásica K=mv2
2 .
Podemos verificar esto empleando la expresión del binomio
(1−x2)−12 ≈1 +1 2x
2+....
Para x ≺ 1 donde las potencias de orden mas alto de x se desprecian en la expresión. En nuestro casox= vc, de modo que
1 1−vc22 1 2 ≈ 1 +1 2 v c 2
La sustitución de esta ecuación (24) produce K≈m0c2 1 + 1 2 v c 2 −m0c2= m0c2 2
La cual concuerda con el resultado clásico.
El términom0c2es la energía en reposio y es independiente de la velocidad
de la partícula.
El término γmoc2 es la energía total que corresponde a la suma de la
energía cinética más la energía en reposo de la partícula,E=K+m0c2.
Aquí lo que se muestra es que la masa es una propiedad de la energía o que una masa pequeña corresponde a una gran cantidad de energía. Este concepto es fundamental para gran parte del campo de la física nuclear [1-3].
La siguiente Figura muestra la energía total del electrón (γm0c2) en funcion
de v
c. Observando que cuando vc se acerca a cero da el valor de la energia en
reposo del electrón(moc2).
E= 9,109×10 −31 kg 3×108 m s 2 1− v c 2
24 CAPÍTULO 1. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD GALILEANA -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 6.0e-14 8.0e-14 1.0e-13 1.2e-13
v/c
ET [J]
ET = 9,1093897×10−31(2,99792458×108)2 1−(v c) 2Energía relativista en función del momentum
El momento relativista se relaciona con la energía total por medio de la ecuación
E2=c2p2+m2oc4 (1)
Para dar una expresión alternativa de la energía total en términos del momentum relativista. Se logra a partir del momento relativista, la cual es:
p= mov 1−vc22 . Despejando v c 2 , así p 1−vc22 2 = (mov)2 p2 1−v 2 c2 = (mov) 2 p2c2−p2v2 = (mov)2c2 p2c2 = p2v2+ (mov)2c2 p2c2 = v2 p2+m2oc2 v2 c2 = p2 p2+m2 oc2 (2)
1.6. ENERGÍA RELATIVISTA 25 Sustituyendo v2 c2 de la ecuación (2) en la ecuación (3), E = moc 2 1−vc22 (3) E = moc 2 1−p2+pm22 oc2 1 2 E = moc 2 p2+m2 oc2−p2 p2+m2 oc2 1 2
Elevando al cuadrado a ambos lados de la igualdad
E2 = moc 2 2 m2 oc2 p2+m2 oc2 E2 = m 2 oc4 p2+m2oc2 m2 oc2 E2 = c2 p2+m2oc2
Finalmente se obtiene, la energía relativista en función del momentum E2=c2p2+m2oc4 (5)
1. Una nave espacial es tripulada por un observador que viaja a una velocidad v cercana a la velocidad de la luz y pasa por un observador terrestre. Realiceuna gráfica dela longitudque medida por unobservador dentro delanaveenfunciónde v
c,cuandoelobservadorterrestremide120mde
longituddelanave,
Respuesta
Lasiguientegráficamuestralarelaciónentrelalongituddelobservadorque estadentrodeunanaveylavelocidadv.
