Desarrollo del pensamiento variacional
en estudiantes de grado noveno
Oscar Mauricio Gómez Ospina
Maestría en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Desarrollo del pensamiento variacional
en estudiantes de grado noveno
Oscar Mauricio Gómez Ospina
Director de trabajo de grado:
Dr. Rodolfo Vergel Causado
Maestría en Educación
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Mientras que la física y las matemáticas nos pueden decir cómo comenzó el universo, no son muy útiles en predecir el comportamiento humano porque hay muchas ecuaciones que resolver.
Stephen Hawking.
Dedicatoria
A mi madre y padre, que me han apoyado incondicionalmente en mi formación personal y académica sin desfallecer un solo instante
A Lorena, por el amor, la comprensión, la perseverancia, y el constante apoyo que me da en las diferentes actividades del diario vivir
A mis hermanos, sobrinos y abuelas, por el amor y apoyo que expresan en cada uno de los momentos de nuestras vidas.
Agradecimientos
A todas las personas que de uno u otro modo colaboraron en la realización de este trabajo y especialmente al profesor Rodolfo Vergel Causado, por sus enseñanzas, orientaciones que enriquecieron mi formación.
Tabla de contenido
1: TEMA DE PROFUNDIZACIÓN ... 4
1.1 El pensamiento variacional como objeto de profundización……….….………3
1.2 Antecedentes relacionados con el pensamiento variacional……….……..7
2: MARCO TEÓRICO ... 15
2.1 Introducción………..…….……….…..……14
2.2 El estudio de la variación desde el razonamiento covariacional………..…....14
2.3 Importancia de la tarea en el desarrollo del razonamiento covariacional……….…...18
2.4 Una mirada al pensamiento variacional desde los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas………..……… …….……20
3: METODOLOGÍA ... 24
3.1 Fases del trabajo de profundización entorno al desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado………..….………..22
4: ANÁLISIS DE LAS TAREAS ... 35
4.1 Introducción………...……32
4.2 Las actividades cognitivas asociadas a tareas en relación al desarrollo del pensamiento variacional………..…………..……..32
4.2.1 Tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz?...33
4.2.2 Tarea 2: Buscando áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz………..……..…57
4.2.3 Tarea 3: Hablando de áreas máximas y mínimas. ...70
5: CONCLUSIONES ... 84
1
Introducción
Este trabajo tiene como objeto profundizar en el análisis de las producciones escritas y verbales
realizadas por estudiantes de grado noveno, cuando abordan tareas asociadas al desarrollo del
pensamiento variacional. Para lograr tal propósito se hizo una revisión de la literatura nacional e
internacional en aras de estudiar la categoría del pensamiento variacional. Específicamente se
indagó en aspectos relacionados al reconocimiento de qué es lo que cambia, cómo cambia y cuánto
cambia. Para ello se adaptaron tres tareas seleccionadas de la literatura nacional que se relacionan
con el cambio y la variación. La implementación de estas tareas se llevó a cabo en un colegio de
carácter privado de la ciudad de Bogotá, con una población de doce estudiantes de diferentes cursos
del grado noveno.
El trabajo se enmarcó en un enfoque de investigación cualitativa, de tipo descriptivo e
interpretativo, que permitió identificar y analizar características que se presentan en el desarrollo
del pensamiento variacional de los estudiantes asociados a los conceptos de cambio y variación.
El presente trabajo se compone de cinco capítulos. El primero de ellos aborda elementos
problemáticos asociados al desarrollo del pensamiento variacional y presenta algunos antecedentes
en relación con este tipo de pensamiento. Este primer capítulo termina con el planteamiento del
objetivo general y los objetivos específicos.
El segundo capítulo corresponde al marco teórico, en el cual se acude a las ideas propuestas por
Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu (2003), que establecen un conjunto de cinco acciones
mentales y cinco niveles de razonamiento, que se consolidan como un medio para la clasificación
y sustentación de las descripciones escritas o verbales de los estudiantes cuando se ven enfrentados
a tareas relacionadas al cambio y la variación. En este capítulo también se resalta el papel que
juega la tarea en este estudio, como un instrumento que posibilita evidenciar las posibles formas
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El tercer capítulo enmarca la metodología que se utilizó a lo largo del trabajo y que está compuesta
por siete fases de desarrollo. En la primera fase se realizó la revisión bibliográfica de la literatura
nacional e internacional en relación al desarrollo del pensamiento variacional. En la segunda fase
se adaptaron tres tareas de la literatura nacional e internacional para el desarrollo de la experiencia.
Las dos primeras fueron adaptadas de Carlson et al. (2003), y la tercera de Villa (2012) en su
documento Razonamiento covariacional en el estudio de funciones cuadráticas. En la tercera fase se realiza la implementación de estas tareas, cada una en dos momentos, en el primer momento el
estudiante desarrolló las tareas en hojas de trabajo individualmente, en el segundo momento el
estudiante abordó las tareas realizando simulaciones con material concreto y construcciones
realizadas anteriormente por el investigador en el software dinámico Geo-gebra. La cuarta fase
define la construcción de evidencias de los datos recogidos en las producciones de los estudiantes
tanto escritos en las hojas de trabajo como en los registros fílmicos realizados mientras abordaron
las tareas propuestas en este estudio.
En la quinta fase se seleccionaron los datos a partir de las producciones de los estudiantes en las
hojas de trabajo y de las transcripciones realizadas de los registros fílmicos en cada una de las
sesiones. Se seleccionaron los datos a partir de las categorías de análisis propuestas en relación
con las acciones mentales y los niveles de covariación del marco conceptual ya mencionado. La
sexta fase analiza las producciones escritas y verbales de los estudiantes, que evidencian
sustentación de las acciones mentales y niveles de covariación descritas en Carlson et al. (2003)
El cuarto capítulo presenta los análisis focalizados de las producciones escritas y verbales
realizadas por estudiantes en el desarrollo de las tareas programadas en relación con el cambio y
la variación. En estos análisis se buscan evidencias en las producciones de los estudiantes con
respecto al desarrollo del pensamiento variacional, las cuales sustenten características o elementos
que son propios de este tipo de pensamiento, por ejemplo: la coordinación del cambio de una
variable respecto a la otra, la coordinación de dirección del cambio de una variable respecto a la
otra, la coordinación de la cantidad del cambio de una variable respecto a la otra, la coordinación
3
de la cantidad de cambio instantánea de cambio de una variable respecto a la otra. Finalmente, en
el quinto capítulo se presentan los resultados obtenidos alrededor del desarrollo del pensamiento
4
Capítulo 1
Tema de Profundización
Los aspectos mencionados en este capítulo se direccionan a describir algunas de las
características propias en el desarrollo del pensamiento variacional cuando se implementan
tareas que se relacionan con este tipo de pensamiento. Ahora bien, las formas de
reconocimiento, de percepción, identificación a las formas posibles en que se caracteriza el
cambio y la variación, permiten evidenciar los diferentes procesos de razonamiento que
sustentan el reconocimiento de coordinación de la forma de cambio de una variable con
respecto a la otra.
1.1El pensamiento variacional como objeto de profundización
El pensamiento variacional se ha convertido en los últimos años en un componente de interés por
parte de los investigadores en educación matemática. En Colombia, el Ministerio de Educación
Nacional MEN (1998) viene presentando sugerencias para el trabajo del mismo en la asignatura
de matemáticas, en las cuales se plantea el trabajo considerando diferentes pensamientos como lo
son: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional. Esta tipología de pensamientos, según el
MEN (1998), haría parte constitutiva de una estructura curricular en las matemáticas escolares.
En particular, el desarrollo del pensamiento variacional, según el MEN (1998), es uno de los logros
para alcanzar en la educación básica. El desarrollo del mismo involucra otros tipos de pensamiento
5
desarrollo. Este está caracterizado por dos elementos interrelacionados como lo son el cambio y la
variación.
Para los Lineamientos curriculares en el área de matemáticas:
El pensamiento variacional se propone para analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones y problemas tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente matemáticas donde la variación se encuentra como sustrato de ellas. En esta forma se amplía la visión de variación por cuanto su estudio se inicia en el intento de cuantificar la variación por medio de las cantidades y las magnitudes. (MEN, 1998)
Por otra parte en los Estándares Básicos en Competencias MEN (2006), se describe el
pensamiento variacional como:
[…] este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico y, en la Educación Media, del cálculo diferencial e integral. Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas. (p. 66)
De esta manera, el desarrollo del pensamiento variacional está ligado a las formas de
reconocimiento, de percepción, identificación a las formas en que se caracteriza el cambio
y la variación, sin dejar a un lado las posibles formas de representar estos; ya sean gráficas,
simbólicas, icónicas, verbales o algebraicas.
Así mismo Posada & Obando (2006) señalan que el desarrollo de este pensamiento en los
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El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación, están integrados a diferentes sistemas de representación - gráficos, tabulares, expresiones verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para permitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta manera se hacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación, pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también, a procesos de tratamiento, coordinación y conversión. (Posada & Obando, 2006, p. 16)
Por su parte, Vasco (2006) señala que:
El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una forma de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad. (p. 138)
Desde esta perspectiva el pensamiento variacional apunta a la obtención mental de relaciones y
patrones que presentan las variables que covarían entre sí. Entonces es relevante que un individuo
reconozca en diferentes situaciones: lo que cambia, lo que permanece constante y los patrones que
se presentan en esos procesos. De igual manera es posible que se indique la forma en que se
relacionan las variables y las formas en que covarían las mismas. Ahora bien, es importante que
los procesos de cambio y variación de un fenómeno se expresen por medio de gráficas, tablas,
representaciones icónicas, verbales, gestuales entre otras. Por lo tanto el objetivo de desarrollar
pensamiento variacional es la captación y modelación de la covariación entre magnitudes
relacionadas entre sí.
A partir los anteriores planteamientos, es importante identificar los elementos o características del
pensamiento variacional, cuando se abordan tareas de este tipo. Algunas identificaciones del
desarrollo de dicho pensamiento está dado en relación a: coordinar el cambio de una variable con
respecto a la otra, coordinar la dirección del cambio de una variable con respecto a la otra, coordinar
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variable respecto a otra y por último coordinar la razón de cambio instantánea de una variable
respecto a la otra. Estas características según Vasco (2006), se pueden evidenciar a través de tareas
diseñadas y orientadas a desarrollar pensamiento variacional en los estudiantes; donde la
percepción, comprensión, representación y caracterización de la variación hacen parte fundamental
del pensamiento dinámico.
De todo lo señalado anteriormente, surge el interés de evidenciar algunos elementos o
características presentes en el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado
noveno, cuando se enfrentan a tareas asociadas al cambio y a la variación.
En consecuencia, se plantea un trabajo de profundización que pretende caracterizar o evidenciar
elementos presentes en este tipo de pensamiento, a partir de tareas que evoquen desarrollo y
evidencien algunas características del pensamiento variacional. En este sentido, este trabajo intenta
dar luces de respuesta a la pregunta:
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1.2Antecedentes relacionados con el pensamiento variacional
1.2.1. El pensamiento variacional en la historia. A partir del siglo XIII el estudio de fenómenos
despierta interés por dar una explicación a ellos mismos, donde se analizan cualidades y formas
de fenómenos muy diversos como lo son el calor, la luz, la densidad, y la velocidad entre otros,
que pueden poseer varios “grados” de “intensidad” que cambian entre sí; la intensidad se considera
en relación a su “extensión” con el tiempo o la cantidad de materia. En el transcurso de estos
estudios, y al margen del valor concreto de cada uno de ellos, empiezan a aparecer conceptos
fundamentales como cantidad variable, entendida como un grado de cualidad, velocidad
instantánea o puntual y aceleración. (MEN, 2004)
De acuerdo con el MEN (2004), citado por Moreno & Zubieta (1996): “la comunidad científica
reconoce los procesos de variación entre los siglos XIV y XVII en donde se centra la atención en
el estudio de las cualidades en situaciones como el movimiento, la intensidad luminosa o la
intensidad de calor, inspirados en los trabajos científicos de Aristóteles y de los filósofos
escolásticos sobre tópicos como el infinito, el infinitesimal y la continuidad” (p. 457)
1.2.2 El pensamiento variacional en Colombia. En este se viene presentando reestructuraciones
con el objetivo de avanzar en la construcción de un currículo que dé cuenta a las necesidades de
desarrollar un pensamiento matemático integral. Una de sus finalidades es mejorar cualitativa y
cuantitativamente la educación de forma equitativa en todo su territorio, esta renovación curricular
se conoce como: “Programa Nacional de Mejoramiento Cualitativo de la Educación” (MEN,
2002), en donde los sistemas analíticos intervienen en los contenidos básicos para la educación
media, apoyados en la importancia, necesidad y pertinencia del estudio de las situaciones de
cambio y la variación, en consecuencia se propone trabajar algunos aspectos que ayuden al
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contribuyan a los procesos de modelación en situaciones de cambio y variación. Es decir que desde
la renovación curricular que se viene presentando en el país se despierta el interés por estudiar las
situaciones de cambio y variación a partir de diferentes representaciones de carácter analítico,
gráfico, tabular, verbal y escrito, en donde el estudiante produzca sus propios modelos y de cuenta
de los mismos.
Por lo tanto es de nuestro interés evidenciar elementos o características que se dan en relación al
desarrollo del pensamiento variacional, cuando los estudiantes abordan tareas relacionadas al
cambio y la variación.
1.2.3 Caracteristicas del pensamiento variacional. Fundamentalmente para Vasco (2006):
El principal propósito del pensamiento variacional es pues la modelación matemática. No es propiamente la resolución de problemas ni de ejercicios; al contrario, los mejores problemas o ejercicios deberían ser desafíos o retos de modelar algún proceso. Para poder resolver un problema interesante tengo que armar primero un modelo de la situación en donde las variables covaríen en forma semejante a las de la situación problemática, y no puedo hacerlo sin activar mi pensamiento variacional.
Según este autor se pueden evidenciar unas fases o momentos en la captación de patrones de
variación; lo que cambia, como cambia y lo que permanece, estas fases no son de forma lineal y
no necesariamente se presentan en forma secuencial: Momento de creación del modelo, Momento
de echar a andar el modelo, Momento de comparar los resultados con el proceso modelado,
Momento de revisión del modelo. Cantoral, Farfán, Cordero, Alanís, Rodríguez & Garza, (2000)
relacionan el pensamiento y lenguaje variacional como: “una manera de estudiar fenómenos que
se presentan en la enseñanza, aprendizaje y comunicación de los saberes matemáticos propios de
la variación y el cambio en el ámbito escolar y social” (p. 185)
Cantoral, Molina & Sánchez (2005), expresan que: “el término variacional, relacionado con el
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estos autores, la idea de variación toma una importancia considerable ya que el estudio de la misma
está ligado al estudio de diferentes situaciones de movimientos en nuestro entorno. Entonces es
posible caracterizar procesos de razonamiento que conlleven a evidenciar desarrollo del
pensamiento variacional en aspectos relacionados a procesos de cambio y variación.
1.2.4 Desarrollo del pensamiento Variacional. Diferentes autores expresan la necesidad de
desarrollar este tipo de pensamiento en los estudiantes para potenciar los procesos de
reconocimiento de relaciones existentes entre variables que covarian entre sí, las cuales ayudan a
mejorar los procesos de entendimiento e interpretación de fenomenos relacionados con su entorno.
Hecklein, Engler, Vrancken, & Mürlle (2011) señalan que:
Potenciar o desarrollar el pensamiento variacional implica preparar a los alumnos para resolver problemas y tratar la información que reciben del medio, de manera que sean capaces de reconocer las estrategias para su solución y favorecer un mejor entendimiento e interpretación de la realidad. En esta dirección, los procesos de variación y cambio constituyen un aspecto de gran riqueza en el contexto escolar. De acuerdo con estos autores, el estudio de las variables y las funciones encarado desde el pensamiento variacional, es un campo de acción y formación permanente en la educación matemática.
Según Dolores, Guerrero, Martínez y Medina (2002), citada en Hecklein, Engler, Vrancken y
Mürlle (2011), señalan que:
Los conceptos básicos sobre los cuales se construye la matemática de la variación y el cambio son el de variable y el de función. Cuando dos variables están relacionadas mediante una función se puede estudiar el cambio de una de ellas con respecto a la otra. Aquí radica la importancia del estudio de las funciones. Una de las habilidades básicas para el desarrollo del pensamiento y el lenguaje variacional, es poder analizar el comportamiento de funciones. (p. 73)
García (1999) “señala que la educación de la matemática no puede seguir siendo aquella que se
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están presentes en las nociones o ideas de variación y aproximación de los objetos que están en
el entorno”
En relación a los aspectos señalados por estos autores, y en la misma dirección que lo señala García
(1999), la educación matemática debe estar encaminada al reconocimiento de los procesos de
cambio y variación de fenómenos que rodea al estudiante en su entorno, por ende es importante
trabajar el desarrollo del pensamiento variacional desde las diferentes propuestas curriculares de
los establecimientos académicos.
1.2.5 Desarrollo del pensamiento variacional desde el currículo propuesto. El MEN (1998)
señala que es de gran importancia desarrollar en los estudiantes pensamiento variacional y propone
que el objetivo es desligar de la educación la enseñanza de contenidos matemáticos sin sentido,
por el contrario se debe potenciar el dominio de los campos conceptuales en donde el estudiante
pueda modelar matemáticamente situaciones y problemas de su entorno relacionados con el
cambio y la variación.
De esta forma, y ampliando la visión del concepto de cambio y variación se presentan algunos de
los núcleos conceptuales en los cuales se puede desarrollar el pensamiento variacional: las
magnitudes; continuo numérico; la función como dependencia y modelos de función; modelos
matemáticos de tipos de variación: aditiva, multiplicativa, variación para medir el cambio absoluto
y para medir el cambio relativo.
Ahora bien, los lineamientos curriculares en matemáticas MEN (1998), proponen que se desarrolle
pensamiento variacional a partir de situaciones del entorno, donde se presenten fenómenos de
cambio y variación, para ello propone el uso de diversos sistemas de representación como son los
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Vasco (2006) expone que una de las dificultades que se ha encontrado en la interpretación de los
lineamientos curriculares para el área de matemáticas, es que no es muy claro qué se debe entender
por “Pensamiento Variacional”. En particular para este autor, el pensamiento variacional puede
describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir
mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma
semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los
subprocesos recortados de la realidad. También precisa lo que para él no es pensamiento
variacional; en tal sentido por ejemplo: El pensamiento variacional no es aprenderse las fórmulas
de área y volumen, ni tampoco se trata tampoco de dibujar y manejar las gráficas.
Reséndiz (2005) propone algunas estrategias para potenciar el pensamiento variacional en
estudiantes de 8º y 9º grado a través de situaciones problemas de diversos contextos con el
propósito de explorar y potenciar el pensamiento variacional. Las dificultades a nivel del
pensamiento variacional detectadas en los estudiantes fueron: “determinación de las cantidades
(variables y constantes) que intervienen en la situación, establecer relaciones de dependencia entre
las variables, generar datos que debían consignar en una tabla, determinar los intervalos de
Villa (2010), señala que la noción de variación se ha convertido en los últimos años en un elemento
que ha llamado la atención de investigadores al interior de la Educación Matemática, tanto por su
estrecha relación con algunos conceptos matemáticos (proporción, tasa de variación, función,
derivada, integrales, ecuaciones diferenciales, entre otros) porque permite caracterizar un estilo
propio de razonamiento (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen, & Hsu, 2003; Villa, & Mesa, 2009) y de
pensamiento (Cantoral & Farfán, 1998; Vasco, 2006).
Villa (2006) reconoce dentro del estudio de la variación la representación como elemento base
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El estudio de los conceptos, procedimientos y métodos que involucran la variación, están integrados a diferentes sistemas de representación gráficas, tabulares, expresiones verbales, diagramas, expresiones simbólicas, ejemplos particulares y generales – para permitir, a través de ellos, la comprensión de los conceptos matemáticos. De esta manera se hacen significativas las situaciones que dependen del estudio sistemático de la variación, pues se obliga no sólo a manifestar actitudes de observación y registro, sino también, a procesos de tratamiento, coordinación y conversión.
En la literatura nacional e internacional relacionada con la educación matemática se viene
trabajando por el desarrollo del pensamiento matemático, que abarca diferentes componentes o
pensamientos entre estos el pensamiento variacional, Villa (2006) reconoce que: “este tipo de
pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la
caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales,
icónicos, gráficos o algebraicos” (p. 31)
Reséndiz (2005), citado por Maury, Palmezano, & Carcamo (2012) retoma a varios autores
relacionados con investigaciones realizadas en el campo de la Educación Matemática (García,
1998; Zubieta, 1996; Ávila, 1996; Hoyos, 1996; Cantoral, 1992; Artigue, 1991) quienes señalan
que los estudiantes presentan dificultades en la identificación de lo que cambia y por ende no se
tenga las estructuras y códigos que se atañen los procesos de variación, en consecuencia se les
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Objetivo General
Describir y analizar características que emergen en el desarrollo del pensamiento
variacional en estudiantes de noveno grado cuando abordan tareas en las cuales subyacen
elementos sobre cambio y variación.
Objetivos Específicos
Adaptar e implementar una serie de tareas, fundamentadas teóricamente desde estudios e
investigaciones sobre el pensamiento variacional y su desarrollo, en un grupo de
estudiantes de noveno grado.
Reportar las producciones de los estudiantes, en relación con las tareas implementadas,
que evidencien rasgos característicos del pensamiento variacional.
Aproximar una clasificación de las producciones de los estudiantes que evidencien
15
Capítulo 2
MARCO TEÓRICO
En este capítulo presentamos y desarrollamos las ideas teóricas que dan sustento a la
caracterización en los procesos del desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de grado
noveno, cuando se enfrentan a tareas de cambio y variación. El marco conceptual de la covariación
planteado por Carlson et al. (2003, p.128). Plantea la caracterización del desarrollo de este
pensamiento a partir de la sustentación de cinco acciones mentales de covariación y cinco niveles
de razonamiento de la covariación. Ahora bien, es importante señalar que para lograr evidenciar
las características de este tipo de pensamiento, es necesario plantear tareas que conlleven al
estudiante a establecer competencias y habilidades en contextos de cambio y variación.
2.1 El estudio de la variación desde el razonamiento covariacional
Villa & Mesa (2009) y Villa (2011), en sus trabajos de investigación reconocen los trabajos
realizados por Carlson, et al. (2003), cimentados en las teorías de Piaget, señalan que en algunas
de sus investigaciones no se evidencia en las producciones de los estudiantes niveles de
razonamiento asociados a la coordinación del cambio de razón promedio y la coordinación del
cambio instantáneo entre variables. Carlson, et al. (2003), citado en Villa (2006), define al
“razonamiento covariacional como las actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos
cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto
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Con base en esta definición Carlson et al. (2003), proponen un marco conceptual en el que
establecen un conjunto de cinco acciones mentales y cinco niveles de razonamiento, las que se consolidan como un medio para clasificar los comportamientos de los estudiantes cuando
se ven enfrentados a tareas de covariación.
Las acciones mentales propuestas en este marco conceptual de la covariación es un
instrumento que permite clasificar los comportamientos que tienen los estudiantes cuando
desarrollan tareas asociadas a procesos de covariación; cabe señalar que las características
en relación al desarrollo del pensamiento variacional que puede llegar a presentar el
estudiante cuando aborda tareas en contextos de cambio y variación , se examinan a partir
del conjunto de comportamientos y producciones que presente el mismo.
Tabla 1. Acciones mentales del Marco conceptual para la covariación. Tomado de Carlson et al. (2003, p.128 ).
17
En consecuencia las acciones mentales del marco conceptual para la covariación nos generan
algunas descripciones de las acciones mentales que se evidencian del estudiante en relación al
desarrollo del pensamiento variacional y de los comportamientos asociados cuando este se está
generando. Estas cinco acciones mentales ayudan a clasificar las producciones escritas y verbales
que realiza un estudiante cuando se enfrenta a tareas asociadas al cambio y la variación, no obstante
la habilidad que un estudiante sustente frente a las actividades cognitivas implicadas en la
coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de
ellas cambia con respecto a la otra, estas están determinadas por las formas de actuar, registrar y
verbalizar situaciones r elacionadas con el cambio y la variación.
Por lo tanto un estudiante se puede clasificar en los niveles de razonamiento por las posibles
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Tabla 2. Niveles de razonamiento en el marco conceptual para la covariación. Tomado de Carlson et al (2003, p. 128)
De igual forma en este marco conceptual para la covaración se proponen cinco niveles de
razonamiento (coordinación, dirección, coordinación del cambio, razón promedio, razón
instantánea), un estudiante ha alanzado un nivel cuando sustenta las acciones mentales
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estudiante se encuentra en el nivel de dirección porque da cuenta de las acciones mentales de ese
nivel pero también da cuenta de los niveles asociados a los descritos en la Acción mental 1.
Ahora bien, para sustentar lo niveles de razonamiento presentados en el marco conceptual de
Carlson et al. (2003) es importante explicitar la noción de imagen, que a su vez es propuesta por
Thompson (1994), citado en Carlson et al. (2003), donde una imagen es aquello que: “se enfoca
en la dinámica de las operaciones mentales” (p. 130), es decir, si la imagen de covariación que
presenta el estudiante se desarrolla, el estudiante presenta razonamiento covariacional más
avanzado y por lo tanto sustentara los niveles de razonamiento covariacional superiores.
Así mismo es importante considerar los procesos de pensamiento pseudo-analíticos y los
comportamientos pseudo-analíticos, que se identifican por los procesos de pensamiento y
comportamientos que ocurren sin comprensión. Vinner (1997), citado en Carlson et al (2003),
señala que “los comportamientos pseudo-analíticos describen un comportamiento que podría
parecer un comportamiento conceptual pero que de hecho es producido por procesos mentales que
no caracterizan un comportamiento conceptual” (p 125); esto se refiere a las primeras asociaciones
y descripciones que evidencia el estudiante del fenómeno pero sin llegar a dar un sustento
conceptual del mismo. Por otra parte los comportamientos pseudo- analíticos están más
encaminados en los procesos de la conceptualización de algún sistema matemático a desarrollar.
Este marco conceptual nos permite caracterizar el desarrollo del pensamiento variacional en los
estudiantes ya que se pueden clasificar las producciones escritas, gráficas y verbales que producen
los estudiantes cuando se enfrentan a tareas específicas relacionadas al cambio y la variación entre
magnitudes.
El diseño del marco conceptual permite identificar características cada vez más elaboradas,
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se puede ubicar en un nivel determinado, y se presume las acciones mentales previas del nivel al
que puede corresponder. En palabras de Carlson et al. (2003) “a medida que la imagen de
covariación que tiene un individuo se desarrolla, ella sustenta un razonamiento covariacional más
sofisticado”. (p. 130)
Así mismo desde el MEN (2006) se viene proponiendo la inclusión en las aulas del desarrollo del
pensamiento variacional en relación al: “reconocimiento, la percepción, la identificación y la
caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como lo son su descripción,
modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales,
icónicos, gráficos o algebraicos”. El desarrollo de este tipo de pensamiento es posible que se genere
a partir de varias estrategias, para lo que nos concierne en esta investigación creemos que las tareas
relacionadas a fenómenos de cambio y variación es una herramienta que posibilita el desarrollo
de pensamiento variacional en las aulas de clase de la educación básica primaria, básica secundaria
y media vocacional.
2.2 Importancia de la tarea en el desarrollo del razonamiento covariacional.
Siguiendo a Concepción & Rodríguez (2005) citado en Maury, Palmezano, & Carcamo (2012)
que: “lograr una posición activa del alumno requiere, entre otras, que éste se implique en tareas de
trabajo independiente para favorecer su independencia cognoscitiva” (p.10). Por ende se deben
proponer tareas donde el estudiante se enfrente a ellas de manera individual y así mismo
experimente su nivel de conocimiento del tema a trabajar y genere una serie de interese de las
mismas. Vale la pena resaltar que una de las formas de llevar al estudiante a resolver la tarea de
manera seria y agradable para él, está permeado por la manera en que el profesor elabora la tarea,
la orienta y la controla, como un medio de enseñanza, mientras que el alumno se enfrenta a la tarea
21
Silvestre (2000); Zilberstein & Portela (2002); (Silvestre, 2000, p. 35), citados en Maury,
Palmezano, & Carcamo (2012), consideran las tareas docentes “(...) como aquellas actividades
que se orientan para que el alumno las realice en clases o fuera de esta, implican la búsqueda y
adquisición de conocimientos, el desarrollo de habilidades y la formación integral de la
personalidad” (p. 10). En este sentido, la tarea es un medio para establecer procesos de enseñanza
en el estudiante, donde se produzca un verdadero interés de solución por parte del resolutor de la
tarea, es decir la tarea se vuelve el medio donde el estudiante posiblemente dote de sentidos sus
procesos de aprendizaje.
En consecuencia la tarea es parte fundamental de este trabajo de investigación, ya que esta es la
que potencia o ínsita de cierta forma a que el estudiante desarrolle capacidades como las
mencionadas y presente algunos elementos asociados al desarrollo del pensamiento variacional en
relación con los fenómenos de cambio y variación.
En este sentido Villa (2006) muestra algunas consideraciones importantes que se deben tener en
cuenta cuando se quieren diseñar o adaptar tareas que desarrollen pensamiento variacional: la tarea
debe apuntar al desarrollo de elementos procedimentales y conceptuales en el trato de la
matemática y en este caso al desarrollo del pensamiento variacional. En consecuencia esta debe
apuntar a que el estudiante tenga la posibilidad de plasmar, comunicar, verbalizar o representar
simbólicamente la identificación de las magnitudes dependientes e independientes en una relación
funcional, organice la información en tablas que permitan reconocer y cuantificar el cambio
respecto a los procesos de covariación.
Por otro lado, la tarea debe estar dotada de elementos didácticos que permitan evidenciar criterios
de análisis en la modelación de la misma. Para este trabajo de profundización es necesario que el
22
constantes, variación y covariación de las variables, la producción de representaciones simbólicas,
graficas o tablas que sustenten los procesos de covariacion.
De igual modo, para este trabajo de profundización es de gran importancia que la tarea nos permita
analizar la capacidad del reconocimiento de la variación. Por lo tanto, se tendrá en cuenta la
determinación de las cantidades de variables que puede llegar a presentar la situación, la
identificación de las invariantes de la situación, el reconocimiento de las relaciones entre las
magnitudes que interviene en la situación planteada, la descripción y coordinación del cambio de
una cantidad de magnitud respecto a otra magnitud.
2.4 Una mirada al pensamiento variacional desde los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas
Desde el MEN (2003) se proponen los Estándares Básicos de Competencias en matemáticas,
donde uno de sus aspectos a profundizar y trabajar en la enseñanza de las matemáticas está dirigida
al desarrollo del pensamiento variacional en los primeros niveles de educación básica primaria y
básica secundaria. Ahora bien, en el desarrollo de este pensamiento se busca que el estudiante
adquiera habilidades para analizar de qué forma cambia, qué aumenta, qué disminuye o qué
permanece igual en fenómenos asociados al cambio y la variación.
Así mismo, el desarrollo de actividades que fomente este tipo de pensamiento, contribuye a la
formulación de conjeturas, la prueba de la misma, su generalización y la argumentación para
validar el modelo o rechazar al mismo.
Las diferentes investigaciones realizadas alrededor de este pensamiento expresan la necesidad de
elaborar e interpretar diferentes tipos de representaciones ya sean simbólicas, graficas tabulares
entre otras. Ahora bien los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas MEN (2003) no
son la excepción, ya que también expresan la importancia de estos registros en el desarrollo de
23
en Matemáticas MEN (2003), se define que un estudiante en grado noveno debe estar en la
capacidad de:
o Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje
natural, dibujos y gráficas.
o Describir e interpretar variaciones representadas en gráficos.
o Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráfica.
o Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones problemas.
o Describir y representar situaciones de variación relacionando diferentes
representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).
o Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio o
variación.
o Modelar situaciones de variación.
Dado que parte de nuestro objetivo es caracterizar el desarrollo del pensamiento variacional en
estudiantes de grado noveno, surge la necesidad de adecuar tareas que permitan identificar las
competencias en relación al pensamiento variacional planteadas por los Estándares Básicos de
24
Capítulo 3
METODOLOGÍA
A continuación se describe cada una de las fases que componen el desarrollo de este trabajo de
profundización, que fue implementado en un colegio privado de la ciudad de Bogotá, a estudiantes
de grado noveno de educación básica secundaria. Se implementaron tres tareas: la primera ¿Qué
pasa si se resbala el lápiz?, la segunda áreas de los triángulos formados por el movimiento del
lápiz y por último hallando áreas máximas y mínimas.
Cada una de las anteriores se desarrolló en dos momentos, en el primer momento se entregaban
hojas de trabajo a los estudiantes y se les solicitaba solucionar los ítems propuestos en las tareas
de manera individual, en el segundo momento se le solicitaba a los estudiantes solucionar la misma
tarea apoyados en simulaciones concretas y simulaciones realizadas por el investigador en el
software dinámico Geo-gebra.
Se seleccionaron los datos de las producciones escritas por los estudiantes en las hojas de trabajo
y de las acciones y producciones verbales captadas mediante registros fílmicos cuando
abordaron las tareas propuestas. Ahora bien, para el análisis de los datos seleccionados se
triangularon las producciones escritas en las hojas de trabajo, las producciones de los registros
fílmicos y el marco conceptual para la covariacion propuesto por Carlson et al. (2003).
3.1 Fases del trabajo de profundización entorno al desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado
Este proyecto se enmarca en un enfoque de investigación cualitativa, de tipo descriptivo e
interpretativo (Ernest, 1991). La investigación en este enfoque permite observar qué características
25
proceso investigativo proporcionará información en relación con: las situaciones matemáticas
(tareas direccionadas al desarrollo del pensamiento variacional en relación con el cambio y la
variación), la selección de la población (Estudiantes de noveno grado de un colegio privado en
Bogotá, Colombia), métodos de recolección de datos (intervención en el aula, notas de campo,
hojas de trabajo y entrevistas semiestructuradas), sistematización de la experiencia (análisis de la
recolección de datos), reflexiones de la práctica educativa (conclusiones)
Para el desarrollo de esta investigación se realizaron las siguientes fases de estudio:
3.1.1 Fase 1. Se efectuó la revisión de literatura nacional e internacional alrededor del estudio del
desarrollo del pensamiento variacional, procesos de cambio y variación, implementación del
desarrollo del pensamiento variacional en el currículo y el marco conceptual para la covariacion
que sustenta las características de este tipo de pensamiento.
3.1.2 Fase 2. Se adaptaron tres tareas de la literatura nacional para el desarrollo de la experiencia.
Las dos primeras fueron adaptadas del trabajo Experiencias que apoyan intuitivamente el
Desarrollo del Pensamiento Variacional de los Estudiantes de la fundación Fe y Alegria, y la
tercera fue escogida del trabajo realizado por Villa (2012) en su documento Razonamiento
covariacional en el estudio de funciones cuadráticas.
Estas tareas son escogidas por trabajos relacionados al desarrollo del pensamiento variacional en
relación a los procesos de cambio y variación, a continuación se presentan los diseños de tareas
26
Tarea 1.
¿Qué pasa si se resbala el lápiz?
1. Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica.
a. Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye ¿qué pasa
con la distancia horizontal AB? Justifica tu respuesta
b. Si la distancia del punto de apoyo horizontal del lápiz respecto a la base disminuye ¿qué pasa con la
distancia vertical AC? Justifica tu respuesta
c. Si disminuyen cualquiera de los puntos de apoyo del lápiz, ¿qué pasa con la distancia CB? Justifica tu
respuesta.
d. ¿Aprecia alguna relación entre las distancias CA y AB?, si su respuesta es afirmativa explique la relación.
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e. Si el lápiz se resbala un centímetro hacia abajo ¿Cuánto aumenta la distancia horizontal? Justifica tu respuesta
f. Si el lápiz disminuye 2 centímetros de su punto de apoyo horizontal ¿Cuánto aumenta la distancia vertical? Justifica tu respuesta
2. Experimentación.
Recursos (2 cintas métricas y un palo de balso de 50 centímetros por estudiante). Individual y grupal.
Colocar un metro en la pared y el otro metro pegado en el piso (repitiendo el ejercicio del lápiz).
Colocar el palo de balso de tal manera que el punto de apoyo vertical o con la pared sea de 40 cm y el apoyo horizontal o con la base sea de 30 cm.
28
Tarea 2. Áreas de los triángulos formados por el movimiento del lápiz.
Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta las siguientes gráficas.
a.Si se mueve la punta del lápiz en el eje x , ¿qué pasa con el área del triángulo formado? Justifica tu respuesta.
b.Si se mueve la punta del lápiz de derecha a izquierda que pasa con el área de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.
c. Si se mueve la punta del lápiz de izquierda a derecha que pasa con el área de los triángulos que se forman. Justifica tu respuesta.
A continuación se presenta una secuencia donde el lápiz se desliza de derecha a izquierda sobre el eje x.
29
d. ¿Qué pasó con la distancia DB y el área de los triángulos resultantes?.
e. Teniendo en cuenta la secuencia anterior, ¿qué podrías concluir del área de los triángulos?. Recuerda que la punta del lápiz se puede deslizar en cualquier dirección sobre el eje x. Justifica tu respuesta.
f. De los triángulos 1, 2, 3 y 4 ¿cuál es el de mayor área? justifica tu respuesta.
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h. Los siguientes triángulos se formaron al deslizar la punta del lápiz sobre el eje x, ¿Que podrías concluir de las gráficas?
i. ¿Qué pasa con las áreas de los triángulos que se forman cuando el punto B se desliza sobre el eje x? justifica tu respuesta
j. Realiza una gráfica donde se relacione el desplazamiento de la punta del lápiz en el eje x y el área de los triángulos resultantes.
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Tarea 3: Hallando áreas máximas y mínimas
Observa la simulación en el software Geo-Gebra y contesta las siguientes preguntas.
a. Teniendo en cuenta la simulación realizada responde a la siguiente pregunta ¿Qué cambia?
b. Describe los cambios que evidenciaste en la simulación.
c. ¿Qué es lo que cambia?
d. ¿Lo que cambia, cómo cambia?
e. ¿Lo que cambia, cuánto cambia?
f. ¿Podríamos representar las formas del cambio entre el segmento AE y el área del rectángulo? Justifica tu respuesta.
32
3.1.3 Fase 3. Implementación de las tres tareas.
La implementación de esta tarea se desarrolló en dos momentos, cada momento con una duración
de sesenta minutos.
Momento 1. Se le entregó el material físico a cada estudiante y se les pidió que
respondieran a cada una de las preguntas expuestas allí y que tuvieran en cuenta
las indicaciones y las gráficas que se encontraban en este material.
Momento 2. Acto seguido se les pidió a los estudiantes que hicieran grupos de tres personas para
hacer la simulación de la tarea en el salón de clases. En este momento se hicieron preguntas por
parte del investigador en relación al ¿cómo? y ¿cuánto? cambian las variables involucradas en la
situación. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes.
Tarea 2. La implementación de esta tarea se desarrolló en dos momentos, cada momento con una
duración de sesenta minutos.
Momento 1. Se entregó la hoja de trabajo a cada estudiante y se les pidió que respondieran a cada
una de las preguntas expuestas allí y que tuvieran en cuenta las indicaciones y las gráficas que se
encontraban en este material.
Momento 2. Acto seguido se les pidió a los estudiantes que hicieran grupos de tres personas para
hacer la simulación de la tarea en el software de geometría dinámica geo-gebra. En esta fase se
hicieron preguntas por parte del investigador en relación a la observación y la manipulación de la
simulación en relación al cambio y la variación entre las variables involucradas en la situación.
33
Tarea 3: La implementación de esta tarea se desarrolló en un momento, con una duración de 100
minutos. Esta sesión fue grabada con el fin de recolectar producciones verbales de los estudiantes.
Momento 1. Para el desarrollo de esta sesión se llevó a cabo la estrategia en donde el estudiante
abordara la solución de la tarea de forma simultánea a la realización de la simulación de la tarea
en el software dinámico geo-gebra, se implementó en pequeños grupos de participación e
interacción con la simulación de la tarea.
3.1.4 Fase 4. Construcción de los datos:
Las producciones escritas de los estudiantes correspondientes a cada una de las
situaciones tareas propuestas
Las acciones y producciones verbales captadas mediante registros fílmicos, tomadas
en momentos específicos del desarrollo de la tarea. (Transcripciones de los audios
obtenidos de los registros fílmicos obtenidos en cada una de las sesiones realizadas)
Las anotaciones del investigador con base en las observaciones durante la
34
Fase 5. Selección de datos.
Estos fueron seleccionados de las producciones escritas y verbales que se obtuvieron en el
desarrollo de cada una de las tareas implementadas durante la investigación. Se seleccionaron los
datos a partir de las categorías de análisis propuestas en relación a las Acciones Mentales y los
Niveles de Covariación propuesta por Carlson et al. (2003, p. 129)
Fase 6: Análisis de datos.
Los datos seleccionados anteriormente serán revisados bajo el marco conceptual para la
covariación de Carlson et al (2003, p. 128), y así mismo, categorizados bajo las acciones mentales
y niveles de covaraiacion que se presentan en el mismo. Sí las producciones escritas o verbales de
los estudiantes presentan alguna similitud, se analiza la producción del estudiante que otorgue más
información para los procesos de clasificación de los niveles del marco conceptual.
Fase 7: Conclusiones.
Después del proceso de documentación teórica, el diseño y la aplicación del sistema de tareas para
el desarrollo del pensamiento variacional en estudiantes de noveno grado, se evidenciarán a la
35
Capítulo 4
ANÁLISIS DE LAS TAREAS
4.1 Introducción
En este capítulo presentamos el análisis realizado teniendo en cuenta el carácter del trabajo en la
modalidad de profundización y la pregunta orientadora planteada para el desarrollo de este trabajo.
Así pues, nos focalizaremos en las producciones de los estudiantes tanto en la solución de las tareas
programadas de forma individual en hojas de trabajo seleccionadas, como en las segmentaciones
temáticas de las transcripciones de las filmaciones realizadas mientras se desarrollaban las tareas
programadas. De esta manera, y teniendo en cuenta la naturaleza del trabajo de profundización
realizado se enmarca en la perspectiva del marco conceptual propuesto por Carlson et al. (2003),
en relación al desarrollo del pensamiento variacional.
4.2 Las actividades cognitivas asociadas a tareas en relación al desarrollo del
pensamiento variacional
Ahora bien, las acciones mentales del marco conceptual ayudan a clasificar los posibles
comportamientos que presentan los estudiantes cuando se enfrentan a tareas relacionados a
procesos de covariacion; sin embargo, es muy importante observar atentamente los
comportamientos y las acciones mentales que realiza el estudiante cuando soluciona tareas
asociadas al cambio y la variación.
4.2.1 Tarea 1: ¿Qué pasa si se resbala el lápiz? Esta tarea, tal y como fue justificada en el diseño
de este trabajo, estaba direccionada al reconocimiento del cambio y la variación de magnitudes en
relación a indagar en: ¿Qué cambia?, ¿Cómo cambia? y ¿Cuánto cambia? así mismo, la tarea se
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individual y el segundo momento es una experimentación de la tarea en pequeños grupos de
trabajo.
Conforme a los dos momentos planteados en la tarea, analizamos las producciones escritas y
verbales realizadas por los estudiante desde el marco conceptual propuesto por Carlson et al.
(2003).
Inicialmente las preguntas a y b de la tarea 1: Qué pasa si se resbala el lápiz, buscan indagar en
relación a ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, por ende se plantearon las
siguientes preguntas:
Contesta las siguientes preguntas teniendo en cuenta la gráfica.
a. Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye ¿qué pasa
con la distancia horizontal AB? Justifica tu respuesta
b. Si la distancia del punto de apoyo horizontal del lápiz respecto a la base
disminuye ¿qué pasa con la distancia vertical AC? Justifica tu respuesta
A continuación se presenta el análisis de las producciones escritas y verbales de algunos
estudiantes en cada uno de los momentos en los ítems a y b. Así mismo, vale la pena resaltar que
37
estudiantes y se citarán aquellos que posiblemente presenten relaciones en las producciones
descritas por ellos.
4.2.1.1 Producciones de Sofía ítems a y b, tarea 1
Conforme al primer momento de la tarea, Sofía reconoce el cambio de las longitudes de las
distancias y la dependencia que presenta la una con la otra, también reconoce la invariante cuando
se refiere a que la longitud del lápiz siempre será la misma. Se observa en la producción escrita
que posiblemente Sofía coordina los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra.
Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su
marco. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo
siguiente
L1.Investigador: ¿Qué pensaron? ¿Qué pasa si el lápiz se resbala?, ¿Qué pasa con la distancia horizontal?
L2. Sofía: Yo digo que es una relación inversa, mientras la vertical va aumentar, la horizontal disminuirá y por el
contrario si la horizontal disminuye la horizontal aumenta
Con estas descripciones verbales Sofía ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones
sobre la pregunta relacionada a: ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?
Sofía identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar que la longitud
del lápiz no cambiaba (magnitud invariante), el razonamiento de Sofía se basaba en sus posibles
formas de determinar lo que cambiaba. De igual manera, en el diálogo presentado entre Sofía y el
investigador no originaron evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones
38
evidenciadas permiten concluir que Sofía, posiblemente dé cuenta de AM1 Y AM2, por lo tanto
se puede situar en un nivel Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
4.2.1.2 Producciones de Camila ítems a y b, tarea 1
Conforme al primer momento de la tarea, Camila reconoce el cambio de las longitudes de las
distancias y la dependencia que presenta la una con la otra, también asocia el teorema de Pitágoras
para explicar la relación de cambio entre los catetos. Se observa en la producción escrita que
posiblemente Camila coordina los cambios de una variable con respecto a los cambios de la otra.
Según Carlson et al. (2003), este reconocimiento corresponde a la primera acción mental de su
marco. Así mismo, puede identificarse la segunda acción mental cuando el estudiante verbaliza lo
siguiente:
L1.Investigador. La primera pregunta decía: Si el punto de apoyo vertical del lápiz respecto a la pared disminuye,
¿qué pasa con la distancia horizontal?
L2. Camila: Aumenta
L3.Investigador. ¿Qué aumenta?
L4. Camila: La distancia horizontal.
L5.Investigador: ¿Cuál es la distancia horizontal?, muéstranos, has es el experimento.
L6. Camila: Es que si uno la baja aquí, se disminuye y aquí aumenta, (Desplaza la tabla sobre eje vertical).
L7.Investigador: ¿Qué estás haciendo ahí?
L8. Camila: Pues, disminuyendo la esta vertical, la distancia vertical y está aumentando la horizontal, a medida que
disminuye aumenta.
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L10. Camila: Es como decir, si está disminuyendo la distancia vertical (Toma la tabla y hace el desplazamiento), esto
aumentará (señalando la horizontal). Mejor dicho la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo
creo cuanto disminuya.
Con estas descripciones Camila da indicios de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre
la pregunta ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, así mismo, es posible que Camila ya evidencie lo
que cambia, cómo cambia y cuánto cambia.
Camila identificó otras características de la situación; por ejemplo, pudo determinar la relación
existente entre el triángulo rectángulo y la propuesta del ejercicio, con la expresión Mejor dicho
la distancia horizontal aumentará dependiendo cuanto…. pues yo creo cuanto disminuya, es
posible que Camila sustente la AM3, relacionada con la coordinación de la cantidad de cambio de
una variable con los cambios de la otra. El razonamiento de Camila se basaba en sus posibles
formas de determinar lo que cambiaba cómo cambiaba y cuánto cambiaba. De igual manera, en el
diálogo presentado entre Camila y el investigador no originaron evidencias de características que
se pudieran asociar a las acciones mentales 4, o 5 del marco conceptual abordado en este estudio.
Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir que Camila, posiblemente dé cuenta
de AM1, AM2 y AM3 por lo tanto se puede situar en un nivel Nº3 (Coordinación cuantitativa) del
Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
4.2.1.3 Producciones de Alejandra ítems a y b, tarea 1
Acorde al primer momento de la tarea, Alejandra no reconoce el cambio de las longitudes de las
distancias y la dependencia que presenta la una con la otra. Se observa en la producción escrita
que posiblemente Alejandra no pueda coordinar los cambios de una variable con respecto a los
40
ninguno de los niveles ya qué no dan cuenta de ninguna de las acciones mentales propuesta en el
marco conceptual.
Ahora bien, en el segundo momento de la experimentación de la tarea Alejandra puede
identificarse la segunda acción mental el estudiante al verbalizar lo siguiente:
L1.Investigador Si el punto de apoyo vertical del lápiz disminuye, ¿qué pasa con la distancia
horizontal?, entonces hagamos la experimentación. ¿Qué aumenta?
L2.Alejandra: Pues aumento la distancia horizontal.
L3.Investigador ¿Usted qué dice?
L4. Alejandra: Que sí, aumento la distancia horizontal.
L5.Investigador ¿Si?, ¿por qué?
L6. Alejandra: Sí, porque, porque el objeto es….…puede ser disminuido, si usted disminuye un lado
tiene que aumentar al otro horizontalmente.
L7.Investigador Y ahora, ¿cuál era lo otro?, que ahora si disminuía la vertical, ¿qué hacía con la
horizontal?
L8. Alejandra: Igual, también aumenta (pasa estudiante mueve la regla aumentando la vertical)
Aquí aumento de acá (señalando la vertical) y aquí disminuyo (señalando la horizontal).
L9.Investigador: ¿Qué disminuyo?
L10. Alejandra: La distancia entre este punto y este punto señalando la horizontal, y acá aumenta
la misma distancia que de aquí acá, señalando la horizontal.
Con estas descripciones Alejandra ofrece de manera cualitativa sus primeras explicaciones sobre
la pregunta ¿Qué cambia?
Alejandra logró identificar características de la situación a partir de la modelación, por ejemplo,
pudo determinar la coordinación del valor de una variable con los cambios de la otra, AM1,
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razonamiento variacional de Alejandra evolucionara gracias a la experiencia significativa que
presentó cuando se enfrentó a la simulación de la tarea, si lo anterior es cierto, dotaría de sentido
lo dicho por Vasco (2006)
El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una forma de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distinta magnitud en los subprocesos recortados de la realidad. (p. 138)
De igual manera, en el diálogo presentado entre Alejandra y el investigador no originaron
evidencias de características que se pudieran asociar a las acciones mentales 3, 4, o 5 del marco
conceptual abordado en este estudio. Por tal razón las producciones evidenciadas permiten concluir
que Alejandra posiblemente dé cuenta de AM1 Y AM2, por lo tanto se puede situar en un nivel
Nº2 (Dirección) del Marco conceptual de Carlson et al. (2003).
El objetivo principal de los ítems a y b era indagar por el ¿Qué cambia? y ¿Cómo cambia?, para
efectos de nuestra profundización podemos decir que los estudiantes Alejandra Calderón y Nicolás
Ortiz posiblemente en el momento 1 no presentan ningún tipo de evidencia que se relacione con
los niveles y las acciones mentales que plantea Carlson y sus colaboradores (2003), por ende se
sugiere a los autores ampliar el marco conceptual en un nivel cero, donde el estudiante pueda ser
situado cuando no evidencie ningún tipo de trato relacionado al cambio y variación en las tareas
propuestas.
Sin embargo, vale la pena resaltar el desarrollo en relación al pensamiento variacional que tuvieron
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la coordinación del valor de una variable con los cambios de la otra AM1 y coordinan la dirección
del cambio de una variable con respecto a la otra AM2. Por ende, se situarían en el N2 (Dirección)
Por lo que se refiere a las producciones escritas realizadas por los estudiantes Juan Ramírez,
Andrés Riaño, Paula Benavides es posible que en un primer momento coordinen el cambio de la
distancia horizontal con respecto a la distancia vertical. Según Carlson et al. (2003), se puede situar
estos reconocimientos en el N1, Nivel de coordinación(N1) sustenta acción mental de coordinar
la medida de la longitud vertical con el cambio de la medida en la longitud horizontal. (AM1). Se
identifica AM1 cuando el estudiante reconoce las distancias que se relacionan y expresan de
manera consciente que a medida que una distancia cambia, la otra distancia también cambia. En
esta acción mental no necesariamente los estudiantes reconozcan la dirección, la cantidad o la
razón de cambio. Donde reconoce las distancias que se relacionan y expresan de manera
consciente que a medida que una distancia cambia, la otra distancia también cambia. Se observa
que no necesariamente los estudiantes reconocen la dirección del cambio.
Juan
Paula
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Con respecto a los estudiantes Sofía Guevara, Sandra Vargas y Zulma Barón se observa un manejo
sobre el Nivel de dirección (N2) que da cuenta de la AM1 y de la acción mental de coordinar la
dirección del cambio de las distancias tanto verticales como horizontales (AM2). Estos estudiantes
posiblemente estarían en Nivel de dirección (N2) esta da cuenta de la AM1 y de la acción mental
de coordinar la dirección del cambio de las distancias tanto verticales como horizontales. (AM2)
Se identifica AM2 cuando el estudiante reconoce y expresa verbalmente la relación inversamente
proporcional entre las distancias verticales y horizontales, ejemplo si aumenta la distancia en AB,
disminuirá la distancia AC. Ya reconocen y expresan verbal o gráficamente la relación inversa
ntre las distancias verticales y horizontales, ejemplo si aumenta la distancia en AB, disminuirá la
distancia AC.
Sofía
Zulma
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Por último los estudiantes Camila Arenas y Andrés Rodríguez muestran evidencias de reconocer
los niveles de coordinación, dirección que dan cuenta de las AM1 y AM2 correspondientemente,
de igual forma evidencia un trato a la coordinación del cambio, estimando la cantidad del cambio
de una distancia con respecto a la otra, posiblemente generando unas primeras interpretaciones
asociadas a la cuantificación del cambio de las variables involucradas en la situación. Por lo tanto
este estudiante da indicios de desarrollar las descripciones de las acciones mentales AM1, AM2 y
AM3, en consecuencia es posible que el estudiante se encuentre en el Nivel de coordinación
cuantitativa. (N3) que da cuenta de AM1 y AM2 y a la acción mental de coordinar la cantidad del
cambio de una distancia con respecto a la otra. (AM3). Se identifica que un estudiante se encuentra
AM3 cuando estima la cantidad del cambio de una distancia con respecto a la otra. Ejemplo. Si
disminuye la distancia AC en x centímetros, la distancia AB aumentara en y centímetros.
Ahora bien observaremos en la siguiente tabla el tratamiento de los mismos puntos analizados
anteriormente pero en el momento 2 de la tarea donde se presentan algunas justificaciones verbales
que nos dan más evidencias de la posible clasificación de los estudiantes en los niveles y acciones
mentales propuestos por Carlson, et al.(2003).
