TEMA 2: ELECTROMAGNETISMO
1) Campo electrostático en el vacío
Introducción
Hemos estudiado el campo gravitatorio, como el campo de fuerzas por unidad de masa que crean en el espacio los cuerpos por el mero hecho de tener masa. A la fuerza que se ejercen las masas la denominamos fuerza gravitatoria.
Ahora vamos a estudiar el campo eléctrico, que es un campo de fuerzas por unidad de carga eléctrica que crean los cuerpos cargados eléctricamente en el espacio que los rodea. A las fuerzas que se ejercen las cargas la denominamos fuerzas eléctricas, y si las cargas están en reposo podemos hablar de fuerzas electrostáticas. Con igual motivo, hablaremos e campo eléctrico y campo electrostático.
La carga eléctrica es una propiedad de las partículas fundamentales. Pudiendo se positiva o negativa, cuya unidad en el SI es el culombio (C). Experimentalmente se comprueba que cargas del mismo signo se repelen, mientras que si son del mismo, se atraen.
Los electrones tienen una carga de −1,6 · 10−19 𝐶, y los protones tienen una carga igual
pero positiva. Si representamos por 𝑒 = 1,6 · 10−19 𝐶, la carga de un protón será 𝑒, y la de
un electrón – 𝑒.
En los átomos, los protones están fuertemente ligados al núcleo, mientras que los electrones están ligados al átomo muy débilmente. Por eso, cuando un cuerpo macroscópico se carga eléctricamente, es porque ha ganado o ha perdido electrones (nunca protones). Así, podemos decir que la carga eléctrica de un cuerpo macroscópico siempre será un múltiplo de 𝑒.
Ley de Coulomb
La fuerza con la que interaccionan dos cargas puntuales la encontró Coulomb (ley de Coulomb). Obtuvo que dos cargas puntuales, colocados en el vacío, interactúan con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las cargas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:
𝐹 = 𝐾0𝑄𝑞 𝑟2
donde 𝐾0 es la constante de proporcionalidad de la ley, y es aproximadamente:
𝐾0 = 9 · 109𝑁𝑚 2
𝐶2
𝐾0 está relacionada con la constante universal 𝜀0, llamada permitividad del vacío (o
constante dieléctrica del vacío), de la siguiente manera:
𝐾0 = 1 4𝜋𝜀0
De la tercera ley de Newton, deducimos que la misma fuerza se ejerce sobre cada carga que interacciona, salvo el sentido, puesto que son fuerzas opuestas.
Con la ley de Coulomb, podemos definir un culombio como la carga eléctrica que deben tener dos partículas, que separadas un metro en el vacío, interaccionen con una fuerza de
9 · 109 𝑁.
Puesto que la fuerza es una magnitud vectorial, debemos saber escribir la ley de Coulomb en forma vectorial. Para ello, vamos a fijarnos únicamente en la fuerza que se ejerce sobre q debido al campo eléctrico que crea Q. Necesitamos escribir el vector 𝑟⃗, que es el
vector que sale de Q y llega a q. Y el vector 𝑟̂, que es el vector unitario de 𝑟⃗. Con todo
esto, tenemos:
𝐹⃗ = 𝐾0 𝑄𝑞
𝑟2 𝑟̂
De la expresión vectorial de la fuerza, se ve que si las dos cargas son de signo opuesto, el vector apunta hacia −𝑟̂, es decir, se atraen. Y si son del mismo signo, tiene la dirección de 𝑟̂, se repelen.
Campo electrostático.
Hemos definido el campo eléctrico como la fuerza por unidad de carga, es decir:
𝐸⃗⃗ =𝐹⃗ 𝑞
Entonces:
𝐸⃗⃗ =𝐾0 𝑄𝑞
𝑟2 𝑟̂ 𝑞 = 𝐾0
𝑄
𝑟2𝑟̂ → 𝐸⃗⃗ = 𝐾0 𝑄 𝑟2𝑟̂
La unidad del campo vectorial electrostático es,
También podríamos haber dicho que el campo eléctrico que crea la carga Q en cualquier punto del espacio es precisamente la fuerza que se ejercería sobre una carga q de 1 C colocada en dicho punto.
Efectivamente:
𝐹⃗(𝑞 = 1 𝐶) = 𝐾0𝑄 · 1
𝑟2 𝑟̂ = 𝐾0 𝑄 𝑟2𝑟̂
A 𝐸⃗⃗ se le llama vector intensidad de campo eléctrico o campo eléctrico.
En el campo electrostático, las cargas positivas son fuentes, y las negativas sumideros.
Potencial y energía potencial
Al igual que el campo gravitatorio, el campo electrostático es un campo de fuerzas central, y en consecuencia es conservativo. Por consiguiente, hay una función potencial asociada, que se suele usar con el criterio astronómico, es decir, se fina el punto de referencia O en el infinito. Así, el potencial en un punto a una distancia r de una caga Q será la circulación del campo desde dicho punto hasta el infinito:
𝑉(𝑟) = 𝐶𝑟→∞ = ∫ 𝐸⃗⃗ ∞
𝑟
· 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐾0 𝑄 𝑟2 𝑟̂ ∞
𝑟
· 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐾0 𝑄 𝑟2 𝑑𝑟 ∞
𝑟
= 𝑘0𝑄 [−1 𝑟]𝑟
∞
= 𝐾0𝑄 𝑟
Obtenemos:
𝑉 = 𝐾0𝑄 𝑟
La unidad del potencial eléctrico es J/C, a lo que se ha llamado voltio, V:
𝑁𝑚2 𝐶2 𝐶 𝑚= 𝑁𝑚 𝐶 = 𝐽 𝐶≡ 𝑉
Si calculamos el trabajo que realiza el campo para llevar una carga q desde un punto hasta el infinito obtendremos la energía potencial eléctrica en dicho punto con el criterio astronómico:
𝑊𝑟→∞= ∫ 𝐹⃗ ∞
𝑟
· 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐾0𝑄𝑞 𝑟2 𝑟̂ ∞
𝑟
· 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐾0𝑄𝑞 𝑟2 𝑑𝑟 ∞
𝑟
= 𝑘0𝑄𝑞 [−1 𝑟]𝑟
∞
= 𝐾0𝑄𝑞 𝑟 = 𝐸𝑝
Encontramos:
𝐸𝑝 = 𝐾0𝑄𝑞 𝑟
𝑉 =𝐸𝑝 𝑞
Es decir, el potencial es la energía potencial por unidad de carga.
Con esta relación, podemos demostrar que V/m también es una unidad del campo eléctrico:
𝑉 = 𝐽 𝐶=
𝑁𝑚
𝐶 →
𝑁 𝐶 =
𝑉 𝑚
Un campo eléctrico uniforme de 1 V/m sería aquel que va decayendo 1 V por cada metro que se recorra en su dirección.
Tanto el campo vectorial electrostático como su potencial, cumplen el principio de superposición. Esto quiere decir que si queremos calcular el campo eléctrico o el potencial que crean varias partículas con carga en un determinado punto, habrá que calcular el de cada una de ellas por separado, y después sumarlos todos. Hay que tener en cuenta, que si lo que se suma son varios vectores del campo eléctrico, hay que sumarlo como vectores que son, mientras que si sumamos potenciales, se suman como escalares que son.
Debido al principio de superposición, las líneas del campo eléctrico se doblan cuando hay varias cargas presentes.
2) Campo electrostático en otros medios
Hasta ahora, estamos considerando el campo eléctrico en el vacío. Veremos qué le ocurre en el interior de un medio material.
Desde el punto de vista electrostático, todos los materiales se clasifican en dos: conductores o aislantes, estos últimos también son conocidos como dieléctricos.
Conductores
Un sistema a material es conductor cuando tiene en su interior partículas con carga y con libertad de movimiento. Por tanto, cuando estos materiales se les somete a un campo electrostático exterior, sus partículas cargadas se mueven aceleradas debido a la fuerza electrostática que aparece sobre ellos:
Los materiales conductores se clasifican en dos especies: los de primera especie, cuyas partículas portadoras son los electrones, que es el caso de los metales. Y las de segunda especie, donde los portadores son iones (positivos y/o negativos); este es el caso de disoluciones de sales (o sales fundidas) donde los cationes y aniones tienen libertad de movimiento. Nosotros vamos a centrarnos un poco en los conductores de 1ª especie. Si un metal está cargado y en equilibrio eléctrico, quiere decir esto que sus partículas cargadas no se están acelerando hacia ninguna dirección, por tanto, la fuerza electrostática es cero en su interior, o lo que es lo mismo, el campo electrostático es cero en su interior.
𝑆𝑖 𝐹⃗ = 0 ⟹ 𝐸⃗⃗ = 0
Al ser el campo uniforme, se cumple que el voltaje que cae 𝕍, al desplazarnos una
distancia 𝑑 a lo largo de las líneas del campo, cumple que: 𝕍 = 𝐸 · 𝑑 = 0
Por tanto, El potencial permanece constante en el interior del metal:
∆𝑉 = −𝕍 = 0 → 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒
Si el metal se ha cargado, las partículas portadoras de carga se repelen entre sí y se colocan lo más alejadas unas de otras. Esto hace que las cargas se dispongan en la superficie del metal. Si el metal tiene picos, la densidad de partículas con carga en los picos es mayor, puesto que las partículas se alejan más colocándose en estos picos.
Si de pronto, un metal se somete a un campo eléctrico externo, se romperá en equilibrio eléctrico. Las partículas cargadas se desplazan rápidamente, y como consecuencia de ello, crearán otro campo eléctrico en su interior. El equilibrio se alcanza rápidamente, y es cuando las cargas dejen de desplazarse, y esto ocurrirá cuando el campo eléctrico interno creado anule al externo; haciendo cero el campo total en el interior.
𝐸⃗⃗𝑒𝑥𝑡+ 𝐸⃗⃗𝑖𝑛𝑡 = 0
Así, se pueden observar efectos como que una radio en el interior de una jaula de Faraday deje de sonar, debido a que las ondas electromagnéticas no pueden entrar, ya que los electrones de la jaula se mueven de manera adecuada para anular el campo eléctrico en el interior. Otras veces vemos que no tenemos cobertura con el móvil en recintos que tienen una estructura metálica, como ascensores o algunos edificios.
Aislantes
Un sistema material es aislante o dieléctrico si sus partículas cargadas no tienen posibilidad de trasladarse, están fuertemente sujetas en su posición. Cuando a un dieléctrico se le somete a un campo eléctrico externo, sus partículas no se pueden mover para anular el campo exterior. Pero sí ocurre que sus moléculas se polarizan (si eran apolares) u orientan (si eran polares). Esto es debido al campo externo, que hace que la parte negativa de la molécula se oriente hacia un lado, y la positiva hacia el otro. Así, se crea un campo eléctrico interior, opuesto al exterior, pero que no es capaz de anular el campo exterior. Como consecuencia, en el interior del dieléctrico existe un campo total que es menor que el del exterior.
El campo total en el interior del aislante es:
𝐸⃗⃗𝑇= 𝐸⃗⃗𝑒𝑥𝑡+ 𝐸⃗⃗𝑖𝑛𝑡
y puesto que son vectores opuestos, y el del interior es de menor módulo que el exterior, el módulo del campo total que queda en el interior del dieléctrico es:
𝐸𝑇 = 𝐸𝑒𝑥𝑡− 𝐸𝑖𝑛𝑡
con la dirección y sentido del campo exterior.
El campo eléctrico que se crea en el interior del dieléctrico, depende de las propiedades del material. Ya que unos materiales se polarizan más, y otros menos. Para designar cuánto se puede polarizar un dieléctrico, se define una constante que es característica de cada material, esta constante se llama constante dieléctrica relativa del material (𝜀𝑟), y se
define de la siguiente manera:
𝐸⃗⃗𝑇 = 𝐸⃗⃗𝑒𝑥𝑡 𝜀𝑟
𝜀𝑟 tiene siempre un valor mayor que uno, puesto que el campo total siempre es menor
se polariza poco y el campo total es casi el externo. Esto ocurre con el aire, donde 𝜀𝑟 es
prácticamente uno. Lógicamente, para el vacío 𝜀𝑟 = 1.
Si el campo exterior es creado por una carga puntual en el vacío, sabemos que:
𝐸⃗⃗𝑒𝑥𝑡 = 𝐾0 𝑄 𝑟2𝑟̂ =
1 4𝜋𝜀0
𝑄 𝑟2𝑟̂
Entonces, el campo total en el interior de un dieléctrico que hubiera en el espacio, sería:
𝐸⃗⃗𝑇 =𝐸⃗⃗𝑒𝑥𝑡 𝜀𝑟 =
1 4𝜋𝜀0𝜀𝑟
𝑄 𝑟2𝑟̂
Si definimos una nueva constante:
𝜀 = 𝜀0𝜀𝑟
que llamaremos permitividad del material (o constante dieléctrica del material), entonces podremos escribir el campo total que se forma en el interior del dieléctrico:
𝐸⃗⃗𝑇 = 1 4𝜋𝜀
𝑄 𝑟2𝑟̂
Y si definimos 𝐾 como:
𝐾 = 1 4𝜋𝜀
podemos escribir la expresión del campo en el interior del dieléctrico así:
𝐸⃗⃗𝑇 = 𝐾 𝑄 𝑟2𝑟̂
Es una expresión totalmente análoga a la del vacío, donde sustituimos 𝐾0 por la del
material 𝐾.
A partir de esta expresión, podemos encontrar el resto de expresiones matemáticas, obteniéndose que todas son iguales a las encontradas para el vacío, pero haciendo la sustitución de la constante:
𝐹⃗ = 𝐾𝑄𝑞
𝑟2 𝑟̂ ; 𝐸⃗⃗ = 𝐾 𝑄
𝑟2𝑟̂ ; 𝑉 = 𝐾 𝑄
𝑟 ; 𝐸𝑝 = 𝐾 𝑄𝑞
𝑟
Ahora, 𝐾 no es una constante universal, puesto que depende del medio donde se mida el
3) Campo eléctrico creado por dos placas cargadas paralelas
Si colocamos dos placas planas conductoras separadas unas distancia 𝑑, y las cargamos
eléctricamente con una diferencia de potencial 𝕍 desde la placa de mayor potencial hasta
la de menor, entonces se crea un campo eléctrico uniforme en su interior, que como sabemos, va desde la placa de mayor potencial hasta la de menor.
Utilizando la expresión estudiada, que relaciona el módulo del campo con el voltaje que cae al movernos una distancia 𝑑 en la dirección y sentido del campo:
𝕍 = 𝐸 · 𝑑 → 𝐸 =𝕍 𝑑
encontramos la expresión del campo.
Si dejáramos una partícula positiva, de carga q en la placa positiva, se aceleraría hacia la placa negativa debido a la fuerza:
𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗
Puesto que esta fuerza es conservativa, la energía mecánica permanece constante. Así:
𝐸𝑚+ = 𝐸𝑚− → 𝐸𝑝++ 𝐸𝑐+ = 𝐸𝑝−+ 𝐸𝑐− → 𝐸𝑝++ 0 = 0 + 𝐸𝑐− → 𝐸𝑝+ = 𝐸𝑐−
donde hemos usado que la energía cinética en la placa de mayor potencial es cero y que hemos puesto el potencial cero en la placa de menor potencial. Por tanto, vemos que la energía potencial se transforma en energía cinética al llegar a la otra placa. Con ello, podemos calcular la velocidad con la llega la partícula:
𝑞𝕍 =1 2𝑚𝑣
2
Si se tratara de una partícula negativa, habría que soltarla en la placa de menor potencial para que acelerara hacia la de mayor potencial. Las expresiones que encontramos son análogas.
4) Comparación del campo gravitatorio y el electrostático
𝑔⃗ = −𝐺𝑀
𝑟2𝑟̂ ; 𝐸⃗⃗ = 𝐾 𝑄 𝑟2𝑟̂
Analogías
- Los dos son campos vectoriales, el gravitatorio es de fuerza por unidad de masa, y el electrostático es de fuerza por unidad de carga.
- Las fuerzas de los campos son fuerzas centrales y por tanto, son conservativos. - Los dos campos decrecen al alejarnos directamente proporcional a
2
1 r
- Las dos fuerzas son directamente proporcionales al producto de la propiedad que los crean; masas en el caso del gravitatorio (𝑀 · 𝑚), y cargas en el electrostático (𝑄 · 𝑞).
- Para los dos campos se cumple el principio de superposición.
Diferencias
- Sólo hay una clase de masa, mientras que hay dos clases de cargas. Por lo tanto, el campo gravitatorio no tiene fuentes, sólo tiene sumideros de las líneas del campo.
- Como consecuencia de lo anterior, la fuerza gravitatoria es siempre atractiva, mientras que la electrostática puede ser atractiva o repulsiva.
- 𝐺 es una constante extremadamente pequeña, por eso los efectos gravitatorios no se
notan a menos que las masas de los cuerpos sean muy grandes. Sin embargo, 𝐾 es una
constante muy grande, por eso los efectos electrostáticos sí se aprecian aunque los cuerpos tengan unas cargas muy pequeñas.
- 𝐺 es una constante universal, no depende ni del medio ni de qué estén hechos los
cuerpos, mientras que 𝐾 no lo es, depende del medio donde se encuentren los cuerpos
cargados. Para el caso del vacío, la constante se escribe como 𝐾0 y sí es una constante
universal.
- El campo gravitatorio no se apantalla, mientras que el electrostático sí. Es decir, los efectos de las cargas positivas neutralizan a las de las negativas. Por es, no se notan los efectos eléctricos en el caso de cuerpos macroscópicos. Por el contrario, para el estudio de interacciones a escalas atómicas, las interacciones gravitatorias son totalmente despreciables.
5) Campo magnético.
Fenómenos magnéticos
Los primeros fenómenos magnéticos fueron observados en los imanes naturales o magnetita. Estos efectos son que:
Atraen el hierro.
Los imanes se atraen o repelen entre sí dependiendo de las partes que se enfrenten.
Un hierro cerca de un imán adquiere las propiedades de éste.
Relación entre la electricidad y el magnetismo
Estos fenómenos han permanecido sin explicación hasta principios del siglo XIX que se observaron nuevos efectos.
En 1819 Hans Christian Oersted (Dinamarca), observó que un imán que puede girar libremente, se desvía cuando se le coloca cerca de un cable por el que circula una corriente eléctrica.
Este experimento demuestra que una corriente eléctrica influye de alguna manera al magnetismo de un imán. Esto debe ser porque la corriente eléctrica crear su propio magnetismo que interfiere con el del imán.
En 1831 Michael Faraday (Inglaterra), observó que un imán que se mueve en las proximidades de un conductor cerrado (una espira) produce una corriente eléctrica que recorre la espira. Este efecto fue también observado un año antes por Joseph Henry (Norteamérica), pero lo publicó después de que lo hiciera Faraday.
Este experimento demuestra que el magnetismo de un imán influye de alguna forma sobre el hilo conductor, creándole una corriente eléctrica.
Así, con estos experimentos deducimos que una corriente eléctrica produce magnetismo y que el magnetismo puede crear corrientes eléctricas.
Campo magnético
Los experimentos muestran que para que una carga eléctrica sea influenciada por el magnetismo tiene que estar en movimiento (en reposo no se ve afectada). Además, la reacción de la carga depende de la dirección hacia donde se mueve. Existiendo siempre una determinada dirección, en la que la partícula no se ve afectada por el magnetismo. Todo esto nos da a entender que el magnetismo se trata de un campo vectorial, al que llamaremos campo magnético, y representaremos por 𝐵⃗⃗.
Así, la fuerza magnética 𝐹⃗𝑚, que el campo magnético ejerce sobre una carga eléctrica
Además, basándonos en el experimento de Oersted deducimos los campos magnéticos los crean los imanes (como ya sabíamos) y las corrientes eléctricas. Pero, puesto que una corriente eléctrica está formada por partículas cargadas moviéndose de un sitio a otro, concluimos diciendo que una partícula cargada en movimiento crea a su alrededor un campo magnético. Por consiguiente, una carga eléctrica crea siempre a un campo eléctrico, y si además se mueve, también un campo magnético.
Puesto que las corrientes eléctricas son creadas por campos eléctricos, podemos decir que los campos eléctricos pueden crear campos magnéticos.
Y según el experimento de Faraday, los campos magnéticos pueden crear corrientes eléctricas, es decir, pueden crear campos eléctricos. Como vemos, ambos campos están relacionados.
6) Fuerza magnética sobre una partícula cargada.
Fuerza magnética
El primero que encontró una expresión matemática que se ajustara a las propiedades observadas, de la fuerza magnética que se ejerce sobre una partícula cargada inmersa en el seno de un campo magnético fue Hendrik Antoon Lorentz (nerlandés):
𝐹⃗𝑚 = 𝑞(𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗)
donde 𝑞 es la carga de la partícula, 𝑣⃗ es la velocidad a la que se mueve, y 𝐵⃗⃗ es el campo
magnético.
Analizando esta expresión, vemos que efectivamente, si 𝑣⃗ = 0 entonces la fuerza
magnética es cero. Y que si 𝑣⃗ es paralela a 𝐵⃗⃗, también la fuerza magnética es cero.
La fuerza magnética será máxima cuando la velocidad sea perpendicular al campo magnético.
La fuerza magnética 𝐹⃗𝑚, es siempre perpendicular a 𝑣⃗ y a 𝐵⃗⃗. Al ser perpendicular a la
Si analizamos la expresión de Lorentz, vemos que la unidad del campo magnético es:
𝑁𝑠 𝐶𝑚≡ 𝑇
donde a todo ello se le ha dado el nombre de tesla (𝑇).
Por último, no olvidemos que el módulo de la fuerza magnética es:
𝐹𝑚 = 𝑞𝑣𝐵 sin 𝜃
donde 𝜃 es el ángulo que forma la velocidad con el campo. La fuerza magnética será
máxima cuando en ángulo sea 0° o 180°.
Fuerza magnética y eléctrica
Si una carga eléctrica 𝑞 está dentro de un campo eléctrico 𝐸⃗⃗, además de un campo
magnético 𝐵⃗⃗, se ejercerá sobre ella tanto la fuerza eléctrica como la magnética:
𝐹⃗𝑒𝑚 = 𝐹⃗𝑒+ 𝐹⃗𝑚= 𝑞𝐸⃗⃗ + 𝑞(𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗) = 𝑞(𝐸⃗⃗ + 𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗)
Donde 𝐸⃗⃗ es el campo electrostático formado por una o varias cargas, y 𝐵⃗⃗ es el campo
magnético formado por una o varias cargas en movimiento o por imanes. A esta expresión completa, se le llama también fuerza de Lorentz.
Pero esta división de la fuerza electromagnética en una parte eléctrica y otra magnética es relativa, puesto que la velocidad de la partícula lo es. Por este motivo, otro observador que tenga un movimiento con respecto al primer observador, medirá una velocidad distinta para la partícula con respecto a él. Y por tanto, calculará una fuerza magnética distinta. Pero la reacción de la carga 𝑞 ante los campos, será única, no puede depender
de los observadores. De todo ello, deducimos que cada observador ve unos valores de los campos distintos, y por eso, la fuerza electromagnética tiene una separación en eléctrica y magnética diferente para cada observador.
Acción de la fuerza magnética
Ya hemos visto que la fuerza magnética lo que hace es curvar la trayectoria de la partícula cargada; veamos cómo lo hace. Para ellos, vamos a suponer que la partícula se mueve dentro de un campo magnético uniforme en dos casos:
- Si la partícula tiene una velocidad perpendicular al campo magnético, en este caso, la trayectoria de la partícula es una circunferencia, que girará en un sentido o en el contrario dependiendo del signo de la carga de la partícula.
El radio de la circunferencia lo podemos determinar utilizando que la fuerza magnética actúa de fuerza centrípeta.
Campo magnético uniforme hacia adentro del papel v
n
F
𝐹𝑚 = 𝐹𝐶 → 𝑞𝑣𝐵 = 𝑚𝑣 2
𝑅 → 𝑅 = 𝑚𝑣
𝑞𝐵
Veamos el tiempo que tarda una partícula en dar una vuelta; a este tiempo, se le llama periodo (T):
𝑣 =2𝜋𝑅
𝑇 → 𝑇 = 2𝜋𝑅
𝑣 =
2𝜋𝑚𝑣𝑞𝐵
𝑣 =
2𝜋𝑚 𝑞𝐵
La frecuencia (vueltas por unidad de tiempo) sería:
𝑓 = 1 𝑇=
𝑞𝐵 2𝜋𝑚
La sorpresa de este resultado es que el periodo no depende de lo grande o pequeña que sean las circunferencias que describen las partículas, no tampoco de la velocidad a la que se mueva. Para un valor del campo dado, el periodo depende únicamente de la masa y carga de la partícula.
Basándose en estos resultados, se han construido distintos dispositivos, como por ejemplo el ciclotrón, que permite acelerar partículas cargadas, o el espectrógrafo de masas que permite determinar la masa de partículas cuya carga se conoce.
Ciclotrón
Básicamente consiste en dos D huecas, donde existe un campo magnético perpendicular. Cada D está conectada a un borne de una fuente de voltaje alterna. En el centro se inyectan las partículas cargadas que son curvadas por la fuerza magnética. La frecuencia de la fuente alterna se ajusta al tipo de partículas que se van a acelerar, y para que cuando las partículas cambian de D, exista un campo eléctrico favorable y las acelere hasta que entran en la otra D. De esta forma, las partículas cada vez van más rápidas, abriendo su radio de giro hasta que puedan salir por el orificio de salida. Así se obtiene un chorro de partículas cargadas y a una velocidad muy grande. El ciclotrón es la base del acelerador de partículas que hoy día se utiliza.
Gracias a que la frecuencia a la que giran las partículas no depende de su velocidad ni de su radio de giro, se puede aplicar una frecuencia constante en la fuente del voltaje.
B
Chorro de partículas aceleradas
V alterno de alta frecuencia
S
Espectrógrafo de masas
Es un dispositivo que permite determinar el radio de curvatura de una partícula cargada en el seno de un campo magnético perpendicular. Una vez conocido el radio, podemos calcular la masa de las partículas si conocemos los demás datos. Este aparato se ha utilizado para encontrar los distintos tipos de isótopos de un determinado elemento. Se ioniza un gas de este elemento (todos los isótopos quedan cargados igual), y se le hace pasas por el espectrógrafo de masas, obteniéndose las distintas masas de las partículas que constituyen dicho gas.
- Si la velocidad no es perpendicular al campo magnético.
Este es el caso más general. Si descomponemos la velocidad de la partícula en una componente perpendicular al campo y otra tangente, deducimos que el campo magnético no afecta a la velocidad tangente al campo, manteniéndose por tanto constante. Mientras que debido a la componente perpendicular, la partícula describe una circunferencia. La superposición de los dos movimientos es un movimiento helicoidal, esto es como una escalera de caracol. Podemos imaginarlo como que la partícula describe circunferencias en un plano, mientras este plano se desplaza a velocidad constante; que será la velocidad tangencial al campo de la partícula.
7) Fuerza magnética sobre distintos elementos de corriente.
Fuerza magnética sobre un conductor por el que circula una corriente eléctrica
Hemos visto en el apartado anterior cómo es la fuerza magnética que actúa sobre una partícula cargada en movimiento. Si en vez de tener una partícula cargada en movimiento, tenemos un conductor por el que circula una corriente eléctrica, sabemos
70 72 73 74 76
Espectro de masas del germanio, mostrando los isótopos de número másico: 70, 72, 73, 74 y 76.
Placa
+
-Placa
B
que cada partícula que constituye la corriente eléctrica siente la fuerza magnética, y puesto que estas partículas están ligadas al conductor, podemos decir que aparece una fuerza magnética que afecta al conductor. En este apartado, vamos a ver cómo es esta fuerza que aparece sobre el material conductor.
Pero primero debemos recordar qué es una corriente eléctrica. Podemos entender que una corriente eléctrica es un chorro de partículas cargadas que se mueven de un sitio a otro. La intensidad de corriente eléctrica es la magnitud que nos dice la cantidad de carga eléctrica que pasa por unidad de tiempo por una determinada sección de un conductor. Por tanto, podemos definir la intensidad de corriente eléctrica media como:
𝐼𝑚 =𝑞 𝑡
donde q es la carga que atraviesa una sección de conductor en un intervalo 𝑡 de tiempo. Por consiguiente, si queremos hablar de la corriente instantánea, tendremos que hacer el intervalo de tiempo muy pequeño (𝑑𝑡), llamando 𝑑𝑞 a la carga eléctrica que atraviesa la
superficie en esa duración infinitesimal. Por tanto:
𝐼 =𝑑𝑞 𝑑𝑡
La unidad de la intensidad de corriente es:
𝐶 𝑠 ≡ 𝐴
llamado amperio. Por tanto, en una corriente de un amperio pasa un culombio de carga cada segundo.
Para que quede perfectamente determinada la intensidad de corriente que pasa por una determinada sección, aparte de especificar su valor, debemos decir en qué sentido se produce. Este sentido se define indicando hacia dónde aumenta la carga eléctrica, esto hace que si las partículas portadoras de carga son positivas, la intensidad de corriente tiene el mismo sentido en el que realmente se mueven estas partículas, pero, si las partículas cargadas son negativas, la intensidad de corriente tiene el sentido contrario al que realmente se mueven estas partículas. Este último caso es el de la corriente eléctrica que viaja por un cable metálico, ya que las partículas son electrones. Debemos “olvidemos” de las partículas, y trabajar con la nueva magnitud: la intensidad de corriente.
Démonos cuenta que una intensidad de un amperio hacia la derecha puede ser debido a que pasa un culombio de cargas positivas hacia la derecha cada segundo, o a que pasa un culombio de cargas negativas hacia la izquierda en un segundo; el efecto macroscópico en los dos casos es el mismo; que la carga eléctrica aumenta a la derecha y disminuye a la izquierda a ritmo de un culombio cada segundo.
Si hubiera portadores de los dos signos, unos se moverían en un sentido, y otros en el otro sentido. La intensidad total sería la suma de las dos intensidades de los dos tipos de
portadores. Esto puede ocurrir en disoluciones donde hay cationes y aniones como partículas portadoras de la corriente eléctrica, (conductores de segunda especie), y también en el caso de los semiconductores, donde los portadores son electrones (negativos) y huecos (positivos).
Para el caso particular de los conductores de primera especie (los metales), las partículas portadoras de carga son los electrones (carga negativa), y por tanto, siempre se va a cumplir que la intensidad de corriente tiene el sentido contrario al que se mueven los electrones.
Fuerza magnética sobre un elemento infinitesimal de un conductor
Imaginémonos que tenemos un trozo infinitesimal de cable por el que circula una corriente eléctrica y queremos determinar cómo es la fuerza magnética que sentirá cuando esté inmerso en un campo magnético.
Si dentro de ese pequeño elemento de cable de longitud 𝑑𝑙 hay una carga neta 𝑑𝑞 que se
mueve a una velocidad 𝑣⃗, la fuerza magnética elemental que actuará sobre dicho trozo de
cable será:
𝑑𝐹⃗𝑚 = 𝑑𝑞(𝑣⃗ × 𝐵⃗⃗)
donde:
𝑣⃗ =𝑑𝑙⃗ 𝑑𝑡
siendo 𝑑𝑡 el tiempo que tardan las cargas en recorrer la longitud 𝑑𝑙.
Por tanto:
𝑑𝐹⃗𝑚= 𝑑𝑞 ( 𝑑𝑙⃗
𝑑𝑡× 𝐵⃗⃗) = 𝑑𝑞
𝑑𝑡(𝑑𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗) = 𝐼(𝑑𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗)
donde 𝑑𝑙⃗ es un vector que tiene el mismo sentido que 𝐼.
Así, hemos encontrado la siguiente expresión, denominada 2ª ley de Laplace:
𝑑𝐹⃗𝑚 = 𝐼(𝑑𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗)
Que nos permite determinar la fuerza magnética que actúa sobre ese pequeño elemento de conductor.
Fuerza magnética sobre un hilo recto
Si queremos determinar ahora la fuerza magnética que sentirá un hilo recto de corriente de longitud 𝑙 por el que circula una corriente de intensidad 𝐼 cuando está inmerso en un
campo magnético uniforme 𝐵⃗⃗, tendremos que sumar todas las fuerzas magnéticas
elementales de cada uno de los trozos elementales que constituyen el hilo recto. Al tratarse de una suma continua, tenemos que integrar.
𝐹⃗𝑚 = ∫ 𝑑𝐹⃗𝑚 𝑙⃗
0
= ∫ 𝐼(𝑑𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗) 𝑙⃗
0
= 𝐼 (∫ 𝑑𝑙⃗ 𝑙⃗
0
) × 𝐵⃗⃗ = 𝐼(𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗) → 𝐹⃗𝑚= 𝐼(𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗)
Fuerza magnética sobre una espira
Puede demostrarse que si tenemos una espira (un hilo de conductor cerrado) dentro de un campo magnético uniforme por el que circula una corriente eléctrica, la fuerza magnética total que actúa sobre la espira es cero. Pero sin embargo, el momento que actúa sobre la espira no es cero; aparece un momento que hace que la espira gire. Este momento viene dado por la expresión:
𝑀⃗⃗⃗ = 𝐼(𝑆⃗ × 𝐵⃗⃗)
donde 𝐼 es la intensidad que recorre la espira, 𝐵⃗⃗ es el campo magnético, y 𝑆⃗ es el vector
superficie delimitado por la espira. Recordemos que el vector 𝑆⃗ tiene módulo igual al área
determinado por la espira, dirección perpendicular a la espira, y el sentido es el que se determina aplicando la regla del sacacorchos girando en el sentido en el que lo hace la intensidad de corriente.
Se define el momento magnético (o momento dipolar magnético) como:
𝑚⃗⃗⃗ = 𝐼𝑆⃗
Comparando, podemos escribir el momento sobre la espira como:
𝑀⃗⃗⃗ = 𝑚⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗
Si en lugar de tener una espira, tenemos 𝑁 espiras constituyendo una bobina, entonces,
el momento total es 𝑁 veces mayor al de una espira. Para este caso, se define el
momento magnético como:
𝑚⃗⃗⃗ = 𝑁𝐼𝑆⃗
Y por tanto, la expresión:
𝑀⃗⃗⃗ = 𝑚⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗
Cuando 𝑚⃗⃗⃗ tenga la misma dirección y sentido que 𝐵⃗⃗, el momento se hace cero,
alcanzándose un equilibrio estable. Por tanto, la espira quedará en esta posición; 𝑚⃗⃗⃗ se
orienta hacia 𝐵⃗⃗.
A la cara de la espira por donde sale el vector 𝑚⃗⃗⃗ se le llama polo norte magnético, y a la
otra, polo sur magnético. Por eso, podemos decir que el polo norte de la espira se orienta en la dirección del campo magnético.
Imán
Un imán tiene definido también un momento magnético, que puede interpretarse que es debido a una corriente superficial que lo recorre debido a las corrientes internas de los dominios que tiene orientados.
Así, los imanes se comportan como varias espiras unidas formando una bobina y recorridas por una corriente eléctrica.
Por este motivo, los imanes se orientan en el interior de un campo magnético externo. En esto se basa el funcionamiento de una brújula, que se orienta con el campo magnético de la Tierra.
Vemos que los imanes tienen también un polo norte y un polo sur. No se puede concebir la idea de un imán con solo un polo; siempre tienen dos.
Galvanómetro
Un galvanómetro es un instrumento que nos permite medir intensidades de corrientes eléctricas que pasan por un cable. Su funcionamiento está basado en el momento que aparece sobre una espira por la que circula la corriente dentro de un campo magnético. Para ello, se hace pasar la corriente eléctrica que se quiere medir por una espira en la que se mide el momento que aparece viendo cuanto retuerce un muelle. Con ello, es posible calcular la intensidad de corriente que produce ese momento.
Es imprescindible cortar el cable para poder conectar el galvanómetro.
Corrientes internas Corrientes
superficiales,
consecuencia de la suma de las internas
m N
8) Expresión del campo magnético.
Campo magnético que crea una partícula en movimiento
Experimentalmente se determina que el campo magnético creado por una carga eléctrica
𝑞 que se mueve a una velocidad 𝑣⃗ es:
𝐵⃗⃗ = 𝐾′𝑞𝑣⃗ × 𝑟̂ 𝑟2
Donde 𝑟⃗ es el vector de posición de un sistema de referencia centrado en la partícula, y
que se mueve con ella, apuntando a un punto cualquiera del espacio, que es donde queremos determinar el valor del campo magnético.
𝐾′ es una constante que está relacionada con la permeabilidad magnética del vacío, 𝜇0,
de la siguiente manera:
𝐾′ = 𝜇0 4𝜋
donde:
𝐾′ = 10−7𝑇𝑚 𝐴
De la expresión, podemos deducir que las líneas del campo magnético son circunferencias:
I
N S
B
Cable cortado
El campo magnético es cero en la recta de la trayectoria de la partícula.
Campo magnético que crea un elemento infinitesimal de conductor
Si ahora nos imaginamos un elemento infinitesimal de longitud 𝑑𝑙⃗ de un conductor, por el
que circula una corriente 𝐼, el campo magnético que crea será:
𝑑𝐵⃗⃗ = 𝐾′𝑑𝑞𝑣⃗ × 𝑟̂ 𝑟2
donde 𝑑𝑞 es la carga que hay en ese elemento de conductor que se mueve a una
velocidad 𝑣⃗. Podemos encontrar una expresión más útil si utilizamos el cambio:
𝑑𝑞𝑣⃗ = 𝐼𝑑𝑙⃗
que ya hemos utilizado para la fuerza magnética que crea un elemento de conductor. Por tanto, nos queda:
𝑑𝐵⃗⃗ = 𝐾′𝐼𝑑𝑙⃗ × 𝑟̂ 𝑟2
que es la ley de Biot y Savart.
Con esta expresión podemos determinar el campo magnético que crea un hilo conductor con la forma que sea. Para ello tendremos que realizar la suma continua del campo creado por todos los elementos infinitesimales de circuito que constituyen el hilo conductor. Es decir:
𝐵⃗⃗ = ∫ 𝑑𝐵⃗⃗
Campo magnético creado por un hilo recto
Vamos a ver el campo magnético creado por un hilo conductor recto e infinito por el que circula una intensidad de corriente 𝐼, a una distancia 𝑎 del hilo.
Para realizar este cálculo deberíamos hacer la integral:
𝐵⃗⃗ = ∫ 𝐾′𝐼𝑑𝑙⃗ × 𝑟̂ 𝑟2
que es bastante complicada para este nivel. Al realizar este cálculo, se obtiene: I
a
𝐵 = 2𝐾′𝐼 𝑎
donde la dirección es tangente a una circunferencia centrada en el hilo, y el sentido es el de aplicarle la regla del sacacorchos a la intensidad eléctrica.
Vemos que el campo magnético es inversamente proporcional a la distancia del hilo.
Campo magnético creado por una espira circular en su centro
Suponemos que una espira circular de radio 𝑎 está recorrida por una intensidad 𝐼.
Con la ley de Biot y Savart razonamos que la dirección y el sentido que debe tener 𝑑𝐵⃗⃗ que
es el campo creado por un 𝑑𝑙⃗ de la espira, es el indicado en el dibujo, es decir,
perpendicular al plano que define la espira y con sentido hacia arriba. Por tanto, el campo total, que es la suma de todos estos campos elementales, debe tener la misma dirección y sentido. Entonces, sólo nos queda determinar el módulo del campo magnético:
𝐵 = 𝐾′𝐼 ∫|𝑑𝑙⃗ × 𝑟̂|
𝑟2 = 𝐾′𝐼 ∫ 𝑑𝑙 𝑟2 =
𝐾′𝐼
𝑎2 ∫ 𝑑𝑙 = 𝐾′𝐼
𝑎2 2𝜋𝑎 = 2𝜋𝐾′ 𝐼 𝑎 →
𝐵 = 2𝜋𝐾′𝐼 𝑎
Si en vez de tener una única espira, tenemos 𝑁 espiras apiladas, el campo magnético que
forma en su centro es:
𝐵 = 2𝜋𝑁𝐾′𝐼 𝑎
El campo magnético que crea una espira en cualquier punto del espacio es como se indica en el dibujo mediante la representación de sus líneas de fuerza. Como vemos, son cerradas. Las líneas del campo magnético salen del polo norte y entran por el polo sur.
Igualmente ocurre con los imanes, las líneas del campo salen del polo norte y entran por el polo sur, recorriendo el interior del imán, para cerrarse.
N
S I
𝑚⃗⃗⃗
N
𝐵⃗⃗
N
r
l d I
9) Teorema de Ampère.
Demostración del Teorema
Imaginemos que tenemos un cable por el que circula una corriente 𝐼. Vamos a calcular la
circulación del campo magnético a lo largo de una circunferencia de radio 𝑎 centrada en el
hilo.
Esta integral es fácil de hacer, puesto que el módulo del campo magnético es constante a lo largo de toda la circunferencia, y la dirección es tangente a la circunferencia:
𝐶 = ∮ 𝐵⃗⃗ · 𝑑𝑙⃗ = ∮ 𝐵 · 𝑑𝑙 = 2𝐾′𝑎 ∮𝐼 𝑑𝑙 = 2𝐾′ 𝐼
𝑎2𝜋𝑎 = 4𝜋𝐾′𝐼 = 𝜇0𝐼 →
𝐶 = 𝜇0𝐼
Este resultado es el Teorema de Ampère.
Es válido independientemente de cual sea la forma del recorrido cerrado por el que se integre. Por tanto, el Teorema de Ampère nos dice que la circulación del campo magnético a lo largo de un recorrido cerrado nos da la permeabilidad magnética del vacío multiplicando a la intensidad eléctrica que atraviesa la superficie que define el recorrido cerrado. Si la superficie definida por el recorrido cerrado de la espira, es cortada por varios hilos conductores, entonces, en vez de 𝐼, hay que colocar la suma de todas las
intensidades de todos los hilos. Cada uno con su signo, positivo si tiene el sentido del dibujo, y negativo si tiene el contrario. Por tanto:
∮ 𝐵⃗⃗ · 𝑑𝑙⃗ = 𝜇0∑ 𝐼
El Teorema de Ampère es la demostración de que el campo magnético no es conservativo, si lo fuera, entonces la circulación del campo a lo largo de cualquier recorrido cerrado tendría que ser cero siempre. Y vemos que sólo es cero cuando la superficie que delimita el recorrido cerrado de la espira no corta ninguna corriente eléctrica, o sí lo hace, pero se cancelan.
Utilización del Teorema de Ampère para determinar el campo magnético que crea un hilo recto largo
l d a
I
Vamos a utilizar el Teorema de Ampère para determinar el campo magnético que crea un hilo de corriente recto e infinito. Este resultado ya lo tenemos, pero no lo hemos calculado puesto que la integral era muy complicada. Sin embargo, aplicando el Teorema de Ampère, se obtiene muy fácilmente.
Imaginemos que tenemos un hilo conductor por el que pasa una intensidad I. Realizaremos el cálculo de la circulación del campo magnético, que desconocemos, a lo largo de una circunferencia de radio a concéntrica con el hilo. Sabemos que el campo magnético es tangente a dicha circunferencia, por tanto B y dlson paralelos. Escogemos el mismo sentido de integración que el del campo. Por tanto,
B·dl
BdlB2a0I
a I K a I
B 2 '
2
0
Que es el resultado que ya habíamos adelantado.
Utilizaremos el Teorema de Ampère para determinar el campo magnético que crea un solenoide (bobina) en su interior
Una sección transversal del solenoide nos muestra cómo son las líneas de fuerza del campo magnético que crea el solenoide. Vemos que están muy concentradas en su interior, y luego se dispersan en el exterior para cerrarse. Por tanto, el campo magnético en el interior del solenoide es muy grande, mientras que en el exterior es muy pequeño.
Si aplicamos el Teorema de Ampère al circuito cerrado del dibujo de abajo, podemos determinar la expresión del campo magnético en su interior. Si consideramos que el lado
d está muy lejos, tanto que el campo sea cero, su circulación será cero. Debido a la simetría del circuito, la circulación del tramo a se anulará con la del tramo c. Así que, el único tramo que contribuye a la circulación del recorrido cerrado es la del tramo b.
Llamamos 𝑛 al número de espiras del solenoide por unidad de longitud. Así, hay 𝑛𝑏
espiras atravesando el rectángulo, y en consecuencia, la intensidad total que atraviesa el rectángulo de integración es 𝑛𝑏𝐼, siendo 𝐼 la intensidad que recorre el solenoide. Por
tanto:
I
I
B
a
b
c
d
∮ 𝐵⃗⃗ · 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐵⃗⃗ · 𝑑𝑙⃗ 𝑏
= ∫ 𝐵 · 𝑑𝑙 𝑏
= 𝐵 ∫ 𝑑𝑙 𝑏
= 𝐵𝑏
Si ahora aplicamos el teorema de Ampère:
𝐵𝑏 = 𝜇0𝑛𝑏𝐼 → 𝐵 = 𝑛𝜇0𝐼
Si en el interior del solenoide se introduce una barra de hierro, cuya permeabilidad 𝜇 es
muy grande, conseguimos que el campo magnético creado por el solenoide en su interior sea bastante grande:
𝐵 = 𝑛𝜇𝐼
Por otra parte, se suelen fabricar solenoides toroidales (forma de rosco) para hacer que el campo magnético en el exterior sea cero incluso en las cercanías. Esto es así porque las líneas del campo pueden cerrarse sin salir del solenoide.
10) Fuerza entre dos hilos conductores.
Vamos a imaginarnos que tenemos dos hilos rectos de longitud 𝑙 que están colocados
paralelamente a una distancia 𝑎. Por uno de ellos circula una intensidad eléctrica 𝐼, y por
el otro 𝐼′.
El campo magnético que crea el hilo de corriente de intensidad 𝐼 a una distancia 𝑎 es:
𝐵 = 2𝐾′𝐼 𝑎
El hilo de la derecha está inmerso en este campo magnético, que aunque no es uniforme, es como si lo fuera puesto que el valor permanece constante a lo largo del todo el hilo. Por tanto, siente una fuerza magnética que viene dada por la expresión:
𝐹⃗𝑚 = 𝐼′(𝑙⃗ × 𝐵⃗⃗) I
El campo magnético se crea dentro del toro en el sentido de las agujas del reloj.
I I/ I
/
I
a a
B B
m
F Fm
La dirección y el sentido de la fuerza magnética que siente el hilo de corriente de intensidad 𝐼′, depende del sentido de las dos intensidades. En los dibujos vemos que, si
las intensidades tienen el mismo sentido, la fuerza es de atracción, mientras que, si tienen sentidos opuestos, la fuerza es de repulsión.
El módulo de la fuerza es:
𝐹𝑚 = 𝐼′𝑙𝐵 = 𝐼′𝑙2𝐾′𝐼
𝑎 = 2𝐾′𝑙 𝐼𝐼′
𝑎
La fuerza por unidad de longitud, es decir, la fuerza que sienten los cables por cada metro (trabajando en el SI) es:
𝐹𝑚
𝑙 = 2𝐾′ 𝐼𝐼′
𝑎
Vemos que la expresión es simétrica con respecto a los dos hilos. Es decir, si el razonamiento que hemos realizado, lo hubiéramos hecho considerando el campo que crea el hilo de intensidad 𝐼′, y hubiéramos visto la fuerza que se ejerce sobre el hilo de
intensidad 𝐼, hubiésemos encontrado la fuerza.
Resumiendo, diremos que aparecen fuerzas magnéticas sobre los dos hilos, que son de atracción si las intensidades tienen el mismo sentido, y de repulsión, si tienen sentidos opuestos.
Aprovechando este hecho experimental, se define la unidad amperio. Un amperio es la intensidad de corriente que debe circular por dos hilos conductores paralelos, separados un metro en el vacío, para que la fuerza que sientan por unidad de longitud sea 2 · 10−7𝑁.
11) Ley de inducción de Faraday. Ley de Lenz.
Flujo de un campo vectorial
Una superficie elemental (o infinitesimal) es una superficie plana muy pequeña, tanto, que al está inmersa en un campo, el valor del campo es constante en todo punto de dicha superficie. Se representa por el vector superficie 𝑑𝑆⃗, que tiene su origen en el centro de la
superficie y es perpendicular a ella (el sentido se elige arbitrariamente).
Se define el flujo elemental (o flujo diferencial), 𝑑𝜙, de un campo vectorial 𝐴⃗ a través de
una superficie elemental 𝑑𝑆⃗, como 𝑑𝜙 = 𝐴⃗ · 𝑑𝑆⃗, donde 𝐴⃗ es el valor del campo en
cualquier punto de la superficie infinitesimal.
Para una superficie que no sea elemental, se define el flujo como la suma de todos los flujos elementales para todas las superficies elementales que conforman la superficie total.
𝜙 = 𝑑𝜙1+ 𝑑𝜙2+ ⋯ = 𝐴⃗1· 𝑑𝑆⃗1+ 𝐴⃗2· 𝑑𝑆⃗2+ ⋯ = ∫ 𝐴⃗ · 𝑑𝑆⃗
La suma que hay que hacer es una suma continua, es decir, cada persona podría escoger distintas superficies elementales que cubrieran la superficie total. Esto se representa mediante el símbolo ∫, que representa una “s” especial, indicando la suma. A esta
operación se la denomina integral. Por tanto, el flujo total de una superficie cualquiera se calcula mediante la expresión:
𝜙 = ∫ 𝐴⃗ · 𝑑𝑆⃗
que no tienes que preocuparte, ahora mismo, por cómo se calcula, sino lo que significa. Para el caso particular de que el campo 𝐴⃗ sea uniforme, se puede sacar factor común de
la suma puesto que su valor no cambia a lo largo de toda la superficie:
𝜙 = ∫ 𝐴⃗ · 𝑑𝑆⃗ = 𝐴⃗ · ∫ 𝑑𝑆⃗
Si además, la superficie es plana, todos los vectores 𝑑𝑆⃗ son idénticos, y su suma la
solemos representar por 𝑆⃗, que es un vector perpendicular a la superficie plana cuyo
módulo es igual a su área:
Así, para este caso particular, podemos escribir:
𝜙 = 𝐴⃗ · 𝑆⃗
Recordemos cómo se define el producto escalar:
𝐴⃗ · 𝑆⃗ = 𝐴 · 𝑆 · cos < 𝐴⃗, 𝑆⃗ >
Entonces, podemos deducir fácilmente que si 𝐴⃗ es perpendicular a 𝑆⃗, entonces el flujo es
cero. Si el ángulo entre estos dos vectores se va haciendo más pequeño, el flujo se va haciendo más grande, hasta alcanzar su valor máximo en el caso de que 𝐴⃗ y 𝑆⃗ sean
paralelos.
m
A Aj
l A
i A
n A
k
El razonamiento anterior, nos ayuda a entender que el significado físico del flujo está relacionado con el número de líneas de campo que atraviesan la superficie. Efectivamente, el flujo es proporcional al número de líneas de campo que atraviesan la superficie. Esta interpretación es válida también para el caso general de que el campo no sea uniforme.
Si la superficie fuera una superficie cerrada, como por ejemplo una esfera, se deben tomar los vectores 𝑑𝑆⃗ hacia afuera del volumen que encierra. Con este criterio, si el flujo
total es positivo, significa que salen más líneas de campo que las que entran. Lo que viene a significar que en el interior del volumen encerrado por la superficie hay por lo menos una fuente. Si el flujo es negativo, entran más línea que salen, por tanto, en el interior debe haber al menos un sumidero. Si el flujo es cero, hay igual número de líneas que entran y que salen; puede ser que en el interior no haya ni fuentes ni sumideros, o que sí haya, pero se cancelan sus flujos.
La unidad del flujo es la del campo multiplicada por la unidad de superficie.
Experimento de la horquilla
Consideremos el siguiente experimento:
Una horquilla conductora inmersa en un campo magnético uniforme perpendicular a la superficie que define, donde una barra conductora de longitud 𝑙 se desplaza a una
En los electrones aparece una fuerza magnética hacia abajo. Conforme estos electrones se van desplazando hacia abajo, se va produciendo un aumento de carga negativa en la parte baja de la barra y un defecto de carga negativa en la parte de arriba (carga positiva). Esta separación de cargas cada vez más intensa origina un campo eléctrico dentro de la barra que apunta hacia abajo que va creciendo. Como consecuencia, aparece una fuerza eléctrica, hacia arriba, sobre los electrones que va creciendo. En el momento del equilibrio (que se alcanza casi instantáneamente), la fuerza eléctrica sobre los electrones (hacia arriba) se iguala a la magnética (hacia abajo); los electrones dejarán de desplazarse hacia abajo.
El valor del campo eléctrico formado es uniforme, y es como el que se forma debido a dos placas cargadas separadas una cierta distancia, y se puede determinar estudiando el equilibrio:
𝐹𝑒 = 𝐹𝑚 → 𝑞𝐸 = 𝑞𝑣𝐵 → 𝐸 = 𝑣𝐵
Como consecuencia de este campo eléctrico, aparece una diferencia de potencial entre los dos extremos de la barra:
𝕍 = 𝐸 · 𝑙
Llamamos 𝕍 al voltaje (positivo) que aparece entre el extremo superior e inferior de la
barra:
𝕍 = 𝑣𝑙𝐵
Esta barra en movimiento dentro del campo magnético tocando la horquilla, se comporta como un generador cuya fuerza electromotriz (fem), 𝜀 , es precisamente el voltaje que
aparece entre los extremos de la barra:
𝜀 = 𝑣𝑙𝐵
Ley de inducción de Faraday
La aparición de una fem inducida en el experimento de la horquilla lo hemos explicado utilizando la fuerza magnética que aparece sobre los electrones de la barra, pero Faraday se dio cuenta que también podía explicarlo de otra manera. La ventaja de esta otra explicación es que también podía explicar otras situaciones de inducción de fem que no se podía hacer mediante fuerzas magnéticas.
De lo que se dio cuenta Faraday, es que siempre que exista una variación del flujo magnético a través de la superficie que define una espira, aparece una fem inducida a lo largo de la espira, que hace que aparezca una corriente eléctrica. Dicha fem inducida es igual al ritmo al que cambia el flujo magnético, Matemáticamente:
𝜀 = −𝑑𝜙𝑚 𝑑𝑡
donde acordémonos que:
𝜙𝑚 = ∫ 𝐵⃗⃗ · 𝑑𝑆⃗
La unidad del flujo magnético en el SI es:
𝑇𝑚2 ≡ 𝑊𝑏
a la que se llama weber.
El signo menos de la ley de inducción de Faraday se le atribuye a Lenz (ley de Lenz), y nos informa del sentido de la fem, y por tanto, del sentido de la corriente eléctrica inducida. Según la ley de Lenz la fem inducida tiende a oponerse a la causa que origina la variación del flujo magnético.
En el dibujo vemos que hay un flujo magnético hacia la izquierda, y que va aumentando. Por tanto, se inducirá una corriente eléctrica que se opondrá a ese aumento de flujo hacia la izquierda. Para ello, la corriente eléctrica inducida debe tener el sentido mostrado en el dibujo. Así, la propia espira crea su campo magnético hacia la derecha oponiéndose al aumento de flujo exterior hacia la izquierda.
Lógicamente, esto no podría ser de otra forma, puesto que, si la fem estuviera a favor del cambio de flujo magnético, un cambio en el flujo produciría un nuevo cambio a favor, y éste otro, y así sucesivamente, apareciendo una fem que se mantendría sin necesidad de tener que realizar un trabajo para mantenerla. Incumpliría el principio de conservación de la energía.
I
Utilidad de la Ley de Inducción de Faraday
Vamos a ver cómo explicamos la fem inducida en el experimento de la horquilla utilizando la ley de inducción de Faraday.
El flujo magnético en un determinado instante es:
𝜙𝑚 = 𝐵𝑆 = 𝐵𝑙𝑑
donde la superficie es igual al acho, 𝑙, por el largo, 𝑑. Pero el lago va cambiando según la
ecuación de un movimiento uniforme:
𝑑 = 𝑑0+ 𝑣𝑡
siendo 𝑑0 la longitud inicial. Por tanto:
𝜙𝑚 = 𝐵𝑙(𝑑0 + 𝑣𝑡)
Derivamos y cambiamos el signo:
𝜀 = −𝑑𝜙𝑚
𝑑𝑡 = −𝐵𝑙𝑣
que es lo que ya obtuvimos. El signo menos nos dice que el sentido de la fem, o de la corriente eléctrica es el contrario al de la regla del sacacorchos con el campo magnético exterior.
Aunque también, podríamos haber calculado el valor absoluto de la fem, y razonar mediante la ley de Lenz el sentido de la corriente eléctrica.
La Ley de Inducción frente a las fuerzas magnéticas
Hemos conseguido explicar el experimento de la horquilla mediante fuerzas magnéticas, y luego, mediante la Ley de inducción de Faraday. Sin embargo, como ya hemos mencionado, hay experimentos que no se pueden explicar por fuerzas magnéticas, y sí con la Ley de inducción de Faraday.
Como ejemplo de este caso, el que se muestra en el dibujo. Si conectamos un generador de corriente alterna a una bobina toroidal, la intensidad de corriente que recorre la bobina es variante, y por lo tanto, también lo es el campo magnético que crea en su interior. Si colocamos una espira como en el dibujo, aparece una fuerza electromotriz inducida en la espira, a pesar de que no existe campo magnético a lo largo de la espira, ya que como sabemos, el campo magnético en el exterior de una bobina toroidal es cero. No pueden aparecer por tanto fuerzas magnéticas a lo largo de la espira. Es el flujo magnético variante que atraviesa la superficie de la espira, el que induce la corriente eléctrica en la espira (Ley de inducción de Faraday).
I
12) Autoinducción.
Concepto
Si tenemos un circuito eléctrico por el que circula una intensidad de corriente, este dispositivo se comporta como una espira con corriente eléctrica. Por tanto, ya sabemos que el circuito crea un campo magnético, y por consiguiente existirá un flujo magnético a través de la superficie que define el propio circuito. Si por el motivo que sea la intensidad de corriente es variable, entonces aparecerá un flujo magnético variable. Y según la ley de inducción de Faraday, se induce una fem en el circuito eléctrico, que creará una intensidad de corriente adicional a la existente, y que creará a su vez un campo magnético que se opondrá a la variación del flujo. A este fenómeno de un circuito que él mismo se induce una fem se le llama autoinducción.
Se puede ver que el flujo magnético que existe atravesando la superficie de un circuito es directamente proporcional a la intensidad de corriente que lo recorre:
𝜙𝑚 = 𝐿 · 𝐼
donde 𝐿 es la constante de proporcionalidad de esta relación, y depende de las
características geométricas del circuito, y del medio que lo rodea. Cuanto mayor sea 𝐿, mayor será el efecto de autoinducción.
La unidad del coeficiente de autoinducción es:
𝑊𝑏 𝐴 =
𝑇𝑚2 𝐴 = 𝐻
que se denomina henrio.
Si aplicamos la ley de inducción de Faraday, obtenemos:
𝜀 = −𝑑𝜙𝑚 𝑑𝑡 = −
𝑑(𝐿 · 𝐼)
𝑑𝑡 = −𝐿
𝑑𝐼 𝑑𝑡
Autoinducción de una bobina
Hemos visto que un circuito completo puede producir efectos de autoinducción, pero también puede haber elementos de un circuito que produzcan este efecto. Veamos un elemento, que se ha diseñado precisamente para hacer el efecto de autoinducción grande. Es la bobina o solenoide. Veamos cual es el coeficiente de auto inducción de una bobina.
Sabemos que el campo magnético que crea un solenoide en su interior es:
𝐵 = 𝑛𝜇0𝐼
Expresión válida para cuando en el interior hay vacío, pero si se introduce un núcleo de hierro, entonces, el campo magnético creado se puede hacer miles de veces más grande, puesto que la 𝜇 del hierro es miles de veces mayor que 𝜇0. En este caso, tendríamos:
El flujo magnético que atraviesa una de las espiras es:
𝜙1 = 𝐵𝑆 = 𝑛𝜇𝑆𝐼
donde 𝑆 es la superficie de la sección de la espira. Por tanto, el flujo magnético que
atraviesa las 𝑁 espiras del solenoide es:
𝜙𝑚 = 𝑁𝜙1 = 𝑁𝑛𝜇𝑆𝐼 = 𝑁𝑁
𝑙 𝜇𝑆𝐼 = 𝜇 𝑁2
𝑙 𝑆𝐼
donde hemos utilizado que 𝑛 = 𝑁/𝑙, siendo 𝑙 la longitud del solenoide.
Comparando con:
∅𝑚 = 𝐿 · 𝐼
deducimos que:
𝐿 = 𝜇𝑁 2
𝑙 𝑆 2
expresión de coeficiente de autoinducción de una bobina. Vemos, como decíamos anteriormente, que 𝐿 depende de la geometría del circuito y del medio.
13) Transformador ideal.
Inducción mutua
Un circuito eléctrico cuya intensidad sea variable, puede inducir una fem a otro circuito eléctrico cercano, aunque no haya contacto físico. A este fenómeno se le llama inducción mutua.
En la imagen, la intensidad de corriente variable en el circuito 1 produce un campo magnético variable, que hace que el flujo magnético en el circuito 2 sea variable. Por tanto, se produce una fem inducida en el circuito 2.
Se puede demostrar en estos casos que el flujo magnético en el circuito 2 es proporcional a la intensidad de corriente que pasa por el circuito 1:
donde 𝑀 es el coeficiente de inducción mutua, y depende de las características
geométricas de los dos circuitos y de los materiales del entorno.
Importancia del transformador
El transformador es un ejemplo de inducción mutua, es decir, un circuito con una intensidad eléctrica variable produce una fem en otro circuito distinto.
El transformador se utiliza para transformar una diferencia de potencial alterna a otra que puede ser mayor o menor según se quiera. No funciona para corriente continua. Esta es una ventaja de la corriente alterna frente a la continua.
En las centrales eléctricas se produce corriente alterna un potencial no muy elevado, pero gracias al transformador se transforma fácilmente de un alto potencial para el transporte. Es conveniente que para transportar la electricidad a grandes distancias el potencial sea muy alto, puesto que esto implica que la intensidad de corriente es muy pequeña, y por tanto, se producen menos pérdidas de energía por efecto Joule (choques inelásticos de los electrones con los átomos del cable). En los lugares de consumo eléctrico, se vuelve a transformar el potencial a otro más bajo que sea más seguro para su utilización. Todos estos cambios de potencial se realizan mediante la utilización del transformador.
Funcionamiento de un transformador
Veamos en qué consiste un transformador. Se trata de dos solenoides independientes que están enrollados a un mismo núcleo de hierro como se muestra en la figura. Sobre el arrollamiento de la izquierda del dibujo (primario), existe una corriente alterna cuyo potencial es el que se va a transformar. Debido al solenoide, se crea un campo magnético en su interior que es conducido por el núcleo de hierro debido a su gran permeabilidad magnética. En el segundo arrollamiento (secundario), aparece un flujo magnético. Puesto que el potencial en el primario es alterno, el campo magnético que se crea en el núcleo de hierro es variable, y entonces, el flujo magnético en el secundario es variable también, por lo que se produce una fem inducida en el secundario. En el primario también se induce una fem, al igual que ocurre con una bobina normal.
El campo magnético que crea el primario es,
I l N I n
B 1
El flujo magnético que existe a través de una espira, independientemente que sea del primario o el secundario es,
I S l N BS
espira
1
1
dt dI S l N dt d espira espira
1 1
1
En el primario se está aplicando un potencial igual a V1, y este potencial debe ser igual a la suma de todas las caídas de potencial en cada una de las espiras. Por tanto,
espira
N V1 11
En el secundario, el potencial total es también igual a la suma de todas las fems de cada una de las espiras. Por tanto,
espira
N V2 21
Despejando de cada expresión 1espira, obtenemos la igualdad,
1 2 1 2 N N V V
Vemos que la salida la podemos hacer mayor o menor que la entrada, según el número de espiras de cada arrollamiento.
Si N2 N1, entonces, V2 V1, actuando el transformador de elevador. Si N2 N1, entonces, V2 V1, actuando el transformador de reductor.
14) Ondas electromagnéticas.
Ecuaciones de Maxwell
Maxwell fue (1864) quién completó el estudio del electromagnetismo al enunciar sus cuatro ecuaciones, que recogía todos los conocimientos hasta la fecha más su propia aportación. Cada una de las cuatro ecuaciones las podemos interpretar así:
1ª.- Los campos eléctricos son producidos por las cargas, donde las positivas son fuentes, y las negativas sumideros,
∇⃗⃗⃗ · 𝐸⃗⃗ = 𝜌 𝜀0
2ª.- Las líneas de campo magnético no salen ni convergen en ningún punto, son cerradas sobre sí mismas. Esto quiere decir que no existen los monopolos magnéticos,
∇
⃗⃗⃗ · 𝐵⃗⃗ = 0
3ª.- Los campos magnéticos variables producen a su alrededor campos eléctricos cerrados sobre sí mismos,
∇
⃗⃗⃗ × 𝐸⃗⃗ = −𝜕𝐵⃗⃗ 𝜕𝑡
4ª.- Los campos magnéticos son producidos tanto por corrientes eléctricas como por campos eléctricos variables,
∇
⃗⃗⃗ × 𝐵⃗⃗ = 𝜇0𝐽⃗ − 𝜇0𝜀0 𝜕𝐸⃗⃗
Ondas
De las dos últimas ecuaciones se deduce que un campo eléctrico variable, produce un campo magnético variable, que origina a su vez un campo eléctrico variable, y así sucesivamente. Esto hace, que esta perturbación se transmita por el espacio, ya que no pueden anularse puesto que al intentarlo se genera el uno al otro. No necesita ningún medio material para propagarse, es decir, puede viajar por el vacío. Esto es lo que se llama onda electromagnética.
Se puede demostrar que la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la dirección del campo magnético, y que los dos son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, oscilando los dos campos en fase. Por eso, decimos que se trata de una onda transversal. De las ecuaciones se deduce que la velocidad de propagación en el vacío es:
𝑐 = 1 √𝜀0𝜇0
≈ 3 · 108𝑚 𝑠
siendo menor en los medios materiales.
Se cumple que al multiplicar 𝐸⃗⃗ × 𝐵⃗⃗, da un vector en la dirección de avance de la onda.
Para los módulos, se cumple que, 𝐸 = 𝑐𝐵.
Fue Hertz quién experimentalmente consiguió, con un circuito eléctrico oscilante, formar ondas electromagnéticas y comprobar la veracidad de las leyes de Maxwell. Además, pudo comprobar que la velocidad a la que se propagan las ondas electromagnéticas es igual a la de la luz. Dándose a entender que la luz se trata de una onda electromagnética, como ya sospechaba Maxwell.
Denominamos espectro electromagnético al conjunto de ondas electromagnéticas. Desde las menos energéticas (las de menor frecuencia), hasta las más energéticas (las de mayor frecuencia). Según la frecuencia de las ondas electromagnéticas tienen unas propiedades u otras. Así, el espectro electromagnético se ha dividido en bandas, que no están claramente delimitadas. Así tenemos:
frecuencia banda utilidades
>3·1019 Hz Rayos gamma Esterilización equipos quirúrgicos, radioterapia
>3·1016 Hz Rayos X Radiografías, cristalografía
>8·1014 Hz Ultravioleta Esterilización de alimentos, nos ponen morenos
>4·1014 Hz Luz Visible Aparatos ópticas
>3·108 Hz Infrarrojo Gafas térmicas, mandos a distancia
>106 Hz Microondas Hornos microondas, radar
<106 Hz Ondas de Radio Señales de radio y televisión E
B
