Capítulo 2.INTEGRALDEFINIDA.pdf

(1)

INTEGRAL DEFINIDA

TEORÍA

ASTRID ALVAREZ CASTRO

(2)

INTRODUCCIÓN

2 Facultad de Ciencias Agrarias-Unicauca. Foto: Astrid Álvarez C.

(3)

SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

3 https://youtu.be/r-nHLIldLYY

(4)

SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

4 Ejemplos:

(5)

PROPIEDADES DE LINEALIDAD

5

(6)

TEOREMA

6

(7)

TEOREMA

7 Ejercicios:

(8)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

8

(9)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

9 Ejemplo: Aproximación simple de Riemann usando rectángulos

https://youtu.be/W1IPtvVWCr8

(10)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

10 Ejemplo: Aproximación simple de Riemann usando rectángulos

(11)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

11

(12)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

12

(13)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

13

(14)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

14

(15)

EL PROBLEMA DE HALLAR EL ÁREA

BAJO LA CURVA

15 https://youtu.be/w7pkzRcWLm0

(16)

SUMAS DE RIEMANN

16 𝑦 = 𝑓(𝑥)

(17)

SUMAS DE RIEMANN

17

(18)

INTEGRAL DEFINIDA

18

(19)

INTEGRAL DEFINIDA

19 Integrales definidas como especiales:

https://youtu.be/bMFtHEzBMFA

https://youtu.be/QVPOaDVWoZc

(20)

INTEGRAL DEFINIDA

20

(21)

INTEGRAL DEFINIDA

21

(22)

INTEGRAL DEFINIDA

22

(23)

INTEGRAL DEFINIDA

23 ∆

_𝑥

=

2 𝑛

𝑥

_𝑖

= 1 + 𝑖

2 𝑛

𝑓 𝑥 = 𝑥

2

(24)

INTEGRAL DEFINIDA

24

(25)

INTEGRAL DEFINIDA

25 Ejercicio:

(26)

INTEGRAL DEFINIDA

26 Ejercicio:

(27)

INTEGRAL DEFINIDA

27

(28)

PROPIEDADES DE LINEALIDAD

28

(29)

PROPIEDAD DE ADITIVIDAD

29 https://youtu.be/ETAOqf7KKUw

(30)

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

CÁLCULO

30 https://youtu.be/3lkHBV9CWzk

(31)

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

CÁLCULO

31

(32)

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

CÁLCULO

32

(33)

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

CÁLCULO

33 Ejercicios:

https://youtu.be/s2jO8fsFvRM

https://youtu.be/KVpDeIOHews

https://youtu.be/IssaDhlbnbA

(34)

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL

CÁLCULO

34

(35)

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL

DEL CÁLCULO

35

(36)

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL

DEL CÁLCULO

36 = −152.25

https://youtu.be/TbXk9tW1SWo

(37)

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL

DEL CÁLCULO

37 5. lim

𝑥→0

׬

₀

𝑥

1 − 𝑡

2 _𝑑𝑡

𝑥

(38)

TEOREMA. LA INTEGRAL DEFINIDA

COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

38

(39)

TEOREMA. LA INTEGRAL DEFINIDA

COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

39

(40)

INTEGRALES DEFINIDAS Y

“ÁREA NEGATIVA”

40 INTERVALO

VALOR

DE LA

INTEGRAL

VALOR

DEL

ÁREA

GRÁFICA

0,

𝜋

2 https://youtu.be/rXXh5cNX2mg

(41)

INTEGRALES DEFINIDAS Y

“ÁREA NEGATIVA”

41 INTERVALO

VALOR

DE LA

INTEGRAL

VALOR

DEL

ÁREA

GRÁFICA

𝜋

2 ,

3𝜋

2

(42)

INTEGRALES DEFINIDAS Y

“ÁREA NEGATIVA”

42 INTERVALO

VALOR

DE LA

INTEGRAL

VALOR

DEL

ÁREA

GRÁFICA

0,

3𝜋

2

(43)

INTEGRALES DEFINIDAS Y

“ÁREA NEGATIVA”

43 INTERVALO

VALOR

DE LA

INTEGRAL

VALOR

DEL

ÁREA

GRÁFICA

0,2𝜋

(44)

PROPIEDAD DE COMPARACIÓN

44

(45)

PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO

45

(46)

PROPIEDAD DE SIMETRÍA

46 ¿Qué es una función PAR?

(47)

PROPIEDAD DE SIMETRÍA

47 ¿Qué es una función IMPAR?

(48)

PROPIEDAD DE SIMETRÍA

48

(49)

PROPIEDAD DE PERIODICIDAD

49 ¿Qué es una función PERIÓDICA?

(50)

INTEGRALES IMPROPIAS

En integración se pide que la función sea continua en el intervalo considerado

y que además éste sea finito. En este tema se pretende estudiar un cierto tipo de

integrales en las cuales uno o los dos límites de integración son el infinito o

bien, cuando el integrando considera una función con un número finito de

discontinuidades en el intervalo de integración en estudio. A estas integrales se

les llamará

integrales impropias

.

50

(51)

INTEGRALES IMPROPIAS

En cada caso, si el límite es finito, se dice que la integral impropia es

convergente

y que el valor del límite es el valor de la integral impropia. Si el

límite no existe, la integral impropia es

divergente.

Cuando la integral original se

divide en dos integrales, ambas deben ser convergentes para que la integral

original sea convergente. Si una es divergente o las dos lo son, la integral original

es divergente.

51

(52)

INTEGRALES IMPROPIAS

Caso 1

.

Sea la función

𝑓

continua en el intervalo

𝑎, ∞ .

Entonces el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de

la curva y hacia la derecha de

𝑥 = 𝑎

de manera indefinida, se

obtiene a partir de la siguiente integral:

𝐴 =

න

𝑎

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

lim

𝑡→∞

න

_𝑎

𝑡

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si el límite existe.

La gráfica de esta función se muestra a continuación:

52

(53)

INTEGRALES IMPROPIAS

Caso 2.

Sea la función

𝑓

continua en el intervalo

(−∞, 𝑏]

.

Entonces, el área bajo la curva, limitada arriba por la gráfica de

la curva y hacia la izquierda de

𝑥 = 𝑏

de manera indefinida, se

obtiene a partir de la siguiente integral:

𝐴 =

න

−∞

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

lim

𝑡→−∞

න

_𝑡

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si el límite existe.

La gráfica de la función

𝑓

se puede representar como:

53

(54)

INTEGRALES IMPROPIAS

Caso 3.

Sea la función

𝑓

continua en el intervalo [a, c)

∪

(c, b] .

Entonces, el área bajo la curva, limitada por los valores

extremos

del

intervalo

y

considerando

el

punto

de

discontinuidad en

𝑥 = 𝑐

se obtiene a partir de las siguientes

integrales:

𝐴 =

න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

න

𝑎

𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

න

𝑐

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Es decir:

𝐴 =

lim

𝑝→𝑐

න

_𝑎

𝑝

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

lim

𝑞→𝑐

න

_𝑞

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si los límites existen.

La representación gráfica de la función

𝑓

es:

54

(55)

INTEGRALES IMPROPIAS

Caso 4.

Sea la función

𝑓

continua en el intervalo (−∞, ∞). Entonces, el área

bajo la curva, limitada por la gráfica de la curva y que se abre indefinidamente

hacia la izquierda y derecha en el eje de las abscisas, se obtiene a partir de las

siguientes integrales:

𝐴 =

න

−∞

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

න

−∞

𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

න

𝑐

∞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Es decir:

𝐴 =

lim

𝑝→−∞

න

_𝑝

𝑐

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +

lim

𝑞→∞

න

_𝑐

𝑞

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si los límites existen.

La gráfica de esta función se muestra a continuación:

55

(56)

INTEGRALES IMPROPIAS

Ejercicios:

1. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. Asimismo, realizar una gráfica de ambas y

analizar si existe una relación entre ellas.

a.

׬

₂

∞

1 𝑥−1

2 𝑑𝑥

b.

׬

2 ∞ 1

𝑥−1

𝑑𝑥

2. Asignar un área a la región que queda comprendida bajo la curva

𝑦 =

𝑒

𝑥

2 , sobre el eje "

𝑥

" y a la izquierda de

𝑥 = 2.

3. Calcular la integral impropia

׬

_−∞

∞

_𝑥

₂

2 ₊₁

𝑑𝑥

. Para ello, trazar la gráfica de la función del integrando e interpretar la

integral como un área.

56

(57)

INTEGRALES IMPROPIAS

4. Analizar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia y graficar la función del integrando.

න

1

3 𝑑𝑥

4𝑥 − 𝑥

2 _{− 3}

5. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia. Graficar la función y el área que se obtendría

con el cálculo de la integral impropia si es que es convergente.

න

0

8 𝑑𝑥

4 − 𝑥

2/3

57

(58)

INTEGRALES IMPROPIAS

6. Determinar si la siguiente integral impropia converge o diverge y graficar el área que de ser convergente determinaría

con su valor:

න

−3

1 𝑑𝑥

1 − 𝑥

1/2

7. Calcular la siguiente integral impropia:

න

−∞

∞

𝑥𝑒

𝑥

2 𝑑𝑥

58

(59)

INTEGRALES IMPROPIAS

8. Evaluar la integral impropia siguiente y asignar si es posible un valor al área que la integral considera:

න

0 ∞

𝑑𝑥

𝑥 𝑥 + 1

9. Evaluar la integral definida siguiente, trazar el área que considera y resolverla: