Certamen 2 - Fisica General Electromágnetismo (2009-2).pdf

CERTAMEN

Nº02

FISICA GENERAL

ELECTROMAGNETISMO

(FIS 334)

Prof. Rodrigo

Vergara Rojas

SEGUNDO

SEMESTRE

2009

Viernes 30 de Octubre de 2009

Problema 01) En la red de la figura, todas las resistencias son iguales, con igual resistividad ρ, longitud L y área transversal A.

a) Exprese la resistencia equivalente vista desde los puntos a y b en función de las variables antes citadas.

b) Si se reemplaza esta red por una única resistencia de longitud 2L y área transversal 5A, determine su resistividad.

c) Si entre los puntos a y b se instala una fuente de

voltaje V, determine la potencia total disipada por la red completa.

Desarrollo:

(+1 punto base)

a) En el circuito, todas las resistencias tienen valor

L R

A

ρ

= ⋅ .

Las tres resistencias en estrella indicadas se pueden transformar a delta

En la figura, R₁= ⋅3 R (Conversión estrella a delta)

Reduciendo los dos pares de resistencias en paralelo R y R1.

R

R

_R

R

R

R

R

R1

R R

R1 _R

1

R R R R R R

R

R R R R R

2 1

2

1

3 3 3

3 4 4

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =

+ + ⋅ ⋅

Reduciendo las dos resistencias R2 en serie

R R

R₃ 2 R₂ 2 3 3

4 2

⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ =

Reduciendo el paralelo entre R1 y R3.

R R R

R R

R R

R R

R R _R

2 1 3

4

1 3

3 9 3

2 2

3 9

3 ₂

2

⋅ _⋅

⋅ ⋅ ⋅

= = _⋅ = _⋅ =

+ _{⋅ +}

Finalmente, reduciendo el serie entre R4 y R:

eq

L

R R R R R R

A

4 2 2 ρ

= + = + = ⋅ = ⋅ ⋅ (3.0 puntos)

b) Si se reemplaza la red por una resistencia de área 5—A, longitud 2—L y resistividad ρeq:

eq eq eq

L L

R

A A

2

2 5

5

ρ ρ ⋅ ρ ρ

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ _{= ⋅}

⋅ (1.5 puntos)

c) Si se inserta una fuente de voltaje V entre los puntos a y b, la potencia disipada por el circuito es igual a la potencia disipada por la resistencia equivalente. Así:

eq

V V V V A

P

L

R R L

A

2 2 2 2

2 _{2 ρ} 2 ρ

⋅

= = = =

⋅ _{⋅ ⋅} ⋅ ⋅ (1.5 puntos)

R

₂

R

R

₂

R

1

a

b

R

R

₁

_R

3

R

Problema 02) Para el circuito de la figura, V1 = 3—V, V2 = 2—V, R1 = 4—R, R2

= 2—R y R3 = R. El switch se cierra en t

= 0 y el condensador está inicialmente descargado.

a) Determine el valor de i1 para t

= 0+ (justo después del cierre

del switch), en función de V y R.

b) Determine el valor de i1, i2 e i3 para t → ∞ (mucho después del cierre del switch), en

función de V y R.

c) Determine el voltaje, la carga almacenada y la energía almacenada en el condensador C para t → ∞

Desarrollo:

(+1 punto base) Nota: En estricto rigor, el condensador está cargado,

debido a que forma circuito con V2, R2 y R3. Se revisará el ejercicio suponiendo que no hubiera carga.

a) En t = 0+, el condensador actúa como cortocircuito.

Luego, V2, R2 y R3 quedan “cortocircuitados”, y el circuito

equivalente se muestra en la figura. La corriente i1 está

dada por:

V V

i

R R

1 1

1

3 4

⋅

= =

⋅ (1.5 puntos)

b) En t → ∞, el condensador C actúa como circuito abierto. Luego, el circuito queda así:

Aplicando LCK en el nodo a:

i₁+ =i₃ i₂ [1] (0.5 puntos)

Aplicando LVK en la malla A:

V i R i R V R i R i

R i R i V

1 1 1 2 2 1 2

1 2

0 3 4 2 0

4 2 3

− ⋅ − ⋅ = ⇒ _{⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =}

⇒ _{⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅} [2] (0.5 puntos)

Aplicando LVK en la malla B:

1

V

2

V

1

R

2

R

3

R

C

1

i

V

₁

_R

1

i

₁

1

V

2

V

1

R

2

R

3

R 1

i

i

3

2

i

i R V i R R i V R i

R i R i V

2 2 2 3 3 2 3

2 3

0 2 2 0

2 2

⋅ − + ⋅ = ⇒ _{⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =}

⇒ _{⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅} [3] (0.5 puntos)

De [1], i₁= −i₂ i₃. Reemplazando en [2]

(

)

R i i R i V

R i R i V

2 3 2

2 3

4 2 3

6 4 3

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ = ⋅

⇒ _{⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅} [4]

Se plantea un sistema de ecuaciones entre [3] y [4]:

R i R i V

R i R i V

V

R i V i

R

2 3

2 3

2 2

8 4 8

( ) 6 4 3

11

14 11

14

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅

⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ₌

⋅

[5] (0.5 puntos)

Reemplazando [5] en [4]:

R i R i V R i R i V

V V V V V V V V V

i i

R R R R R R R R

2 3 3 2

3 2

6 4 3 4 6 3

3 3 3 11 3 33 3 33 21 12 3

2 4 2 14 4 28 4 28 28 7

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

⇒ _{= ⋅ − = ⋅ − = − = = =}

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

[6] (0.5 puntos)

Finalmente, reemplazando [5] y [6] en [1]:

V V V V V

i i i i i i

R R R R

1 3 2 1 2 3

11 3 11 6 5

14 7 14 14

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

+ = ⇒ = − = − = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ [7] (0.5 puntos)

c) Independiente de que actúe como circuito abierto, el condensador sigue estando presente en el circuito. Su voltaje es igual al voltaje de la resistencia R2.

C

V V

V i R R

R

2 2

11 11

2

14 7

⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

(0.5 puntos)

La carga almacenada es C

C V

Q C V 11

7

⋅ ⋅

= ⋅ = (0.5 puntos)

La energía almacenada es C

V C V

U C V C

2 ₂

2

1 1 11 121

2 2 7 98

⋅ ⋅ ⋅

 

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅  =

  (0.5 puntos)

1

V

2

V

1

R

2

R

3

R

1

i

i

3

2

i

Problema 03) En la figura se aprecia una placa cuadrada homogénea de peso W y lado L, uno de cuyos extremos está pivoteado a una muralla. En el otro extremo cuelga verticalmente un cuerpo de peso P, y a su vez pasa un conductor a través del cual fluye una corriente saliente de magnitud i0. El sistema está

inmerso en un campo magnético externo uniforme de magnitud B, y que es paralelo a la placa (ver figura).

a) Indique la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el conductor. Justifique brevemente.

b) Determine B en función de W, P, i y L para que la placa esté en equilibrio estático (Ayuda: Aplique equilibrio de torques con respecto al pivote)

Desarrollo:

(+1 punto base)

a) Aplicando la regla de la mano derecha se puede obtener la dirección del vector fuerza magnética sobre el conductor, el cual se aprecia en la figura.

Por definición: F_mag = ⋅ ⋅ ⋅i₀ L B sen

( )

α

, donde

i0 es la magnitud de la corriente, L es la longitud

del conductor (correspondiente a un lado de la placa), B es la magnitud del campo magnético y α es el ángulo entre la corriente y el campo magnético.

De la figura, α = 90º. Luego, Fmag = ⋅ ⋅i0 L B

(2.0 puntos)

b) El DCL del sistema se muestra en la figura (no se muestran las fuerzas sobre el pivote, que no ejercen torque). Como la placa es homogénea, su peso se aplica en la mitad de ella, a una distancia L/2 del pivote. Las otras dos fuerzas se aplican en el extremo de la placa, a una distancia L del pivote.

Aplicando equilibrio de torques con respecto al pivote:

P

0

i

θ

B

30º

θ

=

g

↓

θ

g

↓

Mag

F

θ

g↓

Mag

F

P

W

θ

( )

L

( )

W cos P cos L i₀ L B L

2

θ θ

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Simplificando y despejando B

( )

( )

W W

P i L B B P

i L

0

0

cos cos

2 2

θ θ

   

+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ _{= + ⋅}

    _⋅

Problema 04) Considere un anillo conductor de radio R a través del cual fluye una corriente i0 (ver figura a).

a) Calcule el vector campo magnético en el centro del anillo

En la figura b se aprecian dos anillos concéntricos, uno de radio R y corriente i0, y otro de radio 2R y

corriente i0/2. El anillo de radio R se

hace girar en torno al eje XX’, mientras que el otro permanece fijo (figura c). Sea α el ángulo entre ambos anillos, el cual puede tomar valores entre 0º (corrientes fluyendo en el mismo sentido, figura d) y 180º (corrientes fluyendo en sentidos opuestos, figura e)

b) Determine una expresión para la magnitud del campo

magnético total en el punto central C de la configuración de anillos en función de α. c) A partir de la expresión obtenida en b), verifique que:

• la magnitud total es igual a la suma de las magnitudes de los campos magnéticos de ambas espiras para α = 0º.

• la magnitud total es igual al valor absoluto de la diferencia de las magnitudes de los campos magnéticos de ambas espiras para α = 180º.

Desarrollo:

(+1 punto base)

a) La situación es descrita en la figura. Por regla de la mano derecha, todos los aportes de campo magnético de las diferenciales de corriente de la espira tienen dirección saliente ( ), por lo que el campo magnético total en el centro de la espira tiene dirección saliente.

Para calcular su magnitud, se puede aplicar la Ley de Biot-Savart:

( )

0 0

2

ds sen i

dB =

4 R

θ µ

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Como cada elemento de espira es perpendicular a la distancia al centro, θ = 90º. Luego:

0

i

0

i

0

i 2

α _α=0º

180º

α=

0

i

dB

ds

0 0 2

i ds

dB =

4 R

µ π

⋅ ⋅ ⋅

Integrando en toda la espira

0 0 0 0

2 2

espira espira

i ds i

B = ds

4 R 4 R

µ µ

π π

⋅ _{⋅ =} ⋅

⋅ ⋅ ⋅

∫

∫

Como

espira

ds= ⋅ ⋅2 π R

∫

(perímetro de la espira):

0 0 0 0

2

i i

B = 2 R

4 R 2 R

µ _π µ

π

⋅ _{⋅ ⋅ ⋅ =} ⋅

⋅ ⋅ ⋅ (1.0 puntos)

b) A partir del resultado obtenido en a), se pueden determinar las magnitudes de los campos magnéticos en las espiras, cuyas direcciones se muestran en la figura.

0 0 1

i B =

2 R

µ ⋅ ⋅

(0.5 puntos)

0

0 _{0 0}

2

i

i 2 B =

2 2 R 8 R

µ ⋅ _{µ ⋅} =

⋅ ⋅ ⋅

(0.5 puntos)

Cuando α = 0º, ambos campos magnéticos son paralelos, mientras que para α = 180º, son antiparalelos.

Expresando los campos en un sistema de coordenadas conveniente (ver figura)

ˆ

0 0 2

i

B = y

8 R

µ _{⋅ ⋅}

⋅

(0.5 puntos)

( )

ˆ

( )

ˆ

0 0 1

i

B = sen x + cos y

2 R

µ

⋅ _

_α

_⋅

_α

_{⋅ }

 

⋅

(0.5 puntos)

Sumando ambos campos se obtiene el campo magnético total:

α

C

2

B

α

1

B

( )

( )

( )

( )

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

0 0 0 0

1 2

0 0

i i

B = B + B = sen x + cos y y

2 R 8 R

i 1

sen x cos y

2 R 4

µ

_α

_α

µ

µ

_α

_α

⋅ _{ ⋅ ⋅ +} ⋅ _⋅

 

⋅ ⋅

⋅    

= _⋅  ⋅ +_ + _⋅ 

 

Finalmente, calculando la magnitud del campo magnético total:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )}

2 2

0 0

2 2

0 0

0 0

0 0 0 0

i 1

B = sen cos

2 R 4

i 1 1

sen cos 2 cos

2 R 4 16

i 1 1

1 2 cos

2 R 4 16

17 + 8 cos

i i

17 + 8 cos

2 R 16 8 R

µ _{α α}

µ _{α α α}

µ _α

α

µ µ _α

⋅ _{⋅ +} ₊ 

 

⋅  

⋅

= ⋅ + + ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅ +

⋅

⋅

⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅

(1.0 puntos)

c) Para α = 0º, la magnitud total debe ser igual a

( )

0 0 0 0 0 0

(

)

0 0

1 2

i 4+1

i i 5 i

B 0 B + B =

2 R 8 R 8 R 8 R

µ

µ ⋅ µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅µ ⋅

= + = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Verificando la función obtenida en b)

( )

0 0

( )

0 0

0 0 0 0

i i

B 0 = 17 + 8 cos 0º 17 + 8

8 R 8 R

i 5 i

25

8 R 8 R

µ µ

µ µ

⋅ _{⋅ ⋅ =} ⋅ _⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =

⋅ ⋅

(1.0 puntos)

Para α = 180º, la magnitud total debe ser igual a

(

)

0 0 0 0 0 0

( )

0 0 1 2

i 4-1

i i 3 i

B 180º B - B =

2 R 8 R 8 R 8 R

µ

µ ⋅ µ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅µ

= − = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Verificando la función obtenida en b)

(

)

0 0

(

)

0 0

0 0 0 0

i i

B 180º = 17 + 8 cos 180º 17 - 8

8 R 8 R

i 3 i

9

8 R 8 R

µ µ

µ µ

⋅ _{⋅ ⋅ =} ⋅ _⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =

⋅ ⋅