Integrales Dobles e Integrales Triples

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Integrales Dobles e Integrales

Triples

6.1 Introducci´

on

Comenzaremos este tema con un repaso de la Integraci´on de funciones de una variable real, para introducir posteriormente las integrales dobles y triples.

6.2 Repaso de Integraci´

on en una variable

6.2.1 Integral Indefinida

Definición. Se denomina primitiva de la función f(x) en un intervalo (a, b) a toda funciónF(x) diferenciable en (a, b) y tal que F′(x) =f(x).

Dos propiedades importantes que veriﬁcan las primitivas de una funci´on dada f(x) son las siguientes:

1) Si F(x) es una primitiva de f(x) en (a, b), entonces la función G(x) = F(x) +C, con C ∈ R constante, también lo es en (a, b). La demostración es evidente: G′(x) =

F′(x) + 0 =f(x),∀x∈(a, b).

2) SiF(x) yG(x) son primitivas def(x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante:

F(x)−G(x) =C, ∀x∈(a, b).

Definición. Llamaremos integral indefinida de una función f(x) en un intervalo (a, b) al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con la notación habitual ∫ f(x)dx. Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f(x) en (a, b), F(x), para conocer la totalidad de ellas, y as´ı tendremos, para cualquier constante realC:

∫

f(x)dx = F(x) + C

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Propiedades. • ∫ (f(x) +g(x))dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx • ∀k∈R, se veriﬁca: ∫ kf(x)dx=k ∫ f(x)dx Integrales Inmediatas

Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el inte-grando la derivada de una función conocida. Evidentemente lainmediatezno constituye una propiedad matemática, o dicho con otras palabras, una integral es inmediata si uno se la sabe de memoria, y lo sigue siendo mientras no la olvidemos. En cualquier caso, es habitual asumir que son inmediatas las siguientes integrales indefinidas:

∫ xpdx= 1 p+ 1x p+1₊_C, _p_̸_{= 1}_, ∫ dx x = ln|x| +C ∫ exdx= ex+C , ∫ axdx= 1 lnaa x₊_C, _{a >}₀_{, a}_̸_{= 1} ∫ senx dx=−cosx+C , ∫ cosx dx= senx+C , ∫ dx cos2_x = tanx+C ∫ dx sen2_x =−cotanx+C , ∫ dx x2_{+ 1} = arctanx+C , ∫ dx √ 1−x2 = arcsenx+C ∫ −dx √ 1−x2 = arccosx+C , ∫ senhx dx= coshx+C , ∫ coshx dx= senhx+C ∫ dx √ x2₋₁ = arccoshx+C , ∫ dx √ x2_{+ 1} = arcsenhx+C , ∫ dx 1−x2 = arctanhx+C 6.2.2 Integral Definida

El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite una suma cuando el número de sumandos tiende a infinito y simultáneamente cada uno de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisión esta idea introduciremos las siguientes definiciones:

Definición. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partición de [a, b] a toda colección de n+ 1 puntos P = {x0, x1,· · ·, xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.

Toda partici´on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [xk−1, xk] de anchuras

respectivas ∆xk=xk−xk−1.

Definición. Dada una función f(x) definida en el intervalo [a, b], una partición P =

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se llamasuma integral o suma de Riemann de la función f(x) en [a, b] correspondiente a la particiónP y a la elección de puntos ξ a la suma siguiente:

S(f, P, ξ) =

n

∑

k=1

f(ξk)∆xk=f(ξ1)∆x1+· · ·+f(ξn)∆xn

Si suponemos que la función es continua en [a, b] (aunque ser´ıa suficiente con que fuera continua en cada subintervalo de la particiónP), entonces, por el teorema de Weierstrass,

f(x) alcanza su valor m´aximo Mk y su m´ınimo mk en cada subintervalo [xk−1, xk],

podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores, obteniendo lasuma superior de RiemannU y al suma inferior de Riemann L, de f(x) en [a, b] con respecto a la partici´on P:

U(f, P) = n ∑ k=1 Mk∆xk , L(f, P) = n ∑ k=1 mk∆xk

Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una función dada en un intervalo, con respecto a una partición concreta P, está acotado superiormente porU(f, P) e inferiormente por L(f, P).

Definición. Se dice que una funciónf(x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho número se le denominaintegral definida o integral de Riemannde f(x) en [a, b] y se denota como:

∫ b a

f(x)dx

De manera equivalente, puede definirse la integral definida o integral de Riemann como el l´ımite de las sumas de Riemann de la función en el intervalo cuando el número de puntos de las particiones consideradas tiende a infinito mientras que la anchura máxima de los subintervalos determinados por la partición tiende a cero, siempre que dicho l´ımite exista y sea independiente de la elección de puntos arbitrarios realizada en cada subintervalo.

La definición de integral definida se completa añadiendo los casos:

∫ b a f(x)dx=− ∫ a b f(x)dx , ∫ a a f(x)dx= 0 siendoa > b en la primera integral.

Propiedades b´asicas

1. Sif(x) es integrable en [a, b] entonces est´a acotada en [a, b]. 2. Sif(x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].

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3. Si f(x) está acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un número finito de discontinuidades, entonces es integrable en [a, b].

4. La integral deﬁnida es lineal, es decir: Si f(x) y g(x) son dos funciones integrables en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se veriﬁca:

∫ b a (f(x) +g(x))dx= ∫ b a f(x)dx+ ∫ b a g(x)dx

mientras que si k es un n´umero real cualquiera, entonces:

∫ b a kf(x)dx=k ∫ b a f(x)dx

5. Dados tres n´umeros realesa, b yc, se veriﬁca:

∫ b a f(x)dx= ∫ c a f(x)dx+ ∫ b c f(x)dx

siempre que las integrales anteriores existan.

6. Sif(x)≤g(x),∀x∈[a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se veriﬁca:

∫ b a f(x)dx≤ ∫ b a g(x)dx 7. Sia < b yf(x) es integrable en [a, b], se veriﬁca: ∫_abf(x)dx≤ ∫ b a |f(x)|dx

Teorema Fundamental del Cálculo. Seaf(x) una función continua en el intervalo [a, b], entonces la función F(x) definida de la forma:

F(x) =

∫ x a

f(t)dt

en el intervalo [a, b] es derivable en (a, b) y adem´asF′(x) =f(x).

Nota: Sif(x) es integrable pero no continua en [a, b] entonces sólo podemos asegurar queF(x) es continua en [a, b], pero la derivabilidad deF(x) sólo está garantizada en los puntos de continuidad def(x).

Regla de Barrow. Si f(x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x) en [a, b], entonces se veriﬁca:

∫ b a

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6.3 Integral Doble en un rect´

angulo

Presentaremos a continuación el concepto de integral doble de una funciónf(x, y) sobre un rectángulo en R2 como una generalización directa del concepto de integral definida de una función f(x) sobre un intervalo [a, b] deR.

SeaRun rectángulo en el planoR2,R= [a, b]×[c, d]. Una partición deRserá un conjunto de puntosP ={xj, yk} de R, determinados por una particiónP1 ={x0, x1, . . . , xn} del

intervalo [a, b] y otra del intervalo [c, d], P2 ={y0, y1, . . . , ym}, con:

a=x0 < x1 < . . . < xn=b , c=y0< y1< . . . < ym=d

Denotaremos por ∆xj y ∆yk a las anchuras respectivas:

∆xj =xj −xj−1, ∆yk=yk−yk−1

de tal manera que ∆xj∆yk es el ´area del rect´angulo Rjk determinado por los

subinter-valos [xj−1, xj] e [yk−1, yk], es decir: Rjk = [xj−1, xj]×[yk−1, yk].

Tomemos en cada uno de los rect´angulos Rjk,j = 1, . . . , n, k= 1, . . . , m, un punto

arbitrario: ⃗ξjk = (ξ1jk, ξjk2 ) , y denominemos ξ={⃗ξjk}a dicho conjunto de puntos.

Sif(x, y) es una función escalar f :R → R(que supondremos acotada en todo R), se define la suma de Riemann def(x, y) enR, asociada a la particiónP, y a la elección arbitraria de puntosξ, como la suma:

S(f, P, ξ) = n ∑ j=1 m ∑ k=1 f(ξ⃗jk) ∆xj∆yk = n ∑ j=1 m ∑ k=1 f(⃗ξjk) ∆Ajk

donde ∆Ajk es el ´area del rect´angulo Rjk.

Con todos estos ingredientes, se dice que f(x, y) es integrable en el rectángulo R si la sucesión de sumas de Riemann{S(f, P, ξ)}tiene l´ımite (finito) cuando nymtienden a infinito y la anchura máxima de las particiones tiende a cero, y además dicho l´ımite es independiente de la elección ξ tomada en cada suma. En tal situación el l´ımite recibe el nombre de integral doble def(x, y) en R, y lo denotaremos por:

∫∫

R

f(x, y)dx dy

En algunos textos de Matem´aticas, es habitual utilizar otras notaciones equivalentes

como: ∫ R f , ∫ R f(x, y)dA, ∫ R f(x, y)dx dy

Algunas propiedades o teoremas de la integral doble son los siguientes:

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Teorema: Seaf :R → R una función acotada, definida en un rectángulo R de R2, y supongamos que el conjunto de puntos en los que f es discontinua está formado por la unión finita de gráficas de funciones continuas. Entoncesf es integrable en R.

Propiedades: La integral doble, as´ı definida, verifica varias propiedades de manera trivial. Sif yg son dos funciones integrables en el rectángulo R, tendremos:

• 1. Linealidad: ∫∫ R (f(x, y) +g(x, y))dx dy= ∫∫ R f(x, y)dx dy+ ∫∫ R g(x, y)dx dy ∫∫ R λf(x, y)dx dy=λ ∫∫ R f(x, y)dx dy • Monoton´ıa: Si f(x, y)≥g(x, y), ∀(x, y)∈R, entonces: ∫∫ R f(x, y)dx dy≥ ∫∫ R g(x, y)dx dy

• Aditividad: Si Ri, con i = 1, . . . , p son p rect´angulos disjuntos, tales que f est´a

acotada y es integrable en cada uno de ellos, y si Q = R1∪R2∪ · · · ∪Rp es un

rect´angulo, entonces f es integrable enQy se veriﬁca:

∫∫ Q f(x, y)dx dy= p ∑ i=1 ∫∫ R f(x, y)dx dy

Teorema de Fubini (Primera versi´on). Sea f una funci´on continua en el dominio rectangular R= [a, b]×[c, d]. Entonces: ∫∫ R f(x, y)dx dy = ∫ b a ( ∫ d c f(x, y)dy ) dx= ∫ d c (∫ b a f(x, y)dx ) dy

Las integrales que aparecen en la expresi´on anterior se denominan integrales iteradas, de esta forma el Teorema establece que sif(x, y) es continua enR, entonces la integral doble de f(x, y) en R es igual a cualquiera de las integrales iteradas posibles.

Demostraci´on: Empezaremos demostrando que: ∫∫ R f(x, y)dx dy= ∫ b a ∫ d c f(x, y)dy dx

Sea P2={c=y0, y1, . . . , ym=d} una partici´on el intervalo [c, d] enm partes de anchura ∆yk.

Tendremos entonces: F(x) = ∫ d c f(x, y)dy= m ∑ k=1 ∫ yk yk−1 f(x, y)dy

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Usando ahora el teorema del valor medio del c´alculo integral, para cada x y k ﬁjas existe un valorYk(x) tal que: ∫

yk yk−1 f(x, y)dy=f(x, Yk(x)) ∆yk Tendremos as´ı: F(x) = m ∑ k=1 f(x, Yk(x)) ∆yk

Integramos ahora la funciónF(x) usando la definición de integral en una variable: ∫ b a F(x)dx= ∫ b a ∫ d c f(x, y)dy dx= lim n→∞ n ∑ j=1 F(pj)∆xj

dondeP1={a=x0, x1, . . . , xn =b} es una partici´on de [a, b], y pj es un punto cualquiera del

intervaloj−´esimo de dicha partici´on. Si llamamosξ⃗jk= (pj, Yk(pj)), tendremos que:

∫ b a ∫ d c f(x, y)dy dx= lim n→∞ n ∑ j=1 m ∑ k=1 f(ξ⃗jk)∆yk∆xj

que por deﬁnici´on es: _∫∫

R

f(x, y)dx dy

Q.E.D.

La demostraci´on de la otra identidad es absolutamente an´aloga.

Teorema de Fubini. (Segunda versión). Sea f(x, y) una función acotada en el rectángulo R = [a, b]×[c, d] y tal que el conjunto de discontinuidades de f(x, y) en

R esté formado por la unión finita de gráficas de funciones continuas. Si existe la

inte-gral iterada: _∫ b a (∫ d c f(x, y)dy ) dx

entonces coincide con la integral doble

∫∫

R

f(x, y)dx dy

y an´alogamente para la otra integral iterada.

6.4 Integral Doble sobre recintos m´

as generales

Seaf(x, y) una función continua definida sobre un recinto cerrado D de R2 tal que su borde ∂D es una curva cerrada continua en R2. Podemos entonces definir la integral doble de la función f(x, y) sobre el recintoD de la siguiente manera:

Consideremos un rectángulo R = [a, b]×[c, d] en R2 tal que el recinto D esté com-pletamente contenido enR, y definamos enR una nueva función ¯f(x, y) de la forma:

¯

f(x, y) =

{

f(x, y) ∀(x, y)∈D

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Deﬁniremos entonces la integral: ∫∫ D f(x, y)dx dy= ∫∫ R ¯ f(x, y)dx dy

siendo casi evidente demostrar que dicha definición no va a depender del rectángulo R

concreto elegido. Es importante puntualizar que al serf(x, y) continua enD, las posibles discontinuidades de ¯f estarán únicamente en la frontera∂D, que hemos asumido como continua. De esta manera ¯f estará acotada en R y sus discontinuidades son una unión finita de gráficas de funciones continuas, por tanto está garantizada su integrabilidad en

R.

De cara a poder calcular de manera efectiva integrales dobles sobre recintos no rectan-gulares, de acuerdo con la definición anterior, en conveniente presentar a continuación los casos más frecuentes que suelen presentarse.

• Supongamos que el dominioDpuede ser deﬁnido mediante la desigualdad: a≤x≤b

en la coordenada x, y para cada valor concreto de x ∈ [a, b], que la variaci´on de la coordenada y pueda expresarse como: ψ1(x)≤y≤ψ2(x), ver ﬁgura.

Ψ1HxL Ψ2HxL

a b x

y

Figura 1: Recinto en el plano determinado por: a≤x≤b,ψ1(x)≤y≤ψ2(x).

Tendremos entonces: ∫∫ D f(x, y)dx dy= ∫ b a ∫ d c ¯ f(x, y)dy dx= = ∫ b a ∫ ψ1(x) c ¯ f(x, y)dydx+ ∫ b a ∫ ψ2(x) ψ1(x) ¯ f(x, y)dydx+ ∫ b a ∫ d ψ2(x) ¯ f(x, y)dydx

Pero teniendo en cuenta la definición de ¯f, dos de las integrales finales son nulas, y as´ı:

∫∫ D f(x, y)dx dy = ∫ b a (∫ ψ2(x) ψ1(x) f(x, y)dy ) dx

• En el caso de recintos descritos de la forma: c ≤ y ≤ d, φ1(y) ≤ x ≤ φ2(y), un razonamiento completamente similar nos lleva al siguiente resultado:

∫∫ D f(x, y)dx dy= ∫ d c (∫ φ2(y) φ1(y) f(x, y)dx ) dy

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6.5 Cambios de Variables en Integrales Dobles

Antes de plantear el Teorema de Cambio de Variables o de Coordenadas en las integrales dobles, repasaremos brevemente los resultados conocidos para integrales de una funci´on real de variable real.

Seaf(x) es una funci´on integrable en el intervalo [a, b], y seax =φ(t) una funci´on diferenciable al menos en un abierto que contenga al intervalo [t1, t2], de tal manera que

a=φ(t1) y b=φ(t2). Entonces es posible demostrar que se veriﬁca:

∫ b a f(x)dx = ∫ t2 t1 f(φ(t))φ′(t)dt

Esta f´ormula establece el comportamiento de las integrales bajo cambios de variable. La generalizaremos a continuaci´on para el caso de integrales dobles.

Sea f(x, y) una función integrable en un recinto D del plano R2. Consideremos una transformación de coordenadas en R2, es decir una función:

⃗

T :R2 →R2 , T⃗(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

tal que sea biyectiva, y denominemosD′ al recintoDdescrito en las nuevas coordenadas (u, v), es decir: T⃗(D′) =DyT⃗−1(D) =D′. Supondremos tambi´en queT⃗ es de claseC1

en D′. Se llama Jacobiano de T⃗ al determinante de la matriz de derivadas parciales (o matriz jacobiana) deT⃗,J(T⃗), es decir:

J(T⃗) = ( ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v ) ⇒ det(J(T⃗) = ∂(x, y) ∂(u, v) = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v

Entonces se veriﬁca el siguiente resultado:

∫∫ D f(x, y)dx dy = ∫∫ D′ f(x(u, v), y(u, v))∂(x, y) ∂(u, v) du dv

siendo∂_∂(₍x,y_u,v)₎ el valor absoluto del Jacobiano de la transformaci´on de coordenadas.

6.6 Integrales Triples

Una vez explicadas las integrales dobles es bastante f´acil generalizar los conceptos intro-ducidos al caso de las integrales triples.

Consideremos en primer lugar un palalelep´ıpedo P en R3. Vendr´a descrito por el producto cartesiano de tres intervalos reales: P = [a1, b1]×[a2, b2]×[a3, b3], o alterna-tivamente por el conjunto de desigualdades:

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Una partici´on Q del paralelep´ıpedo P estar´a constituida por sendas particiones de los intervalos considerados, es decir:

Q1 ={x0, x1, . . . , xn}, Q2 ={y0, y1, . . . , ym} , Q3 ={z0, z1, . . . , zp}

con: a1 =x0 < x1 < . . . < xn = b1, a2 = y0 < y1 < . . . < ym = b2 y a3 = z0 < z1 <

. . . < zp=b3. La partici´onQdivide al paralelep´ıpedoP ennmpsub-paralelep´ıpedos que denotaremos Vijk= [xi−1, xi]×[yj−1, yj]×[zk−1, zk], cada uno de ellos con un volumen

dado por:

∆Vijk = (xi−xi−1) (yj −yj−1) (zk−zk−1)

En cada sub-paralelep´ıpedo Vijk elegimos un punto arbitrario ξ⃗ijk = (ξ1ijk, ξijk2 , ξijk3 ), y

denotamos simplemente por ξ al conjunto de puntos elegidos.

Con todos estos datos, se define la suma de Riemann de una función f(x, y, z) (a la que en principio consideramos continua en P) correspondiente a la partición Q y a la elección de puntos ξ de la forma:

S(f;Q, ξ) = n ∑ i=1 m ∑ j=1 p ∑ k=1 f(ξ⃗ijk)δVijk

Si existe (y es ﬁnito) el l´ımite de las sumas de Riemann de f(x, y, z) en P cuando n,

m y p tienden a infinito (tendiendo el volumen máximo posible de la partición Q a cero) independientemente de la elección arbitrario ξ considerada, se dice que f(x, y, z) es integrable en el sentido de Riemann en el paralelep´ıpedo P, y dicho l´ımite recibe el nombre de Integral Triple def(x, y, z) en P:

∫∫∫

P

f(x, y, z)dx dy dz