problemas-resueltos-transformadores

(1)

PROBLEMAS RESUELTOS DE TRANSFORMADORES

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected]

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia

(2)

Problema 1.

Un transformador monofásico de 100 Kva. 3000/220 v, 50 Hz, tiene 100 espiras en el devanado secundario. Supuesto que el transformador es ideal, calcular:

a) Corrientes primaria y secundaria a plena carga? b) Flujo máximo

c) Numero de espiras del arrollamiento primario?

a) Los valores de la corriente primaria y secundaria a plena carga son: S = 100 Kva = 100000 va

E1 = 3000 v

E2 = 220 V

I1 = Corriente del primario en amperios

I2 = Corriente del secundario en amperios

S = V1 * A1 Amp. 33,33 v 3000 va 100000 1 V S 1 A = = = S = V2 * A2 Amp. 454,54 v 220 va 100000 2 V S 2 A = = =

Flujo máximo, como el transformador es ideal N2 = 100 espiras en el secundario F = 50 Hz E2 = 220 V E2 = 4,44 f * N2 *Ømax Weber 3 -10 * 9,9 22200 220 50 * 100 * 4,44 220 f * 2 N * 4,44 2 E max = = = = φ

Numero de espiras del arrollamiento primario? N2 = 100 espiras en el secundario E1 = 3000 v E2 = 220 V 2 N 1 N 2 E 1 E = esp 100 1 N v 220 v 3000 = esp 100 1 N 13,63= N1 = 13,63 * 100 = 1364 espiras Problema 2.

Un transformador que trabaja a 50 Hz. Con una chapa magnética que tiene un espesor de 0,35 mm. y una inducción magnética de 1 Tesla (10000 Gauss). Se conecta a una red de 60 Hz.

(3)

Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg.

f = frecuencia en Hz.

βmax = Inducción máxima en Gauss

Δ = Espesor de la chapa en mm.

(

)

11 10 2 * 2 max * 2 f * 2,2 f = β Δ P

Cuales son las perdidas en el hierro a 50 Hz.

(

)

kg watios 0,673 11 10 1225 , 0 * 8 10 * 2500 * 2,2 11 10 2 35 , 0 * 2 10000 * 2 50 * 2,2 f = = = P

Cuales son las perdidas en el hierro a 60 Hz.

(

)

kg watios 0,97 11 10 1225 , 0 * 8 10 * 3600 * 2,2 11 10 2 35 , 0 * 2 10000 * 2 60 * 2,2 f = = = P

Esto nos indica que si la frecuencia es mayor, mayores serán las perdidas por corriente de Foucault. Problema 3.

Un transformador que trabaja a una frecuencia de 50 Hz. Con unas chapa magnética de una inducción de 1,2 Tesla (12000 Gauss), conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia. El peso del núcleo del transformador es de 3 kg. ¿Cuáles serán las perdidas por histéresis del núcleo magnético?.

Formula de Steinmetz

Kh = Coeficiente de cada material = 0,002

F = frecuencia en Hz.

βmax = Inducción máxima en Tesla

Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg.

n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss)

n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss)

Ph = Kh * f * (βmax)n Ph = 0,002 * 50 * 1,22 Ph = 0,144 watios/kg 0,144 watios 1 kg X 3 kg X = 3 * 0,144 watios X = 0,432 watios Problema 4.

Un transformador conectado a una red de 50 Hz. De frecuencia con una chapa magnética de 0,9 Tesla (9000 Gauss) de inducción. El peso del núcleo del transformador es de 12 kg. El espesor de la chapa del núcleo es de 0,35 mm y el coeficiente de histéresis es de 0,002

Calcular la potencia perdida en el hierro?

Se halla la potencia perdida por corrientes de Foucault Pf = perdidas por corriente de Foucault en Watios/Kg.

(4)

βmaz = Inducción máxima en Gauss = 900 Gauss Δ = Espesor de la chapa en mm. = 0,35 mm

(

)

11 10 2 * 2 max * 2 f * 2,2 f = β Δ P

(

)

kg watios 0,545 11 10 0 5457375000 11 10 1225 , 0 * 81000000 * 2500 * 2,2 11 10 2 35 , 0 * 2 9000 * 2 50 * 2,2 f = = = = P

Las perdidas totales por corrientes de Foucault son: 0,545 watios 1 kg

X 12 kg X = 12 * 0,545 watios

X = 6,54 watios

Se halla la potencia perdida por histéresis Formula de Steinmetz

Kh = Coeficiente de cada material = 0,002

F = frecuencia en Hz. = 50 Hz

βmax = Inducción máxima en Tesla = 0,9 Tesla

Ph = perdidas por histéresis en Watios/Kg.

n = 1,6 si Βmax < 1 Tesla (10000 Gauss)

n = 2 si Βmax > 1 Tesla (10000 Gauss)

Ph = Kh * f * (βmax)n

Ph = 0,002 * 50 * (0,9)1,6

Ph = 0,002 * 50 * 0,84486

Ph = 0,0844 watios/kg

Las perdidas totales por histéresis son: 0,0844 watios 1 kg

X 12 kg X = 12 * 0,0844 watios X = 1,01 watios

Perdidas totales en el núcleo son:

PFE = perdidas totales por corrientes de Foucault + perdidas totales por histéresis

PFE = 6,54 watios + 1,01 watios

PFE = 7,55 watios

Nota: Las pérdidas en el hierro se halla midiendo la potencia consumida por el transformador en vacío.

Problema 5

Un transformador de 60 hz. Tiene unas perdidas por histéresis de 200 watios y unas perdidas por corrientes parasitas de 100 watios para un valor máximo de la densidad de flujo de 200 weber/m2

(5)

a) Las pérdidas por histéresis y por corrientes parasitas cuando la tensión disminuye a 110 v para la misma frecuencia. Suponiendo que las perdidas por corrientes parasita son función de (fxBm)2 pero las perdidas por histéresis son función de f x (Bmax)1,75

b) Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz.

c) La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz.

Datos f = 60 hz

Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios.

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios

2 metro weber 200 v 120 max B =

Vnominal = 120 voltios (primario)

E = k f Bmax v 120 max B hz 60 f k v 110 max B hz 60 f k v 120 E v 110 E = v 120 max B v 110 max B v 120 E v 110 E = 2 m weber 200 v 110 max B v 120 v 110 = 2 m weber 200 v 110 max B 9166 , 0 = 0,9166 x 2 metro weber 200 v 110 max B = 2 metro weber 33 , 183 v 110 max B = Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis

Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios.

Kh = coeficiente de histeresis, depende del material

f = frecuencia en Hz. n = 1,75 2 metro weber 200 v 120 max B = 2 metro weber 33 , 183 v 110 max B =

(6)

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios Ph = Kh * f * (βmax)n

(

)

(

)

(

)

(

)

1,75 v 120 max B hz 60 f kh 75 , 1 v 110 max B hz 60 f h k v 120 h P v 110 h P =

(

)

(

)

(

)

(

)

1,75 v 120 max B 75 , 1 v 110 max B v 120 h P v 110 h P =

(

)

59 , 10636 9133,95 watios 200 v 110 h P =

(

)

_0,858 watios 200 v 110 h P = Ph 110 v = 200 watios. X 0,858 Ph 110 v = 171,74 watios.

Pf = perdidas por corriente de Foucault

Kf = coeficiente de foucault

f = frecuencia en Hz. βmax = Inducción máxima

Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del nucleo

(

B_max

)

2 f 2 2 v f k f P = Δ

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

f₆₀ 2 B_max₁₂₀_v

)

2 2 v f k v 2 2 v 110 max B 2 60 f f k v 120 f P v 110 f P Δ Δ =

(

) (

)

( )

₂₀₀ 2 2 183,33 watios 100 v 110 f P =

(

)

40000 33609,88 watios 100 v 110 f P =

(

)

_0,84 watios 100 v 110 f P = Pf (110 v) = 100 watios x 0,84 Pf (110 v) = 84 watios

Las pérdidas por histéresis y corrientes parasitas (Foucault) para una densidad de flujo máximo, si se aplica la tensión nominal a una frecuencia de 50 hz.

Datos f = 50 hz

Ph = pérdidas por histéresis.

(7)

E = k f Bmax hz 60 max B hz 60 f k hz 50 max B hz 50 f k v 120 E v 120 E = 200 x 60 hz 50 max B x 50 v 120 E v 120 E = 12000 hz 50 max B x 50 v 120 v 120 = 1200 hz 50 max B x 5 1= hz 50 max B x 5 1200= 1200 = 5 x Bmax 50 hz BBmax 50 hz = 240 weber/m 2 Ph = Kh * f * (βmax)n

(

)

(

)

(

)

(

)

1,75 hz 60 max B hz 60 f kh 75 , 1 hz 50 max B hz 50 f h k hz 60 h P hz 50 h P =

(

)

(

)

( )

₂₀₀1,75 x 60 75 , 1 240 x 50 hz 60 h P hz 50 h P =

(

)

(

)

63819,54 1,1465 73171.1 10636,59 x 6 14634,22 x 5 hz 60 h P hz 50 h P = = =

(

)

_1,1465 watios 200 hz 50 h P = Ph 50 hz = 200 watios. X 1,1465 Ph 50 hz = 229,3 watios

BBmax 50 hz = 240 weber/m 2

(8)

2 metro weber 200 hz 60 max B =

(

B_max

)

2 f 2 2 v f k f P = Δ

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

f₅₀ 2 B_max₅₀_hz

)

2 2 v f k v 2 2 hz 60 max B 2 60 f f k hz 50 f P hz 60 f P Δ Δ =

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

)

2 hz 50 max B 2 50 f 2 hz 60 max B 2 60 f hz 50 f P hz 60 f P =

(

)

(

)

( )

( ) ( )

₅₀ 2 ₂₄₀ 2 2 200 2 60 hz 50 f P hz 60 f P =

(

)

(

)

(

)

14400 14400 576 x 25 400 x 36 57600 x 2500 40000 x 3600 hz 50 f P hz 60 f P = = =

(

)

(

50hz

)

1 f P hz 60 f P = Pf (60 hz) = 100 watios x 1 Pf (60 hz) = 100 watios

La densidad de flujo máxima, las perdidas por histéresis y corrientes parasitas cuando se aplica 60 voltios a 30 hz.

Datos f = 60 hz

E = k f Bmax v 30 max B hz 30 f k v 120 max B hz 60 f k v 60 E v 120 E = v 30 max B hz 30 f v 120 max B hz 60 f v 60 E v 120 E = v 30 max B x 30 200 x 60 60 120 = v 30 max B x 30 12000 2=

(9)

60 12000 2x30 12000 v 30 max B = = 2 metro weber 200 v 30 max B = Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis

f = frecuencia en Hz. n = 1,75 2 metro weber 200 v 120 max B = 2 metro weber 200 v 30 max B =

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios

(

)

(

)

(

)

(

)

1,75 v 120 max B hz 60 f kh 75 , 1 v 30 max B hz 30 f h k v 120 h P v 30 h P =

(

)

(

)

(

)

(

)

1,75 v 120 max B hz 60 f 75 , 1 v 30 max B hz 30 f v 120 h P v 30 h P =

(

)

(

)

( )

₂₀₀1,75 hz 60 f 75 , 1 200 hz 30 f v 120 h P v 30 h P =

(

)

(

)

f60hz hz 30 f v 120 h P v 30 h P =

(

)

(

)

60 0,5 30 v 120 h P v 30 h P = =

Ph 120 v = pérdidas por histéresis = 200 watios.

Ph 30 v = 200 watios. X 0,5

Ph 30 v = 100 watios.

(

B_max

)

2 f 2 2 v f

k f

(10)

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

f₆₀ 2 B_max₁₂₀_v

)

2 2 v f k v 2 2 v 30 max B 2 30 f f k v 120 f P v 30 f P Δ Δ =

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

)

2 v 120 max B 2 60 f 2 v 30 max B 2 30 f v 120 f P v 30 f P =

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 100 watios conectados a 120 voltios

2 metro weber 200 v 120 max B = 2 metro weber 200 v 30 max B =

(

)

( )

( ) ( )

₆₀ 2 ₂₀₀ 2 2 200 2 30 100 v 30 f P =

(

)

( )

60 2 2 30 100 v 30 f P =

(

)

3600 900 100 v 30 f P =

(

)

_0,25 100 v 30 f P = Pf (30 v) = 100 watios x 0,25 Pf (30 v) = 25 watios Problema 6.

Un transformador de 50 kva, 600 /240 v, 25 hz tiene unas perdidas en el hierro de 200 w (de los cuales el 30 % son perdidas por corrientes parasitas) y unas perdidas en el cobre a plena carga de 650 watios. Si el transformador se hace funcionar a 600 v, 60 hz. Cual seria la nueva potencia nominal del transformador si las perdidas totales tuvieran que ser las mismas

Datos

S = 50 Kva = 50000 va. 600 v /240 v, 25 hz

perdidas en el hierro de 200 w = Pf + Ph

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios

Ph = pérdidas por histéresis = 200 watios x 0,7 = 140 watios

PCU a plena carga = 650 watios

Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre Perdidas totales = 200 + 650

Perdidas totales = 850 watios E = k f Bmax hz 25 max B hz 25 f k v 600 E =

(11)

hz 60 max B hz 60 f hz 25 max B hz 25 f 1 = hz 60 max B x 60 hz 25 max B x 25 1 = hz 60 max B hz 25 max B 25 60 = Ecuación 1 Formula de Steinmetz Ph = pérdidas por histéresis

f = frecuencia en Hz. Ph = Kh * f * (βmax)n

(

)

(

)

(

)

(

)

2 hz 60 max B hz 60 f kh 2 hz 25 max B hz 25 f h k hz 60 h P hz 25 h P =

(

)

(

)

(

)

(

)

2 hz 60 max B hz 60 f 2 hz 25 max B hz 25 f hz 60 h P hz 25 h P =

(

)

(

)

(

)

(

)

2 hz 60 max B x 60 2 hz 25 max B x 25 hz 60 h P hz 25 h P =

(

)

(

)

2 hz 60 max B hz 25 max B x 60 25 hz 60 h P hz 25 h P ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Reemplazando la ecuación 1

(

)

(

)

2 25 60 x 60 25 hz 60 h P hz 25 h P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

(

)

(

)

60 x

( )

2,4 2 25 hz 60 h P hz 25 h P =

(

)

(

)

60 x 5,76 25 hz 60 h P hz 25 h P =

(

)

(

60hz

)

2,4 h P hz 25 h P =

Ph = pérdidas por histéresis a 25 hz = 200 watios x 0,7 = 140 watios

(

60hz

)

2,4 h

P

(12)

Ph 60 hz = 58,33 watios.

Δ = Espesor de la chapa en mm. v = volumen del núcleo

(

B_max

)

2 f 2 2 v f k f P = Δ

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

f₆₀ 2 B_max₆₀_hz_v

)

2 2 v f k v 2 2 hz 25 max B 2 25 f f k hz 60 f P hz 25 f P Δ Δ =

(

)

(

)

( ) (

)

( ) (

)

2 v hz 60 max B 2 60 f 2 hz 25 max B 2 25 f hz 60 f P hz 25 f P =

(

)

(

)

(

)

(

)

2 v hz 60 max B x 2 60 2 hz 25 max B x 2 25 hz 60 f P hz 25 f P =

(

)

(

)

2 hz 60 max B hz 25 max B x 3600 625 hz 60 f P hz 25 f P ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = hz 60 max B hz 25 max B 25 60 = Ecuación 1 Reemplazando la ecuación 1

(

)

(

)

2 25 60 x 0,1736 hz 60 f P hz 25 f P ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

(

)

(

60hz

)

0,1736 x

( )

2,4 2 f P hz 25 f P =

(

)

(

60hz

)

0,1736 x 5,76 f P hz 25 f P =

(

)

(

60hz

)

1 f P hz 25 f P =

Pf = corrientes parasitas (Foucault) = 200 watios x 0,3 = 60 watios

Pf (60 hz) = Pf (25 hz) = 60 watios

Perdidas en el hierro a 60 hz = Pf + Ph

Perdidas en el hierro a 60 hz = 60 + 58,33 Perdidas en el hierro a 60 hz = 118,33 watios Las perdidas totales se mantienen constantes Perdidas totales = 850 watios

(13)

Perdidas totales = perdidas en el hierro + perdidas en el cobre 850 watios = 118,33 watios + perdidas en el cobre

perdidas en el cobre = 850 − 118,33

perdidas en el cobre a 60 hz = 731,67 watios perdidas en el cobre a 25 hz = 650 watios

(

)

(

)

(

)

(

)

2 hz 60 S C 2 hz 25 S C hz 60 CU P hz 25 CU P = PCU a 25 hz = 650 watios S = 50 Kva

(

)

(

)

2 hz 60 S 2 hz 25 S 67 , 731650 =

(

)

( )

650 731,67 x 2 50 2 hz 60 S =

(

)

(

)

2814,11 650 731,67 x 2500 2 hz 60 S = =

(

S₆₀_hz

)

= 2814,11

(

S₆₀_hz

)

=53kva Problema 7.

Calcular la potencia aparente y el factor de potencia en vacío de un transformador partiendo de los siguientes datos:

Tensión del primario U1n 380 V

Intensidad del primario I10 0,081 A

Tensión del secundario U2n 125 V

Potencia medida con vatímetro P10 2,2 W

Resistencia del cobre RCU 2,4 Ω

La relación de transformación

En el ensayo en vacío, al estar abierto el devanado secundario, no circula ninguna corriente, esto permite que las tensiones primaria y secundarias sean iguales

3,04 V 125 V 380 2n U 1n U m= = =

(14)

La potencia medida con el vatímetro en el devanado primario (P10 = 2,2 W) corresponde a las

perdidas en el hierro y en el cobre, pero las perdidas en el cobre en un transformador en vacío son despreciables, por lo tanto la potencia medida con un vatímetro en vacío se consideran las perdidas en el hierro.

La potencia perdida en el cobre se puede hallar PCU = (I10)2 * RCU

PCU = (0,081)2 * 2,4

PCU = 0,006561 * 2,4

PCU = 0,015 Watios

Esto indica que la potencia que se pierde por el cobre del bobinado es despreciable en un ensayo de vacío frente a las perdidas en el núcleo (corrientes de Foucault + perdidas por histéresis)

La impedancia es: Ω = = = 4691,35 A 0,081 V 380 10 I 1n U Z

La potencia aparente es: S = U1n * I10 = 380 V * 0,081 A

S = 30,78 VA

El ángulo de desfase φ entre la tensión y la intensidad de corriente

0,07147 30,78 2,2 S 10 P cosϕ= = = Problema 8. Un transformador de 50 kva 4600 v /220 v, 50 hz. Ensayo en vacío 223 v, 287 watios.

Ensayo en corto 156 v, 620 watios, 11,87 A. Hallar

η Rendimiento a 60 kva, cos Φ = 0,86 Kva ? ηmax, Sη max

ηmax para cos λ = 0,8

IN1 = Corriente del primario

A 10,87 4600 50000 N1 I = =

IN2 = Corriente del secundario

A 227,27 220 50000 N2 I = =

(

_0,986

)

2 x 287 2 223 220 x 287 2 vacio V N1 V x vacio W fe P ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

(

0,9732

)

x 287 fe P = P10 = 2,2 w S = 30,78 VA

φ

(15)

Pfe (50 kva) = 279,32 watios

(

_0,9157

)

2 x 620 2 11,87 10,87 x 620 2 corto I N1 I x corto W cu P _⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

(

0,8386

)

x 620 cu P = Pcu (50 kva) = 519,93 watios

(

)

(

)

(

)

(

)

2 kva 60 S C 2 kva 50 S C kva 60 CU P kva 50 CU P =

(

)

( )

₆₀ 2 2 50 kva 60 cu P 519,93 ₌

(

)

(

3600

)

2500 kva 60 cu P 519,93 =

(

60kva

)

(

519,93₂₅₀₀

)

x 3600 cu P =

(

₆₀_kva

)

748,69 watios cu P =

Hallar η (Rendimiento a 60 kva), cos Φ = 0,86

(

50hz

)

Pcu

(

60hz

)

fe P cos cos S kva 60 η + + = φ φ S 748,69 279 86 , 0 * 50000 0,86 * 50000 kva 60 η + + = 44027.69 43000 748,69 279 43000 43000 kva 60 η = + + = 0,97 kva 60 η = η 60 kva = 97 %

(

)

(

50hz

)

cu P hz 50 fe P 2 S max S ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ η

(

)

(

50hz

)

cu P hz 50 fe P S max S ₌ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ η

(

)

(

50hz

)

*S cu P hz 50 fe P max Sη = kva 50 * 519 279 max Sη = kva 50 * 537 , 0 max Sη = kva 50 * 0,732 max Sη = kva 36,64 max Sη =

(16)

ηmax para cos λ = 0,8

(

50hz

)

fe P 2 cos * max cos * max S max η + = λ η λ η S 279,32 * 2 8 , 0 * 36640 0,8 * 36640 max η + = 29870,64 29312 558,64 29312 29312 max η = + = 0,98 max η = % 98 max η =