Problemas Resueltos de Magnetismo

EJERCICIOS RESUELTOS DE

MAGNETISMO

2

1. Considere el alambre ABCDA que muestra la figura, por el cual circula una corriente de I[A] en la dirección indicada suponga que BC Y DA son arcos de circunferencia .subtendido por el ángulo α[rad], tales que OA =OD =R [m] y OB =OC =2R [m]. calcule la inducción magnética B que produce en el centro o.

 Para las secciones de alambre DC y AB se logra

apreciar que no existe inducción magnética con respecto al centro o debido a que este se encuentra en la misma dirección del eje del alambre

 Campo magnético para los arcos de circunferencia. B=µ˳𝐼 4𝜋∫ │𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2 B=µ˳𝐼 4𝜋[∫ │𝑑𝑠1│ 𝑅2 − ∫ │𝑑𝑠2│ 4𝑅2 ] B=µ˳𝐼 4𝜋[ 1 𝑅2∫ 𝑅𝑑ө − 1 4𝑅2∫ 2𝑅𝑑ө] 𝛼 0 𝛼 0 B=µ˳𝐼 4𝜋[𝛼( 1 𝑅− 1 2𝑅) ] B=µ˳𝐼𝛼 4𝜋 [ 1 𝑅(1 − 1 2) ] B=µ˳𝐼𝛼 8𝜋

2. Por un largo conductor, cuya sección tiene la forma de un semianillo delgado de radio R[m], circula una corriente de intensidad I [A] entrando a la hoja. Por otro un largo conductor rectilíneo, ubicado sobre su eje, circular otra corriente de la misma intensidad, pero en sentido opuesto (ver en la figura). Calcule la

magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud entre ellos.

Se logra observar que en cada punto del semicírculo existe un componente en x de la fuerza que tiene una contraparte que lo anula, por tanto si calculamos la componente en “y” obtendremos la fuerza total por unidad de longitud sabiendo que el conductor

3

semicircular es siempre paralelo a el central dL ll B LA fuerza de una infinitesimal línea sobre el conductor semicírculo de longitud L es:

df =I.ℓ.B.ds 𝑑𝑓 ℓ=I.B.ds ∫𝑑𝑓_ℓ=∫µ˳𝐼_2𝜋𝑅2𝑑𝑠 𝑓 ℓ= µ˳𝐼2 2𝜋𝑅∫ 𝑑𝑠 𝜋𝑅 0 𝑓 ℓ = µ˳𝐼2 2

3. La curva cerrada simétrica que muestra la figura, se construye a partir de 2 circunferencia concéntricas de radios R[m] y 2R[m],por ella se hace circular una corriente estacionaria de intensidad I [A], en el sentido que se señala. Encuentre la magnitud y dirección de la inducción magnética que produce en el centro o.

Para solucionar este ejercicio bastará con interpretar correctamente la gráfica facilitada.

Gracias a la misma, observamos que solo debemos hallar la contribución de los arcos de circunferencia de las circunferencias concéntricas ya que los segmentos de recta que los unen no tienen contribución en el centro o.

│B│=µ˳𝐼 4𝜋∫ │𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[4 ∫ 2𝑅𝑑ө (2𝑅)2+ 4 ∫ 𝑅𝑑ө (𝑅)2 𝜋 2 𝛼 ] 𝛼 0 │B│=µ˳𝐼4 4𝜋𝑅[ 𝜋 2∫ 𝑑ө + ∫ 𝑑ө] 𝜋 4 0 │B│=µ˳𝐼 𝜋𝑅[ 𝛼 2+ 𝜋 2− 𝛼] │B│=µ˳𝐼 𝜋𝑅[ 𝜋 2− 𝛼 2]como 𝜋 4 │B│=µ˳𝐼𝜋 𝜋𝑅 [ 4 8− 1 8] │B│=3µ˳𝐼 8𝑅

4

4. El conductor de la figura, formado por 2 partes rectilíneas paralelas semi- infinitas y una semicircular de radio R[m], transporta una corriente de intensidad I [A] en la dirección indicada encuentre la magnitud y

dirección del campo magnético que produce en el centro o. │B│= µ˳𝐼 4 ∏ ∫ │𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ │𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟│ r12 ]-∫ │𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟│ r22 − ∫ │𝑑𝑠3 │ r32 Ahora como: r22 _{= 𝑥}2 _{+ 𝑅}2 _{SI ө = arctan (}𝑅 𝑥) X=R cot ө cuando x → 𝟎ө =𝜋 2 dx=−𝑅 𝐶𝑆𝐶2ө𝑑ө cuando x → 𝟐𝑹ө = arctan (1 2) Entonces r22 = 𝑅2(𝑐𝑜𝑡2ө + 1) = 𝑅2𝑐𝑠𝑐2ө𝑑ө Luego: │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ 𝑑ө 𝑅 − 4 ∫ 𝑅𝑠𝑒𝑛ө𝑐𝑠𝑐2_ө𝑑ө 𝑅2_𝑐𝑠𝑐2_ө 𝑎𝑟𝑐𝑡(1₂) 𝜋 2 ] 3𝜋 2 0 │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑅[ 3𝜋 2 + 𝐶𝑂𝑆ө│𝜋 2 𝑎𝑟𝑐𝑡(1₂) ] │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑅[ 3𝜋 2 + 2√5 5 ]

5. Una corriente de intensidad I [A] circula por el conductor de la figura, formado por una parte rectilínea de longitud 2 R[m], ¾ de la circunferencia de R[m] y por otra parte

5

rectilínea semi infinita. Calcule la magnitud y dirección de la inducción magnética que produce en el centro O.

Inicialmente descartamos la inducción de campo magnetico para la sección semi infinita por encontrarse en la misma dirección del eje de referencia, asi como la componente y del campo para la recta de longitud 2R

│B│=µ˳𝐼

4𝜋∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2

La inducción magnética del segmento semi esférico es opuesto a ds│µ𝑟│ │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ │𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑅2 + ∫ │𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22 𝑐𝑜𝑚𝑜 |µ𝑟1│ = 𝑑𝑠 ^ │𝑑𝑠│ = 𝑅𝑑ө │B│=µ˳𝐼4 4𝜋𝑅[∫ 𝑅𝑑ө 𝑅2 + ∫ 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥 𝑟22 2𝑅 0 ] 3𝜋 4 0 │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑅[ 15𝜋+4√5 10 ] │B│= µ˳𝐼 40𝜋𝑅[15𝜋 + 4√5]

6. El alambre que muestra la figura, por el cual circula una corriente de intensidad I [A], está formada por un segmento rectilíneo de longitud R[m], dos de longitud 2R[m] y dos cuartos de circunferencias de radio R[m] y 2R[m]. calcule la inducción magnética B que produce en el centro O.

El campo magnético total esta dado por la sumatoria de cada una de las contribuciones de los alambres en el centro o.

│B│=µ˳𝐼 4𝜋∫ │𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ │𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12 − ∫ │𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22 + ∫ │𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32 + ∫ │𝑑𝑠4 𝑥µ𝑟4│ 𝑟42 ] Como 𝑑𝑠1 ⊥ µ𝑟1 y│𝑑𝑠1│ = 2 𝑅𝑑ө

6 𝑑𝑠2 ⊥ µ𝑟2 y│𝑑𝑠2│ = 𝑅𝑑ө 𝑟32 = 𝑥2+ 𝑅2 Además X=R cot 𝛼 dx=−𝑅𝑐𝑠𝑐2𝛼𝑑𝛼 Luego: 𝑟32_{=𝑅𝑐𝑜𝑡𝛼}2_{+ 𝑅}2 _{= 𝑅}2_{(𝑐𝑜𝑡𝛼}2_{+ 1)} 𝑟32 = 𝑅𝑐𝑠𝑐2𝛼 También Si 𝛼 = arctan (𝑅 𝑥) Si x → 𝟎𝛼 = (𝜋/2) Si x → 𝟐𝑹𝛼 → arctan(1/2) 𝑟32 _{= 𝑥}2_{+ (2𝑅)}2 Además: X=2R cot (𝜋 − ө) X=-2R cot (ө)𝑑𝑥 =2R𝑐𝑠𝑐2ө𝑑ө Luego: 𝑟42 _=2𝑅2_𝑐𝑜𝑡2_{ө + (2𝑅)}2_=(2𝑅)2 _{(cotө + 1)} 𝑟42 =4𝑅2𝑐𝑠𝑐2ө Tambien si: tan (𝜋 − ө) =2𝑅 𝑥 𝜋 − ө = arctan (2𝑅 𝑥 ) ө = 𝜋 − arctan (2𝑅 𝑥 )

7 six → 𝟎ө = 𝜋 − 𝜋/2 ө = 𝜋/2 si x→ 𝟐𝑹 ө = 𝜋 − 𝜋/2ө = (3𝜋 4 ) │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ 2𝑅𝑑ө 2𝑅2 − ∫ 𝑅𝑑ө 𝑅2 + ∫ 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑠𝑐2𝛼𝑑𝑥 𝑅2_𝑐𝑠𝑐2_𝛼 𝑎𝑟𝑐𝑡(1 2) 𝜋 2 𝜋 0 𝜋 2 0 +∫ 𝑅𝑠𝑒𝑛ө𝑐𝑠𝑐2ө𝑑𝑥 𝑅2_𝑐𝑠𝑐2_ө 3𝜋 4 𝜋 2 ] │B│=µ˳𝐼 4𝜋[ 1 2∫ 𝑑ө − ∫ 𝑑ө + 𝑐𝑜𝑠𝛼│𝜋 2 𝑎𝑟𝑐𝑡1₂ 𝜋 2 0 𝜋 2 0 -cosө│𝜋 2 3𝜋 4_] │B│=µ˳𝐼 4𝜋[ 𝜋 4− 𝜋 2+ 2√5 5 + √2 2] │B│=µ˳𝐼 4𝜋[ 2√5 5 + √2 2 − 𝜋 4] │B│=µ˳𝐼 4𝜋[8√5 + 5√2 − 5𝜋]

7. Considere el conductor ABDEFA que muestra la figura, donde DE=FA=L[m]. Son dos lados del cuadrado ADEF; AB y CD son partes de sus diagonales tales que AB=CD=AO/2; BC y EF son arcos de circunferencias con centro en O. por el circula una corriente de intensidad I [A] en la forma indicada. A) calcule la inducción magnética que produce en el centro O. B) encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre un electrón que pasa por O con rapidez vs [m/s] en dirección OE.

Los segmentos AB y CD no contribuyen en el campo magnético total.

Este último esta dado por la sumatoria de las contribuciones de los campos de los segmentos AF, DE y los arcos de circunferencia BC, FE

8 𝑅 =√2 2 𝑙 = 𝑟 = √2 4 𝑙 |𝐵| =𝑀𝑜𝐼 4𝜋 ∫ | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟| 𝑟2 |𝐵| =𝑀𝑜𝐼 4𝜋 [∫ | 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟2| 𝑟22 + ∫| 𝑑𝑠 𝑥 𝑢2| 𝑟22 + ∫| 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟3| 𝑟32 + ∫| 𝑑𝑠 𝑥 𝑢𝑟4| 𝑟42 ] |𝐵| = 𝑀𝑜𝐼 4𝜋 [∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑 −𝑙 2𝑥 2₊ 𝑙2 4 𝑙 2 −𝑙 2 + ∫ √2𝑙 4 (√2𝑙 4 ) 2 𝜋 4 0 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑑𝑥 𝑥2₊𝑙2 4 𝑙 2 −𝑙 2 + ∫ 2√2 2 𝑙𝑑𝜃 (√2 2 𝑙) 2 𝜋/2 0 En la primera integral X = 𝑙 2cot 𝜃 = 𝜃 = arctan( 𝑙 2𝑥) ; si x= 𝑙/2 => 𝜃 𝜋/4 y si x = -l/2 dx = −𝐿 2 𝑐𝑠𝑐 2_𝜃𝑑𝜃 En la tercera integral 𝑥 = 𝑙 2cot 𝛼 si x= 𝑙/2 => 𝜃 𝜋/4 y si x = -l/2

9 𝑑𝑥 = −𝑙 2𝑐𝑠𝑐 2_{𝛼 𝑑𝛼} |𝐵| =𝑀𝑜𝐼 4𝜋 [ − ∫ 𝑙 2𝑐𝑠𝑐 2_{𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃} 𝑙22 4 𝑐𝑠𝑐2𝜃 + 4 √2𝑙∫ 𝑑𝜃 𝜋/2 0 𝜋/4 0 − 2 ∫ 𝑙 2𝑐𝑠𝑐 2_{𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃} 𝑙22 4𝑐𝑠𝑐 2 + 2/√2𝑙 𝜋/4 0 ∫ 𝑑𝜃 𝜋/2 0 |𝐵| =𝑀𝑜𝐼 4𝜋𝐿 [ 4 (−𝑐𝑜𝑠𝜃)]0 𝜋4_{+ 4√2 (}𝜋 2) + 4[𝑐𝑜𝑠𝜃]|0 𝜋 4 _{+ 2√2 [}𝜋 2]] |𝐵| =𝑀𝑜𝐼 4𝜋𝐿 [2√2 𝜋 + √2 𝜋 + 4√2] |𝐵| =𝑀𝑜𝐼 4𝜋𝐿 [3𝜋 + 4] B) |F| = |q| |vxB| |F| = |q| |v| B => |F| =√2𝑢0|𝑞||𝑣|𝐼 4𝜋 𝐿 [3𝜋 + 2]

En dirección Fo por el signo negativo de la carga del electrón

8. A lo largo del circuito que muestra la figura circula una corriente de intensidad I [A] en el sentido indicado se sabe que AB=EA= 2L [m],BC=DE=2L [m],EA⊥ 𝐀𝐁,DE ⊥ 𝐀𝐄,BC⊥ 𝐀𝐁,OC⊥ 𝐎𝐃. calcule la induccion magnética que produce en el centro o del arco de circunferencia de radio L [m].

El campo magnetico total esta dado por la sumatoria de los segmentos de recta DE,EA,AB,BC, y por el arco de

circunferencia CD, la magnitud de estos se halla por la formula │B│=µ˳𝐼

4𝜋∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2

10 │B│=µ˳𝐼 4𝜋∫ │𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2 │ B │ µ˳𝐼 4 ∏ ∫ │𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12 − ∫│𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│_𝑟22 + ∫│𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│_𝑟32 + ∫│𝑑𝑠4 𝑥µ𝑟4│_𝑟42 + ∫│𝑑𝑠5 𝑥µ𝑟2│_𝑟52 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥 𝑥2_+𝑙2 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥2_+𝑙2 𝑙 0 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛ß𝑑𝑥 𝑥2_+𝑙2 + ∫ 𝑠𝑒𝑛ø𝑑𝑥 𝑥2_+𝑙2 𝑙 0 𝑙 0 + ∫ 2𝑑ө 𝑙2 𝜋 2 0 ] 𝑙 0 Debido a que ө, ß, 𝛼 𝑦 ø 𝑠𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑑𝑎𝑠, 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 │B│=µ˳𝐼4 4𝜋 [6 ∫ 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥 𝑥2_+𝑙2 + 1 𝑙∫ 2𝑑ө 𝑙2 𝜋 2 0 ] 𝑙 0 Si x= l cotө dx=-1csc2_{өdө → ө =arctan (}𝑙 𝑥) Si x→ 𝟎 → ө =𝜋 2 Si x→ 𝟏 → ө =𝜋 4 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[−6 ∫ 𝑠𝑒𝑛ө𝑙cs𝑐2өdө 𝑙2_cs𝑐2_ө + 1 𝑙( 𝜋 2)] 𝜋 4 𝜋 2 │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 2+ 6(𝑐𝑜𝑠ө)│𝜋 2 𝜋 2_] │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 2+ 6√2 2 ] │B│=µ˳𝐼 8𝜋𝑙[𝜋+6√2]

9. A lo largo del circuito ABCDEA que muestra la figura circula una corriente de intensidad I [A] en sentido, indicado. Se sabe que AB=EA= 2L [m],BC= DE=L [m], EA

11

⊥ 𝐀𝐁, DE ⊥ 𝐀𝐄, BC⊥ 𝐀𝐁 Y OC⊥ 𝐎𝐃. Calcule la inducción magnética que produce en el centro O delarco de circunferencia de radio L [m].

La sumatoria de las contribuciones de los segmentos de recta EA,AB, y el arco DC conforman el campo magnético total. ED y CB no son tenidos en cuenta por razones anteriormente expuestas. │B│=µ˳𝐼 4𝜋∫ │𝑑𝑠𝑥µ𝑟│ 𝑟2 │B│ µ˳𝐼 4 ∏ [∫ │𝑑𝑠3 𝑥µ𝑟3│ 𝑟32 − ∫ │𝑑𝑠1 𝑥µ𝑟1│ 𝑟12 − ∫ │𝑑𝑠2 𝑥µ𝑟2│ 𝑟22 ] │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ 𝑠𝑒𝑛ө𝑑𝑥 𝑥2_+4𝑙2− ∫ 𝑠𝑒𝑛ø𝑑𝑥 𝑥2_+2𝑙2 𝜋 2 0 + ∫ 𝑑ө 𝑙2 𝜋 2 0 ] 2𝑙 0

Para la primera integral

Si x=2l cotө dx=-2l csc2_{өdө → ө =arctan (}2𝑙 𝑥) Si x→ 𝟎 → ө =𝜋 2 Si x→ 𝟐𝒍 → ө =𝜋 4

12

Para la segunda integral. Si x=2l cot(𝜋 − ө) Si x=-2l cotө) dx=-2l csc2_{өdө → ө =π-arctan (}2𝑙 𝑥) Si x→ 𝟎 → ө =𝜋 2 Si x→ 𝟐𝒍 → ө =3𝜋 4 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[ 1 𝑙∫ dө + 𝜋 2 0 ∫ 𝑠𝑒𝑛ө2𝑙cs𝑐2өdө 4𝑙2_cs𝑐2_ө + ∫ 𝑠𝑒𝑛ө2𝑙cs𝑐2өdө 4𝑙2_cs𝑐2_ө 3𝜋 4 𝜋 2 ] 𝜋 4 𝜋 2 │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 2− (𝑐𝑜𝑠ө)│𝜋 2 𝜋 4_{− (𝑐𝑜𝑠ө)│} 𝜋 2 3𝜋 4_] │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 2 -√2 2 + √2 2] │B│=µ˳𝐼 8𝑙

10) La figura de un largo conductor cilíndrico de radio R [m], por el cual circula axialmente una corriente de intensidad I [A]. Paralelamente a una distancia 2R de su eje, circula una corriente de la misma intensidad, pero en sentido contrario, por un largo conductor rectilíneo. Calcule la magnitud y dirección de la inducción magnética que esta distribución de

corriente produce en los puntos P,S y T, ubicados donde se indica. Explique bien. ∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = 𝑀0[ 𝐼𝑜 − ∫ 𝐼 𝑑𝑠 3𝑅/2 𝑅 𝐼𝑜 = 2𝜋 ∫ 𝑘 𝑣2𝑑𝑟 3𝑅/2 𝑅

13 𝐼𝑜 = 2𝜋 [𝑟 3 3] |𝑅 3/2𝑅 = 2𝜋 [27𝑅 3 8 (3)− 𝑅3 3] 𝐼𝑜 = 2𝜋 𝑘𝑅3 _[27 8 − 1 3] = 2𝜋𝑘𝑅 3_[27 − 1 24 ] = 2𝜋𝑘𝑅3 24 (19) Luego 𝑘 = 12 𝐼𝑜 19 𝜋 𝑅3 Calculando 𝐼 = ∫ 𝐽. 𝑑𝑠 = 2𝜋 ∫ _19𝜋𝑅12503𝑉2 𝑑𝑣 2𝑅 𝑅 = 24 𝐼𝑜 19 𝑅3 [ 𝑟3 3] |𝑅 2𝑅 𝐼 = 24 𝐼𝑜 19 𝐼𝑜 [ 7 3] = 56 19𝐼𝑜 b) ∮ 𝐵. 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼𝑜 − 36 19 𝐼𝑜 ] 𝐵 ∫ 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 𝐼𝑜 [19 19− 56 19] 𝐵 (2𝜋𝑟) = 𝑈𝑜 𝐼𝑜 (−37 19) 𝐵 =−37 𝑈𝑜 𝐼𝑜 38 𝜋 𝑟 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

11) Un largo conductor cilíndrico de radio R [m], tiene dos cavidades de diámetro R atreves de toda su longitud, como se ve en la figura. Una corriente de intensidad I [A]. dirigida hacia afuera de esta hoja esta uniformemente distribuida atreves de la sección transversal del conductor (parte ”achurada”). Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P, en términos de 𝑈𝑜, 𝐼𝑜 , 𝑟 𝑦 𝑅.

14 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐼𝑜 =𝜋 [( 5 3𝑅) 2_{− (2𝑅)}2_] 𝜋 (9𝑅2_{− 4𝑅}2) 𝐼´ 𝐼𝑜 = 25 4 𝑅 2_{− 4𝑅}2 9𝑅2_{− 4𝑅}2 𝐼´ 𝐼𝑜 = 9 4 5 𝐼´ = 9 20𝐼´ Como B = 0 𝑈𝑜 [ 𝐼 − 9 20𝐼´] 𝐼´ =20 9 𝐼

Luego el campo magnético es ∮ 𝐵 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 [ 𝐼 −20 9 𝐼] 𝐵 ∮ 𝑑𝑠 = 𝑈𝑜 𝐼 [9 −20 9] 𝐵 (2𝜋𝑟) = −𝑈𝑜 𝐼11 9 => 𝐵 = − 11 18 𝐼𝑈𝑜 𝜋𝑟 → 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖ℎ𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 −2𝑟 4𝑅 = 9𝑅 3₋2𝜋3 7𝑅3 −7𝑅2𝑟 = 18𝑅3− 43

12. la figura muestra dos largos cilindros paralelos de iguales radios R [m], por cuyas secciones circulan corrientes axiales de iguales intensidades I [A]. en la misma dirección. Calcule la magnitud del campo magnético B que producen en un punto que esta a una distancia x del eje de uno de los cilindros, en los casos x ≤ R, R≤ x ≤ (0-R)≤x ≤D.

15

Calculando el campo (B), en todo el espacio.

Para r<R

∮ ⃓𝐵

1

⃓ 𝑑𝑠 = µ˳𝐼 donde 𝐼˳=

𝑟2 𝑅2

𝐼

𝐵

₁

∫ 𝑑𝑠 =

µ˳𝑟

2

_𝐼

𝑅

2

⃓𝐵

₁

⃓ =

µ˳𝑟2𝐼 2Ԥ𝑟𝑅2

=

µ˳𝑟𝐼 2Ԥ𝑅2

Para r>R

∮ 𝐵 𝑑𝑠=µ˳𝐼

B∮ 𝑑𝑠=µ˳𝐼

B=

µ˳𝐼 2Ԥ𝑟

Luego para el punto b donde 𝑟

₁

= 2𝑅𝑟

₂

= 2𝑅 𝑦 𝐵, 𝐵

₁

en dirección –j

⃓B⃓ =

_4Ԥ𝑅µ˳𝐼

+

_4Ԥ𝑅µ˳𝐼

+

µ˳𝐼

2Ԥ𝑅

Para el punto q donde 𝑟

1

= 6𝑅 Y 𝑟

2

=2R y 𝐵

1

𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 − 𝑗 𝑦 𝐵

2

en

dirección j.

⃓B⃓ =

_4Ԥ𝑅µ˳𝐼

-

µ˳𝐼 12Ԥ𝑅

⃓B⃓ =

µ˳𝐼_Ԥ𝑅

⦋

1 4

−

1 12

⦌

⃓B⃓ =

µ˳𝐼_Ԥ𝑅

⦋

3 12

−

1 12

⦌

⃓B⃓ =

µ˳𝐼_Ԥ𝑅

⦋

1 6

⦌

⃓B⃓ =

_6Ԥ𝑅µ˳𝐼

16

13. Suponga que el sistema que

muestra la figura se encuentra en el

plano vertical, donde g[m/𝑠

2

]es la

aceleración de gravedad constante.

El largo alambre rectilíneo esta fijo,

y por el circula una corriente de

intensidad I[A] en la dirección indicada. La espira rectangular, de los lados a

[m] y b[m], está ubicada paralelamente a una distancia d[m] del alambre,

tiene una masa m[kg] y está libre para moverse. Encuentre la intensidad 𝐼

₂

de

la corriente que debe hacerse circular por ella, justificando el sentido, para

que permanezca en reposo en la posición señalada.

Realizando sumatoria de fuerzas en y’ y x’

∑ 𝑓𝑦 = 0 ∑ 𝑓𝑥 = 0

f𝑏

₃

- f𝑏

₄

-m*g=0 f𝑏

₂

- f𝑏

₁

=0

usando los vectores B y dl

│𝐵𝑥𝑑𝑙│=│𝐵𝑥 𝑑𝑙│ luego:

I

2

│ ∫ 𝑑𝑙

1

𝑥𝐵

1

│ − 𝐼

2

│ ∫ 𝑑𝑙

2

𝑥𝐵

2

│ = 𝑚 ∗ 𝑔

I

2

[𝐵 ∫ 𝑑𝑙

1

│ − 𝐼

2

│𝐵 ∫ 𝑑𝑙

2

│=m*g

I

2

[𝐵

1

(𝑏) − 𝐵

2

(b)⦌=m*g

I

2

⦋

µ˳𝐼(𝑏) 2Ԥ𝑑

−

µ˳𝐼 2Ԥ(𝑑+𝑎)

⦌=m*g

I2µ˳𝐼(𝑏) 2Ԥ𝑑

⦋

1 𝑑

−

1 𝑑+𝑎

⦌=m*g

I

2

⦋

𝑑 𝑑(𝑑+𝑎)

⦌=

2𝑚𝑔Ԥ µ˳𝐼𝑏

17

I

2

=

2𝑚𝑔Ԥ

µ˳𝐼𝑏

Como f 𝑏

3

> f 𝑏

4

, f 𝑏

0

debe ir al contrario de f 𝑏

4

y

µ˳, 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜.

14. Calcule la fuerza que ejerce el alambre rectilíneo infinito sobre el

conductor rectilíneo paralelo a el, si por ambos circulan corriente de igual

densidad I[A] en las direcciones indicadas.

Nota: la fuerza en los lados son

iguales y en sentido contrario

por lo tanto se anulan la fuerza

total está dada por:

𝑓

_𝑟𝑐

= 𝑓

₁

− 𝑓

₂

𝑓

_𝑟𝑐

= I│ ∫ 𝑑𝑙

1

𝑥𝐵

1

│ − 𝐼

2

│ ∫ 𝑑𝑙

2

𝑥𝐵

2

│𝑑𝑙

1

𝑦 𝑑𝑙

2

𝑓

_𝑟𝑐

= I[𝐵 ∫ 𝑑𝑙

1

│ − 𝐼

2

│𝐵 ∫ 𝑑𝑙

2

│

𝑓

_𝑟𝑐

= I

2

⦋

µ˳𝐼(𝑎) 2Ԥ𝑐

−

µ˳𝐼𝑎 2Ԥ(𝑐+𝑏)

⦌

𝑓

_𝑟𝑐

=

𝐼2µ˳𝐼𝑎𝑏 2Ԥ𝐶

⦋

1 𝑐

−

1 𝑐+𝑏

⦌

𝑓

_𝑟𝑐

=

𝐼

2

_{µ˳𝐼𝑎𝑏}

2Ԥ𝑐(𝑐 + 𝑏)

18

15. Por el conductor que muestra la

figura circula una corriente de

intensidad I[A].calcule la magnitud y

dirección de la fuerza que ejerce sobre

el electrón, cuando este pasa por el

centro o con rapidez v[m/s],en la dirección señalada.

f= q│(𝑣 ∗ 𝐵)│ luego

f= q│𝑣││𝐵│ f=µ˳𝐼│𝑞││𝐵│

│B│=

µ˳𝐼_4𝜋

∫

│𝑑𝑠𝑥𝑉𝑟│_𝑟2

ds⊥ µ𝑟1

│B│=

µ˳𝐼

4𝜋𝑅2

∫ 𝑑𝑠 │ds│=Rdө después como v(f) y B(x) luego

│B│=

_4𝜋𝑅µ˳𝐼₂

∫ Rdө

₀𝜋

f’(←) por el signo negativo del

│B│=

µ˳𝐼

4𝜋𝑅

│𝜋│ elerctron.

│B│=

µ˳𝐼_4𝑅

entrando al papel.

19

16. considere una corriente de intensidad I[A].a lo

largo del circuito que muestra la figura compuesta

por 2 porciones semicirculares, de radios 𝑅

1

[m] y

𝑅

₂

[m] y dos rectilíneas. Encuentre la magnitud y

dirección de la fuerza que ejerce una carga

puntual q<0 [c]cuando esta pasa paso por el centro O con una velocidad

v[m/s]perpendicular a los segmentos rectilíneos.

Calculando el campo magnético

│B│=

µ˳𝐼_4∏

∫

│𝑑𝑠𝑥µ𝑟│_𝑅2

d𝑠

₁ |𝐵| =µ𝑜𝐼 4𝜋 [∫ |𝑑𝑠| 𝑅12+ ∫ |𝑑𝑠𝑥𝑢2| 𝑅22 ]|𝑑𝑙|=R

dө

|𝐵| =

µ

𝑜𝐼 4𝜋 [∫ R

dө

𝑅₁2 𝜋 0 − ∫ 𝑟2

dө

𝑅₂2 𝜋 0 ⦌ |𝐵| =µ𝑜𝐼𝜋 4𝜋 ⦋ 1 𝑅2− 1 𝑅22⦌ entrando al papel. Luego:

f= q│(𝑣 ∗ 𝐵)│v⊥ 𝐵

f= q│𝑣││𝐵│

𝑓=

µ˳𝐼q│𝑣││𝐵│₄ ⦋1 𝑅1− 1 𝑅2⦌

a la izquierda porque q< 0.

17. Encuentre la magnitud y la dirección de la inducción magnética en el centro O, debido a la reducción de la corriente de intensidad I [A] que circula por el conductor ABCDA de la figura. BC y DA son arcos de circunferencia de radio

OB=OC=R[m], y DA=OD=2R[m], mientras

20

Para solucionar este ejercicio se deben hallar las contribuciones de los dos arcos de circunferencia de 3

4 𝑦 1

4 en el centro o, para esto se emplea la formula

│B│=µ˳𝐼 4𝜋∫ │𝑑𝑠1 𝑥𝑑𝑙│ 𝑟2 │B│=µ˳𝐼 4𝜋[∫ │𝑑𝑠 │ 𝑅2 + ∫ │𝑑𝑠 │ 4𝑅2 ] donde ds= fdө │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑅[∫ 𝑅2dө 𝑅2 + ∫ 2𝑅2dө 4𝑅2 2𝜋 𝜋 2 𝜋 2 0 ] │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑅[∫ dө + 1 2∫ dө 2𝜋 𝜋 2 𝜋 2 0 ] │B│=µ˳𝐼 4𝜋𝑅[ 𝜋 2+ 𝜋 2[2 − 𝑟 2]] │B│=µ˳𝐼𝜋 8𝜋𝑅[1 + 2 + 1 2] │B│=5µ˳𝐼 16𝑅

18. Encuentre la intensidad y el sentido de la corriente que debe circular por la espira de R[m] y masa M[kg] que muestra la figura, para que se mantenga en reposo en el plano vertical, en la posición que indica. La inducción magnética es uniforme, tiene magnitud B[T] y dirección entrando al plano vertical en que esta la espira, en el semiplano, siendo nula en el inferior.

Por definición Fb= m.g ^ dl⊥ 𝐁 Asi mismo F=I│ ∫ 𝑑𝑎𝑥𝐵 │

Entonces I│ ∫ 𝑑𝑎𝑥𝐵 │ = 𝑚. 𝑔

Usando un diferencial de línea en coordenadas polares. 𝐁 = 𝟎

Análisis: las fuerzas en x se anulan porque cada uno tiene una contraparte con misma magnitud y sentido contrario.

21

IB=∫ 𝑑𝑙 = 𝑚. 𝑔 →IB[∫ dy − ∫ dy₀𝑅 _𝑅0 ] = 𝑚. 𝑔 IB[𝑅 + 𝑅] = 𝑚. 𝑔 → I=𝑚.𝑔

2𝐵𝑅

19. Por un alambre rectilíneo muy largo, doblado en la forma que muestra la figura, circula una corriente de intensidad I [A] en dirección indicada. Parte de el se encuentra en el interior de la región cilíndrica de radio R[m], donde existe un campo magnético axial y uniforme de inducción B[T]. en el exterior de ella el campo es nulo. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce sobre el alambre.

Sacando las componentes en x: Fx=I[│ ∫ 𝑑𝑙₁𝑥𝐵 │ − │ ∫ 𝑑𝑙₂𝑥𝐵 │]

Fx=I[𝐵 ∫ 𝑑𝑙₁− 𝐵 ∫ 𝑑𝑙₂]

Fx=I[𝐵𝑅 − 𝐵𝑅𝑐𝑜𝑠𝛼]

Fx=IBR[1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼]

Sacando las componentes en y Fy=I[│ ∫ 𝑑𝑙₂𝑥𝐵 │]

Fy= I∫ │𝑑𝑙₂𝑥𝐵 │

Fy= I𝐵 ∫ 𝐵 ∫₀𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼dy

Fy= IB 𝑅𝑠𝑒𝑛𝛼

Luego el modulo de la fuerza. √𝐼2_𝐵2_𝑅2_{[(1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼)}2_{+ 𝑠𝑒𝑛}2_𝛼]

Ft=𝐼𝐵𝑅 √[1 − 2𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛2𝛼]

22 𝑠𝑒𝑛2𝛼 2 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 2 Ft=𝐼𝐵𝑅 √4𝑠𝑒𝑛2 𝛼 2 Ft=2𝐼𝐵𝑅 𝑠𝑒𝑛𝛼 2 La dirección es : Ө=arctan( 𝑠𝑒𝑛𝛼 1−𝑐𝑜𝑠𝛼)

Si vamos a la definición de estas funciones trigonométricas encontramos que

Luego en la grafica Tanß= 𝑠𝑒𝑛𝛼 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 Donde ß=π-α Luego tan(π-α)= 𝑠𝑒𝑛𝛼 1−𝑐𝑜𝑠𝛼 Ahora Ө=arctan(tan(π-α))

Ө=(π-α) es la dirección de la fuerza ejercida sobre el alambre.

20. Una corriente rectilínea infinita de intensidad I [A] circula en dirección positiva del eje x. otra corriente de igual intensidad lo hace por un circuito formado por dos corrientes semicirculares de radio R [m]. y dos rectilíneas paralela de longitud 2R. Calcule la magnitud

23

y dirección de la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda. Ft=I[│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵 │ Ft=I[∫ │𝑑𝑙₁𝑥𝐵₁│ + ∫ │𝑑𝑙₂𝑥𝐵₂│ + ∫ │𝑑𝑙₃𝑥𝐵₃│ + ∫ │𝑑𝑙₄𝑥𝐵₄│] Puesto de 𝑑𝑙₁⊥𝐵₁ y 𝑑𝑙₃ ⊥ 𝐵₃ Ft=I [∫ │𝑑𝑙₂𝑥𝐵₂│ + ∫ │𝑑𝑙₄𝑥𝐵₄│] Ft=I [∫ │𝑑𝑙𝑥𝐵₂│ + ∫ │𝑑𝑙𝑥𝐵₄│] Ft= I[µ˳𝐼𝑅 2𝜋𝑅𝑗𝑑𝑙 + 2µ˳𝐼 2𝜋𝑅∫ 𝑑𝑙] Ft= I[µ˳𝐼 2_𝑅 𝜋𝑅 = 2µ˳𝐼2 𝜋 ( 𝑁 𝑚∗𝑗)

21. una corriente rectilínea infinita de intensidad I [A] circula en dirección positiva del eje x. otra corriente de igual intensidad lo hace por un circuito formado por dos corrientes semicirculares de radio R [m]. y dos rectilíneas paralela de longitud 2R en sentido que se indica. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda.

Ft=I[│ ∫ 𝑑𝑙1 𝑥𝐵 │ Ft=I[∫ │𝑑𝑙₁𝑥𝐵₁│ + ∫ │𝑑𝑙₂𝑥𝐵₂│ + ∫ │𝑑𝑙₃𝑥𝐵₃│ + ∫ │𝑑𝑙₄𝑥𝐵₄│] Puesto de 𝑑𝑙2⊥𝐵2 y 𝑑𝑙4 ⊥ 𝐵4 Ft= I [∫ │𝑑𝑙₂𝑥𝐵₂│ + ∫ │𝑑𝑙₄𝑥𝐵₄│] Ft= I [𝐵₂∫ 𝑑𝑙 + 𝐵₄∫ 𝑑𝑙] Ft=2I [µ˳𝐼2𝑅 2𝜋𝑅] Ft= 2µ˳𝐼 2_𝑅 𝜋 con dirección j

24

22. En el plano del circuito rectangular PQRS que muestra la figura, por el cual circula una corriente de intensidad I [A], se ubica una corriente rectilínea infinita de igual intensidad. (a) Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que ésta ejerce sobre los lados QR y SP del rectángulo. (b) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) debe ejercer un agente externo para mover el rectángulo con velocidad constante? Explique. (c) ¿Para qué valor de x la fuerza sobre el lado PQ tiene una magnitud que triplica a la que se ejerce sobre el lado RS?

a) La fuerza magnética está definida por la formula 𝐹 = 𝐼 ∫ 𝐵 → 𝑑𝑙 → ∴ 𝑑𝑙 → ⊥ 𝐵 → 𝐹 = 𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑙 = 𝜇𝐼 2𝜋∫ 𝑑𝑙 𝑙 𝑋+𝑎 𝑥 𝐹 = 𝜇𝐼 2𝜋ln 𝑙 { 𝑥 + 𝑎 𝑥 𝐹 = 𝜇𝐼 2𝜋[ln(𝑥 + 𝑎) − ln(𝑥)] b) 𝐹 = 𝜇𝐼 2𝜋(𝑙𝑛 𝑥+𝑎

𝑥 ) 𝑙a fuerza dbe ser equivalente

en magnitud a la suma de las fuerzas que se ejercen en el tramo PQ Y RS 𝐹𝑒𝑥 = 𝐹_𝑝𝑞 = 𝐹_𝑅𝑆 Fex =𝜇𝐼2𝑏 2𝜋𝑥 − 𝜇𝐼2𝑏 2𝜋(𝑥+𝑎) Fex =𝜇𝐼 2_𝑏 2𝜋 [ 1 𝑥− 1 𝑥 + 𝑎] Fex = 𝜇𝐼2𝑏𝑎 2𝜋(𝑥+𝑎)

Debe ser a la derecha para contrarrestar la fuerza F1 que es mayor a la F2 y asi equilibrarse

25 𝐹𝑝𝑞 = 3𝐹𝑅𝑆 𝜇𝐼2_𝑏 2𝜋𝑥 = 3𝜇𝐼2_𝑏 2𝜋(𝑥 + 𝑎) Simplificando 1 𝑥= 3 (𝑥 + 𝑎) Evaluando 𝑥 + 𝑎 = 3𝑥 2𝑥 = 𝑎 𝑥 =𝑎 2

23. Una corriente de intensidad I [A] circula por un conductor rectilíneo infinito. Otra de igual intensidad lo hace por una espira en forma de triángulo rectángulo isósceles de cateto L [m], como se observa en la figura, con el lado PQ paralelo al conductor rectilíneo. Ud. debe calcular la fuerza que ejerce el conductor rectilíneo sobre cada lado de la espira triangular.

1) Lado vertical 𝐹2 = 𝐹 = 𝐼 ∫ 𝐵 → 𝑑𝑙 → ∴ 𝑑𝑙 → ⊥ 𝐵 → 𝐹2 = 𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑙 = 𝜇𝐼 2𝜋∫ 𝜇𝐼 2𝜋𝑙 2𝑙 𝑙 𝑑𝑙 𝐹2 =𝜇𝐼 2 2𝜋 ln 𝑙 { 2𝑙 𝑙 𝐹2 = 𝜇𝐼 2𝜋[ln(𝑙) − 2ln(2𝑙)] 𝐹2 = ln(2)𝜇𝐼2 2𝜋 𝑖̂ 𝑥 =√2 2 𝑙 𝑦 =√2 2 𝑙

Módulo de diferencia de line es

F1

L

y l

26 𝑑𝑙 = √(𝑥′_(𝑙))2_{+ (𝑦}′_(𝑙))2 𝑑𝑙 = √√2 2 + √2 2 𝑑𝑙 𝑑𝑙 = 𝑑𝑙 𝐹3 = 𝐼 ∫ 𝐵 → 𝑑𝑙 → 𝐹3 = 𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑙 = 𝜇𝐼 2𝜋∫ 𝑑𝑙 √2 2 𝑙 2𝑙 𝑙 𝐹3 = 𝜇𝐼 2 √2𝜋ln 𝑙 { 4𝑙 √2 2𝑙 √2 𝐹3 = 𝜇𝐼 2 √2𝜋ln [ 4𝑙 √2 √2 2 𝑙 ] 𝐹3 = 𝜇𝐼 2 √2𝜋ln (2)

24. Una corriente de intensidad I [A] circula por el conductor de la figura, donde la parte curva es un arco de circunferencia con centro en O. Halle la magnitud y dirección del campo magnético que produce en O.

𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋∫ 𝜇𝑟 𝑥 𝑑𝑠 𝑟2 √2 2 𝑙 r √2 2 𝑙

27 𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋∫ 𝜇𝑟₂ 𝑥 𝑑𝑠₂ 4𝑟2 − 𝜇𝑟₁ 𝑥1 4𝑟2 𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋[∫ 2𝑙 4𝑙2𝑑𝜃 − ∫ sin 𝜃 𝑥7_{+ (}√2 2 𝑙) 2𝑑𝑥 √2 2𝑙 √2 2𝑙 𝜋 2 0 Si 𝑥 =√2 2 𝑙 cot 𝜃 ∧ 𝑟1 = √2 2 𝑙 csc 𝜃 𝑥 = −√2 2 𝑙 csc 𝜃 2_𝑑𝜃 𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋[ 1 2𝑙∫ 𝑑𝜃 + 2 ∫ sin 𝜃 ∗ (𝐵 =√2 2 𝑙 ∗ csc 𝜃 2_{) 𝑑𝜃} (√2 2 𝑙) 2 csc 𝜃2 𝜋 4 𝜋 2 𝜋 2 0 ] 𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 4− 4 √2(cos 𝜃) { 𝜋 4 𝜋 2 𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 4− 4 √2[ √2 2 ]] 𝐵 = 𝜇𝐼 4𝜋𝑙[ 𝜋 − 8 4 ] 𝐵 = 𝜇𝐼

16𝜋𝑙[𝜋 − 8] Saliendo del papel

25. Considere un cable coaxial muy largo de radio a[m], b[m] y c[m], el cual conduce una corriente de intensidad I [A] uniformemente distribuida como se ve en la figura (“entra” por el exterior y “sale” por el interior) obtenga la induccion magnetica B en todo el espacio.

ando r<a

∮ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼

∮ 𝐵𝑑𝑠 =𝜇𝐼𝑟

2

28 𝐼₀ 𝑙 = 𝜋𝑟2 𝜋𝑎2 𝐼0 = 𝑟2 𝑎2𝐼 𝐵 ∫ 𝑑𝑠 =𝜇𝐼𝑟 2 𝑎2 𝐵 = 𝜇𝐼𝑟 2 2𝜋𝑟𝑎2 = 𝜇𝐼𝑟 2𝜋𝑎2 Cuando 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏 𝐵 ∮ 𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 𝐵(2𝜋𝑟) = 𝜇𝐼 𝐵 = 𝜇𝐼 2𝜋𝑟 Luego 𝐵 ∫ 𝑑𝑠 =𝜇(𝐼 2_{− 𝑎}2₎ 𝑏2_{− 𝑎}2 𝐼 𝐵(2𝜋𝑟) =𝜇(𝐼 2_{− 𝑎}2₎ 𝑏2_{− 𝑎}2 𝐼

26. La figura muestra la seccion de dos largos cilindros coaxiales de radios R[m] y 2R[m]. A través de la seccion del primero circula axialmente una corriente de intensidad I[m] uniformemente distrbuida. A través de la región comprendida entre ambos circula una corriente de intensidad 2I, en sentido contrario, con una intensidad que es diferente proporcional a la distancia al eje. Encuentre todos los puntos donde el campo

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magnéticos: a) es nulo b) Tiene una magnitud igual a la mtad de su valor maximo. a) Cuando 𝑑𝑠 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝐼 = ∫ 𝐽 𝑑𝑠 𝐼 = ∫ ∫ 𝑘(𝑅 − 𝑟) 𝑅 0 2𝜋 0 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝐹₀₌∫ ∫ 𝑘(𝑅𝑟 − 𝑟2₎ 𝑅 0 2𝜋 0 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝐹0=𝑘∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 ∫ (𝑅𝑟 − 𝑟2)𝑑𝑟 𝑅 0 𝐼 = 𝑘 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 [𝑅𝑟 2 2 − 𝑟3 3] { 𝑅 0 𝐼 = 𝑘(2𝜋) [𝑅 3 2 − 𝑅3 3 ] − (0) 𝐼 = 𝑘(2𝜋) [3𝑅 3 6 − 2𝑅3 6 ] 𝐼 = 𝑘(2𝜋) [𝑅 3 0] = 𝑘𝜋𝑅3 3 𝑘 = 3𝐼 𝜋𝑅3 b) Para r <R ∫ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇 ∫ 𝐽 𝑑𝑠 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇 ∫ 2𝜋 0 ∫ 3𝐼 𝜋𝑅3(𝑅 − 𝑟)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑟 0 𝐵 = (2𝜋𝑟) = 3𝜇𝐼 𝜋𝑅3(2𝜋) ∫ (𝑅𝑟 − 𝑟 2_)𝑑𝑟 𝑟 0

30 𝐵 = 3𝜇𝐼 𝜋𝑟𝑅3[ 𝑅𝑟2 2 − 𝑟3 8] { 𝑟 0 𝐵 = 3𝜇𝐼 𝜋𝑟𝑅3[ 3𝑅𝑟2 _{− 2𝑟}3 6 ] 𝐵 =3𝜇𝐼(3𝑅 − 2𝑟)𝑟 2 6𝜋𝑟𝑅3 = 𝜇𝐼(3𝑅 − 2𝑟)𝑟 6𝜋𝑅3 c) Parar>R ∫ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 ∫ 𝐵𝑑𝑠 = 𝜇𝐼 𝐵 = 𝜇𝐼 2𝜋𝑟