Soluciones de la relación de ejercicios del
TEMA 1
1. Demuestra que el conjunto formado por los números primos es infinito. Aprovechamos este ejercicio para hacer uso de las llamadas demostra-ciones por reducción al absurdo. Si tenemos que demostrar cierta propiedad P, el procedimiento consiste en suponer que P es falsa. Si a partir de esta suposición llegamos a una contradicción lógica, esto nos permitirá afirmar que P no debe ser falsa, es decir, que P es verdadera. Si aplicamos este procedimiento a nuestro ejercicio:
Supongamos que el conjunto formado por los números primos no es infinito, es decir, esfinito. Seapel número primo mayor y consideremos, para llegar a una contradicción, el número natural (mayor que p) n= 1·2·3·5·7·11·. . .·q·p+ 1. n= 2·(3·5·7·11·. . .·q·p) + 1 (no es divisible por 2) n= 3·(2·5·7·11·. . .·q·p) + 1 (no es divisible por 3) n= 5·(2·3·7·11·. . .·q·p) + 1 (no es divisible por 5) .. . n=p·(2·3·7·11·. . .·q) + 1 (no es divisible por p)
Se tiene quensólo es divisible por la unidad y por el mismo, por tanto, n es un número primo, en contra de la hipótesis inicial, por tanto, lo supuesto es falso, es decir, el conjunto formado por los números primos
NO es finito 2. Prueba que:
(a) 0.b9 = 1. Si llamamos x = 0.b9, se tiene que 10x= 9.b9. Restando,
10x−x= 9.b9−0.b9, de manera que9x= 9, por tanto, x= 1. (b) 2.72 =b 27099. Si llamamos x = 2.72b, se tiene que 100x = 272.72b.
Restando, 100x−x = 272.72b −2.72b, de manera que 99x = 270, por tanto, x= 27099.
(c) 1.3456 =d 134439990 . Se procede de forma similar a los dos apartados anteriores.
(a) x, y∈I⇒x+y∈I. Falso, basta considerar como contraejemplo x=π e y=−π. Se tendría que x+y= 0∈Q.
(b) x ∈ Q, y ∈ I ⇒ x + y ∈ Q. Falso, basta considerar como contraejemplox= 0 ey=√2. Se tendría quex+y=√2∈I. (c) x ∈ Q, y ∈I ⇒ x·y ∈ I. Falso, basta considerar como
contrae-jemplox= 0. Se tendría quex·y= 0∈Q.
(d) x∈Q\{0},y∈I⇒x·y∈I. Cierto. Para ponerlo de manifiesto vamos a razonar por reducción al absurdo. Six·y∈Q, tendríamos quey= xx·y ∈Q(el cociente de dos racionales es un racional, pues Q es un cuerpo)
(e) x, y ∈I⇒x·y ∈I. Falso, basta considerar como contraejemplo x=y=√5. Se tendría que x·y= 5∈Q.
(f) x ∈ Q\{0}, y ∈ I ⇒ xy ∈ Q. Falso, basta considerar como contraejemplox= 2 ey=√2. Se tendría que x
y = 2 √ 2 = √ 2∈I. (g) ∃a ∈ R tal que a2 ∈ I y a4 ∈ Q. Cierto. Por ejemplo, para
a= √4
3, se tiene que a2 =√3
∈Iy que a4 = 3
∈Q.
(h) ∃a, b ∈ I tales que a+b ∈ Q y a·b ∈ Q. Cierto. Por ejemplo, para a = √2 y b = −√2, se tiene que a +b = 0 ∈ Q y que a·b=−2∈Q.
4. Demuestra que√2 es irracional.
Razonando por reducción al absurdo, supongamos que√2 es racional. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que √2 = np fracción irreducuble. √ 2 = p n ⇒2 = p2 n2 ⇒p 2 = 2n2
Tenemos quep2 es un número par, lo que lleva consigo que p también es par. Sea, por ejemplo, p = 2k. Sustituyendo en p2 = 2n2, se tiene
que
4k2 = 2n2 ⇒n2 = 2k2,
es decir, quen2 es par y, consecuentemententambién es par. Sea, por ejemplo,n= 2k0. Tenemos que
√
2 = p
n =
2k
fracción que es no irreducible, en contra de lo supuesto inicialmente, por tanto, √2 es irracional.
5. Sabiendo que √2 es irracional, prueba que √2 +√3 también es irra-cional.
Razonando por reducción al absurdo, supongamos que√2+√3∈Q. Si llamamos x=√2 +√3, se tiene que√3 =x−√2. Consecuentemente,
3 = (x−√2)2 = x2
−2√2x+ 2. Si despejamos √2, obtenemos que √
2 = x22−x1. Hemos obtenido √2, como suma, produco y cociente de números racionales, es decir, √2 ∈ Q, que sabemos que es falso, por tanto, lo supuesto (√2 +√3∈Q) no es cierto, por tanto,√2 +√3∈I. 6. Utiliza el método de inducción para demostrar las siguientes
afirma-ciones:
En general, en este tipo de problemas, queremos demostrar que cierta propiedad Pn es cierta para todos los naturales. Para resolver estos ejercicios aplicando el Principio de Inducción, en primer lugar, defi-nimos el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta}. Nuestro objetivo es demostrar que la propiedad se verifica para todos los naturales, es de-cir, que A = N. El Principio de Inducción garantiza que si tenemos un subconjunto A de N que sea inductivo, entonces A = N. Teniendo en cuenta que, por la definición del conjunto A, A ⊂ N, sólo nos fal-taría por demostrar queA es inductivo. Para queAsea inductivo debe verificar dos propiedades:
i) 1∈A.
ii) Dado k ∈A, entonces k+ 1 ∈A.
(a) 1 + 3 + 5 +...+ (2n−3) + (2n−1) =n2 (hecho en clase)
(b) 12+ 22+ 32+...+ (n −1)2+n2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6 Sea Pn ≡ 12 + 22 + 32 +...+ (n −1)2 +n2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6
la propiedad que queremos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjuntoA={n∈N:Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos que A es inductivo. En efecto:
i) Para n = 1, el primer miembro de la propiedad es 12 = 1 y, el segundo miembro es 1(1+1)(2+1)6 = 1. Por tanto, 1 verifica la propiedad, es decir,1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir,
12+ 22+ 32+...+ (k−1)2+k2 = k(k+ 1)(2k+ 1)
6 (H.I.)
Tenemos que demostrar que k+ 1∈A, es decir, que
12+ 22+ 32+...+ (k−1)2+k2+ (k+ 1)2 = (k+ 1)(k+ 2)(2k+ 3) 6 12+ 22+ 32+...+ (k−1)2+k2+ (k+ 1)2 = (H.I.) = k(k+ 1)(2k+ 1) 6 + (k+ 1) 2 = = k(k+ 1)(2k+ 1) + 6(k+ 1) 2 6 = (k+ 1)[k(2k+ 1) + 6(k+ 1)] 6 = = (k+ 1)[2k 2+ 7k+ 6] 6 = (k+ 1)(k+ 2)(2k+ 3) 6 . Por tanto, k+ 1∈A.
i) y ii) nos dicen queA es inductivo. Teniendo en cuenta queA ⊂ N, el Principio de Inducción garantiza que A = N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
(c) 1·3 + 2·4 + 3·5 +...+n(n+ 2) = n(n+ 1)(2n+ 7) 6
Sea Pn ≡ 1·3 + 2·4 + 3·5 +...+n(n+ 2) = n(n+ 1)(2n+ 7) 6
la propiedad que queremos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjuntoA={n∈N:Pnes cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos que A es inductivo. En efecto:
i) Para n = 1, el primer miembro de la propiedad es 1·3 = 3
y, el segundo miembro es 1(1+1)(2+7)6 = 3. Por tanto, 1 verifica la propiedad, es decir,1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir,
1·3 + 2·4 + 3·5 +...+k(k+ 2) = k(k+ 1)(2k+ 7)
6 (H.I.)
Tenemos que demostrar que k+ 1∈A, es decir, que
1·3+2·4+3·5+...+k(k+2)+(k+1)(k+3) = (k+ 1)(k+ 2)(2k+ 9) 6 = 1·3 + 2·4 + 3·5 +...+k(k+ 2) + (k+ 1)(k+ 3) = (H.I.) = k(k+ 1)(2k+ 7) 6 + (k+ 1)(k+ 3) = = k(k+ 1)(2k+ 7) + 6(k+ 1)(k+ 3) 6 = = (k+ 1)[k(2k+ 7) + 6(k+ 3)] 6 = = (k+ 1)[2k 2+ 13k+ 18] 6 = (k+ 1)(k+ 2)(2k+ 9) 6 . Por tanto, k+ 1∈A.
i) y ii) nos dicen queAes inductivo. Teniendo en cuenta queA⊂ N, el Principio de Inducción garantiza que A = N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar. (d) 3 + 2·31+ 2 ·32+...+ 2 ·3n= 3n+1 Sea Pn ≡ 3 + 2 ·31 + 2 ·32 +...+ 2 · 3n = 3n+1 la propiedad
que queremos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos queA es inductivo. En efecto:
i) Paran= 1, el primer miembro de la propiedad es3+2·31 = 9y,
el segundo miembro es31+1= 9. Por tanto,1verifica la propiedad, es decir,1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir,
Tenemos que demostrar que k+ 1∈A, es decir, que
3 + 2·31 + 2·32+...+ 2·3k+ 2·3k+1 = 3k+2
3 + 2·31+ 2·32+...+ 2·3k+ 2·3k+1 (H.I.= 3) k+1+ 2·3k+1 = = 3k+1(1 + 2) = 3k+1·3 = 3k+2
Por tanto, k+ 1∈A.
i) y ii) nos dicen queA es inductivo. Teniendo en cuenta queA ⊂ N, el Principio de Inducción garantiza que A = N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
(e) 1·1! + 2·2! +...+n·n! = (n+ 1)!−1
Sea Pn ≡ 1·1! + 2·2! +...+n·n! = (n+ 1)!−1 la propiedad que queremos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos que A es inductivo. En efecto:
i) Paran= 1, el primer miembro de la propiedad es1·1! = 1·1 = 1
y, el segundo miembro es (1 + 1)!−1 = 2!−1 = 2·1−1 = 1. Por tanto,1 verifica la propiedad, es decir, 1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir,
1·1! + 2·2! +...+k·k! = (k+ 1)!−1
Tenemos que demostrar que k+ 1∈A, es decir, que
1·1! + 2·2! +...+k·k! + (k+ 1)·(k+ 1)! = (k+ 2)!−1 1·1!+2·2!+...+k·k!+(k+1)·(k+1)!(H.I.= () k+1)!−1+(k+1)·(k+1)! =
= (k+ 1)! + (k+ 1)·(k+ 1)!−1 = [1 + (k+ 1)](k+ 1)!−1 = = (k+ 2)(k+ 1)!−1 = (k+ 2!)−1.
Por tanto, k+ 1∈A.
i) y ii) nos dicen queA es inductivo. Teniendo en cuenta queA⊂ N, el Principio de Inducción garantiza que A = N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
(f) 1 1·2 + 1 2·3 +...+ 1 n·(n+ 1) = n n+ 1 Sea Pn ≡ 1 1·2 + 1 2·3 +...+ 1 n·(n+ 1) = n n+ 1 la propiedad
que queremos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos queA es inductivo. En efecto:
i) Paran= 1, el primer miembro de la propiedad es 1
1·2 =
1 2 y, el
segundo miembro es 1+11 = 12. Por tanto, 1 verifica la propiedad, es decir,1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir,
1 1·2 + 1 2·3+...+ 1 k·(k+ 1) = k k+ 1 (H.I.)
Tenemos que demostrar que k+ 1∈A, es decir, que
1 1·2+ 1 2·3 +...+ 1 k·(k+ 1) + 1 (k+ 1)(k+ 2) = k+ 1 k+ 2 1 1·2 + 1 2·3+...+ 1 k·(k+ 1) + 1 (k+ 1)(k+ 2) = (H.I.) = k k+ 1+ 1 (k+ 1)(k+ 2) = k(k+ 2) + 1 (k+ 1)(k+ 2) = = k 2+ 2k+ 1 (k+ 1)(k+ 2) = (k+ 1)2 (k+ 1)(k+ 2) = k+ 1 k+ 2. Por tanto, k+ 1∈A.
i) y ii) nos dicen queAes inductivo. Teniendo en cuenta queA⊂ N, el Principio de Inducción garantiza que A = N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
(g) n3 > n2+ 3,
∀n >1
La forma de trabajar en este ejercicio es parecida a los anteriores. En este caso tendremos que demostrar la propiedad paran= 2 y
supuesto que se verifica para un natural arbitrariok mayor que2, entonces debe verificarse para k+ 1:
i) Para n = 2, 23 = 8 > 22 + 3 = 7. Por tanto, 2 verifica la
propiedad.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 2 se verifica la propiedad, es decir,
k3 > k2+ 3 (H.I.)
Tenemos que demostrar que k+ 1 también verifica la propiedad, es decir,
(k+ 1)3 >(k+ 1)2+ 3 =k2+ 2k+ 4
(k+ 1)3 =k3+ 3k2+ 3k+ 1 =k2+ 2k+ (k3+k2+k2+k+ 1)>
(k3+k2+k2+k+1>4)
> k2+ 2k+ 4
Por tanto, k+ 1 cumple la propiedad. Esto nos permite afirmar que la propiedad es cierta para todos los naturales a partir del 2, como queríamos demostrar.
(h) 32n+2+ 26n+1 =11• (múltiplo de11)
Sea Pn ≡ 32n+2 + 26n+1 =11• (múltiplo de 11) la propiedad que
queremos demostrar para todos los naturales. Hay que recordar que los múltiplos de 11 son de la forma11·k, para algún k ∈ Z. Definimos el conjuntoA={n∈N:Pnes cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos que A es inductivo. En efecto:
i) Para n= 1,32·1+2+ 26·1+1= 34+ 27 = 81 + 128 = 209 = 11·19
(múltiplo de 11). Por tanto, 1 verifica la propiedad, es decir,
1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir, que existe unm∈Z, tal que
32k+2+ 26k+1 = 11·m (H.I.) Tenemos que demostrar que k + 1 ∈ A, es decir, que existe un k0 ∈Z, tal que
32(k+1)+2+ 26(k+1)+1 = 32k+4+ 26k+7 = 32k+2·32+ 26k+7 = (H.I.) = (11m−26k+1)32+ 26k+7 = 11·9m−9·26k+1+ 26k+7 = 11·9m−9·26k+1+ 26k+126 = 11·9m+ (26 −9)·26k+1 = = 11·9m+ 55·26k+1 = 11·9m+ 11·5·26k+1 = = 11(9m+ 5·26k+1) = 11·m0 (m0 = 9m+ 5·26k+1). Por tanto, k+ 1∈A.
Hemos demostrado que el conjunto A es inductivo. Teniendo en cuenta queA⊂N, el Principio de Inducción garantiza queA=N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
(i) 22n+ 15n
−1 =9• (múltiplo de 9)
SeaPn ≡22n+ 15n−1 =9• (múltiplo de 9) la propiedad que que-remos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos que A es inductivo. En efecto:
i) Para n = 1, 22·1 + 15
·1−1 = 18 = 9·2 (múltiplo de 9). Por tanto,1 verifica la propiedad, es decir, 1∈A.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 1, se tiene que k∈A, es decir, que existe un m∈Z, tal que
22k+ 15k−1 = 9·m(≡22k = 9·m−15k+ 1) (H.I.) Tenemos que demostrar que k+ 1 ∈ A, es decir, que existe un m0 ∈Z, tal que 22k+2+ 15k+ 14 = 9·m0 = 22k+2+15k+14 = 22k·22+15k+14(H.I.= (9) ·m−15k+1)22+15k+14 = 9·4m−60k+ 4 + 15k+ 14 = 9·4m−45k+ 18 = = 9·4m−9·5k+ 9·2 = 9(4m−5k+ 2) = 9·m0 (m0 = 4m−5k+ 2) Por tanto, k+ 1∈A.
Hemos demostrado que el conjunto A es inductivo. Teniendo en cuenta queA⊂N, el Principio de Inducción garantiza queA=N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
(j) n!>2n, ∀n≥4
Demostraremos la propiedad paran= 4 y supuesto que se verifica para un natural arbitrarionmayor que4, entonces debe verificarse para n+ 1:
i) Para n = 4, 4! = 24 > 24 = 16. Por tanto, 4 verifica la
propiedad.
ii) Supongamos que para un natural arbitrario k mayor que 4 se verifica la propiedad, es decir,
k!>2k (H.I.)
Tenemos que demostrar que k+ 1 también verifica la propiedad, es decir,
(k+ 1)!>2k+1
(k+ 1)! = (k+ 1)k!(H.I.>)(k+ 1)2k >2·2k = 2k+1
Por tanto, k+ 1 cumple la propiedad. Esto nos permite afirmar que la propiedad es cierta para todos los naturales a partir del 4, como queríamos demostrar.
(k) Dado x∈]−1,∞[, (1 +x)n
≥1 +nx (Desigualdad de Bernoulli) SeaPn ≡(1 +x)n
≥1 +nx la propiedad que queremos demostrar para todos los naturales. Definimos el conjunto A ={n∈N: Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar queA=N. Para ello, comprobaremos queAes induc-tivo. En efecto:
i) Para n= 1, (1 +x)1 = 1 +x= 1 + 1
·x. Por tanto, 1 verifica la propiedad, es decir, 1∈A.
ii) Supongamos cierta la desigualdad de Bernoulli para un natural arbitrario k mayor que 1, es decir,
(1 +x)k ≥1 +kx (H.I.) Tenemos que demostrar que k+ 1∈A, es decir,
(1 +x)k+1 ≥1 + (k+ 1)x
En efecto, partiendo de la hipótesis de inducción(1 +x)k
≥1 +kx y multiplicando por (1 +x) que sabemos que es positivo ya que
x >−1, se tiene que (1 +x)k(1 +x)≥(1 +kx)(1 +x) = 1 +x+kx+kx2 = = 1 + (k+ 1)x+kx2 (kx2≥0) ≥ 1 + (k+ 1)x Por tanto, k+ 1∈A.
Hemos demostrado que el conjunto A es inductivo. Teniendo en cuenta queA⊂N, el Principio de Inducción garantiza queA=N, es decir, que la desigualdad de Bernoulli es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.
7. Dados z1 =−3 + 4i,z2 = 5−2i, z3 = 32 yz4 = 7i. Calcula: (a) (z1−z2)z3 =−12 + 9i (b) z1+z2−1 =− 82 29 + 118 29i (c) z1+z2−1 =− 82 29 + 118 29i (d) z1 2z2−z4−1 =−22265629 +13935629i
8. Expresa los números complejos siguientes en forma binómica: (a) (1 +i)2 = 0 + 2i= 2i (b) 1i =−i (c) (2 + 3i)(3−4i) = 18 +i (d) i7+i16= 1 −i (e) 1 +i+i2+i3 = 0 + 0·i= 0 (f) 1 2(1 +i)(1 +i− 8) = 1 +i
9. Determina el módulo, argumento, forma polar y trigonométrica de los siguientes números complejos:
Dado un número complejo z =a+bi,|z|=√a2+b2,
(a) 1√− 2i. |1 −2i| = √5. θ = arctag(−2) = −63.4o. √5−63.4o.
(b) 5√i + 4. |5i + 4| = √41. θ = arctag(45) = 51.34o. √4151.34o. 41(cos(51.34o) +isen(51.34o)) (c) π. |π|=π. θ = 0. π0. π(cos 0 +isen 0) (d) 3i. |3i|= 3. θ = π2. 3π 2. 3(cos π 2 +isen π 2)
10. Determina la forma binómica de los siguientes números complejos: (a) √3(cosπ6 +isenπ6) = 32 +√23i
(b) 1π 3 = 1 2 + √ 3 2 i
11. Calcula el módulo de los números complejos siguientes, expresando en primer lugar tales números en su forma binómica:
(a) 1+√i 2 = √ 2 2 + √ 2 2 i. | √ 2 2 + √ 2 2 i|= 1 (b) 1+1−ii =i. |i|= 1 (c) i7+i10=−1−i. |−1−i|=√2 (d) (1+1i)2 =− 1 2i. |− 1 2i|= 1 2 12. Resuelve la ecuación:
(a) ω2 =i. Las soluciones son
( ω1 = 11/2(cosπ4 +isenπ4) = √ 2 2 + √ 2 2 i ω2 = 11/2(cos54π +isen54π) =− √ 2 2 − √ 2 2 i
(b) ω3 = 1. Las soluciones son
⎧ ⎨ ⎩ ω1 = 11/3(cos 0 +isen 0) = 1 ω2 = 11/3(cos23π +isen23π) =−12 + √ 3 2 i ω3 = 11/3(cos43π +isen43π) =−12 − √ 3 2 i (c) ω2 = 4π
3 Las soluciones son
½ ω1 = 41/2(cosπ6 +isenπ6) = √ 3 +i ω2 = 41/2(cos76π +isen 76π) =− √ 3−i
13. En cada caso, determina todos los números reales a yb que satisfacen la relación dada: (a) a+bi=a−bi. a∈R yb= 0 (b) a+bi=|a+bi|. a∈R+0 y b= 0 (c) (a+bi)2 = (a−bi)2. a= 0 o b= 0 (d) |a+bi|=|a−bi|. a, b∈R (e) P100k=0ik=a+bi ⇔1 =a+bi. a= 1 yb= 0
14. Construye una representación del conjunto de losz =a+bi del plano complejo que verifiquen cada una de las condiciones siguientes:
(a) |z|< 1. Círculo centrado en el origen de radio 1, exceptuando la circunferencia.
(b) z−z =i. Recta y= 12
(c) |z−i|=|z+i|. Recta y= 0
15. Demuestra la desigualdad de Bernoulli (último apartado del ejercicio de inducción) para x >0, haciendo uso del binomio de Newton.
(1 +x)n = µ n 0 ¶ + µ n 1 ¶ x+ µ n 2 ¶ x2+· · ·+ µ n n−1 ¶ xn−1+ µ n n ¶ xn = = 1 +nx+ [ µ n 2 ¶ x2+· · ·+ µ n n−1 ¶ xn−1 + µ n n ¶ xn]≥ ≥1 +nx
En la última desigualdad hemos tenido en cuenta que
[ µ n 2 ¶ x2+· · ·+ µ n n−1 ¶ xn−1+ µ n n ¶ xn]≥0.
