Mate para Bachillerato Profe en Linea (1

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Contenidos

Aclaratoria ... 2

ÁREA 1: GEOMETRÍA. 23 ÍTEMS ... 3

Habilidad1: Representar las circunferencias de manera analítica y gráfica ... 3

Habilidad 2: Analizar relaciones de posición relativa entre rectas y circunferencias ... 6

Habilidad 3: Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y transformaciones ... 14

Habilidad 4: Calcular áreas y perímetros de polígonos ... 18

Habilidad 5: Identificar simetrías ... 26

Habilidad 6: Aplicar e identificar diversas transformaciones en el plano a finas geométricas. ... 32

Habilidad 7: Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales. ... 39

ÁREA 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA. 21 ÍTEMS ... 52

Habilidad 1: Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar dominio y rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones. ... 52

Habilidad 2: Aplicar el concepto de función en diversas situaciones. ... 58

Habilidad 3: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes. ... 69

Habilidad 4: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes. ... 82

ÁREA 3: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 16 ÍTEMS ... 92

Habilidad 1. Valorar la importancia de las medidas de resumen (posición) para el análisis de la información estadística. Utilizar las medidas de posición para resumir y analizar la información proveniente de un grupo de datos cuantitativos. ... 92

Habilidad 2. Valorar la importancia de las medidas de resumen (variabilidad) para el análisis de la información estadística. Utilizar las principales medidas de variabilidad para evaluar y comparar la dispersión de los datos. ... 101

Habilidad 3. Utilizar diferentes representaciones para analizar la posición y variabilidad de un conjunto de datos. ... 106

Habilidad 4. Analizar la importancia del uso de medidas relativas de tendencia central y variabilidad dentro de los análisis comparativos de información. ... 112

Habilidad 5. Utilizar las probabilidades y las medidas estadísticas para favorecer la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. ... 117

Habilidad 6. Emplear las propiedades básicas de la probabilidad en situaciones concretas. ... 122

Habilidad 7. Resolver problemas vinculados con el análisis de datos y el manejo de la aleatoriedad dentro del contexto estudiantil. ... 125

(3)

Aclaratoria



Ésta es una práctica de bachillerato basado en la tabla de

especificaciones de habilidades y conocimientos que se

medirán en la pruebas de certificación de:



Bachillerato por Madurez Suficiente



Bachillerato de Educación Diversificada a Distancia



Los ítems de este contenido son propiedad del Ministerio

de Educación Pública, nuestra representada no se atribuye

autoría sobre los mismos.



Las preguntas, soluciones y vídeos se han elaborado y

distribuido de manera gratuita con el fin de facilitar el

estudio de Matemáticas en Costa Rica.



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preguntas, deben suscribirse al canal de

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ÁREA 1: GEOMETRÍA. 23 ÍTEMS

Habilidad1: Representar las circunferencias de manera analítica y gráfica

Conocimientos Habilidades Específicas Ítems

Geometría Analítica

 Circunferencia - Centro

- Radio

1.1 Representar algebraicamente una circunferencia dada su centro y radio. 1.2 Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones. 1.3 Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el exterior de una circunferencia.

3

1) Considere la siguiente información referida a la ecuación de una circunferencia dada por (𝑥 − 4)2_{+ (𝑦 + 2)}2_{= 16}_{¿Cuáles son las coordenadas del centro de dicha circunferencia?} A) ( 4 , 2 )

B) ( 4 , - 2) C) ( - 4, 2) D) ( - 4, - 2)

Considere la siguiente información para responder las preguntas 2, 3 Y 4

2) El radio de la circunferencia anterior, corresponde a

A) 3 B) 4 C) 9 D) 16

3) Las coordenadas de centro de dicha circunferencia, corresponde a

A) ( 5 , 3 ) B) ( 3 , 5 ) C) ( -3 , -5 ) D) ( -5 , -3 )

(5)

4) Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

¿Cuál o cuáles de ella son verdaderas? A) Ambas

B) Ninguna C) Solo I D) Solo II

5) Considere la ecuación de una circunferencia dada por (𝑥 − 3)2+ (𝑦 + 1)2= 25: ¿Cuáles son las coordenadas del centro de dicha circunferencia?

A) (3, −1) B) (1, −3) C) (−3, 1) D) (−3, −1)

Con base en la siguiente información conteste las preguntas 6 y 7:

6) Considere las siguientes proposiciones:

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas

B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II

I. R ( 0 , 0 ) es un punto exterior de la circunferencia. II. P ( -5 , -5 ) es un punto interior de la circunferencia.

Una circunferencia está dada por 𝑥2+ 𝑦2= 16

(6)

Considere la siguiente información para responder las preguntas 8, 9 y 10:

8) La longitud del radio de la circunferencia anterior, corresponde a: A) 1

B) 3 C) 5 D) 25

9) Las coordenadas del centro de dicha circunferencia, corresponde a: A) 1, 3 

B) 3, 1 

C) 3,1

D) 1, 3

I. P (2, 3) es un punto que se ubica en el interior de la circunferencia. II. R (1, 4) es un punto que se ubica en el exterior de la circunferencia.

Sea la ecuación de una circunferencia dada por



x  1

 

y 3



225.

I. P3, 0 es un punto interior de la circunferencia.

(7)

Habilidad 2: Analizar relaciones de posición relativa entre rectas y circunferencias

 Circunferencia

 Recta exterior

 Rectas Paralelas

 Rectas Perpendiculares

2.1 Determinar si un recta dada es secante, tangente o exterior. 2.2 Representar gráfica y algebraicamente rectas secantes, tangentes y exteriores a una circunferencia.

2.3 Analizar geométrica y algebraicamente la posición relativa entre rectas en el plano desde el punto de vista del paralelismo y la perpendicularidad. 2.4 Aplicar la propiedad que establece que un recta tangente a una

circunferencia es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.

3

1) Considere la circunferencia dada por 𝑥2+ (𝑦 − 2)2= 4, y la siguientes rectas determinadas por:

Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? A) Ambas

2) Considere la circunferencia dada por 𝑥2_{+ 𝑦}2_{= 4}_{, y las siguientes rectas determinadas por:}

Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? A) Ambas

3) Considere la circunferencia dada por 𝑥2+ 𝑦2= 9, y las siguientes rectas determinadas por:

Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia? A) Ambas

I. y = 1 II. y = 5

I. y = 3 II. y = x

(8)

4) Considere la circunferencia dada por 𝑥2_{+ (𝑦 − 1)}2_{= 25}_{, y las siguientes rectas} determinadas por:

Con base en la información anterior. ¿Cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? A) Ambas

Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? A) Ambas

Con base en la información anterior, ¿Cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?

A) Ambas B) Ninguna C) Solo I D) Solo II

I. y = -4 II. y = 4

I. y = 3 II. y = x

(9)

7) Considere la circunferencia dada por 𝑥2_{+ (𝑦 + 1)}2_{= 4,}_{y las siguientes rectas} determinadas por:

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? A) Ambas

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia? A) Ambas

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?

A) Ambas B) Ninguna C) Solo la I D) Solo la II

I. y = 2 II. y = 1

I. y = 5 II. y = - X

(10)

10) Considere la circunferencia dada por _x2_



_y_₁



2 _₉_{, y las siguientes rectas determinadas}

por:

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas tangentes a la circunferencia? A) Ambas

11) Considere la circunferencia dada por 2 2

16

x y  , y las siguientes rectas determinadas por:

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas exteriores a la circunferencia?

12) Considere la circunferencia dada por 2 2

36

x y  , y las siguientes rectas determinadas por:

Con base en la información anterior, ¿cuál o cuáles son rectas secantes a la circunferencia?

I. y2 II. y4

I. y5 II. y2x

(11)

13) Considere las siguientes proposiciones referentes a la circunferencia C dada por 𝑥2+ 𝑦2= 9

De ellas, ¿Cuál o cuáles son verdaderas? A) Ambas

14) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C cuyo centro es el punto (0 , 0):

De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

I. La recta dada por y = 1 es secante a la circunferencia C. II. La recta dada por x = -3 es exterior a la circunferencia C. De ellas, ¿Cuál o cuáles son verdaderas?

(12)

15) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P:

De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La recta dada por 𝑦 = 3 es exterior a la circunferencia C

II. La recta dada por 𝑦 = −𝑥 es tangente a la circunferencia C. De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas?

16) Considere la siguiente representación gráfica de una circunferencia C de centro P:

De acuerdo con la información anterior, considere las siguientes proposiciones: I. La recta dada por 𝑦 = 𝑥 es secante a la circunferencia C.

II. La recta dada por 𝑥 = 3 es tangente a la circunferencia C.

De ellas, ¿cuál o cuáles son verdaderas? A) Ambas

y

P

-1 C

x

3 y

P 1

C

(13)

17) Considere la siguiente gráfica, en la cual el “eje x” es tangente en A a la circunferencia C en el centro O:

De acuerdo con la información anterior, si OB= 17, entonces ¿cuál es la medida del radio de esa circunferencia?

R/ ,

18) Considere la siguiente representación gráfica, en la cual el “eje x” es tangente en A a la circunferencia C de centro O:

(14)

19) Considere la siguiente representación gráfica de la circunferencia C de centro O, en la cual el “eje x” es tangente en P a la circunferencia C:

De acuerdo con la información anterior, ¿Cuál es el valor de OA? y

P C

x O

A 50 10

(15)

Habilidad 3: Utilizar la geometría analítica para representar circunferencias y transformaciones

 Circunferencia - Centro

- Radio

3.1 Aplicar traslaciones a una circunferencia 2

1) Considere la circunferencia dada por (𝑥 + 2)2_{+ (𝑦 − 4)}2_{= 81}_{. Si se traslada la} circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la izquierda (paralelo al eje “x” o de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a

A) (𝑥 + 1)2_{+ (𝑦 − 4)}2_{= 81} B) (𝑥 − 5)2_{+ (𝑦 − 4)}2_{= 81} C) (𝑥 − 1)2_{+ (𝑦 − 4)}2_{= 81} D) (𝑥 + 5)2_{+ (𝑦 − 4)}2_{= 81}

2) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(-1,2), contiene el punto A(0,0) y la longitud de su radio es √5 :

De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia abajo (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) (𝑥 + 6)2_{+ (𝑦 + 1)}2_{= 5}

(16)

3) Sea la ecuación de una circunferencia dada por 𝑥2_{+ (𝑦 − 3)}2_{= 18}_{. Si se traslada la} circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la derecha (paralelo al eje “x” o de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a

A) 𝑥2+ (𝑦 − 5)2= 18 B) 𝑥2+ (𝑦 − 1)2 = 18 C) (𝑥 + 2)2_{+ (𝑦 − 3)}2_{= 18} D) (𝑥 − 2)2_{+ (𝑦 − 3)}2_{= 18}

4) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P( 1 , -3 ) contiene el punto A( 0 , 0 ) y la longitud de su radio es √10:

De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 1 unidad a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 2 unidades hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) 𝑥2+ (𝑦 − 1)2= 10

(17)

5) Considere la circunferencia dada por (𝑥 + 2)2_{+ (𝑦 − 4)}2_{= 25.}_{Si se traslada la} circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje “x” o de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a

A) (𝑥 + 1)2+ (𝑦 − 4)2= 25 B) (𝑥 − 5)2+ (𝑦 − 4)2= 25 C) (𝑥 − 1)2+ (𝑦 − 4)2= 25 D) (𝑥 + 5)2+ (𝑦 − 4)2= 25

6) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P(1, 2), contiene el punto A(0, 0) y la longitud de su radio es √5 ∶

De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 5 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a A) (𝑥 + 4)2_{+ (𝑦 − 5)}2_{= 5}

(18)

7) La ecuación de una circunferencia está dada por



 

2



2

2 3 21

x  y  . Si se traslada la

circunferencia, desplazando su centro 3 unidades a la derecha (paralelo al eje "x" o al de las abscisas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a:

A)



 

2



2

1 3 21

x  y 

B)



 

2



2

5 3 21

x  y 

C)



 

2



2

2 6 21

x  y 

D)



 

2



2

2 6 21

x  y 

8) Considere la siguiente gráfica referida a una circunferencia cuyo centro es el punto P

 

1,3 , contiene el punto A

 

0, 0 y la longitud de su radio es 10:

De acuerdo con la información anterior, si se traslada la circunferencia, desplazando su centro 2 unidades a la izquierda (paralelo al eje de las abscisas) y 3 unidades hacia arriba (paralelo al eje de las ordenadas), entonces se obtiene una circunferencia cuya ecuación corresponde a: A)



 

2



2

6 1 10

x  y 

B)



 

2



2

1 6 10

x  y 

(19)

Habilidad 4: Calcular áreas y perímetros de polígonos

Polígonos

 Lado

 Radio

 Apotema

 Ángulo Central

 Ángulo Interno

 Ángulo Externo

 Diagonal

 Perímetro

 Área

 Relaciones métricas

4.1 Determinar la medida de perímetros y áreas de polígonos en diferentes contextos.

4.2 Determinar las medidas de los ángulos internos y externos de polígonos en diversos contextos.

4.3 Determinar la medida de la apotema y el radio de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes contextos.

4.4 Calcular perímetros y áreas de polígonos no regulares utilizando un sistema de coordenadas rectangulares.

4.5 Resolver problemas que involucren polígonos y sus diversos elementos. 5

1) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 60°. Si la longitud del lado es 5, entonces el perímetro de ese polígono es

A) 10 B) 20 C) 25 D) 30

2) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo externo es 20°. Si la longitud del lado es 4, entonces el perímetro de ese polígono corresponde a

A) 36 B) 40 C) 72 D) 80

3) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 72°. Si la longitud es 20, entonces, el perímetro de ese polígono es

(20)

4) Considere un polígono regular, tal que, la medida de un ángulo central es 30. Si la longitud del lado es 3, entonces el perímetro de ese polígono es:

A) 27 B) 33 C) 36 D) 90

5) En un polígono regular, la suma de las medidas de los ángulos internos y externos es 1980°. ¿Cuál es el total de diagonales de ese polígono?

A) 14 B) 28 C) 44 D) 88

6) Considere la siguiente figura en la que los valores se dan en centímetros:

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál es aproximadamente el perímetro del cuadrilátero ABCD?

(21)

7) Considere la información de la siguiente gráfica;

Con base en la información anterior, ¿cuál es el perímetro del triángulo ∆ABC? A) 11 + √5

B) 15 + √29 C) 11 + √29 D) 15 + 5√5

8) Considere la información de la siguiente gráfica:

Con base en la información anterior, ¿Cuál es el perímetro del ∆ ABC? A) 2√10 + 12

B) 2√10 + 14 C) 2√10 + 2√13 + 6 D) 2√10 + 2√13 + 8

(22)

9) Considere los datos de la siguiente figura que presenta un polígono no regular en un sistema de coordenadas rectangulares:

¿Cuál es el perímetro del polígono ABCD? A) 14

B) 16 C) 23 D) 24

10) Considere la información de la siguiente gráfica:

Con base en la información anterior, ¿cuál es el perímetro de ABC?

A) 2 2 133 B) 2 2 134 C) 2 2 13 10 D) 2 2 13 17

𝐴𝐵 = 2√2

(23)

11) Considera la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un sistema de coordenadas rectangulares:

Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero ABCD corresponde a A) 9

B) 15 C) 16 D) 21

12) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponder a un cuadrilátero representado en un sistema de coordenadas rectangulares:

Con base en la información anterior, al área del cuadrilátero ABCD corresponde a A) 16

(24)

13) Considere la información de la siguiente representación gráfica:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, el área del polígono ABCD es A) 27

B) 28 C) 36 D) 47

14) Considere la información de la siguiente figura, la cual corresponde a un cuadrilátero representado en un sistema de coordenadas rectangulares:

Con base en la información anterior, el área del cuadrilátero ABCD corresponde a: A) 7, 50

(25)

Considere la siguiente información para responder las preguntas 15 y 16:

15) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el terreno? A) 912

B) 3400 C) 3600 D) 10 080

16) Si se desea cercar todo el terreno con 3 hilos de alambre, entonces, ¿Cuánto dinero, en colones, se debe invertir como mínimo en la compra de rollos de alambre?

A) 17 000 B) 25 500 C) 34 000 D) 42 500

17) ¿Cuánto vale, en colones, ese lote? A) 1 440 000

B) 2 880 000 C) 28 800 000 D) 72 000 000

18) Si se desea colocar una mala de 2,5 metros de alto alrededor del lote, entonces, ¿cuántos metros cuadrados de malla se necesitan, como mínimo, para cercar ese lote?

A) 225 B) 450 C) 555 D) 720

Se quiere cercar con alambre de púas un terreno, el cual tiene forma de cuadrado y la medida de su lado es 60 m. Además, un rollo de alambre de púas de 168 m cuesta ¢8500 (el alambre solo se vende por rollos).

(26)

Considere la siguiente información para contestar las preguntas 19 y 20:

19) ¿Cuál es el perímetro, en metros, de la cancha del Estadio Nacional? A) 173

B) 346 C) 1785 D) 3570

20) Cuando se colocó el césped de la cancha, el metro cuadrado de césped natural costó $10. ¿Cuál fue el costo mínimo, en dólares, por concepto de compra de dicho césped? (Suponga que no hubo sobrantes o desperdicios de gramilla)

A) 17 300 B) 17 850 C) 36 600 D) 71 400

21) ¿Cuál es el área, en metros cuadrados, del terreno? A) 180

B) 240 C) 720 D) 3600

22) ¿Cuántos metros de alambre se necesita, como mínimo, para cercar todo el terreno? A) 180

B) 540 C) 720 D) 3600

La cancha del Estadio Nacional de Costa Rica tiene forma rectangular, sus dimensiones son 105 m por 68 m y es de césped natural.

(27)

Habilidad 5: Identificar simetrías

Simetrias

 Simetría Axial

 Imagen

 Preimagen

5.1 Determinar ejes de simetría en figuras simétricas

5.2 Identificar elementos homólogos en figuras que presentan simetría axial. 5.3 Resolver problemas relacionados con la simetría axial.

2

1) Considere la siguiente figura en la que e es el eje de simetría del Δ ABC y del Δ DFE, y e’ es el eje de simetría del Δ DEF y del Δ GIH:

De acuerdo con los datos de la figura anterior, considere las siguientes proposiciones:

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna C) Sola la I D) Sola II

I. A es homólogo con F, con respecto al eje de simetría e.

(28)

2) Considere el siguiente contexto:

El canal de agua

De acuerdo con el contexto anterior El canal de agua, ¿cuál es el camino más corto que puede recorrer Daniel?

A) EL que va de R hasta C. B) El que va de R’ hasta A.

C) El que va de R hasta C y de C hasta A.

D) El que va de R hasta R’, de R’ hasta C y de C hasta A.

(29)

La siguiente figura muestra el cuadrilátero ABCD, donde la recta l es el eje de simetría de la figura:

I. ∆ ABC es congruente con ∆ADC II. La preimagen de A es C.

(30)

La siguiente figura muestra el cuadrilátero ACDF, donde la recta ℓ es el eje de simetría de la figura:

I. B es homólogo con E. II. A es homólogo con C.

I. 𝐵𝐸 es homólogo de 𝐴𝐹

(31)

La siguiente figura muestra el cuadrilátero BDCA, donde la recta ℓ es el eje de simetría de la figura:

I. ∆ 𝐴𝐵𝐷 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑔𝑟𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 ∆ 𝐴𝐶𝐷. II. A es homólogo con D.

(32)

La siguiente figura muestra el cuadrilátero BCEF, donde la recta l es el eje de simetría de la

figura:

I. B es homólogo con E. II. BF es homólogo con AD.

I. A es homólogo con C.

(33)

Habilidad 6: Aplicar e identificar diversas transformaciones en el plano a finas geométricas.

Transformaciones en el plano

 Traslaciones

 Reflexiones

 Homotecias

 Rotaciones

6.1 Aplicar el concepto de traslación, homotecia, reflexión y rotación para determinar qué figuras se obtienen a partir de figuras dadas.

6.2 Identificar elementos de las figuras geométricas que aparecen invariantes bajo reflexiones o rotaciones.

6.3 Determinar el punto imagen de puntos dados mediantes una transformación.

6.4 Resolver problemas relacionados con diferentes transformaciones en el plano

3

1) Considere la siguiente figura:

De acuerdo con los datos de la figura, el cuadrilátero EFGH con respecto al cuadrilátero ABCD presenta una homotecia de razón

(34)

2) Considere la siguiente figura:

De acuerdo con los datos de la figura, ¿cuál transformación presenta el Δ A’B’C’ con respecto del Δ ABC?

A) rotación B) traslación C) homotecia

D) reflexión con respecto al eje y. 3) Considere la siguiente figura:

Si el Δ ABC se le aplica una traslación de vector z (3, 4), entonces, ¿cuáles serían las coordenadas de los nuevos vértices para el Δ A’B’C’ después de la traslación? A) A’ (8, 2); B’ (3, 4); C’ (7, 6)

B) A’ (2, 8); B’ (4, 3); C’ (6, 7) C) A’ (5, 12); B’ (7, 7); C’ (9, 11) D) A’ (11, 6); B’ (6, 8); C’ (10, 10)

Cada □ representa un cuadrado de lado 1 unidad.

(35)

Con base en la siguiente información, conteste las preguntas 4 y 5:

4) Al realizarle una reflexión a ∆ABC a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de los nuevos vértices, son

A) (2,-3) B) (-3,3) C) (-1,3) D) (-2,-1)

5) Se realiza la traslación de ∆ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 5 unidades hacia la izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?

(36)

6) Al realizarle una reflexión al ∆ ABC a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de los nuevos vértices, corresponde a:

A) (4, 2) B) (2, 4) C) (4, −2) D) (3, −4)

7) Se realiza la traslación de ∆ABC paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 3 unidades hacía la izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?

(37)

Con base en la siguiente información, conteste las siguientes preguntas 8 y 9:

8) Al realizarle una reflexión a ∆ 𝐴𝐵𝐶 a través del eje de las ordenadas (eje y), las coordenadas de la imagen de “A” corresponden a

A) (1, 1) B) (3, 1) C) (2, 3) D) (-3, 1)

9) Se realiza la traslación de ∆ 𝐴𝐵𝐶 paralelo al eje de las ordenadas (eje y), en 5 unidades hacia abajo. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?

(38)

10) Si se transforma el triángulo ∆ 𝐴𝐵𝐶 cuyos vértices son A (0, 0), B (0, 2) y C ( -1, 1), mediante una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K = 3, entonces, ¿Cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con C (-1, 1)?

A) (3, 3) B) (3, 6) C) (-3, 3) D) (-3, -3)

11) Si se transforma el triángulo ABC cuyos vértices son A



2,1



, B

 

2,5 y C

 

1,1 , mediante una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K 3, entonces, ¿cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con B?

A)

 

6, 3 B)



6,15



C)



 3, 3



D)



 6, 15



12) Si se transforma el triángulo ∆ABC cuyos vértices son A(-1,1), B(1,3) y C(2,2), mediante una homotecia centrada en el origen de coordenadas y de razón K=-2,entonces, ¿cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con A(-1,1)?

A) (2,-2) B) (-2,2) C) (-4,-4) D) (-2,-6)

13) Si se transforma el triángulo ∆ ABC cuyos vértices son A (2, 3), B (1,6) y C 5, 4), mediante una homotecia centrada en el origen de las coordenadas y de razón K= 2, entonces, ¿cuáles son las coordenadas del vértice homólogo con A?

(39)

14) Al realizarle una reflexión a RPQ a través del eje de las abscisas (eje x), las coordenadas de uno de los nuevos vértices, son

A)



4, 2



B)



4, 2



C)



 2, 4



D)



 4, 2



15) Se realiza la traslación de RPQ paralelo al eje de las abscisas (eje x), en 2 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas de uno de los nuevos vértices?

(40)

Habilidad 7: Visualizar y aplicar características y propiedades de figuras geométricas tridimensionales.

Visualización Espacial

 Esfera

 Cilindro circular recto

 Base

 Superficie Lateral

 Radio

 Diámetro

 Sección Plana

 Elipse

 Cono Circular recto

 Vértice

 Parábola

 Hipérbola

7.1 Identificar el radio y el diámetro de una esfera.

7.2 Identificar la superficie lateral, las bases, la altura, el radio y el diámetro de un cilindro circular recto.

7.3 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de una esfera o un cilindro y características métricas de ellas.

7.4 Reconocer elipses en diferentes contextos.

7.5 Identificar la superficie lateral, la base, la altura, el radio y el diámetro de la base y el vértice de un cono circular recto.

7.6 Determinar qué figuras se obtienen mediante secciones planas de un cono circular recto y características métricas de ellas.

7.7 Reconocer elipses, parábolas e hipérbolas en diferentes contextos 7.8 Plantear y resolver problemas que involucren secciones de un cono mediante planos paralelos a la base

5

1) Considere la siguiente figura que representa un cilindro circular recto:

Si la m P͞Q = 10cm, la m S͞R = 6 y la m K͞Q = √109 cm, entonces, ¿cuál es el área lateral del cilindro?

A) 30π cm2 B) 60π cm2 C) 90π cm2 D) 6π√109 cm2

(41)

2) Si en un cono circular recto la medida de la altura es de 12cm y la medida del diámetro de base es 18 cm, entonces el área lateral es

A) 24π cm2 B) 135π cm2 C) 18π√21 cm2 D) 18π√117 cm2

Considere la siguiente información para resolver las preguntas 3 y 4:

3) ¿Qué nombre recibe la sección plana al realizarse el corte? A) Elipse

B) Parábola C) Hipérbola D) Circunferencia

4) ¿Qué nombre recibe el P͞T? A) Recta

B) Radio C) Cuerda D) Diámetro

Se le presenta una esfera de centro P que ha sido cortada por un plano π.

(42)

5) El área lateral de un cilindro circular recto es 60 cm y la medida de su radio es 3 cm, ¿cuál es la medida de su altura?

A) 7 cm B) 18 cm C) 10_𝜋 cm D) 10−3 𝜋_𝜋 cm

Con base en la información que se indica en la figura siguiente, referida a un cono circular recto, conteste las preguntas 6 y 7:

6) ¿Cuál es la medida de la altura del cono? A) 3

B) 4 C) 5 D) 6

7) ¿Cuál punto representa el vértice del cono? A) T

B) R C) Q D) P

8) Sea un cilindro circular recto, tal que, la medida del diámetro de la base es 12. Si un plano paralelo a la base del cilindro interseca a dicho cilindro, entonces, la longitud de la sección plana que se forma entre ellos, corresponde a

A) 6π B) 12π C) 36π D) 144π

(43)

La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con un plano. Además, considere que TM = 5 y ON = 3.

9) ¿Cuál es la longitud de la sección plana? A) 6 π

B) 8 π C) 9 π D) 10 π

10) ¿Cuál es la distancia del centro de la esfera al centro de la sección plana dada? A) 3

B) 4 C) 5 D) 6

(44)

11) ¿Cuál segmento representa la altura del cono que contiene los puntos A y C? A) 𝐷𝐸̅̅̅̅

B) 𝐵𝐶̅̅̅̅ C) 𝐴𝐶̅̅̅̅ D) 𝐵𝐷̅̅̅̅

12) Si un plano paralelo a la base del cono contiene los puntos E, G, y K, entonces, la sección plana producto de la intersección, entre ese plano y el cono, se denomina

A) elipse B) parábola C) hipérbola D) circunferencia

B

C D

A

E K

G

A – G – B

A – D – C

C – E – B

G, K E: Puntos del cono

(45)

13) La siguiente figura ilustra una sección plana, producto de la intersección de un cilindro circular recto con el plano que contiene los puntos P y R:

¿Cuál es el perímetro de la sección plana ilustrada? A) 22

B) 30 C) 32 D) 34

PQ = 5 y QM = 6

P y R son centros de las bases del cilindro

M R

(46)

La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección del plano, con la superficie de una esfera. Además, considere que OB=5 y AB=8

14) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?

A) 6π B) 8π C) 10π D) 16π

B) 4 C) 5 D) 6

B W O

W A 𝛾

C A – C – B

O: Centro de la circunferencia A, B, C contenidos en

(47)

16) ¿Cuál segmento representa el diámetro de la base del cono?

A) 𝐴𝐵 B) 𝐵𝐶 C) 𝐵𝐷 D) 𝐴𝐶

17) Si un plano paralelo a la base del cono contiene a los puntos G y E, entonces, ¿Cuál es la longitud de la sección plana que resulta de dicha intersección?

(48)

18) Sea un cilindro circular recto (considérese con volumen) intersecado por un plano que contiene los puntos P y Q:

¿Cuál es el área de la sección plana que se forma producto de la intersección del cilindro con el plano?

(49)

La siguiente figura ilustra una esfera y una sección plana producto de la intersección de esta con un plano. Además, considere que TM= 10.

19) ¿Cuál es la longitud de la sección plana?

A) 5𝜋 B) 10𝜋 C) 20𝜋 D) 25𝜋

¿Cuál o cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas

I. OR= 5

(50)

21) ¿Cuál segmento representa la altura del cono?

A) DE

B) BC

C) AC

D) BD

22) La sección plana que resulta de la intersección del cono que contiene a los puntos G, H y

E corresponde a:

A) Elipse. B) Parábola. C) Hipérbola. D) Circunferencia.

B

C D

A

E

H H G

A – G – B

A – D – C

C – E – B

𝐵𝐸 ≠ 𝐵𝐺

(51)

23) Considere la siguiente figura sobre un cilindro circular recto, intersecado por el plano , el cual es paralelo a la base:

Si el plano contiene a los puntos P y R, y PR4, entonces, la longitud de la sección plana que se forma producto de la intersección de la superficie cilíndrica con el plano, corresponde a:

A) 2 B) 4 C) 8 D)16

P – O – R

O: centro de la circunferencia

(52)

La siguiente figura ilustra una sección plana producto de la intersección de un plano con la superficie de una esfera. Además, considere que OB5 y AB6.

24) ¿Cuál es la longitud de la sección plana? A) 6

B) 10

C) 11

D) 12

B) 4 C) 5 D) 6

A – E – B

(53)

ÁREA 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA. 21 ÍTEMS

Habilidad 1: Utilizar elementos del lenguaje de los conjuntos numéricos para representar dominio y

rango de funciones, así como el conjunto solución de ecuaciones.

Conjuntos numéricos  Unión  Intersección  Pertenencia  Subconjuntos  Complementos  Intervalos

1.1 Analizar subconjuntos de los números reales.

1.2 Utilizar correctamente los símbolos de pertenencia y de subconjunto. 1.3 Representar intervalos numéricos en forma gráfica, simbólica y por comprensión.

1.4 Determinar la unión y la intersección de conjuntos numéricos. 1.5 Determinar el complemento de un conjunto numérico dado.

4

1) La expresión ]−3, 8] corresponde a A) {x/x ϵ R, -3 ≤ x ≤ 8}

B) {x/x ϵ R, -3 ≤ x ˂ 8} C) {x/x ϵ R, -3 ˂ x ≤ 8} D) {x/x ϵ R, -3 ˂ x ˂ 8}

2) considere la siguiente gráfica:

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿cuál es la representación del intervalo por comprensión?

A) {x/x ϵ R, -2 ≤ x ≤ 0} B) {x/x ϵ R, -2 ≤ x ˂ 0} C) {x/x ϵ R, -2 ˂ x ≤ 0} D) {x/x ϵ R, -2 ˂ x ˂ 0}

3) Dados os conjuntos A y B, con A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 5, 6, 7 }, A U B corresponde a A) { 5 }

(54)

4) Dados dos conjuntos A y B, con A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 }, si A es el conjunto universo, entonces el complemento « Bc_{» de B es}

A) { 0, 9 } B) { 0, 2, 4, 6, 8 } C) { 0, 1, 3, 5, 7, 9 }

D) { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Considere el siguiente contexto para responder las preguntas 5, 6 y 7:

5) Al realizar A U B, se obtiene A) [0 , 5[

B) ]−3 , 0[ C) ]5 , + ∞[ D) ]−3 , + ∞[

6) Al realizar A ꓵ B se obtiene A) [0 , 5[

B) ]0 , 5] C) ]−3 ,5[ D) ]−3 , + ∞[

7) Con base en el contexto anterior y en los conjuntos 𝐶 = {𝑥 / 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥˂0} y 𝐷 = {𝑥 / 𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 5}, considere las siguientes proposiciones:

Sean A y B dos conjuntos dados por 𝐴 = {𝑥 / 𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥 ≥ 0} y 𝐵 = {𝑥 / 𝑥 ∈ ℝ ; −3 ˂𝑥 ˂5}, donde ℝ es el universo.

(55)

8) Considere las siguientes proposiciones referidas al conjunto D dado por 𝐷 = ]−4,8]:

Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 9, 10, 11 y 12:

9) Si se define una nueva función con dominio 𝐴 ∩ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde a A) [ 3 , 6 ]

B) [ 1 , 6 ] C) [ 1 , 7 ] D) [ 2 , 7 ]

10) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponde a 𝐸 ∪ 𝐶, entonces, ese ámbito es

A) [ 1 , 7 ] B) [ 2 , 7 ] C) [ 1 , +∞ [ D) [ 2 , +∞ [

11) Si se construye una nueva función con dominio 𝐴 ∪ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde a

A) [ 3 , 6 ] B) [ 1 , 6 ] C) [ 1 , +∞ [ D) [ 2 , +∞ [ I. 0 ∈D II. ]−3,2]⊂ D

(56)

12) si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponde al complemento de 𝐸 ∩ 𝐶, entonces, ese ámbito corresponde a

A) ]1, +∞[ B) ] 7 , +∞ [

C) ]−∞ , 1 ] ∪ ] 1 , 7 [ D) ]−∞ , 2[ ∪ ] 7, +∞ [

Considere la información del siguiente contexto para responder las preguntas 13, 14, 15 y 16: En la siguiente gráfica se ilustran las condiciones de las funciones j y f, tal que:

 El conjunto A es el dominio de j y el conjunto E es el ámbito.

 El conjunto B es el dominio de f y el conjunto C es el ámbito.

(57)

13) Si se construye una nueva función con dominio 𝐴 ∪ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde a

A) [ 1, 4 ] B) [ 3, 8 ] C) [ 1, 7 ] D) [ 1, 8 ]

14) Si se defina una nueva función , de tal forma que su ámbito es 𝐸 ∩ 𝐶, entonces, ese ámbito corresponde a

A) [ 1, 3 ] B) [ 1, 4 ] C) [ 3, 7 ] D) [ 9, 14 ]

15) Si se construye una nueva función con dominio 𝐴 ∩ 𝐵, entonces, ese dominio corresponde a

A) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 1 ≤ 𝑥 ≤ 7} B) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 3 ≤ 𝑥 ≤ 8} C) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥 ⁄ 𝜖 ℝ, 4 ≤ 𝑥 ≤ 7} D) 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖 ℝ, 4 ≤ 𝑥 ≤ 6}

16) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de 𝐸 ∪ 𝐶, entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a

(58)

Considere la información de las siguientes funciones para responder las preguntas 17, 18, 19 y 20:

17) Si se construye una nueva función con dominio AB, entonces, ese dominio corresponde a:

A)

 

2, 7 B)  3, 7 C) 2,



D) 3,



18) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito sea EC, entonces, ese ámbito corresponde a:

A)

 

1,8 B)  2, 7 C) 1,



D)



4,



19) Si se construye una nueva función con dominio AB, entonces, ese dominio corresponde a:

A)

 

3, 7 B)  2, 7 C) 2,



D) 3,



20) Si se define una nueva función, de tal forma que su ámbito corresponda al complemento de

C, entonces, un intervalo contenido en ese ámbito corresponde a:

A)



, 4



B)



4,



C)



 , 4



D)



 4,



𝑗: 𝐴 → 𝐸, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 = [3,7] 𝑦 𝐸 = [1,8]

(59)

Habilidad 2: Aplicar el concepto de función en diversas situaciones.

Funciones

 Concepto de función y de gráfica de una función.

 Elementos para el análisis de una función. - Dominio - Imagen - Preimagen - Ámbito - Inyectividad - Crecimiento - Decrecimiento - Ceros

- Máximo y Mínimo - Análisis de gráficas de

funciones

 Composición de Funciones.

 Función Lineal.

 Función Cuadrática. Funciones Inversas

 Inversa de la función.

 Función raíz cuadrada

2.1Identificar si una relación dada en forma tabular, simbólica o gráfica corresponde a una función.

2.2 Evaluar el valor de una función dada en forma gráfica o algebraica, en distintos puntos de su dominio.

2.3 Calcular la composición de funciones.

2.4 Identificar las condiciones para que una función tenga inversa. 2.5 Relacionar la gráfica de una función con la gráfica de su inversa. 2.6 Determinar intervalos en los cuales una función representada gráficamente tiene inversa.

2.7 Determinar y graficar la función inversa de f(x)=mx+b, 𝑚 ≠ 0. 2.8 Analizar gráfica y algebraicamente la función con criterio dado por 𝑓(𝑥) = 𝑎√𝑥 + 𝑏 + 𝑐.

5

1) Considere las siguientes relaciones:

¿Cuáles de las relaciones anteriores corresponden a funciones? A) Ambas

(60)

2) Considere el siguiente contexto:

De acuerdo con el contexto Índice de Precios al Consumidor (IPC), considere las siguientes proposiciones:

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas

I. Del año 2013 al año 2015, el IPC creció.

II. El IPC en el año 2012 fue inferior al 6%.

Índice de Precios al Consumidor (IPC)

El Índice de Precios al Consumidor (IPC), base junio 2015, se calcula mediante una investigación de los precios reportados por 3100 establecimientos sobre bienes y servicios. La recopilación de precios se realiza en las regiones de planificación del país con mayor concentración de población, según el Censo 2011. La siguiente gráfica muestra el IPC desde el año 2008 hasta el año 2015.

(61)

3) Si f es la función dada por f(x) = 2−3𝑥

2 , entonces f ( 1 3) es A) 1

2

B) 3₂ C) 4 3

D) 4₉

4) Sean f y g do funciones con f(x) 2x – 3 y con g(x) = x2_{. ¿Cuál es el criterio de ( g ᴼ f )?} A) ( g ᴼ f )(X) = 2x2_{- 3}

B) ( g ᴼ f )(X) = 4x2_{- 9} C) ( g ᴼ f )(X) = 4x2_{-6x + 9} D) ( g ᴼ f )(X) = 4x2_{-12x + 9}

5) Si f es la función dada por f (x) = √2 + 𝑥 – 3, entonces el dominio de f es

(62)

6) Considere la siguiente gráfica referida a la función f:

De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f, donde f posee inversa, corresponde a

A) ]1,4[ B) ]4,7[ C) ]6,7[ D) ]−2,4[

7) ¿Cuál es el dominio de la inversa de f? A) [ 0, +∞[

B) [ 2, +∞[ C) [−2, +∞[ D) [−1, +∞[

8) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [1, +∞[

B) [2, +∞[ C) ]−∞, 1] D) ]−∞, 2]

(63)

9) Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{+ 3}_{, con dominio}_{0,1,2}_y_{𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1}_{con dominio}_{2,3,6}_.

Con base en la información anterior, considere las siguientes proposiciones:

10) Considere las gráficas de las relaciones A y B:

¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas corresponden a la gráfica de una función? A) Ambas

I. (𝑔 ∘ 𝑓) = 𝑥2_{+ 3}

(64)

A) [ 0 , 2 ] B) [ 0 , 4 ] C) [ 2 , 4 ] D) [ 5 , 7 ]

12) ¿Cuál es el dominio de la inversa de f? A) [0 , +∞[

B) [1 , +∞[ C) ]−∞ , 0] D) ]−∞ , 1]

13) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [0 , +∞[

B) [1 , +∞[ C) ]−∞ , 0] D) ]−∞ , 1]

(65)

14) Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2_{+ 1}_{, con dominio}_{{0, 1, 2}}_y_{𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1}_{, con dominio} {1, 2, 5}.

15) Considere las siguientes gráficas de relaciones:

¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas corresponden a la gráfica de una función? A) Ambas

(66)

A) [ -4, 0] B) [-2, 3] C) [-4, 3] D) ] -2, 0 [

17) ¿Cuál es el dominio de la inversa de f? A) [0, + ∞ [

B) [1, + ∞ [ C) [−2, + ∞ [ D) [−1, + ∞ [

18) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [−1, + ∞ [

B) [−2, + ∞ [ C) ]− ∞, −1 ] D) ]− ∞, −2 ]

(67)

19) Considere las siguientes proposiciones referidas a las funciones f(x)= x + 1 y g (x) = x + 1:

20) Considere las siguientes gráficas de las relaciones A y B:

¿Cuál o cuáles de las anteriores corresponden a la gráfica de una función?

(68)

21) Considere la siguiente gráfica referida a la función f :

De acuerdo con la información anterior, un intervalo del dominio de f , donde f posee inversa, corresponde a:

A)

 

0, 4 B)

 

0, 6 C)

 

2, 4 D)

 

4, 6

22) ¿Cuál es el dominio de la inversa de f ? A)



0,



B) 2,



C)  2,



D)



 1,



23) ¿Cuál es el ámbito de la inversa de f ? A)



 1,



B)  2,



C)



 , 1



D)



 , 2



(69)

24) Sean las funciones

 

2

1

f x x  , con dominio



0,1,3



; g x

 

 x 1, con dominio



1, 2,10



;

 

1

h x  x , con dominio



0,1, 6



.

25) Considere las siguientes gráficas de relaciones:

¿Cuál o cuáles de las anteriores gráficas, corresponden a la gráfica de una función? A) Ambas

(70)

Habilidad 3: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes.

Funciones

 Concepto de función y de gráfica de una función.

 Elementos para el análisis de una función. - Dominio - Imagen - Preimagen - Ámbito - Inyectividad - Crecimiento - Decrecimiento - Ceros

- Máximo y Mínimo - Análisis de gráficas

 Función Lineal.

 Función Cuadrática.

Funciones Exponenciales

 La función 𝑎𝑥 Funciones Logarítmicas

La función log𝑎𝑥

3.1 Analizar una función a partir de sus representaciones. 3.2 Representar gráficamente una función lineal.

3.3 Determinar la pendiente, la intersección con el eje de las ordenadas y de las abscisas de una recta dada, en forma gráfica o algebraica.

3.4 Determinar la ecuación de una recta utilizando datos relaciones con ella. 3.5 Analizar gráfica y algebraicamente la función cuadrática con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}_,_{𝑎 ≠ 0}_.

3.6 Relacionar la representación gráfica con la algebraica.

3.7 Analizar gráfica, tabular y algebraicamente las funciones exponenciales. 3.8 Identificar la función logarítmica como la inversa de la función

exponencial.

3.9Analizar gráfica y algebraicamente las funciones logarítmicas.

6

1) La pendiente de la recta que contiene los puntos (- 2, 3 ) y ( - 4, 8 ) es A) 5₆

B) 2 11

C) −5 2

D) −5 6

2) De acuerdo con los datos de la gráfica, ¿cuál es una ecuación para la recta l

(71)

3) El eje e simetría de la gráfica de la función f dada por f(x) = – x2_{– 6x}_es A) X = 3

B) X = 9 C) X = -3 D) X = -9

4) El punto donde la recta definida por 2₃ x – 2y = 5 se interseca con el eje « X » corresponde a

A) (0,15 2)

B) (15 2 , 0)

C) (0,−5 2)

D) (−5 2 , 0)

5) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f dada por f(x) = (7₆)𝑥:

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) Todas

B) Solo la I y la II C) Solo la I y la III D) Solo la II y la III

I. f es decreciente.

II. El ámbito de f es ] 0, + ꝏ [

(72)

6) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la gráfica de la función logarítmica f dada por f(x) = log𝑎𝑥 :

¿Cuáles son verdaderas? A) Ambas

Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, para responder las preguntas 7 y 8:

7) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f:

I. 0 < a < 1.

II. f es creciente.

I. El valor de “a” es 2.

(73)

9) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f don f: ℝ→ℝ⁺, dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

10) Considere la siguiente gráfica de una función con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}_{y a≠0:}

Considere las siguientes proposiciones sobre la parábola anterior:

I. (0,1) pertenece al gráfico de f. II. La gráfica de f es decreciente.

I. La inversa de f está dada por 𝑓−1(𝑥) = log₂(𝑥).

II. La gráfica de f interseca el eje de las abscisas (eje x) pero no interseca el eje de las ordenadas (eje y)

(74)

(75)

12) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, donde (9,2) es un elemento del gráfico de f:

Considere la siguiente función exponencial f dada por 𝑓(𝑥) = 5𝑥, para responder las preguntas 13 y 14:

I. 0˂𝑎˂1 II. 𝑓 (1

2) > 0

I. 𝑓(1200) > 𝑓(1500) II. Si x < 0, entonces 0 < f(x) < 1

(76)

15) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f con 𝑓: ℝ → ℝ+, dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥:

16) Considere la siguiente gráfica de una función f con criterio 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, y 𝑎 ≠ 0:

I. La inversa de f está dada por 𝑓−1(𝑥) = log₃(𝑥).

II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) en (0 , 1)

(77)

17) Si ( 3 , 4 ) es un punto contenido en la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 − 23, entonces, el valor de “m” corresponde a

A) 3 B) 4 C) 7 D) 9

18) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, donde (16,4) es un elemento del gráfica de f:

Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma 𝑓 = 𝑎𝑥, para responder las preguntas 19 y 20:

I. 0 < 𝑎 < 1 II. 𝑓(64) = 6

I. a > 1.

(78)

21) Considere las siguiente proposiciones referidas a la función exponencial f con: ℝ → ℝ+_, dada por 𝑓(𝑥) = 3𝑥.

22) Con base en la siguiente función f con criterio 𝑓(𝑥) = −4𝑥2_{+ 2𝑥,}_{considere las siguientes} proposiciones:

I. (0, 1) pertenece al gráfico de f.

II. Si x < 0, entonces, 0 < f(x) < 1.

I. La inversa de f está dada por 𝑓−1(𝑥) = log₃(𝑥)

II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) pero no interseca el eje de las abscisas (eje x).

I. f es cóncava hacia abajo.

(79)

23) ¿Cuál es la intersección de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 10, con el eje de las abscisas (eje x)?

A) (2, 0) B) (5, 0) C) (−5, 0) D) (−10, 0)

24) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f, dada por 𝑓(𝑥) = log𝑎𝑥, donde (8, 3) es un elemento del gráfico de f:

I. 0 < a < 1

(80)

Considere la siguiente gráfica de una función exponencial f de la forma

 

x

f x a , para responder las preguntas 25 y 26:

25) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f :

26) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f :

x 2

1

f 9

y

I. El valor de "a" es 2.

II. Si x0, entonces 0 f x

 

1.

(81)

27) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función exponencial f con 𝑓: ℝ → ℝ+,

dada por 𝑓(𝑥) = (0.5)𝑥 :

28) La siguiente gráfica de una función f tiene la forma f x

 

ax2bx c y a0:

I. La inversa de f está dada por 1

 

0,5

log

f x  x .

II. La gráfica de f interseca el eje de las ordenadas (eje y) en

 

0,1 .

x f

y

(82)

29) Si

 

3, 4 es un punto contenido en la recta y2xb, entonces, el valor de "b" corresponde a:

A) 2 B) 3 C) 4 D) 7

30) Considere las siguientes proposiciones, referidas a la función f , dada por f x

 

log_ax, donde



9, 2



es un elemento del gráfico de f :

B) Ninguna C) Solo la I C) Solo la II

(83)

Habilidad 4: Utilizar distintas representaciones de algunas funciones algebraicas y trascendentes.

Funciones

 Elementos para el análisis de una función - Dominio - Imagen - Preimagen - Ámbito - Inyectividad - Crecimiento - Decrecimiento - Ceros

- Máximo y Mínimo - Análisis de gráficas de

funciones

 Función Lineal

 Función cuadrática Sistemas de Ecuaciones Lineales

 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Funciones Exponenciales

 La función 𝑎𝑥

 Ecuaciones exponenciales Funciones Logarítmicas

 La función log𝑎𝑥

 Ecuaciones logarítmicas Funciones Inversas

 Inversa de la función lineal

 Función raíz cuadrada Funciones y Modelización

4.1 Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando las funciones estudiadas.

4.2 Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 4.3 Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

4.4 Plantear y resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones exponenciales.

4.5 Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones exponenciales.

4.6 Aplicar propiedades de los logaritmos para simplificar expresiones algebraicas.

4.7 Resolver problemas en contextos reales utilizando ecuaciones logarítmicas.

4.8 Utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales de la forma 𝑎𝑓(𝑥)_{= 𝑏}𝑔(𝑥)_{, a, b números reales positivos y distintos de 1, f, g polinomios} de grado menor que 3

4.9 Identificar y aplicar modelos matemáticos que involucran las funciones logarítmicas.

4.10 Analizar el tipo de función que sirva de modelo para una situación dada (lineal, cuadrática, raíz cuadrada, logarítmica y exponencial).

6

1) Un grupo musical firmó un contrato para vender discos, donde su ingreso «I(x)» en colones, por concepto de las ventas «x» , corresponde a I (x) = 5 750 000 + 0,08x. ¿De cuánto debe ser la venta para poder obtener un ingreso de ₡ 8 740 000?

(84)

2) La altura «h(t)», en metros, de un objeto está dada por h(t) = 10t – 5t2_{, donde «t» es el} tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto?

A) 1m B) 4m C) 5m D) 6m

3) Considere las siguientes proposiciones referidas al sistema de ecuaciones dado por {_{−15𝑥 + 6𝑦 = 9}5𝑥 − 2𝑦 = −3 ∶

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A) Ambas

4) Dos empleados de una misma empresa reciben sus salarios según la cantidad de años completos laborados. El empleado A recibe un salario base de ₡500 000 y una bonificación por cada anualidad de ₡10 000. El empleado B recibe un salario base de ₡600 000 y una bonificación por cada anualidad de ₡5000. ¿Cuántos años deben transcurrir para que ambos empleados ganen la misma cantidad de salario?

A) 10 B) 12 C) 20 D) 22

5) La relación entre el tiempo «t», en horas, y el crecimiento de una población «P» de amebas, está dada por log2(

𝑃

𝑘) = t, donde «k» es la población inicial de amebas. Si se observa una población inicial de 6 amebas, entonces, ¿Cuáles amebas habrá en 8 horas?

A) 48 B) 96 C) 384 D) 1536