Física y Química 1º de Bachillerato TEMA 7

Física y Química 1º de Bachillerato

TEMA 7

Trabajo y Energía

1.- Un barco y su tripulación se desplazan de una isla hasta otra que dista 1’2 Km en línea recta. Sabiendo que la fuerza del viento sobre las velas es 1500 N, calcular el trabajo que realiza en los casos que se detallan en las figuras siguientes:

Solución: 3⋅106 J 2'6⋅106 J 2'12⋅106 J 0J

2.- Calcular el trabajo que realiza una fuerza constante F=2'62i +4'73j+5'02k Newtons, que actúa sobre un cuerpo que se desplaza 2’5 m a lo largo del eje X.

Solución: 6’55 J

3.- Calcular la fuerza y el trabajo que debe realizar una persona para subir una caja de 80 Kg al remolque de un camión, que está a una altura de 1 m del suelo, utilizando para ello un plano inclinado de 4 m de longitud cuyo coeficiente de rozamiento dinámico es de 0’31.

Solución: 431’3 N 1725’3 J

4.- Un automóvil de 1120 Kg tiene un motor que desarrolla una potencia total de 85 CV, con un rendimiento del 37’5 %. Calcular el tiempo mínimo que tardaría el vehículo, inicialmente parado, en alcanzar una velocidad de 100 Km/h despreciando los rozamientos.

Solución: 18’4 s

5.- Dos personas han movido una caja de 120 Kg una distancia de 5 m empujando como se indica en la figura, con velocidad constante y en un tiempo de 8 segundos. Si el coeficiente de

rozamiento es de 0’25, calcular:

a) La fuerza que ha tenido que realizar cada una b) El trabajo total efectuado sobre la caja

c) La potencia desarrollada

Solución: 207’9 N 1470 J 0’25 CV

Viento

D

Viento

C

45º

Viento

B

30º

Viento

A

6.- Una piedra de 630 g cae al agua con una velocidad de 72 Km/h. Suponiendo que el agua ejerce una fuerza de rozamiento constante de 17 N, averiguar la velocidad de la piedra a los 5’5 m de profundidad.

Solución: 52’3 Km/h

7.- Una bola disparada horizontalmente con una velocidad de 648 Km/h y una masa de 50 g choca contra un bloque de madera de 1’8 Kg y se incrusta en él.

a) Calcular la velocidad inmediatamente después del choque.

b) Averiguar la distancia que recorrerá el bloque hasta detenerse si el coeficiente de rozamiento con el suelo es de 0’45.

Solución: 17’5 Km/h 268 cm

8.- Se lanza una piedra de 850 g hacia arriba con una velocidad de 90 Km/h y con una inclinación de 20 º con la vertical. Suponiendo despreciables los rozamientos con el aire, calcular la altura máxima que alcanzará y la Energía Cinética que llevará en ese momento.

Solución: 3’73 m 234’5 J

9.- Una bola de 450 g está situada sobre una plataforma unida a un muelle cuya constante elástica es de 2082’5 N/m. Se comprime el muelle 12 cm y luego se suelta. ¿Qué altura alcanzará la bola?

Solución: 3’4 m

10.-Dos cuerpos de 2 y 3 Kg están unidos por un hilo que a su vez pasa por una polea que cuelga del techo. Si inicialmente están en reposo y a la misma altura. ¿Qué velocidad tendrán cuando el más pesado halla descendido 80 cm?

Solución: 1’77 m/s

11.-Un cuerpo de 12 Kg cae por un plano inclinado desde una altura de 2’5 m. Si inicialmente tenía una velocidad de 5 m/s y al final del plano se mueve a 6’5 m/s, averiguar el coeficiente de

rozamiento dinámico sabiendo que la inclinación del plano es de 45 º.

Solución: 0’647

12.-En el sistema de la figura el cuerpo 1 tiene una masa de 12 Kg y el 2 de 20 Kg. Si el sistema estaba inicialmente en reposo y luego cuando el cuerpo A ha descendido 30 cm tiene una

velocidad de 1 m/s, ¿cuál es el coeficiente de rozamiento dinámico del cuerpo B con la superficie donde se apoya?

Solución: 0’33

1

13.-Dos bolas de 200 g y 350 g se dirigen la una contra la otra a velocidades de 2’5 m/s y 1’3 m/s respectivamente. Se produce un choque frontal y elástico entre ellas, ¿cuál será la velocidad de las dos bolas después del choque?

Solución: -2’336 m/s 1’464 m/s

14.-Un bloque de madera de 1800 g se desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 18 Km/h cuando se dispara contra él una bala de 150 g a una velocidad de 288 Km/h en una dirección perpendicular, tal y como se indica en el dibujo.

Después del choque la bala se queda incrustada dentro del bloque de madera a) Calcular la velocidad después del impacto

b) ¿Cuánta energía se ha perdido en el choque?

PROBLEMA 1

Como la Fuerza es constante y el desplazamiento rectilíneo aplicamos la definición

T =F⋅r⋅cosα

a) T =1500⋅1200⋅cos0=3000000J

b) T =1500⋅1200⋅cos30=2598076 J

c) T =1500⋅1200⋅cos45=2121320J

d) T =1500⋅1200⋅cos90=0 J

PROBLEMA 2

Si el desplazamiento es de 2’5 m en el eje X entonces

r i

5 ' 2

=

Y aplicamos en este caso la definición T F r

⋅ =

T =

(

2'62i +4'73 j+5'02R

)

⋅

( )

2'5i =2'62⋅2'5+4'73⋅0+5'02⋅0=

J

55 ' 6

PROBLEMA 3

Si la tabla mide 4 m y la altura 1 m entonces la base es

m b

b 3'873

1

42 = 2+ 2 → = y por tanto

    

= =

= =

968 ' 0 4 873 ' 3 cos

25 ' 0 4 1

α

α

sen

a) Cálculo de la Fuerza

Para que el cuerpo suba, una persona debería empujar la caja hacia arriba como mínimo con una fuerza F, que venza la Px y la FR

F =P_X +F_R =mgsen

α

+

µ

mgcos

α

=80⋅9'8⋅0'25+0'31⋅80⋅9'8⋅0'968

F =431'3N

b) Cálculo del Trabajo

La Fuerza es constante y el desplazamiento rectilíneo. Además el ángulo que forman es de 0º.

T =F⋅r⋅cosβ =431'3⋅4⋅cos0=1725'2J

1 α 4 m

α α

Py

P F

Px

PROBLEMA 4

La Potencia del Motor es de 85 CV pero su potencia útil es el 37’5 % de la anterior, por tanto

P_útil 31'875C.V. 23'428W

100 5 ' 37

85⋅ = =

=

Si suponemos que el motor ejerce una fuerza constante y que la trayectoria es rectilínea, el automóvil describirá un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado sin velocidad inicial, y podremos utilizar las ecuaciones de dicho movimiento.

Así pues

(

)

P r a m P

r F P T t t T

P= → = = ⋅ = ⋅ ⋅

Como la

t v

a= y t v t t

v at

r  = ⋅

    

= =

2 1 2

1 2

1 2 2

sustituimos

P t v t v m t

     

⋅

     

⋅

= 2

1

y finalmente

P mv t

2

2

=

Sustituyendo los datos conocidos obtenemos el tiempo

(

)

=

⋅ ⋅ =

23428 2

6 ' 3 100

112 2

t 18'4seg

PROBLEMA 5

Las dos personas empujan formando un ángulo de 45º entre sí y para mover la caja han debido hacer una fuerza total FT igual y opuesta a la fuerza de rozamiento FR.

FT = FR =

µ

P=

µ

mg =0'25⋅120⋅9'8=294N

a) Cálculo de la fuerza F que realiza cada persona

En el esquema se ve que las componentes FY de las fuerzas que realizan las personas se anulan entre sí, pues una va en dirección opuesta de la otra. Pero las componentes FX se suman

originando la fuerza total FT.

F_X +F_X =F_T 2F_X =F_T 2Fcos45=F_T

2Fcos45=294 = = 45 cos 2

294

F 207'89N

X Y

F

F FY

FY

FX

b) Trabajo realizado

T(total)=F_T⋅r⋅cos0=294⋅5⋅1=1470J

c) Potencia empleada

= =

=

= W

t T

P 183'75

8 1470

CV

25 ' 0

PROBLEMA 6

La fuerza total que actúa sobre la piedra dentro del agua es FT =FR −P=17−0'63⋅9'8=10'826 N

Aplicando el teorema de las fuerzas vivas tenemos que

T(Ftotal)=∆E_C

2 2 2 1 2

1 )

(Ftotal mv_B mv_A

T = −

2 0'63 202 20

1 63 ' 0 2 1 180 cos 5 ' 5 826 '

10 ⋅ ⋅ = v_B− ⋅

−59'543=0'315vB2 −126

Despejando el valor de la velocidad obtenemos

v_B =14'52m/s=52'29Km/h

PROBLEMA 7

La velocidad inicial de la bala es v_ib =648Km/h=180m/s

a) Cálculo de la velocidad después del choque

En todos los choques se conserva la cantidad de movimiento y por tanto

(

b m

)

f im

m ib

bv m v m m v

m + = + 0'05⋅180+0=

(

0'05+1'8

)

vf

vf = ⋅ =4'86m/s=

85 ' 1

180 05 ' 0

h Km /

5 ' 17

Inicial Final

A B

r vib

5’5 m

P FR

A

b) Cálculo de la distancia r

Después del choque, la bala y el bloque de madera van unidos y se mueven desde A hasta b, donde se detienen. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas

T

(

FTotal

)

=∆EC

2 2 2 1 2

1

cos B A

T r mv mv

F ⋅ ⋅ α = −

La fuerza total es F_T = P+R+F_R =F_R

(

P yR soniguales yopuestas y susumaescero

)

Sabemos también que

  

=

= ⋅ ⋅ = =

=

0

16 ' 8 8 ' 9 85 ' 1 45 ' 0

B R

v

N g

m P

F

µ

µ

Sustituimos los valores en la ecuación del teorema de las fuerzas vivas

1'85 4'862 2

1 0 180 cos 16 '

8 ⋅r⋅ = − ⋅ −8'16r =−21'85

r=2'68m

PROBLEMA 8

Como se observa en el dibujo la velocidad inicial de la piedra está inclinada y tiene por tanto componentes en los dos ejes coordenados vAX y vAY.

v_A =90Km/h=25m/s

  

= =

= =

s m sen

v v

s m v

v

A AY

A AX

/ 55 ' 8 20

/ 49 ' 23 20 cos

Durante el movimiento de la piedra la aceleración que actúa sobre ella es la de la gravedad g, que es perpendicular al suelo y por tanto dirigida a lo largo del eje Y. Por tanto la velocidad en el eje X no se ve afectada y es la misma en el punto A y en B. Además en el punto más alto de la trayectoria el cuerpo tiene una velocidad vertical cero y entonces la velocidad en ese instante solo tiene componente en el eje X. Por esta razón se tiene que vAX = vB

Aplicando el teorema de conservación de la energía entre los puntos A y B E_CA+E_PA =E_CB+E_PB

mvA+ = mvB +mghB 2

2

2 1 0 2

1

a) Altura máxima

Sustituyendo en la ecuación anterior

B

h m m

m⋅ = ⋅23'49 + ⋅9'8⋅ 2

1 25 2

1 2 2

la masa m se puede eliminar de la igualdad

Obtenemos finalmente que h_B =3'73m

P FR

R

A

B

hB vA

vAX vAY

b) Energía cinética en B

= ⋅

=

= 2 2

49 ' 23 85 ' 0 2 1 2

1

B

CB mv

E 234'5J

PROBLEMA 9

Suponemos que al comprimir el muelle la bola se halla prácticamente sobre el suelo y tanto su altura hA como su energía potencial son cero

Aplicamos el principio de conservación de la energía

ECA+EPA=ECB+EPB

) ( ) (

) ( )

(elástica E peso E E elástica E peso

E

E_CA+ _PA + _PA = _CB+ _PB + _PB

+ KxA+0=0+0+mghB

2 1

0 2

2082'5⋅0'12 =0'45⋅9'8⋅h_B

2

1 2

hB =3'4m

PROBLEMA 10

Tomamos como estado inicial A cuando los cuerpos están a la misma altura y en reposo. El estado B se alcanzará cuando el cuerpo 2 ha descendido 80 cm, el cuerpo 1 ha subido 80 cm y los dos tienen la misma velocidad final vB. Elegimos el nivel 0 de EP a la altura inicial indicada en el dibujo

1

2 B

0’8

-0’8

1 2

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica, despreciando los rozamientos

ECA(1)+EPA(1)+ECA(2)+EPA(2)=ECB(1)+EPB(1)+ECB(2)+EPB(2)

2 2

2 2 1 1 2 1

2 1 2

1 0 0 0

0+ + + = mvB +mghB + m vB +m ghB

3 3 9'8

(

0'8

)

2

1 8 ' 0 8 ' 9 2 2 2 1

0= v_B2+ ⋅ ⋅ + v2_B+ ⋅ ⋅ −

0=2'5v2_B−7'84

Y finalmente obtenemos v_B =1'77m/s

PROBLEMA 11

En este caso, al existir fuerzas disipativas (la fuerza de rozamiento), no se cumple el principio de conservación de la energía mecánica y habrá que considerar el trabajo realizado por esta fuerza disipativa.

E_CA+E_PA=E_CB+E_PA

mv_A2 +mgh_A+T_AB F_R = mv_B2 +mgh_B

2 1 ) ( 2

1

La FR se calcula como hemos visto en otras ocasiones

(

)

    

− = ⋅

⋅ =

⋅ ⋅ =

= =

=

= ⋅

⋅ ⋅ = =

= =

µ

µ

β

α

µ

µ

α

µ

µ

µ

39 ' 294 180

cos 54 ' 3 14 ' 83 cos

) (

54 ' 3 45 5 ' 2

16 ' 83 45 cos 8 ' 9 12 cos

r F F T

m sen

sen h r

mg P

N F

R R AB

Y R

A continuación sustituimos en la ecuación de la energía los datos conocidos

1 2 1 2

12 5 12 9 '8 2 '5 294 '39 12 6 '5 0 2 ⋅ + ⋅⋅ + ⋅⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅⋅⋅⋅ −−−− µ ==== 2 ⋅⋅⋅⋅ ++++

Despejando el valor del coeficiente de rozamiento obtenemos que

µ =0'647 r A

B PX

P PY

FR

h

PROBLEMA 12

Al igual que en el problema anterior también existe aquí una fuerza de rozamiento y el trabajo que realice se debe tener en cuenta en el balance energético correspondiente.

E_CA(1)+E_PA(1)+E_CA(2)+E_PA(2)+T_AB(F_R)=E_CB(1)+E_PB(1)+E_CB(2)+E_PB(2)

La posición inicial A es cuando los cuerpos inician la caída con velocidad nula y el cuerpo 1 está auna altura h.

La posición final B es cuando el cuerpo 1 ha descendido 30 cm y el 2 se ha desplazado a la izquierda esa misma distancia y los dos llevan la misma velocidad, pues los dos están unidos por un hilo y se mueven a la vez.

El nivel cero de energía potencial para el cuerpo 1 lo elegimos en la posición que ocupa el cuerpo cuando está abajo, es decir cuando ha descendido 30 cm. El nivel cero de energía potencial para el cuerpo 2 lo situamos en el plano superior y por tanto su energía potencial es igual a cero durante todo el movimiento.

2

2 2

1 1

1

2 1 0 2

1 cos 0

0

0+mgh_A+ + +F_Rr α = mv_B+ + mv_B+0

La fuerza de rozamiento es F_R =

µ

N =

µ

P=

µ

mg =

µ

⋅20⋅9'8=196

µ

Sustituimos los valores numéricos conocidos de las magnitudes

(

)

2 20 12 2 1 1 12 2 1 180 cos 3 ' 0 196 3 ' 0 8 ' 9

12⋅ ⋅ + µ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

Despejamos la incógnita, que es el coeficiente de rozamiento

µ =0'328

1

2

B

B

30 cm

3

0

c

m

1

2

A

PROBLEMA 13

En un choque se cumple siempre el principio de conservación de la cantidad de movimiento. Al ser un choque frontal no existe movimiento lateral y se puede considerar únicamente una dimensión.

Consideramos además el estado A antes del choque y el estado B después de haberse producido el mismo.

m1v1A+m2v2A =m1v1B+m2v2B

Por ser además un choque elástico se debe cumplir el principio de conservación de la energía mecánica. Al rodar las bolas por el suelo se entiende que no poseen energía potencial

_{1 1}2 _{2 2}2 _{1 1}2 _{2 2}2 2 1 2 1 2 1 2 1 B B A

A mv mv m v

v

m + = +

Se deben cumplir entonces los dos principios simultáneamente de manera que sustituimos los valores numéricos conocidos

( )

( )

( )

    + ⋅ = − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ 2 2 2 1 2 2 2 1 35 ' 0 2 1 2 ' 0 2 1 3 ' 1 35 ' 0 2 1 5 ' 2 2 ' 0 2 1 35 ' 0 2 ' 0 3 ' 1 35 ' 0 5 ' 2 2 ' 0 B B B B v v v v    + = + = 2 2 2 1 2 1 35 ' 0 2 ' 0 84 ' 1 35 ' 0 2 ' 0 045 ' 0 B B B B v v v v

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de donde se obtiene una ecuación de 2º grado y dos posibles soluciones

• Solución a) v1B =2'5m/s v2B =−1'3m/s

• Solución b) v_1B =−2'34m/s v_2B =1'47m/s

La solución a) no es válida pues significaría que las bolas siguen como al principio y que no ha habido choque.

La solución al problema es pues la b) cuya interpretación es la siguiente

s m

v_1B =−2'34 / Después del choque la bola 1 rebota hacia la izquierda

s m

v_2B =1'47 / Después del choque la bola 2 rebota hacia la derecha

PROBLEMA 14

Elegimos el sistema de referencia representado en la figura

Los subíndices significan:

1 → _{La madera}

2 → _{La bala}

A → _{Antes del choque}

B → _{Después del choque}

Se observa en el dibujo que

   = =

α

α

sen v v v v B BY B BX cos

a) Velocidad después del choque

La velocidad después del choque es la misma para la bala y la madera pues se mueven conjuntamente, es decir que v1B =v2B =vB.

La cantidad de movimiento se conserva en los dos ejes

(

)

₍

(

₎

)

   + = + + = + + = + BY AY AY A BX AX AX A B A A A v m m v m v m Y eje v m m v m v m X eje v m m v m v m 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1

Sustituimos a continuación los datos conocidos

(

)

(

)

   + = ⋅ + + = + ⋅

α

α

sen v v B B 15 ' 0 8 ' 1 288 15 ' 0 0 cos 15 ' 0 8 ' 1 0 18 8 ' 1    = =

α

α

sen v v B B 95 ' 1 2 ' 43 cos 95 ' 1 4 ' 32

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es

h Km v_B 27'69 /

'' 48 ' 7 º 53 = =

α

b) Energía perdida en el choque

Calculamos la energía cinética antes y después del choque para ver su diferencia

(

)

J

v m v m E J v m v m E B B CB A A CA 7 ' 57 69 ' 7 15 ' 0 8 ' 1 2 1 2 1 2 1 5 ' 502 80 15 ' 0 2 1 5 8 ' 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 = ⋅ + = + = = ⋅ + ⋅ = + =

Donde las velocidades se han puesto en m/s para obtener la energía en J. El incremento de energía resulta ser

= −

= − =

∆E ECB ECA 57'7 502'5 −444'8J

El ser ∆_{E negativo nos indica que se han perdido 444’8 J durante el choque, que se habrán}

convertido en calor