1. VECTORES EN EL ESPACIO.pdf

(1)

1

GEOMETRÍA. VECTORES EN EL ESPACIO.

MAT II

1. VECTORES EN

3 R

Definición: Dados dos puntos A y B del espacio, se define el vector fijo

AB

como el segmento orientado con origen en el punto A y extremo en el punto B.

Los vectores del espacio se caracterizan, al igual que los del plano, por un módulo, una dirección y un sentido

- módulo

AB

: es la longitud del segmento

AB

. El módulo de un vector es un número positivo, a excepción del vector nulo (aquel en el que origen y extremo coinciden), que tiene módulo 0.

- dirección: la de la recta que pasa por A y B o cualquier recta paralela a ella. Dos vectores tendrán la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

- sentido: el que va de A a B.

Definición: Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

El conjunto de todos los vectores equipolentes a uno dado definen un vector libre,

u



. Un vector libre puede representarse mediante cualquiera de los vectores fijos equipolentes que lo definen.

2. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES.

2. 1. Suma de vectores: Dados dos vectores del espacio

u



_y

v



, su suma es otro vector

u





v



.

Para sumar dos vectores gráficamente, se toman vectores equipolentes a ellos se manera que el extremo del primero coincide con el origen del segundo. El vector suma es el que tiene como origen el origen del primer vector y como extremo, el extremo del segundo vector.

2. 2. Producto de un escalar k por un vector.

Es otro vector

k

u



con la misma dirección, el mismo sentido si k > 0 y sentido opuesto si k < 0 y cuyo módulo es k veces el módulo de

u



_.

NOTA:

0 u





0 

vector cuyo origen y extremo coinciden.



1

· u







u



vector opuesto de

u



,

vector con el mismo módulo, la misma dirección pero sentido contrario a

u



2. 3. Resta de vectores

Restar dos vectores es sumar al primero el opuesto del segundo:

u





v





u





(



v



)

3. BASES.

Definición: Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si uno cualquiera de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. Es decir,

v



es combinación lineal de los vectores

u



₁

,

u



₂

,...,

u



_n , cuando existen



₁

,



₂

,...



_n



R

tales que

v







₁

· u



₁





₂

· u



₂



...





_n

u



_n.

Los vectores

u

n



,...,

,

₂

1 son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como

combinación lineal de los demás.

Definición: Se llama base del espacio a tres vectores no nulos y linealmente independientes.

(2)

2 NOTA: Geométricamente, tres vectores linealmente dependientes son coplanarios, luego una base del espacio es un conjunto de tres vectores no nulos y no coplanarios.

4. SISTEMA DE REFERENCIA.

El sistema de referencia canónico en el espacio es el formado por un punto fijo, el origen de coordenadas

O

(

0 ,

0 )

y la base

B



 

i



,



j

,

k



que está formada por vectores de módulo 1 y perpendiculares entre sí (base ortonormal).

Un sistema de referencia nos permite asociar a cada punto P del espacio un vector

OP

, llamado vector de posición del punto. Las coordenadas del punto P serán las coordenadas del vector

OP

_{respecto de la base.}

Se llaman coordenadas de

u



respecto de la base anterior a los números x, y, z que verifican que u xiy·jz·k

5. COMPONENTES (O COORDENADAS) DE UN VECTOR

Consideramos el sistema de referencia canónico.

Dados dos puntos

A

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

y

B

(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

, sus vectores de posición son

OA

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

y

OB

(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

, entonces las componentes del vector

AB

son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:



x

2

x

1

,

y

2

y

1

,

z

2

z

1



OA

OB

AB









6. OPERACIONES CON VECTORES USANDO COORDENADAS

.

Dados dos vectores en el espacio

u





(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

y

v





(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

,

(

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

z

₁

z

₂

v

u











)

,

(

x

₂

y

₂

z

₂

v







)

,

(

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

z

₁

z

₂

v

u











)

· ,

· (

· u

v

k

x

₁

k

y

₁

k

z

₁

k









7. APLICACIONES DE LOS VECTORES

7.1. Punto medio de un segmento

Dados dos puntos del espacio

A

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

y

B

(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

, el punto medio del segmento AB es:















2 ,

2

2 1 2 1 2

1

x

y

z

x

M

7.2. Condición de puntos alineados

Se dice que tres puntos

A

,

B

y

C

están alineados si los vectores

AB

y

AC

son proporcionales.

8. PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores

u



y

v



, se llama producto escalar de

u



y

v



_{, y se denota por}

u



· v



, al númeroreal que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.



·cos

·

· v

u

v

u







(3)

3 8.1. Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo es siempre positivo. u·u  u2 0

2. Propiedad conmutativa:

u



· v





v



· u



3. Propiedad asociativa con el producto por un número real: k·(u·v)(k·u)·v 4. Propiedad distributiva respecto de la suma: (uv)·w u·wv·w

5. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares

u





v





u



· v





0

8.2. Expresión analítica del producto escalar

Sean

u





(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

y

v





(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

, el producto escalar de

u



y

v



es igual a:

v

u



· 

=

(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)·(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

=

x

₁

· x

₂



y

₁

· y

₂



z

₁

· z

₂

Demostración:

Si multiplicamos los vectores de la base canónica

B



 

i



,



j

,

k



_tenemos:

1 1 · 1 · 1 0 cos ·

·i  i i  

i 



j

· 

j



1 k



· k





1

0 0 · 1 · 1 90 cos · ·

·j  ji  i j   i   



i·k k·i  i·k cos901·1·00

    

0 0 · 1 · 1 90 cos · ·

·k k j  j k   j

     

De aquí tenemos:

v

u



· 

=(x₁·i y₁·j z₁·k)·(x₂·iy₂·j z₂·k)=

 

 

x y i j x z i k y x ji y y j j y z jk z x ki z y k j z z kk i

i x

x1· 2· 1· 2·· 1· 2·· 1· 2· 1· 2·· 1· 2·· 1· 2· 1· 2·· 1· 2··







x

₁

· x

₂

·

1 x

₁

· y

₂

·

0 x

₁

· z

₂

·

0 y

₁

· x

₂

·

0 y

₁

· y

₂

·

1 y

₁

· z

₂

·

0 z

₁

· x

₂

·

0 z

₁

· y

₂

·

0 z

₁

· z

₂

·

1 x

₁

· x

₂



y

₁

· y

₂



z

₁

· z

₂

8.3. Interpretación geométrica

El producto escalar de dos vectores no nulos y es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

v proy u u proy v u

v v

u v

u_· _·_·cos



 _·_·cos



 _· _v _· _u

9. PRODUCTO VECTORIAL

Dados dos vectores del espacio,

u



y

v



, se llama producto vectorial de

u



y

v



, y se denota por

u





v



, o,

u



x

v



a otro vector con las siguientes características:

Módulo:

u





v





u



· v



· sen



, siendo α el menor de los ángulos que determinan los dos vectores Dirección: es perpendicular a

u



y a

v



Sentido: es el de avance de un sacacorchos que gira de

u



a

v



9.1. Propiedades del producto vectorial

1. El producto vectorial de un vector por sí mismo es cero.

u





u





u



· u



· sen

0 



0

2. Propiedad anticonmutativa:

u





v







v





u



3.



·(uv)(



u)vu(



v)

4. Propiedad distributiva respecto de la suma: u(vw)uvuw

5. El producto vectorial de dos vectores no nulos es el vector cero si y sólo si los vectores son paralelos.

v

u

v

u









0 





//



(4)

4 6. En general, el producto vectorial no cumple la propiedad asociativa. u(vw)(uv)w

9.2. Expresión analítica del producto vectorial

v

u







=

2 2 2

1 1 1

z y x

k j i  

Demostración: Como los vectores de la base canónica

B



 

i



,



j

,

k



_{tienen módulo 1 y son perpendiculares entre sí:}

k k j j i

i    i j k ikj j ki jik ki j kj i

De aquí tenemos, aplicando la propiedad distributiva respecto de la suma:

v

u







=(x1·i  y1·jz1·k)(x2·i  y2·jz2·k)

   

 

  

 

i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k z x k i z y k j z z k k i

x

x₁· ₂·  ₁· ₂·  ₁· ₂·  ₁· ₂·  ₁· ₂·  ₁· ₂·  ₁· ₂·  ₁· ₂  ₁· ₂ 

 

 



x z j y x k y z i z x j z y i k

y

x₁· ₂· ₁· ₂· ₁· ₂· ₁· ₂· ₁· ₂· ₁· ₂ (y₁·z₂ z₁·y₂)·i(z₁·x₂ x₁·z₂)·j·(x₁·y₂·y₁·x₂)·k

k

y

x

y

x

j

z

x

z

x

i

z

y

z

y



2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

_

_

=

2 2 2

1 1 1

z y x

k j

i  



9.3. Interpretación geométrica

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados esos vectores.

Área del paralelogramo definido por

u



y

v



=

u





v



El área del triángulo de vértices A, B y C será pues

Area



AB



AC

2

1 10. PRODUCTO MIXTO.

Dados tres vectores

u



,

v



y

w



se llama producto mixto de

u



,

v



y

w



, y se denota por



u



,

v



,

w





al número que se obtiene al calcular el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos.



u



,

v



,

w







u



·(

v





w



)

10.1. Propiedades del producto mixto

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores.



u



,

v



,

w



 



v



,

w



,

u



 



w



,

u



,

v





2. El producto mixto cambia de signo si se trasponen dos de sus factores.



u



,

v



,

w



 





v



,

u



,

w



 





w



,

v



,

u



 





u



,

w



,

v





3. Propiedad respecto al producto por números reales.





u



,

v



,

w



 



u



,



v



,

w



 



u



,

v



,



w



 





· u



,

v



,

w





4. Propiedad distributiva respecto de la suma.



u



₁



u



₂

,

v



,

w



 



u



₁

,

v



,

w



 



u



₂

,

v



,

w





(5)

5



u



,

v



,

w



₁



w

₂

 



u



,

v



,

w



₁

 



u



,

v



,

w



₂



5. El producto mixto de tres vectores es nulo si y sólo si los vectores son linealmente dependientes (son coplanarios).



u



,

v



,

w







0 

u



·(

v





w



)



0 

u





(

v





w



)



u



es combinación lineal de

v



y

w



10.2. Expresión analítica del producto mixto

Sean

u





(

x

₁

,

y

₁

,

z

₁

)

,

v





(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

y

w





(

x

₃

,

y

₃

,

z

₃

)

. El producto mixto de

u



,

v



y

w



se puede expresar mediante el siguiente determinante:





3 3 3 2 2 2 1 1 1

,

z

y

x

z

y

x

z

y

x

w

v

u





Demostración:





_



















3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1

1

,

)·

,

(

)

·(

,

y

x

y

x

z

x

z

x

z

y

z

y

z

y

x

w

v

u

w

v

u



₌







3 3 2 2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 2

1

·

· y

x

y

x

z

x

z

x

y

z

y

z

y

x

= 3 3 3 2 2 2 1 1 1

z

y

x

z

y

x

z

y

x

10.3. Interpretación geométrica del producto mixto

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto de tres vectores

u



,

v



y

w



coincide con el volumen del paralelepípedo definido por ellos.

Consideramos el paralelepípedo definido por tres vectores

u



,

v



y

w



, no nulos y no coplanarios.

La base es un paralelogramo, por tanto: De aquí tenemos:

Por otro lado, aplicando las definiciones de las razones trigonométricas:



)

· (

90 )

·cos

90 (

h

u

sen

h

u

h

sen







_

















Entonces:

El volumen de un tetraedro de vértices A, B, C y D es igual a un sexto del producto mixto, en valor