El Solucionario de Matemáticas para 3.º de ESO es una obra colectiva, concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana, dirigido por Enric Juan Redal.
En su realización han intervenido: Ana María Gaztelu
Augusto González EDICIÓN
Rafael Nevado Carlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa
Santillana
Matemáticas 3
ESO
134
Sistemas de ecuaciones
5
ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS
CLASES DE SISTEMAS RESOLUCIÓN GRÁFICA SISTEMAS DE DOS ECUACIONES
CON DOS INCÓGNITAS
SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES Y DOS INGÓGNITAS
Una clase improvisada
Estar invitado a la «fiesta de la Primavera», que cada año se celebraba en el palacio del maharajá, era un honor reservado tan solo a los personajes más influyentes.
Al subirse al elefante, el sabio Brahmagupta y su joven ayudante, Serhane, coincidieron en reconocer que el maharajá era muy generoso al enviar a su séquito para llevarlos a palacio. El joven ayudante pasó la mitad del camino quejándose de las disciplinas que tenía que estudiar: –Maestro, ¿por qué tengo que estudiar álgebra? No tiene ninguna utilidad, pues si tengo cinco monedas son cinco monedas y no cinco incógnitas… Y que la incógnita pueda ser cualquier cosa es antinatural. Brahmagupta tomó la palabra, y durante la mitad del camino que les quedaba, le explicó a su discípulo la utilidad del álgebra:
–Todo en este mundo tiene su significado: la estrella en la frente del elefante no solo es una estrella, significa que pertenece al maharajá, y la cruz coronada de cuatro círculos no es solo un dibujo, es el símbolo de la ciudad. En Matemáticas lo más sencillo es quitarle el significado a las cosas, operar con números y, después, interpretar el resultado. Tras estas palabras, maestro y discípulo permanecieron en silencio durante el kilómetro que faltaba para llegar al palacio. Con ayuda de una ecuación, calcula la distancia que ambos recorrieron a lomos del elefante.
x = distancia
§2x+x+ 4 = 4x§x= 4 Recorrieron una distancia de 4 km. 1
2 1 4 1 x++ x++ ==x
El nombre de la serie, LLaa CCaassaa ddeell SSaabbeerr, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la ense-ñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la rea-lidad, sino también la actuación sobre ella.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la rreesso o--lluucciióónn ddee ttooddooss llooss eejjeerrcciicciiooss yy pprroobblleemmaass formulados en el libro del alum-no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi-ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.
73
2
c) La distancia de la Tierra a Neptuno:
4,5 ⋅109−1,496 ⋅108=4,5 ⋅109−0,1496 ⋅109=4,3504 ⋅109km La velocidad es de 360.000 km/h =3,6 ⋅105km/h. De la Tierra a Neptuno se tarda:
(4,3504 ⋅109) : (3,6 ⋅105) =1,2084 ⋅104=12.084 horas =503,5 días En ir y volver se tardará el doble, es decir, 1.006 días, lo que equivale aproximadamente a 2 años y 9 meses, luego sí podríamos ir y volver de Neptuno. Ten en cuenta que estamos suponiendo que desde el primer momento alcanzamos la velocidad máxima de 360.000 km/h. Sergio acaba de llegar a Londres. Antes de su viaje cambió en el banco 200 libras y este es el recibo que le dieron.
Un euro vale 0,649900 libras, por lo que las 200 libras que cambió le costaron 307,74 €. Sergio quiere comprarse unos pantalones que cuestan 48,5 libras y necesita calcular su coste en euros para hacerse una idea de su valor. a) ¿Crees que es correcta su
estimación? ¿Qué error comete? b) Si las cinco noches de hotel
le cuestan 467 libras, ¿cuál será el valor en euros que hará Sergio según sus estimaciones? ¿Y cuál será el valor real?
a) 48,5 : 0,649900 =74,63 €, por lo que la estimación es errónea, y Sergio comete un error absoluto de 14,63 €y un error relativo de 0,196 €. b) El valor real es de 718,57€, y el error que cometerá es de: 718,57 ⋅0,196 =
=140,84€. Por tanto, él estimará: 718,57 −140,84 =577,73€.
COMPRA DE BILLETES EXTRANJEROS Y/O CHEQUES DE VIAJE EN DIVISA Y/O PAGO DE CHEQUE DE CUENTA EN DIVISA
D.SERGIO AVELLANEDA GIL
DomicilioAVENIDA DE LA LUZ, S/N
PoblaciónMADRID
C.P.28082 D.N.I./C.I.978687623
Concepto:OPERACION INVISIBLE
REF.6036786 B BAANNCCOO
ENTIDAD - OFICINA - CUENTA
2038 - 5538948273647783 EUR
DOCUMENTO DIVISA IMPORTE CAMBIO CONTRAVALOR
BILLETES GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR 307,74 EUR
FECHA OPERACIÓN:31/07/2007FECHA VALOR:31/07/2007TOTAL 307,74 EUR
Comisiones y gastos
(firma del interesado)
BA
NCO BAONC
(firma y sello)BBAANNCCOO
106 GGG
Cuesta unos… 60 € SOLUCIONARIO
72
EN LA VIDA COTIDIANA Navegando en Internet hemos llegado a la siguiente página.
a) ¿Qué distancia hay entre Mercurio y Saturno? b) ¿Qué distancia es mayor, la de la Tierra a Urano o la de Marte a Neptuno? c) Con una nave como la que describe en la segunda página, ¿cuánto se tardaría
en llegar a Neptuno? ¿Podríamos visitar Neptuno y volver a la Tierra? a) La distancia de Mercurio a Saturno:
1,429 ⋅109−5,791 ⋅107=1,429 ⋅109−0,05791 ⋅109= =1,37109 ⋅109km b) La distancia de la Tierra a Urano:
2,87 ⋅109−1,496 ⋅108=2,87 ⋅109−0,1496 ⋅109=2,7204 ⋅109km La distancia de Marte a Neptuno:
4,5 ⋅109−2,2794 ⋅108=4,5 ⋅109−0,22794 ⋅109=4,27206 ⋅109km Hay más distancia de Marte a Neptuno que de la Tierra a Urano. 105
GGG Números reales
Formación de los planetas Los planetas se formaron hace unos 4.500 millones de años, al mismo tiempo que el Sol.
En general, los materiales ligeros que no se quedaron en el Sol se alejaron más que los pesados. En la nube de gas y polvo original, que giraba en espirales, había zonas más densas, proyectos de planetas.
La gravedad y las colisiones llevaron más materia a estas zonas y el movimiento rotatorio las redondeó
Planetas Radio ecuatorial Distancia
al Sol (km) Lunas Periodo de Rotación Órbita Mercurio 2.440 km 5,791⋅ 107 0 58,6 dias 87,97 días
Venus 6.052 km 1,082⋅ 108 0 –243 dias 224,7 días
La Tierra 6.378 km 1,496⋅ 108 1 23,93 horas365,256 días
Marte 3.397 km2,2794⋅ 108 2 24,62 horas686,98 días
Júpiter 71.492 km7,7833⋅ 108 16 9,84 horas 11,86 años
Saturno 60.268 km1,429⋅ 109 18* 10,23 horas29,46 años
Urano 25.559 km 2,87⋅ 109 15 17,9 horas 84,01 años
Neptuno 24.746 km 4,5⋅ 109 8 16,11 horas164,8 años *Algunos astrónomos atribuyen 23 satélites al planeta Saturno.
Astronautas Vivir en el espacio Exploración ¿Estamos solos? Exploración ExoMars Futuras exploraciones en Marte Nueva formas de transporte
Navegación espacial
U
Un
niid
da
ad
d 0
0
Repaso
9-13
U
Un
niid
da
ad
d 1
1
Números racionales
14-43
U
Un
niid
da
ad
d 2
2
Números reales
44-73
U
Un
niid
da
ad
d 3
3
Polinomios
74-79
U
Un
niid
da
ad
d 4
4
Ecuaciones de primer
y segundo grado
100-137
U
Un
niid
da
ad
d 5
5
Sistemas de ecuaciones
138-177
U
Un
niid
da
ad
d 6
6
Proporcionalidad numérica
178-207
U
Un
niid
da
ad
d 7
7
Progresiones
208-241
U
Un
niid
da
ad
d 8
8
Lugares geométricos.
Figuras planas
242-273
U
Un
niid
da
ad
d 9
9
Cuerpos geométricos
274-309
U
Un
niid
da
ad
d 1
10
0
Movimientos y semejanzas
310-337
U
Un
niid
da
ad
d 1
11
1
Funciones
338-365
U
Un
niid
da
ad
d 1
12
2
Funciones lineales y afines
366-393
U
Un
niid
da
ad
d 1
13
3
Estadística
394-421
U
NÚMEROS
Halla seis múltiplos de cada número.
a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723
a) 10, 15, 20, 25, 30, 35 b) 20, 30, 40, 50, 60, 70 c) 100, 150, 200, 250, 300, 350 d) 144, 216, 288, 360, 432, 504 e) 200, 300, 400, 500, 600, 700
f) 900, 1.350, 1.800, 2.250, 2.700, 3.150 g) 1.200, 1.800, 2.400, 3.000, 3.600, 4.200 h) 1.446, 2.169, 2.892, 3.615, 4.338, 5.061
Obtén dos divisores de los siguientes números.
a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725
a) 1 y 5 c) 3 y 50 e) 20 y 80 g) 6 y 100 b) 3 y 5 d) 10 y 19 f) 5 y 9 h) 5 y 25
Completa los huecos con la palabra adecuada (múltiplo o divisor).
a) 24 es … de 6 c) 125 es … de 25
b) 12 es … de 24 d) 51 es … de 17
a) 24 es múltiplo de 6 c) 125 es múltiplo de 25 b) 12 es divisor de 24 d) 51 es múltiplo de 17
Averigua cuáles de los siguientes números son primos o compuestos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 y 6.723.
Primos: 79, 239, 313
Compuestos: 93 =3⋅ 31 117 =32⋅
13 585 =32⋅
5⋅ 13 1.001 =7⋅ 11⋅ 13 6.723 =34⋅ 83
Busca los números primos comprendidos entre 100 y 120.
Los números primos entre 100 y 120 son: 101, 103, 107, 109 y 113.
Completa los huecos.
a) Div (30) ={1, 2, 3,
,
,
, 15,
} b) Div (100) ={1, 2,
,
, 10,
, 25,
, 100} c) Div (97) ={
, 97}
d) Div (48) ={
, 2, 3, 4, 6,
,
,
,
,
}
a) Div (30) ={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} b) Div (100) ={1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} c) Div (97) ={1, 97}
d) Div (48) ={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} 006
Obtén el m.c.d. de cada pareja de números.
a) 6 y 14 c) 5 y 15 e) 76 y 85 g) 160 y 180
b) 9 y 10 d) 42 y 4 f) 102 y 104 h) 281 y 354
a) 2 c) 5 e) 1 g) 20 b) 1 d) 2 f) 2 h) 1
Obtén el m.c.m. de estos números.
a) 7 y 14 c) 9 y 16 e) 61 y 49 g) 150 y 415
b) 12 y 7 d) 8 y 25 f) 280 y 416 h) 296 y 432
a) 14 c) 144 e) 2.989 g) 12.450 b) 84 d) 200 f) 14.560 h) 15.984
Obtén el m.c.d. y el m.c.m. de cada grupo de números.
a) 25, 50 y 100 c) 40, 42 y 48 e) 8, 10, 12 y 14 b) 6, 7 y 8 d) 12, 18 y 20 f) 2, 4, 6, 8 y 10
a) m.c.m. (25, 50, 100) =100 m.c.d. (25, 50, 100) =25 b) m.c.m. (6, 7, 8) =168 m.c.d. (6, 7, 8) =1 c) m.c.m. (40, 42, 48) =1.680 m.c.d. (40, 42, 48) =2 d) m.c.m. (12, 18, 20) =180 m.c.d. (12, 18, 20) =2 e) m.c.m. (8, 10, 12, 14) =840 m.c.d. (8, 10, 12, 14) =2 f) m.c.m. (2, 4, 6, 8, 10) =120 m.c.d. (2, 4, 6, 8, 10) =2
Dos buques mercantes salen de un puerto el día 1 de enero. El primero tarda en regresar 26 días, y el segundo, 30 días. Ambos van y vienen constantemente. ¿Cuántos días tardan los buques en coincidir de nuevo en el puerto?
Calculamos el m.c.m. (26, 30) =390.
Los barcos tardan 390 días en volver a coincidir en el puerto, es decir, coincidirán el 25 de enero del siguiente año.
Se dispone de dos rollos de cuerda que tienen 144 y 120 m de longitud, respectivamente. ¿Cuál es el número de trozos iguales, de tamaño máximo, que se puede hacer con los rollos de cuerda?
Calculamos el m.c.d. (144, 120) =24.
El tamaño máximo de los trozos de cuerda es 24 m y, por tanto, el número de trozos que se puede hacer es:
=6 +5 =11 trozos. 144
24 120
24 + 011
Escribe todos los números enteros. a) Mayores que −4 y menores que +2. b) Menores que +3 y mayores que −5. c) Menores que +1 y mayores que −2. d) Mayores que −5 y menores que +6.
a) −4 < −3 < −2 < −1 <0 <1 <2
b) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 <0 <1 <2 <3 c) −2 < −1 <0 <1
d) −5 < −4 < −3 < −2 < −1 <0 <1 <2 <3 <4 <5 <6
Representa en la recta numérica los siguientes números: −6, 0, −8, +3, −5 y +4.
Indica el número entero que corresponde a cada punto marcado en la recta numérica.
a)
b)
a) A= −5, B= −3, C=2, D=5 b) A= −6, B= −4, C= −1, D=3
Completa con números enteros.
a) −3 <
<
< +1 c) −9 <
<
< −6 b)+3 >
>
> −1 d) −15 <
<
< −10 ¿Puedes colocar más de un número en cada hueco?
a) −3 < −2 < −1 < +1 c) −9 < −8 < −7 < −6 b) +3 > +2 > +1 > −1 d) −15 < −14 < −13 < −10 La solución no es única, salvo para el apartado c).
Calcula.
a) ⏐+3⏐ b) ⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐ a) ⏐+3⏐=3 c) ⏐−7⏐=7 e) ⏐+5⏐=5
b) ⏐−3⏐=3 d) ⏐−4⏐=4 f) ⏐−9⏐=9 Obtén los opuestos de estos números.
a) −5 b) +8 c) −15 d) −40 e) +125 f) −134
a) Op (−5) = +5 c) Op (−15) = +15 e) Op (+125) = −125 b) Op (+8) = −8 d) Op (−40) = +40 f) Op (−134) = +134 017
016 015
0
A B C D
A B C D
0
014
−8 −6−5 0 +3+4
Calcula.
a) (−11) +(+4) c) (−20) +(−12) b) (+13) +(+12) d) (+11) +(−15)
a) (−11) +(+4) = −7 c) (−20) +(−12) = −32 b) (+13) +(+12) =25 d) (+11) +(−15) = −4
Realiza estas restas.
a) (−5) −(+5) c) (−15) −(−17) b) (+3) −(−7) d) (+8) −(+7)
a) (−5) −(+5) = −10 c) (−15) −(−17) =2 b) (+3) −(−7) =10 d) (+8) −(+7) =1
Calcula.
a) (−4) +(+5) −(−18) c) (+20) −(−5) −(+5) b) (+30) −(+7) +(−18) d) (−12) −(+3) −(−7)
a) (−4) +(+5) −(−18) =19 c) (+20) −(−5) −(+5) =20 b) (+30) −(+7) +(−18) =5 d) (−12) −(+3) −(−7) = −8
Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas. a) (+13) +
=(+12) c) (−15) −
=(+9) b)
+(−20) =(−12) d)
−(+8) =(+7)
a) −1 b) 8 c) −24 d) 15
Calcula.
a) (+4) ⋅(−5) c) (−40) ⋅(−10) b) (−40) ⋅(+8) d) (+2) ⋅(+15)
a) (+4)⋅ (−5) = −20 c) (−40)⋅ (−10) =400 b) (−40)⋅ (+8) = −320 d) (+2)⋅ (+15) =30
Haz estas divisiones.
a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10)
a) (+35) : (−7) = −5 c) (−18) : (−2) =9 b) (−21) : (+3) = −7 d) (+40) : (−10) = −4
Completa los huecos para que las igualdades sean ciertas.
a) (+13) ⋅
=(+39) c) (−15) :
=(+5) b)
⋅(−6) =(−42) d)
: (+8) =(+2)
a) 3 b) 7 c) −3 d) 16 024
Realiza estas operaciones.
a) 6 +(−4 +2) −(−3 −1) e) 10 −(8 −7) +(−9 −3) b) 7 −(4 −3) +(−1 −2) f) 1 −(2 −3) +(−4 −5) c) 3 +(2 −3) −(1 −5 −7) g) −1 −(−1 +2 −5 +4) d)−8 +(1 +4) +(−7 −9) h) 3 +(5 −9) −(7 −5 −7)
a) 6 +(−4 +2) −(−3 −1) =6 +(−2) −(−4) =8 b) 7 −(4 −3) +(−1 −2) =7 −(+1) +(−3) =3 c) 3 +(2 −3) −(1 −5 −7) =3 +(−1) −(−11) =13 d) −8 +(1 +4) +(−7 −9) = −8 +(+5) +(−16) = −19 e) 10 −(8 −7) +(−9 −3) =10 −(+1) +(−12) = −3 f) 1 −(2 −3) +(−4 −5) =1 −(−1) +(−9) = −7 g) −1 −(−1 +2 −5 +4) = −1 −(0) = −1 h) 3 +(5 −9) −(7 −5 −7) =3 +(−4) −(−5) =4
Halla el valor de estas expresiones.
a) 8 +7 −6 +5 −11 +2 d) 100 −22 ⋅5 b) (−12) ⋅7 : 3 e) (−26) : 2 −6 : 3 +4 c) 9 −12 : 4 f) 15 ⋅(−9) −7 ⋅(−6) : 2
a) 8 +7 −6 +5 −11 +2 =5 b) (−12)⋅ 7 : 3 = −28
c) 9 −12 : 4 =6 d) 100 −22⋅ 5 = −10
e) (−26) : 2 −6 : 3 +4 = −13 −2 +4 = −11 f) 15⋅ (−9) −7⋅ (−6) : 2 = −135 +21 = −114
Haz estas operaciones. a) (−4) −(−6) : (+3) b) (+5) : (−5) −(−7) ⋅(+2)
c) (−11) −(+3) ⋅(−4) : (−6) −(−9) d) (−18) −[(+4) +(−6)] : (+2) +(+5) e) (−5) −(−9) −(+4) ⋅(−3) : (−2) : (−6) f) (+3) −(+6) : (+2) ⋅(−3) : [(−2) +(−1)]
a) (−4) −(−6) : (+3) =(−4) −(−2) = −2 b) (+5) : (−5) −(−7)⋅ (+2) = −1 −(−14) =13
c) (−11) −(+3)⋅ (−4) : (−6) −(−9) =(−11) −(+2) −(−9) = −4 d) (−18) −[(+4) +(−6)] : (+2) +(+5) =(−18) −(−1) +(+5) = −12 e) (−5) −(−9) −(+4)⋅ (−3) : (−2) : (−6) =(−5) −(−9) −(−1) =5 f) (+3) −(+6) : (+2)⋅ (−3) : [(−2) +(−1)] =(+3) −(−3) =0 027
Calcula.
a) (3 +2) ⋅(3 −1 +4) −2 ⋅(2 ⋅3) b) [(15 −16 +2) ⋅(−1) +9] ⋅7 c) 2 ⋅[−2 −2 −(2 −2 −2)]
d) [2 +3 −(6 +5)] −[(4 ⋅2) ⋅(−3 ⋅6) +1]
a) (3 +2)⋅ (3 −1 +4) −2⋅ (2⋅ 3) =30 −12 =18 b) [(15 −16 +2)⋅ (−1) +9]⋅ 7 =[(−1) +9] ⋅7 =56 c) 2⋅ [−2 −2 −(2 −2 −2)] =2 ⋅(−2) = −4
d) [2 +3 −(6 +5)] −[(4⋅ 2)⋅ (−3⋅ 6) +1] =(−6) −(−143) =137
Completa los huecos para que se cumplan las igualdades.
a) (−6) ⋅[(−1) +
] = −18 c) 3 −[
⋅5] =18 b) 8 ⋅[4 −
] =32 d) 1 +[3 :
] = −2
a) 4 b) 0 c) −3 d) −1
Expresa mediante una razón.
a) De las 55 preguntas del test he acertado 36. b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.
c) En el primer turno de comida comen 94 alumnos, y en el segundo, 65. d) Una frutería tiene 7 cajas de tomates y 3 de pimientos.
a) b) c) d)
En el comedor del colegio ponen 3 barras de pan por cada 8 alumnos. Hoy hemos comido 124 alumnos y han puesto 50 barras, ¿se ha mantenido la proporción?
Comprobamos si las dos razones: y forman una proporción. 3⋅ 124 ⫽8⋅ 50
Luego no se ha mantenido la proporción.
Identifica las razones que forman una proporción.
a) b) c)
a) Forman proporción: .
b) Forman proporción: .
c) Forman proporción: 7 5 . 3
10 4 ,
= 10
2 50 10 = 2 1
6 3 =
7 5 3
4 6
3 2
10 4 ,
, , ,
10 2
50 10
30 8
20 5
, , ,
2 1
8 2
6 3
9 5
, , ,
032
50
124 3
8 031
3 7 65
94 12
68 36
55 030
«PUEBLA DE MONTEALBO: SOLO EL 8 % DE LOS ENCUESTADOS CRITICA LA LABOR MUNICIPAL.»
Si Puebla de Montealbo tiene 7.000 habitantes, ¿cuántos, aproximadamente, aprueban la labor del alcalde?
El 8 % de 7.000 =560 personas critican la labor municipal. Luego 7.000 −560 =6.440 personas aprueban la labor municipal.
A la derecha ves la composición de un yogur:
Calcula el peso de sus componentes si pesa 125 g.
En 125 g de yogur hay:
3,5 % de 125 =4,375 g de proteínas 13,4 % de 125 =16,75 g de carbohidratos 1,9 % de 125 =2,375 g de grasas
GEOMETRÍA
Dibuja este polígono en tu cuaderno y señala sus lados, vértices y ángulos. Traza sus diagonales. ¿Cuántas diagonales tiene?
Tiene 5 diagonales.
Dibuja un octógono, un eneágono y un decágono que no sean regulares y dibuja sus diagonales.
036 035 034 033
VALOR NUTRITIVO
Proteínas: 3,5 % Carbohidratos: 13,4 %
Grasas: 1,9 %
G
G G
G
Vértice
Diagonal
Lado
Contesta si es verdadero o falso.
a) Un polígono puede tener más vértices que lados. b) Un polígono puede tener más vértices que ángulos. c) Un polígono puede tener más vértices que diagonales.
a) Falso. c) Verdadero, por ejemplo b) Falso. un triángulo o un cuadrado.
Dibuja una circunferencia con un compás. Después, traza una cuerda y los dos arcos que determina.
En esta circunferencia, señala los segmentos que son cuerdas, radios y diámetros.
Contesta a estas preguntas.
a) Un triángulo rectángulo, ¿puede ser equilátero?
b) ¿Cuál es el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles? c) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo con un ángulo
agudo que mide el triple que el otro ángulo agudo?
a) No, porque los tres ángulos de un triángulo equilátero miden 60°. b) Un ángulo mide 90° y los otros dos miden 45° cada uno. c) Un ángulo mide 90°, el otro mide 22,5° y el tercero 67,5°. Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales?
Los ángulos iguales miden: . 180 50
2 65
− = °
C
A B
041 040
Cuerdas
Diámetro
Radios
F F
G G G G 039
G F
Arco BA
Cuerda
G Arco AB
B
A
Si dibujamos un triángulo rectángulo, uno isósceles y otro escaleno, y los cortamos por una recta paralela a la base, ¿qué polígonos obtenemos en cada caso?
En el caso del triángulo rectángulo, si la base es uno de los catetos obtenemos otro triángulo rectángulo y un trapecio rectángulo.
Y si la base es la hipotenusa obtenemos un triángulo rectángulo y un trapecio.
En el caso del triángulo isósceles, si la base es el lado desigual obtenemos un triángulo isósceles y un trapecio isósceles. Y si la base es el lado desigual se obtiene un triángulo isósceles y un trapecio.
Calcula la medida de C$en este trapecio rectángulo sabiendo que B$=45°.
A$=90°, D$=90° y B$=45° → C$=360 −90 −90 −45 =135°
FUNCIONES
Indica las coordenadas de cada punto.
A(3, 2) C(0, 4) E(5, −3) A(3, 6) C(−4, 5) E(−5, 0) B(−4, 2) D(1, −3) F(−2, −2) B(6, 1) D(0, −1) F(4, −3)
A B
C
D E
Y
X
A
B C
D E
F 1 1
1 1
G Y
X
044
D C
A B
043 042
Dados los siguientes puntos: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) y D(−2, −3): a) Represéntalos en el plano.
b) Únelos en orden alfabético y une también D con A. ¿Qué figura obtienes?
Se obtiene un romboide.
Haz lo mismo con estos puntos: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) y E(0, −4).
La figura que se obtiene es un pentágono.
Representa los siguientes puntos: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) y E(−1, 2). a) Indica los puntos que tienen la misma ordenada.
b) ¿Cuántos puntos tienen la misma abscisa? ¿Cuáles son?
a) Tienen la misma ordenada: A, D y E. b) Tienen la misma abscisa: A y C.
Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto sea A(2, −1).
A Y
X 2
−1
048
A E
B
C
D Y
X 0
5
3
1
−1
−3
−5
047
A
E B C
D
Y
X 1
1
046
A B
C
D Y
X 1
1
045
3
EXACTOS PERIÓDICOS NO EXACTOS Y NO PERIÓDICOS
PUROS
FRACCIONES
MIXTOS
NÚMEROS
DECIMALES
FRACCIÓN
EQUIVALENTE OPERACIONES
FRACCIÓN IRREDUCIBLE
NÚMEROS RACIONALES
Al día se le asigna:
A la noche se le asigna: 6
9 2 3 = 3 9
1 3 =
El otrora poderoso pontífice romano había perdido todo su poder político
aunque a los ojos de cualquiera su presencia aún imponía un respeto
casi místico.
Ya anciano gustaba de pasear por su pasado, el único sitio adonde solo podía
llegar él y se sentía libre. Recordaba feliz su estancia en el monasterio catalán
de Ripoll, las frecuentes visitas a su imponente biblioteca y la ciencia
que venía del sur.
A su memoria volvían algunos de sus recuerdos iluminando
su rostro, como aquel ábaco que él mismo construyó
con los números arábigos escritos en sus fichas y cuyo uso
describió con detalle, o el proyecto de aquella máquina
que fraccionaría el tiempo, sustituta de la campana
de los monjes: maitines, laudes, prima, tercia…
Abrió el libro y, por azar, se encontró con el proyecto
de la máquina que medía el tiempo cuyas primeras
líneas decían:
Día y noche son las dos partes en que se
divide el día, mas no son iguales, el primero
de diciembre durante el día se han consumido
3 velas y 6 durante la noche…
De repente, como el humo de las velas tras un golpe de aire,
el imaginario camino trazado en el tiempo se desvaneció
al oír la voz de su secretario que, a cierta distancia, le informaba
de su próxima audiencia.
EJERCICIOS
Calcula.
a) de 450 b) de 350
a) b)
Comprueba si son equivalentes estas fracciones.
a) y b) y
a) Son equivalentes, ya que: 7 ⋅6 =42 =2 ⋅21. b) No son equivalentes, pues 12 ⋅25 =300 ⫽600 =60 ⋅10.
Representa, mediante un gráfico, estas fracciones como partes de la unidad.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Escribe fracciones cuyo valor numérico sea:
a) 2 b)−2 c) 0,5 d) 1,5
a) c)
b) d)
Escribe dos fracciones equivalentes a cada una de las siguientes por amplificación y otras dos por simplificación.
a) b) c)
AMPLIFICACIÓN SIMPLIFICACIÓN
a)
b)
c) 12
28 6 14
3 7
= =
12 28
24 56
36 84
= =
690 360
230 120
69 36
= =
690 360
1 380 720
2 070 1 080
= . = .
.
120 60
60 30
40 20
= =
120 60
240 120
360 180
= =
12 28 690
360 120
60
005
3 2 =1 5,
− = −6
3 2
1 2 =0 5, 14
7 =2
004
6 3 5
5 7
4 4
10
003
10 25 12 60 21
6 7 2
002
3
7 ⋅350=150 4
5 ⋅450=360 3 7 4
5
Calcula la fracción irreducible de estas fracciones.
a) b) c)
a) m.c.d. (18, 40) =2 ⎯→
b) m.c.d. (60, 75) =15 →
c) m.c.d. (42, 56) =14 →
Halla fracciones de denominador 100 que sean equivalentes
a las fracciones , y .
La fracción es irreducible. ¿Seguirá siendo irreducible si multiplicamos
el numerador y el denominador por 7?
No seguirá siendo irreducible, ya que el numerador y el denominador tienen 7 como común denominador.
Ordena, de menor a mayor.
a)
b)
a) m.c.m. (9, 3, 5, 30) =90;
b) m.c.m. (5, 4, 7, 9) =1.260;
3 7
4 9
3 5
3 4
< < <
4 9
560 1 260
=
.
3 5
756 1 260
3 4
945 1 260
3 7
540 1 260
= = =
. , . , . ,
1 3
11 30
2 5
4 9
< < <
4 9
40 90
1 3
30 90
2 5
36 90
11 30
33 90
= , = , = , =
3 5
3 4
3 7
4 9 , , , 4
9 1
3 2
5 11
30 , , ,
009
a b
008
11 20
55 100
=
39 50
78 100
=
13 25
52 100
=
11
20 39
50 13
25
007
42 56
3 4
=
60 75
4 5
=
18 40
9 20
=
42 56 60
75 18
40
Ordena, de menor a mayor: .
m.c.m. (9, 3, 4, 5 ,7) =1.260;
¿Cuánto tiene que valer a para que ?
a debe ser mayor que 7: a>7.
Calcula. a) c) b) d) a) b) c) d)
Realiza estos productos.
a) b)
a)
b)
Haz las siguientes operaciones.
a) b)
a)
b)− −5 9− = − − − = 4 3 14 140 28 63 28 6 28 209 28
− +7 − = − + − = −
2 9 4 5 8 28 8 18 8 5 8 15 8 − −5 9 −
4 3 14
−7 + −
2 9 4 5 8 014
(− ⋅4) 11 = − = − 2 44 2 22 12 5 7 3 84 15 28 5 ⋅ = =
(−4)⋅ 11 2 12 5 7 3 ⋅ 013 4 8 3 12 3 8 3 4 3 − = − = 5 3 4 3 1 3 − = 5 7 8 40 8 7 8 47 8 + = + = 7 8 3 8 10 8 5 4 + = = 4 8 3 − 5 7 8 + 5 3 4 3 − 7 8 3 8 + 012 a 5 7 5 > 011
− < − < < <3
Completa con una fracción.
a) b)
a)
b)
Realiza las divisiones.
a) c) b) d) a) c) b) d) Calcula. a) b) a) b) Opera. a) b) a) b)
Completa con una fracción para que estas igualdades sean ciertas.
a) b)
a) b) 6
5 3 5 30 15 6 3 : = = 3 5 21 20 60 105 4 7 : = = : 3 5 6 3 = = 21 20 3 5 : 019 9 4 5 6 8 9 6 5 83 36 6 5 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟:⎛⎝⎜⎜⎜− ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = :⎛⎛− ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −415
216 − ⋅ + −⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − ⋅ = 7 3 3 5 5 6 7 12 7 3 51 60 357 180 9 4 5 6 8 9 6 5 − + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟:⎛⎝⎜⎜⎜− ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅7 ⎛⎝⎜⎜⎜ + − ⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3 3 5 5 6 7 12 018 4 25 8 2 7 20 4 25 73 20 349 100 −⎛ − ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − = 5 9 7 5 4 15 5 9 17 15 76 45 +⎛ − ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + = 4 25 8 2 7 20 −⎛⎝⎜⎜⎜ − ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 5 9 7 5 4 15 +⎛⎝⎜⎜⎜ − ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 017
(−5) : 10 = − = − 9 45 10 9 2 8 11 3 5 40 33 : = 4 7 2 8 7 : = 9 5 4 7 63 20 : =
(−5) : 10 9 8 11 3 5 : 4 7 2 : 9 5 4 7 : 016 3 7 1 21 10 21 3 7 10 21 1 21 + = → − = − 1 4 1 3 1 12 1 3 1 12 1 4 − = − → + − =
Indica la parte entera, la decimal, el período y el anteperíodo.
a) 0,333… c) 3,37888…
b) 234,4562525… d) 0,012333…
a) Parte entera: 0. c) Parte entera: 3. Período: 3. Anteperíodo: 37.
Período: 8. b) Parte entera: 234. d) Parte entera: 0.
Anteperíodo: 456. Anteperíodo: 012. Período: 25. Período: 3.
Clasifica estos números.
a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6
a) Periódico puro. b) Periódico mixto. c) Decimal exacto.
Completa hasta diez cifras decimales. a) 1,347347… c) 3,2666… b) 2,7474… d) 0,253737…
a) 1,3473473473 c) 3,2666666666 b) 2,7474747474 d) 0,2537373737
Escribe dos números decimales no exactos y no periódicos.
2,12345678… y 56,12112111211112…
Sin realizar la división, clasifica estas fracciones según se expresen como un número entero, decimal exacto, periódico puro o periódico mixto.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Periódico. f) Periódico. b) Periódico. g) Entero. c) Decimal exacto.
h) Decimal exacto. d) Entero.
e) Decimal exacto. i) − Periódico.
− = −−
346 222
173 111 → 111
240 37 80
= →
−84 = −
210 2 5 → −
− 346 222 17
6 9
5
−84 210 111
240 7
6
−85 17 175
25 5
3
Escribe dos fracciones que expresen: a) Un número entero.
b) Un número decimal exacto. c) Un número decimal periódico.
a) b) c)
Una fracción cuyo numerador no es múltiplo del denominador y el denominador tiene factores distintos de 2 y 5, ¿qué tipo de número decimal expresa?
Expresa un decimal periódico puro, ya que no es entero y los factores del denominador son distintos de 2 y 5.
Obtén la fracción generatriz de estos números decimales. a) 3,54 f) 0,8)
b) 9,87 g) 0,77) c) 0,000004 h) 5,211) d) 24,75 i) 37,111) e) −7,002 j) −2,02)
a) f)
b) g)
c) h)
d) i)
e) j)
Expresa en forma de fracción.
a) 3,9) b) 1,79) c) 15,9) ¿A qué equivale el período formado por 9?
a) b) c)
El número decimal periódico puro con período 9 equivale al número entero inmediatamente superior.
Completa: a) b)
a) b)5 6 28
5 , = 5 33 533
100 , =
5 6 5 , = 5 33, = 533
029
144 9 =16 162
9 =18 36
9 =4
028
−200 99 −7 002 = −
1 000
3 501 500 .
.
.
4 120 111
. 2 475
100 99
4 .
=
5 206 999
. 4
1 000 000
1 250 000
. . = .
7 9 987
100
8 9 354
100 177
50 =
027 026
5 3
8 35 y 3
5 7 2 y 4
2 20
4 y
Obtén la fracción generatriz de estos números.
a) 3,24) b) 11,87) c) 5,925
)
a) b) c)
Calcula, utilizando fracciones generatrices.
a) 2,75 +3,8 b) 5,06) −2,95)
a)
b)
Razona, sin hallar la fracción generatriz, por qué son falsas las igualdades.
a) c)
b) d)
a) Es falsa, porque el denominador debe ser 990, 99 del período y 0 del anteperíodo.
b) Es falsa, porque el numerador no puede ser mayor que la parte entera, el período y el anteperíodo juntos, en este caso 23.
c) Es falsa, porque el cociente es menor que 2 (55 <2⋅ 45) y el número es mayor que 12.
d) Es falsa, porque el denominador debe ser divisor de 900 y no lo es.
Completa esta tabla, teniendo en cuenta que un número puede estar en más de una casilla.
−0,224466881010… −1,897897897…− 24
0,67543 −3,0878787… −1,5
Escribe cuatro fracciones que representen números racionales que sean:
a) Menores que 1 y mayores que −1. b) Mayores que −1 y menores que 0.
a) b) −5 − − −
9 1 3
2 5
51 65
, , ,
−7 −
9 2 3
2 5
48 65 , , ,
034
Número natural
Número entero
Decimal exacto
Decimal periódico
Decimal no exacto y no periódico
Número racional 24 24 0,67543 −1,897897897… −0,224466881010… 0,67543
−1,5 −3,0878787… −1,897897897…
−3,0878787… 24 −1,5 033
0124 56 495 , = 0 023 321
990 , =
12 37 55 45 , = 0 243 241
999 , =
032
456 90
266 90
190 90 2
− = = ,1
275 100
38 10
275 380 100
655 100 6 55
+ = + = = ,
031
5 866 990
. 1 069
90 . 292
90
Escribe cuatro números que no sean racionales y que estén comprendidos entre: a) −1 y 1 b) −1 y 0
a) −0,01001000100001…; −0,12345678…; 0,122333444455555…; 0,135791113…
b)−0,01001000100001…; −0,12345678…; −0,122333444455555…;
−0,135791113…
ACTIVIDADES
Expresa estos enunciados utilizando una fracción.
a) Una pizza se ha partido en 8 partes y Juan se ha comido 2. b) De una clase de 20 alumnos, 15 han ido de excursión. c) De un grupo de 7 amigas, 3 son pelirrojas.
d) Una de cada cinco personas tiene problemas de espalda.
a) b) c) d)
Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura.
a) c)
b) d)
a) b) c) d)
Representa, utilizando figuras geométricas, las siguientes fracciones.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
4 9 7
6 5
2 3
7
038 ●
3 5 2
8 1 4
=
11 8 1
3
037 ●
1 5 3
7 15
20 3 4
=
2 8
1 4
=
Colorea los de la figura.
Calcula.
a) de 180 c) de 40 e) de 320
b) de 420 d) de 540 f) de 1.342
a) 90 b) 350 c) −16 d) 240 e) 200 f) −366
041
−3 11 4
9 5
6
5 8 −2
5 1
2
040 ●
3
039 ●
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE REPRESENTAN FRACCIONES IMPROPIAS EN LA RECTA NUMÉRICA?
Representa en la recta numérica la fracción .
PRIMERO.Se expresa la fracción como un número entero más una fracción propia.
→ →
La fracción está comprendida entre 5 y 6.
SEGUNDO.Se divide el trozo de recta comprendido entre 5 y 6 en tantas partes
como indica el denominador, 3, y se toman las que señala el numerador, 1. Para dividir el trozo de recta se traza una semirrecta con origen en 5, con la incli-nación que se desee, y se dibujan tres segmentos iguales.
Se une el extremo del último segmento con el punto que representa a 6, y se trazan paralelas a esa recta desde las otras dos divisiones.
5 6
5 16
3
6
5 6
16
3 5
1 3
= +
16 3 1 5
16 3
Representa estos números racionales.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
¿Qué fracción representa cada letra?
a)
b)
c)
a) b) c)
Indica si son o no equivalentes estos pares de fracciones.
a) d)
b) e)
c) f)
a) 3⋅ 7 ⫽10⋅ 21. No son equivalentes. b)−1⋅ 30 ⫽7⋅ (−14). No son equivalentes. c) 6⋅ 8 ⫽10⋅ 3. No son equivalentes. d)−2⋅ 5 ⫽3⋅ (−4). No son equivalentes. e) 2⋅ 20 =5⋅ 8. Sí son equivalentes. f) 20⋅ 450 ⫽50⋅ 120. No son equivalentes.
20 50
120 450 y 6
10 3 8 y
2 5
8 20 y
−1 −
7
14 30 y
−2 −
3 4 5 y 3
10 21
7 y
044 ●
6 2 6
38 6
+ =
1 1 5
6 5
+ =
− −2 2 = −
3 8 3
C
6 7
B
1 2
A
−3 −2 −1
043 ●
28 8
3 4
−
− = = +
28 8
28
8 3
4 8
13 3
4 5
13
3 4
1 3
= +
−7 5
−2 −1
− = − −7
5 1
2 5
2 9
0 1
− −
28 8 −7
5 13
3 2
9
Calcula el valor de x para que las fracciones sean equivalentes.
a) b) c) d)
a) x= =15 c) x= =8
b) x= =6 d)x= =3
Completa.
Agrupa las fracciones que sean equivalentes.
Obtén dos fracciones equivalentes a cada una de las dadas por amplificación y otras dos por simplificación.
Amplificación: . Amplificación: .
Simplificación: . Simplificación: .
Amplificación: . Amplificación: .
Simplificación: . Simplificación: .
Amplifica las siguientes fracciones, de forma que el denominador de la fracción amplificada sea un número mayor que 300 y menor que 400.
a) b) c) d) e) f)
a) c) e)
b) d) f) −770
350 −30 370 162 312 120 320 900 330 100 360 −11 5 3 8 −3 37 3 11 27 52 5 18 049 ●● 504 72 252 36 126 18 = = 60 36 30 18 10 6 = = 504 72 1 008 144 1 512 216 = . = . 60 36 300 180 600 360 = = 30 45 6 9 2 3 = = 8 100 4 50 2 25 = = 30 45 300 450 600 900 = = 8 100 16 200 24 300 = = 504 72 30 45 60 36 8 100 048 ●
−1 − 2 3 6 y 4 2 10 5 y − − 20 40 2 4 y 20 40 4 2 1 2 10 5 2 4 3 6 , , − , − , , − − 047 ● 2 3 4 6 4 6 20 30 30 45 = = = = 2 3 4 6 30 30 = = = = 046 ● 14 9 42 ⋅ 9 4 6 ⋅ 12 6 9 ⋅ 10 6 4 ⋅ 14 42 = 9
x x 12 6 9 = 9 6 4 x = 10 4 = 6
x
045
Simplifica hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
Señala cuáles de estas simplificaciones de fracciones están mal hechas y razona por qué.
a) c)
b) d)
a) Mal, pues no se pueden simplificar sumandos del numerador y del denominador.
b) Bien.
c) Mal, ya que no se pueden simplificar sumandos del numerador y del denominador.
d) Bien, aunque se podría simplificar más.
Escribe una fracción equivalente a y otra equivalente a , ambas con el mismo denominador.
m.c.m. (5, 6) =30
Ordena, de mayor a menor.
a) d)
b) e)
c) f) 2
5 4 7 8 35 1 2 , , , 3 8 10 24 20 48 , ,
−43 −
60 10 40 8 10 , , −11 −
8 7
8 ,
−4 − −
6 21 6 5 12 , , 4 9 7 8 , − 053 ● → 1 5 6 30 4 6 20 30
= y =
4 6 1 5 052 ●● 40 80 40 20 80 20 2 4 = : = : 22 14 2 11 2 7 11 7 = ⋅ ⋅ = 20 18 15 5 15 3 5 3 = + + = 22 13 11 11 11 2 11 2 = + + = 051 ●● 1 3 2 3 4 9 10 7 8 9 105 4 5
a) b) c) d) e) f)
Escribe una fracción comprendida entre:
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f) ⎛− + −
⎝
⎜⎜⎜ 5 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −
9 6 9 2 11 18 : 7 6 8 6 2 15 12 5 4 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =: − + ⎛ ⎝
⎜⎜⎜ 1 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
6 1 5 2 1 60 : 9 7 11 9 2 158 126 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =: − + − ⎛ ⎝
⎜⎜⎜ 3 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −
7 2 5 2 29 70 : 4 5 7 8 2 67 80 + ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =:
−5 −
9 6 9 y
−3 −
7 2 5 y 9 7 11 9 y −1 6 1 5 y 7 6 8 6 y 4 5 7 8 y 055 ●● 054 2 5 28 70 4 7 40 70 8 35 16 70 1 2 35 70 4 7 1 2 2
= , = , = , = → > >
5 5 8 35 > 10 40 15 60 8 10 48 60 10 40 43 60 8 10
= , − = − → > − > −
− = − − = −4 − > − > −
6 8 12 21 6 42 12 5 12 4 6 21 6 , → 3 8 18 48 10 24 20 48 10 24 20 48 3 8
= , = → = >
− > −7
8
11 8
9 > −8
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE OBTIENE UNA FRACCIÓN COMPRENDIDA ENTRE OTRAS DOS FRACCIONES?
Encuentra y escribe una fracción comprendida entre las fracciones y .
PRIMERO.Se suman ambas fracciones.
SEGUNDO.Se divide entre 2 la fracción obtenida.
La fracción está comprendida entre y 7.
Calcula.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Haz las siguientes restas.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Calcula.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Opera.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f) −18 − − = −
21 63 21 49 21 130 21
− +8 − = −
20 15 20 20 20 13 20 18 24 15 24 192 24 159 24 + − = − 10 12 20 12 15 12 45 12 15 4 + + = = 14 30 20 30 5 30 11 30 − − = − 24 16 5 16 6 16 23 16 + − =
−6 − −
7 3 7 3 7 15 2 3 1 6 − − 5 6 5 3 5 4 + + 9 12 5 8 8 + −
− + −2
Efectúa estas operaciones.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f)
Completa los huecos.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Realiza estos productos.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Opera.
a) c) e)
b) d) f)
a) d)
b) e)
c) f) 9 3 11
4 11 3 9 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 27 42 9 14 = 162 35
−14 = −
36 7 18 3 24 1 8 = 36 30 6 5 = 9 4 3 11 11 3 ⋅ ⋅ − ⎛ ⎝
⎜⎜⎜ 1⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜− ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 4 3 6 2 9 7 4 ⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 9 7 6 5 3 ⋅ ⋅ 9 6 3 7 ⋅ 12 5 3 6 ⋅ 063 ●● 84 9 28 3 = 70 6 35 3 = 40 14 20 7 = 12 15 4 5 = 21 4 9 ⋅ 7 2 10 3 ⋅ 5
14 ⋅8 2 3 6 5 ⋅ 062 ●
= 1− − = −
4 1 6 1 5 7 60
= 4 − =
5 4 6
2 15
= 3− − = −
9 3 7 3 8 79 504
= 1 − =
2 1 3 1 6 = 1 6 1 4 1 5 − − = 4 6 4 5 − = 3 9 3 7 3 8 + = 1 2 1 3 + 061 ●● 1 521 1 287 99 1 287 1 573 1 287 3 193 1 287 . . . . . . . + + = 9 18 2 18 2 18 9 18 1 2 + − + = = 588 924 77 924 330 924 995 924 + + = 50 70 7 70 43 70 + − = 385 77 70 77 110 77 565 77 + + = −7 16 13 11 1 13 11 9 + + 5 10 11 10 7 + + 5 7 1 10 + − 7 11 1 12 5 14 + + 1 2 1 9 2 18 + − + − + −5
16 2 16
Calcula.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Efectúa las divisiones.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Completa los huecos.
a) d)
b) e) (−5) ⋅
c) f) = −2
a)
b)
c)
d)
e)
f) = 4 − = −
5 2
2 5 : ( )
= −10 − =
3 5
2
3 : ( )
= 1 = =
4 1 5 1 6 30 4 15 2 : :
= 3 =
9 3 7 3 8 56 27 : :
= 4 − = −
5 4 6 6 5 :
= 1 =
4 1 3 3 4 : 4 5 : = 3 9 3 7 3 8 ⋅ ⋅
= −10 3 = −4
6 4 5 : = 1 6 1 4 1 5 : : = 1 4 1 3 ⋅ 066 ●●
−15 = −
60 1 4 64 3 11 21 14 105 2 15 = 5 6 10 3 :⎛− ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 8 3 8 : 11 3 :7 7 5 21 2 : 065 ●
−40 = −
Calcula.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Realiza las operaciones.
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
a) e)
b) f)
c) g)
d) h)
Señala la parte entera y decimal de los siguientes números.
a) 0,75 c) 1,8989… e) 2,161820…
b) 274,369 d) 127,4555… f) −7,0222…
a) Parte entera: 0. Parte decimal: 75. b) Parte entera: 274. Parte decimal: 369. c) Parte entera: 1. Parte decimal: 8989… d) Parte entera: 127. Parte decimal: 4555… e) Parte entera: 2. Parte decimal: 161820… f) Parte entera: −7. Parte decimal: 0222…
Expresa, mediante una fracción y mediante un número decimal, la parte coloreada de cada una de las figuras.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Indica cuáles de los números son periódicos y cuáles no. Señala el período para los que sean periódicos.
a) 1,333… d) 6,987654…
b) 2,6565… e) 0,010101…
c) 3,02333… f) 1,001002003…
a) Periódico, de período 3. b) Periódico, de período 65. c) Periódico, de período 3. d) No periódico.
e) Periódico, de período 01. f) No periódico.
Clasifica estos números decimales en exactos, periódicos puros, periódicos mixtos o no exactos y no periódicos.
a) 1,052929… f) 13,12345666…
b) 0,89555… g) −1.001,034034…
c) −7,606162… h) 0,0000111…
d) 120,8 i) −1,732
e) −98,99100101… j) 0,123456777…
a) Periódico mixto. f) Periódico mixto. b) Periódico mixto. g) Periódico puro. c) No exacto y no periódico. h) Periódico mixto. d) Exacto. i) Exacto. e) No exacto y no periódico. j) Periódico mixto.
072 ●● 071 ●●
1
6 =0 1666, ... 3
4 =0 75,
1 2 =0 5, 1
2 =0 5,
Razona qué tipo de número: entero, decimal exacto o periódico, expresan las siguientes fracciones.
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
a) Exacto, porque el denominador de su fracción irreducible solo tiene 2 como factor.
b) Entero, porque el numerador es múltiplo del denominador.
c) Periódico mixto, porque el denominador de su fracción irreducible tiene como factores 2 y 3.
d) Exacto, porque el denominador solo tiene como factores 2 y 5.
e) Periódico mixto, porque el denominador de su fracción irreducible tiene como factores 5 y 3.
f) Periódico puro, porque los factores del denominador son distintos de 2 y 5. g) Entero, porque el numerador es múltiplo del denominador.
h) Exacto, porque el denominador de su fracción irreducible solo tiene como factores 2 y 5.
i) Periódico mixto, porque el denominador tiene como factores 2, 3 y 5.
Obtén la fracción generatriz.
a) 5,24 c) 3,7) e) 5,12)
b) 1,735 d) 5,43) f) 0,235)
a) c) e)
b) d) f)
Expresa en forma de fracción estos números.
a) −7 d) 9,6) g) 9,54)
b) 6,05 e) 4,07) h) 0,315)
c) −0,00182 f) −14,413) i) 0,0123)
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i) 122
9 900 61 4 950 . = .
−14 399
999 .
− 182 = −
100 000
91 50 000
. .
312
990 52
165
=
403
99 605
100 121
20
=
859 90 87
9 29
3
=
−7
1
075 ●
233
990 538
99 1 735
1 000 347
200 .
. =
461 90 34
9 524
100 131
25
=
074 ●
19 90 15
21 4
24
21 420 −34
30 −44
11
22 1 − 51
20 27
36
Expresa en forma decimal las fracciones, y en forma fraccionaria, los decimales.
a) f) k)
b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435
c) 13,7) h) 6,16) m) 1,274) d) 8,91) i) 18,57) n) 0,315)
e) j) 2,265) ñ) 0,0123)
a) 1,125 f) 0,81) k) 1,12)
b) g) l)
c) h) m)
d) i) n)
e) 4,8 j) ñ)
Calcula, utilizando las fracciones generatrices.
a) 0,2777… + 2,333… c) 0,44…⋅ 2,5151… b) 3,5666… − 2,2727… d) 1,13888… : 0,9393…
a) c)
b) d)
Indica si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, justificando tu respuesta.
a) Todo número decimal puede expresarse en forma de fracción. b) Un número entero se puede expresar como una fracción. c) En un número decimal periódico, las cifras decimales se repiten
indefinidamente después de la coma.
d) Si un número decimal tiene como período 0, es un número exacto.
a) Falso, los decimales no exactos y no periódicos no se pueden expresar como fracción.
b) Verdadero, la fracción será el cociente del número y la unidad. c) Verdadero en el caso de los periódicos puros, pero no en los periódicos
mixtos.
d) Verdadero, ya que tiene un número exacto de cifras decimales.
078 ●●
1 025 900
93 99
451 372 .
: =
321 90
225 99
1 281 990
− = .
44 100
249 99
913 825
⋅ =
25 90
21 9
235 90
47 18
+ = =
077 ●●
12 990
2 165
=
2 039 900
.
284 900
71 225
=
1 839 99
613 33 .
=
802 90
401 45
=
1 273 999 . 555
90 37
6
=
124 9
10 435 10 000
2 087 2 000 .
.
. .
=
278 1 000
139 500
. =
735 100
147 20
=
48 10
101 90 9
11 9
8
Se dispone de 30 metros de tela. Calcula cuántos metros son:
a) de la tela b) de la tela c) de la tela
a)
b)
c)
Una empresa ha ingresado esta semana dos quintos de 12.300 €€. Calcula el dinero que ha ingresado la empresa.
Ha ingresado: €.
Un padre le da a su hija mayor 30 €€, y a su hijo menor, la tercera parte de lo que ha recibido la mayor. ¿Cuánto ha recibido el hijo menor?
El hijo menor ha recibido: €.
Para el cumpleaños de mi madre, le hemos regalado una caja de bombones.
Hemos comido ya las partes de la caja. Si la caja contenía 40 bombones,
¿cuántos bombones quedan?
Queda de la caja, es decir: 1 bombones.
4⋅40=10 1
4
3 4
083 ●● 082
1
3⋅30=10
081 ●
2
5 ⋅12 300. =4 920.
080 ●
5
6 ⋅30=25m 7
30 ⋅30=7m 3
5 ⋅30=18m
5 6 7
30 3
5
079 ●
HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS EN LOS QUE SE CONOCE UNA PARTE DEL TOTAL?
En la clase, las partes son chicos. ¿Cuántas chicas hay si son 25 alumnos en total?
PRIMERO.Se resta la parte conocida, , al total, 1, para calcular la parte desconocida.
son chicas
SEGUNDO.Se calcula lo que representa esa parte en el total de alumnos, 25.
15 chicas
3 5 25
3 5 25
3 25 5
75 5
de = ⋅ = ⋅ = =
1 2 5
5 5
2 5
3 5
− = − =
2 5 2
Los tres octavos del total de alumnos de un IES llevan gafas. Si llevan gafas 129 alumnos, ¿cuántos alumnos son en total?
alumnos son en total.
Un granjero quiere vallar un terreno de 2.275 m de largo. El primer día hace
los del trabajo, y el segundo día, los . ¿Cuántos metros faltan por vallar?
→ faltan.
Unos amigos recorren 105 km en bicicleta. El primer día hacen del camino
y el segundo día , dejando el resto para el tercer día.
¿Cuántos kilómetros recorren cada día?
1.er
día → 3.er
día → 105 −(28 +35) =42 km
2.odía →
Una familia gasta de sus ingresos mensuales en el alquiler del piso,
en el teléfono y en transporte y ropa.
¿Cómo se distribuyen los gastos si sus ingresos mensuales son de 3.000 €€?
Alquiler ⎯→ € Transporte y ropa → €
Teléfono → €
En un campamento, de los jóvenes son europeos, asiáticos y el resto africanos.
Si hay en total 800 jóvenes:
a) ¿Cuántos jóvenes europeos hay?
b) Si la mitad de los asiáticos son chicas, ¿cuántas chicas asiáticas habrá? c) ¿Cuántos de estos jóvenes son africanos?
a) Europeos →
b) Asiáticas →
c) Africanos → 800 −300 −160 =340
1
5 ⋅800 2 160 2 80
⎛ ⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =: : =
3
8 ⋅800=300
1 5 3
8
088 ●●
1
60 ⋅3 000. =50
1
8⋅3 000. =375 1
15 ⋅3 000. =200 1
8 1
60
1 15
087 ●●
4
15 ⋅105=28km 1
3 ⋅105=35km 4
15
1 3
086 ●●
16
35 ⋅2 275. =1 040. m 1 3
7 2
5 1
29 35
16 35
−⎛ +
⎝
⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
2
5 3
7
085 ●●
3 8
129 129 8
3 344
= = ⋅ =
x → x
Tenemos una pieza de alambre de 90 m. Vendemos las partes a 3 €€/m,
del resto a 4 €€/m y los metros que quedan a 2 €€/m. ¿Cuánto hemos ganado
si habíamos comprado el metro de alambre a 2 €€?
, a 3 €/m, son 180 €.
, a 4 €/m, son 20 €. 90 −60 −5 =25 m, a 2 €/m, son 50 €.
El alambre costó: 90⋅ 2 =180 €y hemos cobrado: 180 +20 +50 =250 €. Por tanto, hemos ganado: 250 −180 =70 €.
Tres amigos se reparten 90 €€que han ganado en la quiniela de la siguiente manera: el primero se queda con la quinta parte, el segundo con la tercera parte de lo que recibe el primero, y el tercero con la mitad de lo que recibe
el segundo.
a) ¿Qué fracción representa lo que obtiene cada uno?
b) ¿Cuánto dinero se queda cada amigo?
c) ¿Y cuánto dinero dejan de bote?
a) 1.o
→ 2.o
→ 3.o
→
b) 1.o→ €
2.o→ €
3.o→ €
c) 90 −(18 +6 +3) =63 €dejan de bote.
1
30 ⋅90=3 1
15 ⋅90=6 1
5 ⋅90=18
1 2
1 15
1 30
⋅ =
1 3
1 5
1 15
⋅ =
1 5
091 ●●
1
6⋅(90−60)=5m 2
3⋅90=60m 1
6
2 3
090 ●●
089 HAZLO ASÍ
¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN?
Cristina debe leer un libro para el colegio. El primer día lee la cuarta parte del libro, y el segundo día, la mitad de lo que le quedaba. ¿Qué fracción representa lo que lee el segundo día?
PRIMERO.Se calcula la fracción de la que se hallará su parte.
El primer día lee , y le quedan: .
SEGUNDO.Se calcula la parte de la fracción.
El segundo día lee: .
Por tanto, el segundo día lee 3 del libro.
8 3
4 2 3 8 : =
1 1 4
3 4
− =
