Certamen 2 - Fisica General Electromágnetismo (2008).pdf

(1)

PAUTA

CERTAMEN Nº02

FISICA GENERAL

ELECTROMAGNETISMO

(FIS 331)

Prof. Rodrigo

Vergara Rojas

PRIMER

SEMESTRE

2008

Miércoles 02 de Julio de 2008

Pregunta 01) (+ 1 punto base)

Módulo D) Se carga un capacitor de placas paralelas con relleno de aire conectándolo a una batería, y después se desconecta de ella. Enseguida se duplica la distancia entre las placas. Indique si aumenta, se mantiene o disminuye cada uno de los siguientes parámetros (0.4 puntos c/u)

• Capacitancia___________

• Voltaje entre las placas _____________

• Magnitud del campo eléctrico en el interior de la placas_____________

• Magnitud de la carga en cada placa __________

• Energía almacenada en el condensador_____________

Desarrollo:

• Un capacitor de placas paralelas tiene capacitancia _C=A 0

d

ε

⋅

. Al duplicar la distancia entre

placas, la nueva capacitancia es _{C' =}A 0 1 A 0 1 _C

2 d 2 d 2

ε ε

⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅

⋅ . Luego, la capacitancia

disminuye. (0.4 puntos)

• Al desconectar la fuente, las cargas en el capacitor no tienen hacia donde escaparse, por lo que la magnitud de la carga en cada placa se mantiene. (0.4 puntos)

• En todo condensador se cumple que Q = C V V =Q C

⋅ ⇒ . Al duplicar la distancia entre las placas, C disminuye a la mitad. Luego, V' =Q Q 2 Q 2 V

C

C' C

2

= = ⋅ = ⋅ , por lo que el voltaje

aumenta.(0.4 puntos)

• Incialmente, la magnitud del campo eléctrico entre las placas es E = V

d. Después del

cambio, esta magnitud es E' = V' = 2 V V E

d' 2 d d

⋅

= =

⋅ , por lo que esta magnitud se

mantiene. (0.4 puntos)

• Inicialmente, la energía almacenada es

2

Q U =

2 C⋅ . Después del cambio, la energía queda

2 2 2

Q Q Q

U' = 2 2 U

C

(2)

única diferencia es que la ampolleta 5 está cortocircuitada, como se muestra. Responder en el espacio correspondiente las siguientes preguntas (0.5 puntos c/u)

• ¿En cuál circuito la corriente es mayor?______

• ¿En cuál circuito las tres ampolletas brillan con la misma intensidad?_____

• ¿Cuál(es) ampolletas(s) son las que brillan más?______

• ¿Cuál(es) ampolletas(s) son las que brillan menos?______

Desarrollo:

• Si la resistencia de cada ampolleta es R, la corriente en el circuito (a) es a

V i =

3 R⋅ , mientras

que en el circuito (b) es b

V i =

2 R⋅ . Luego, la corriente es mayor en el circuito (b). (0.5

puntos)

• En el circuito (b) sólo brilllan las ampolletas 4 y 6, pues, al estar cortociruitada, no pasa corriente por 5. En el circuito (a), por el contrario, pasa la misma corriente por las ampolletas 1, 2 y 3, por lo que brillan con igual intensidad. (0.5 puntos)

El brillo de las ampolletas depende de su potencia.

• En las ampolletas 1, 2 y 3 la potencia es

2 2

2 1 2 3 a

V V

P = P = P = i R = R

3 R 9 R

 

⋅   ⋅ =

⋅ ⋅

 

• En la ampolleta 5 no pasa corriente, por lo que P = 0₅ y no brilla.

• En las ampolletas 4 y 6 la potencia es

2 2

2 4 6 b

V V

P = P = i R = R

2 R 4 R

 

⋅   ⋅ =

⋅ ⋅

 

Finalmente,

• Las ampolletas que más brillan son la 4 y la 6. (0.5 puntos)

• La ampolleta que menos brilla es la 5.(0.5 puntos)

Figura 1) Pregunta 01 Módulo E

figura 2, según las reglas vistas en clases, complete los cuadros con el signo (+ ó -) que corresponda. (En el caso de los LVK, debe recorrer las mallas en los sentidos indicados)

1

ε

i3⋅R1 i5⋅R

= 0

2

ε

i4⋅R2 i5⋅R

= 0

1

i

₃

i

6

= 0

1

i i2 i5

= 0

Desarrollo:

1 ε

i R

3

⋅

1

i R

5

⋅

= 0

(0.6 puntos. Si se responde con signos invertidos, 0.3 puntos)

2

ε

i

4

⋅

R

2

i

5

⋅

R

= 0

(0.6 puntos. Si se responde con signos invertidos, 0.3 puntos)

1

i

_i

₃

i

₆

_{= 0}

1

i

₃

i

₆

_{= 0}

(0.4 puntos por cualquiera de las dos respuestas)

1

i

₂

i

₅

_{= 0}

1

i

2

i

5

= 0

(0.4 puntos por cualquiera de las dos respuestas)

1

ε

2

1

R

1

i

2

i

3

i

4

i

5

i

6

i

(3)

Un recipiente de área basal A y altura d es adaptado como condensador. Para ello, se colocan dos planchas metálicas de igual forma y área A, que se conectan a una batería V, tal como se muestra en la figura 3. En t = 0, se comienza a llenar el recipiente con un líquido dieléctrico de constante dieléctrica relativa κ. El volumen del líquido ingresado está dado por Vκ(t) =

β·t. Al ingresar, el líquido se distribuye uniformemente y sin turbulencias en el recipiente. Encuentre una expresión para la capacitancia del recipiente en función del tiempo, y verifique que en el instante en que el recipiente este lleno su capacitancia sea igual a la de un condensador relleno con un dieléctrico.

Desarrollo:

La altura h(t) del líquido dieléctrico dentro del recipiente-condensador en función del tiempo está dada por:

( )

V t

( )

t

h t = =

A A

β⋅

(0.5 puntos)

El recipiente va a estar lleno en el instante tfull dado por:

(

)

full

full full

t A d

h t = = d t

A

β

⋅ _⇒ ⋅

= (0.5 puntos)

En cualquier instante de tiempo entre t = 0 y t = tfull, el

recipiente-condensador se puede modelar como dos recipiente-condensadores en serie:

• Caire, relleno de aire y con distancia entre placas d – h(t).

• Ck, relleno de líquido dieléctrico de constante κ y cn

distancia entre placas h(t)

Las capacitancias son las siguientes:

( )

0 aire

A

C t =

d - h t

ε ⋅ (0.5 puntos)

( )

0 A C t =

h t

κ

ε κ

⋅ ⋅

(0.5 puntos

Obteniendo el equivalente serie de estos condensadores:

+

-V

d

Figura 3) Pregunta 02

d

( ) h t < < < <

( )

h t

( )

d - h t aire

C

_κ

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

0 0 aire eq 0 0 aire 0 0 A A

C t C t d - h t h t

C t = =

A A

C t + C t

d - h t h t

h t d - h t A

A

h t d - h t h t d - h t

h t d - h t

κ κ ε ε κ ε ε κ κ ε κ ε κ κ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ ⋅ (2.0 puntos)

Reemplazando el valor hallado para h(t):

( )

(

)

2 0 0 eq A A C t

t _{d -} t A d + 1 - t

A A ε κ ε κ β _κ β κ β κ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ _{+ ⋅} ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     (1.0 puntos)

Para full

A d t = t

β

⋅ =

(

)

(

)

2 2 2

0 0 0 0

eq full

A A A A

C t

A d A d + A d - A d A d d A d + 1 -

(4)

En la red de resistencias de la figura 4, R = 50 [Ω] y α = 0,5: Calcule la resistencia equivalente entre a y b (Hint: busque configuraciones delta o estrella)

Desarrollo:

Usando la equivalencia para el potenciómetro, la malla se transforma en:

⇒

(1.0 puntos)

Transformando de estrella a delta en a-b-c

(2.0 puntos)

1

2

R R R R

R ₂ R ₂ ₂ ₂

R

1 1 1

R + +

5 R

2 2 4

R 4

⋅ + ⋅ + ⋅

=

 

⋅ 

⋅

 

= =

(0.5 puntos)

2

R R R R

R ₂ R ₂ ₂ ₂

R

R 2

1 1 1

R + +

5 R

2 2 4

R 2

2

⋅ + ⋅ + ⋅

=

 

⋅ 

⋅

 

= =

(0.5 puntos)

3

2

R R R R

R ₂ R ₂ ₂ ₂

R

R 2

1 1 1

R + +

5 R

2 2 4

R 2

2

⋅ + ⋅ + ⋅

=

 

⋅ 

⋅

 

= =

(0.5 puntos)

Reduciendo las resistencias en paralelo:

2

2 3

5 R 5 R

R _{5 R}

2 2

R ' = R ' =

5 R_{+ R} 7 R 7

2 2

⋅ ⋅

⋅ _⋅

= =

⋅ ⋅

(0.5 puntos)

Reduciendo las resistencias en serie

23 2 3

5 R 5 R 10 R

R = R ' + R '

7 7 7

⋅ ⋅ ⋅

= + =

(0.5 puntos)

Finalmente, reduciendo las resistencias en paralelo:

2

23 1 ab

23 1

50 R 10 R 5 R

R R ₇ ₄ ₂₈ 2 R

R = =

10 R 5 R 75 R

R R 3

7 4 28

⋅ ⋅ ⋅

⋅

⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅ ⋅

+ ₊

(0.3 puntos)

Evaluando, R =_ab 2 50

[ ]

100

_{[ ]}

33.33

_{[ ]}

3 3

⋅ Ω

(5)

En el circuito de la figura 5, V = 12 [V], R1 = 100 [Ω], R2 = 50 [Ω], R3 = 150 [Ω], C1 = 10 [µF] y C2 =

50 [µF]. Los condensadores están inicialmente descargados. En t = 0 se cierra el switch S2, y luego

se cierra el switch S1.

a) Calcule la corriente en la batería inmediatamente después de cerrar S1.

b) Calcule la corriente en la batería mucho tiempo después de cerrado S1.

c) Calcule el voltaje, la carga en cada placa y la energía almacenada en cada condensador mucho tiempo después de cerrado S1.

Desarrollo:

a) Inmediatamente después de conectado S1, los condensadores actúan como cortocircuitos.

(0.6 puntos)

La corriente que pasa por la fuente es

[ ]

0 1

12 V V

i = = 0.12 A

R 100 Ω = (0.6 puntos)

b) Mucho tiempo después de conectado S1, los condensadores actúan como circuito abierto. (0.6

puntos)

V

1

S

S₂

1

C

₂

1

R

₂

3

R

⇒

0

i

C1

V

C2

V

i

_∞

La corriente que pasa por la fuente es

[ ]

1 2 3

12 V V

i = = 0.04 A

R R R 300

∞ =

+ + Ω (0.6 puntos)

c)

• En el condensador C1, el voltaje equivale al voltaje de las resistencias R2 y R3.

(

)

[ ]

(

)

[ ]

C1 R2 R3 2 3 2 3

V = V +V =i∞⋅R +i∞⋅R =i∞⋅ R +R =0.04 A ⋅ 50+150 Ω =8 V

(0.6 puntos)

La carga total en C1 es Q = C V = 10₁ ₁⋅ _C1

[

µF 8 V

] [ ]

⋅ =80

[

µC

]

(0.6 puntos)

La energía almacenada en C1 es

[ ]

(

[ ]

)

[

]

2

2 -6

1 1 C1

1 1

U = C V 10 10 F 8 V 0.32 mJ

2⋅ ⋅ =2⋅ ⋅ ⋅ =

(0.6 puntos)

En el condensador C2, el voltaje equivale al voltaje de la resistencia R3.

[ ]

C2 R3 3

V = V =i∞⋅R =0.04 A 150⋅ Ω =6 V

(0.6 puntos)

La carga total en C2 es Q = C V = 502 2⋅ C2

[

µF 6 V

] [ ]

⋅ =300

[

µC

]

(0.6 puntos)

La energía almacenada en C2 es

[ ]

(

[ ]

)

[

]

2

2 -6

2 2 C2

1 1

U = C V 50 10 F 6 V 0.90 mJ

2⋅ ⋅ =2⋅ ⋅ ⋅ =