Certamen 2 - Fisica General Electromágnetismo (2008-2).pdf

(1)

PAUTA

CERTAMEN

Nº02

FISICA GENERAL

ELECTROMAGNETISMO

(FIS 331)

Prof. Rodrigo

Vergara Rojas

SEGUNDO

SEMESTRE

2008

Sábado 15 de Noviembre de 2008

Pregunta 01) (+ 1 punto base)

Módulo D) En figura 1 se muestra un condesador de placas paralelas relleno de aire, con área de placas A y distancia entre placas d. Indique encerrando con un círculo si la capacitancia original aumenta (↑), disminuye (↓) o se mantiene constante (=) después de realizar los siguientes cambios (0.5 puntos c/u)

• Duplicar el área de las placas

↑

=

↓

• Duplicar la distancia entre las placas

↑

=

↓

• Rellenar el espacio entre placas con un dieléctrico de κ = 3,5

↑

=

↓

• Duplicar el área de las placas y duplicar la distancia entre ellas

↑

=

↓

Desarrollo:

La capacitancia original es 0 0

A C =

d ε

⋅

• Duplicar el área de las placas: 0 0 0

2 A A

A' = 2 A C' 2 2 C

d d

ε ε

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⇒ ₌ _{= ⋅} _{= ⋅} . Luego, la capacitancia aumenta (↑) (0.5 punto)

• Duplicar la distancia entre las placas: 0 0 0

A 1 A 1

d' = 2 d C' C

2 d 2 d 2

ε ε

⋅ ⋅

⋅ ⇒ ₌ _{= ⋅} _{= ⋅}

⋅ .

Luego, la capacitancia disminuye (↓) (0.5 punto)

• Rellenar el espacio entre placas con un dieléctrico de κ = 3,5:

0 0

0

A A

C' 3,5 3,5 C

d d

ε κ ε

⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ = ⋅ . Luego, la capacitancia aumenta (↑) (0.5 punto)

• Duplicar el área de las placas y duplicar la distancia entre ellas.

0 0

0

2 A A

A' = 2 A y d' = 2 d C' C

2 d d

ε ε

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⇒ ₌ ₌ ₌

⋅ . Luego, la capacitancia se

mantiene (=)(0.5 punto)

Figura 1) Pregunta 01 Módulo D

Módulo E) En la red de la figura 2, indique un par o trío de resistencias que estén conectados en: (0.5 puntos c/u)

• Serie _______________

• Paralelo _____________

• Delta o Triángulo _________________

• Estrella _________________

Desarrollo:

• Serie: Puede ser R1 - R2, o R3 – R4(0.5 punto)

• Paralelo: Puede ser R6 – R7, o R12 – R13(0.5

punto)

• Delta o Triángulo: Única opción R8 – R9 – R10(0.5

punto)

• Estrella: Puede ser R2 – R3 – R5, cualquier trío entre R6 – R7 – R8 – R10 y cualquier trío entre

R6 – R7 – R10 – R11(0.5 punto)

R1 R2 R3 R4

R5

R6 R7

R8

R9

R10

R11

R12

R13

(2)

Módulo F) A partir del circuito de la figura 3, rellene los cuadrados con signos “+” o “-“, según los convenios de signos para LVK y LCK vistos en clases (0.2 puntos cada uno)

1

V i R₁⋅ ₁ V2 i2⋅R2

= 0

2

V i2⋅R2 i3⋅R3

= 0

3

i

_{= 0}

1

i i2

Desarrollo:

1

V

i R

₁

⋅

₁

V

2 i2⋅R2

= 0

2

V i2⋅R2 i3⋅R3

= 0

3

i

_{= 0}

1

i

₂

3

i

_{= 0}

1

i

₂

(0.2 puntos por cada cuadro)

Figura 3) Pregunta 01 Módulo C

Pregunta 02) Considere un condensador de placas conductoras paralelas cuadradas de lado nℓ, distancia d entre placas y relleno de aire. Su capacitancia es C0.

• Se inserta una placa conductora cuadrada de lado ℓ en forma paralela a las placas del condensador, y a una distancia αd de la placa superior, tal como se muestra en el condensador 1 de la figura. Esta configuración tiene una capacitancia equivalente C1.

• Se inserta una placa rectangular de lados d y ℓ, de manera que el condensador se transforma en dos condensadores en paralelo tal como se muestra en el condensador 2 de la figura. Esta configuración tiene una capacitancia equivalente C2.

Demuestre que C1 = C2 = C0(3 puntos por cada configuración)

Desarrollo:

(+ 1 punto base)

Para el condensador 0

2 0 0

C = d

ε

⋅ ℓ

(0.4 puntos)

Para el caso del condensador 1: al colocar la placa, el condensador original se divide en dos condensadores en serie, ambos con área de placas ℓ2_:

• C1a, con distancia entre placas αd.

• C1b, con distancia entre placas (1-α)d.

(0.7 puntos)

Calculando capacitancias

2 0 1a

C = d ε α⋅⋅ ℓ

(0.7 puntos)

( )

2 0 1b

C = 1- d

ε α⋅ ⋅ ℓ

(0.7 puntos)

Calculando el equivalente serie:

ℓ ℓ

d

α⋅

( )1-α ⋅d 0

C C1

α⋅ℓ

2

C

( )1-α ⋅ℓ

0≤ ≤α 1

Figura 4) Pregunta 02

ℓ

0

C

ℓ

d

α⋅

( )1-α⋅d C1

0≤ ≤α 1

ℓ

d

α⋅

( )1-α⋅d

1a

C

1b

C

(3)

( )

2 2 2 2

0 0 0 0

2

1a 1b 0

1 2 2 2

0 0 0

1a 1b

2 2

0 0

0

1

d 1- d d 1- d

1-C C

C = = =

1-1 1

C C d

+

1-d 1- d d

1-1

1-C 1

d d

1-ε ε ε ε

α α α α ε α α

α α

ε ε ε

α α

α α α α

α α

ε ε

α α

⋅ _⋅ ⋅ ⋅ _⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ₌ ⋅ _⋅

+

⋅ ⋅ ⋅

+  

+ ⋅  _⋅

⋅ ⋅  

⋅

⋅ ⋅

= ⋅ = =

⋅

ℓ ℓ ℓ ℓ

ℓ

ℓ ℓ ℓ

ℓ ℓ

(0.7 puntos)

Luego, queda demostrado que C1 = C0.

Para el caso del condensador 2: al colocar la placa, el condensador original se divide en dos condensadores en paralelo, ambos con distancia entre placas d:

• C2a, con placas de lados ℓ y αℓ, y

área ℓ2α_.

• C2b, con placas de lados ℓ y (1-α)ℓ,

y área ℓ2_(1-α_).

(0.7 puntos)

Calculando capacitancias

2 0 2a

C = d α ε

⋅ ⋅ ℓ

(0.7 puntos)

( )

2

0 2b

1-C =

d α ε

⋅ ⋅

ℓ

(0.7 puntos)

Calculando el equivalente paralelo:

( )

₍

₎

2

2 2 2

0

0 0 0

2 2a 2b 0

1-C = 1-C C = 1- = = C

d d d d

α ε

α ε ⋅ ⋅ ε _α _α ε

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ℓ +ℓ =ℓ ⋅ + ℓ (0.7 puntos)

Luego, queda demostrado que C2 = C0.

d

α⋅ℓ

2

C

( )1-α ⋅ℓ

Condensador2 0≤ ≤α 1

d

α⋅ℓ

2b

C

( )1-α ⋅ℓ

2a

C

⇔

Pregunta 03) En el circuito de la figura 5, cada resistencia R es un cilindro de resistividad ρ, longitud L y área de sección transversal A.

a) Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b en función de R (4 puntos)

b) Determine la potencia total disipada por la red de resistencias, en función de V, ρ, L y A. (1 punto)

c) Si se reemplaza la red de resistencias por un único resistor cilíndrico de longitud L/2 y área de sección transversal 5A, calcule su resistividad. (1 punto)

Desarrollo:

a) Reduciendo el circuito original (resistencias R en serie)

(1 punto)

Transformando la configuración delta mostrada en su equivalente estrella

(2 puntos) +

-V

R

R R

R

R R

R _R

a

b

⇒

+

-V

R

R/3

2·R

a

b

2·R

R/3 R/3

+

-V

R

2·R

a

b

2·R R/3

R/3 R/3

(4)

Reduciendo el circuito resultante hasta su resistencia equivalente:

(1 punto)

b) La potencia total disipada por la red de resistencias es igual a la potencia disipada por la resistencia equivalente. Además, de los datos del problema, R = L

A ρ⋅ _{. Así:}

2 2 2 2 2

disip eq

V V 2 V 2 V 2 V A

P = = = = =

5 R L

R 5 R ₅ 5 L

2

A

ρ ρ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ _⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (1 punto)

c) El nuevo resistor de longitud L/2 y área basal 5A tiene una resistencia dada por: L

' ₂ _{' L} R' = =

5 A 10 A ρ ⋅ _ρ_⋅

⋅ ⋅ (0.3 punto)

Igualando a la resistencia equivalente:

eq

L 5

5 R _A ' L 5 L

R' = R = = ' = 25

2 2 10 A 2 A

ρ

ρ ρ _ρ _ρ

⋅ ⋅

⋅ ₌ _⇒ ⋅ ⋅ ⋅ _⇒ _⋅

⋅ ⋅ (0.7 punto)

⇒

Pregunta 04) En el circuito de la figura 6, el condensador está inicialmente descargado, y el switch se cierra en t = 0.

a) En el instante t = 0+, calcule los valores de i y V’. (2

puntos)

b) En el instante t →∞, calcule los valores del voltaje, la carga almacenada y energía almacenada en el condensador (4 puntos)

Desarrollo:

Reemplazando el potenciómetro por su equivalente

(0.2 punto)

a) En t = 0+, el condensador actúa como cortocircuito

(0.4 punto)

Reduciendo las resistencias en paralelos

R

α

⋅

( )

1-

α

⋅

R

α

⋅

( )

1-

α

⋅

R

α

⋅

( )

1-

α

⋅

R

(

1+α

)

⋅R

R'

(5)

Donde

( )

(

)

( )

(

)

2

1- R R 1- R 1- R

R'

1- R+R 2- R

2-α α α

α α α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =

⋅ ⋅ (0.4 punto)

Usando las propiedades del divisor de tensión

(

)

( )

(

)

( )

(

) (

)

( )

(

)

( )

(

) ( )

(

)

( )

( ) (

) ( )

2 2

1- R 1- R

2-

2-R'

V' = V = V = V

1- R 1- R+ 1+ 2- R

R'+ 1+ R

+ 1+ R

2-

2-1- 1-

1-= V = V = V

1- 1+ 2- 1- 2- 2 -

3-α α

α α

α α α α

α _α

α α

α α α

α α α α α α α α

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ _⋅

⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ + + ⋅

(0.5 punto)

(

)

( )

( ) (

)

( )

(

) (

)

(

)

(

2

)

2

2- V

V V

i = = =

1- R

R'+ 1+ R 1- R+ 1+ 2- R

+ 1+ R

2-2- V 2- V

= =

3- R 1- 2- 2 - R

α α

α _α α α α

α

α α

α

α α α α

⋅ ⋅

⋅ _⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ _⋅

+ + ⋅ ⋅

(0.5 punto)

b) En t = ∞, el condensador actúa como circuito abierto

(0.3 punto)

LVK en malla 1: V - i 1+⋅

(

α

)

⋅R - i₁⋅

( )

1-α ⋅R = 0 [1] (0.5 punto)

LVK en malla 2: i1⋅

( )

1-α ⋅R- i2⋅ ⋅2 R = 0 [2] (0.5 punto)

R

α⋅

( )1-α ⋅R

t→ ∞

LCK en nodo a: i = i + i1 2 [3] (0.3 punto)

De [2]: i₁

( )

1- i₂ 2 i₁ i₂ 2 1-α

α

⋅ = ⋅ ⇒ ₌ _⋅ [4]

Reemplazando [4] en [3]: i = i₂ 2 + i₂ i₂ 2+1- i₂

3-1- 1-

1-α α

α α α

⋅ = ⋅ = ⋅ [5]

Reemplazando [4] y [5] en [1]:

(

)

( )

(

) (

)

( )

2 2 2

2 2

2 2 2 2

3- 1+ 2

1-3- 2

V = i 1+ R + i 1- R = i R

1- 1-

1-3- 3 - 2-2 5 - 1- V

V = i R = i R i

1- 1- 5 - R

α α α

α _α _α

α α α

α α α α α α

α α α

⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ₌ _⋅

[6]

(1.4 punto)

El voltaje del condensador es:

C 2 2 2

1- V

1-V = i R R = V

5 - R 5

-α α

α α

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ (1.0 punto)

La carga almacenada en el condensador es:

C 2

1-Q = C V = C V

5

-α α

⋅ ⋅ ⋅ (1.0 punto)

La energía almacenada en el condensador es:

2 2

C 2 2

1 1 1- 1

1-U = C V = C V = C V

2 2 5 - 2 5

-α α

α α

   

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ ⋅ ⋅ 