Nombre del Docente: ALVARO J. CASTILLO G. Correo E: ajcastillo@educacionbogota.edu.co Grado: 11 Asignatura: FÍSICA Sede: A Jornada Mañana Título o Tema: MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE II
Objetivos:
1. Clasificar el movimiento pendular en condiciones ideales como un movimiento armónico simple.
2. Identificar las magnitudes asociadas al péndulo simple y del sistema masa resorte y las variables de las cuales dependen.
3. Aplicar los conceptos y principios inherentes al M.A.S en el estudio del comportamiento de un péndulo simple y de un sistema masa resorte oscilante.
4. Utilizar el principio de conservación de la energía para la solución de problemas relacionados con el movimiento de un péndulo simple y un sistema masa resorte. Desempeños:
1. Clasifica el movimiento pendular en condiciones ideales como un movimiento armónico simple.
2. Identifica las magnitudes asociadas al péndulo simple y del sistema masa resorte y las variables de las cuales dependen.
3. Aplica los conceptos y principios inherentes al M.A.S en el estudio del comportamiento de un péndulo simple y de un sistema masa resorte oscilante.
4. Utilizar el principio de conservación de la energía para la solución de problemas relacionados con el movimiento de un péndulo simple y un sistema masa resorte.
5. Demuestra interés en el tema y lo manifiesta utilizando los distintos canales de comunicación virtual para solucionar dudas y para cumplir con la entrega de talleres. Fecha Inicio: 24 de agosto Fecha de Entrega: 28 de agosto
Introducción:
En este módulo abordaremos los temas correspondientes a las características de dos sistemas oscilantes muy importantes para las ciencias físicas y las ciencias aplicadas como son; el péndulo simple y los sistemas masa resorte y el uso del principio de conservación de la energía mecánica para su estudio.
REQUISITOS PREVIOS
Para poder abordar los temas contenidos en la presente guía el estudiante debe tener conocimiento de los siguientes temas:
1. Cinemática.
2. Fuerzas recuperadoras (Ley de Hooke)
3. Energía mecánica y principio de conservación de la misma. 4. Principios fundamentales del movimiento armónico simple.
Contenidos 1. Energía en un movimiento armónico simple 2. Periodo de un sistema masa resorte
3. Periodo de un péndulo simple.
1. Energía en un movimiento armónico simple
Cuando se deja la masa libremente, ésta comienza a adquirir velocidad o sea energía cinética a costa de la energía potencial elástica inicial. Cuando la masa pasa por el punto de equilibrio toda la energía inicial se ha convertido en cinética, ya que en este punto no existe energía potencial elástica.
Después la masa comienza a perder energía cinética porque la fuerza recuperadora del resorte está dirigida en dirección contraria a la velocidad, produciendo una aceleración retardatriz que frena el movimiento. De esta forma la energía potencial elástica inicial se recupera cuando la masa llega al punto de retomo.
Vemos cómo el trabajo realizado depende de la elongación a la cual deformamos el resorte un instante antes de iniciar el movimiento.
Inicialmente el resorte se deforma una longitud igual a la amplitud del movimiento por lo que encontramos que el trabajo realizado y la energía potencial inicial del sistema masa resorte son:
Epe = 𝐤𝐀²
𝟐
De acuerdo con la ley de conservación de la energía mecánica, la ecuación energética del sistema en cualquier instante de su trayectoria resulta ser:
𝐤𝐀² 𝟐
=
𝐤𝐱² 𝟐
+
𝐦𝐯² 𝟐
En donde:
La energía potencial elástica inicial es la misma energía mecánica total del sistema
𝐤𝐀² 𝟐
La energía potencial elástica en punto del recorrido de la masa y en un instante
𝐤𝐱² 𝟐
La energía cinética de la masa en el mismo instante
𝐦𝐯² 𝟐
Observa el desarrollo del ejercicio modelo que te presento a continuación, aclarará tus dudas:
ACTIVIDAD 1 Realiza los siguientes ejercicios:
a. Una masa de 15 kg de masa se liga a un resorte de constante de elasticidad k = 0.9 N/m. Si se desplaza 15 cm (0.15m) del punto de equilibrio, calcula: la energía mecánica
Cálculo de la velocidad máxima
La velocidad máxima se obtiene cuando la masa pasa por el punto de equilibrio donde la energía total es cinética, como el resorte en ese punto no experimenta elongación, no hay energía potencial elástica.
ET=Ek =
𝐦𝐯² 𝟐
Despejamos V de la ecuación obteniendo:
V= 2𝐸T
𝑚
V = (2)(0.004𝐽)
10 𝑘𝑔
V = 0.028 m/s Cálculo de la energía potencial inicial
que es a su vez la energía mecánica total
En el instante inicial toda la energía del sistema es potencial elástica.
ET = Epe = 𝐤𝐀²
𝟐
ET = (0,8𝑁/𝑚).(0,1𝑚)² 2
ET = 0.004 J
Cálculo de la energía potencial elástica cuando ha transcurrido la tercera parte de un periodo
Primero se halla la elongación para t = T/3
X = A cos (ωt) X = (0.1m) cos [ 2𝜋
𝑇 ( 𝑇 3)]
X = (0.1m) cos 2𝜋 3
X = -0.05 m
Luego se calcula la energía potencial elástica en X = -0.05 m
Epe = 𝐤𝐱²
𝟐 Epe =
(0.8𝑁/𝑚)(0.05𝑚)² 2 Epe = 0.001J
Cálculo de la energía cinética cuando ha transcurrido la tercera parte de un periodo
La energía cinética se calcula aplicando el principio de conservación de la energía.
ET = Epe + Ek
Despejamos la energía cinética de la ecuación
Ek = ET - Epe
Ek = 0.004J – 0.001J
b. Una partícula de 1 kg de masa oscila con M.A.S. ligada horizontalmente a un resorte de constante k = 20 N/m. Si inicialmente el resorte experimenta una elongación de 0.12 m. Calcular:
- Energía potencial elástica inicial del sistema.
- Energía cinética de la masa cuando pasa por el punto de equilibrio. - La velocidad máxima de la partícula.
c. Una masa suspendida de un resorte con constante de elasticidad k = 50 N/m, oscila con M.A.S. de amplitud 18 cm. En el instante en que la elongación es la mitad de la amplitud, ¿Qué valores tienen: la energía cinética y la potencial elástica?
2. Periodo de un sistema masa resorte
Para encontrar la expresión que permite calcular el período de una masa que oscila ligada a un resorte, analizamos el comportamiento de la velocidad de la masa en su punto de equilibrio.
En X =0, la velocidad de la masa oscilante es máxima.
Al considerar energéticamente la situación vemos que en este punto la energía potencial elástica de la masa es nula y su energía cinética es igual a la total (principio de conservación de la energía.
𝐤𝐀² 𝟐 =
𝐦𝐯² 𝟐
De lo cual obtenemos: 𝐤𝐀² = mv2
Reemplazando v por Aω (valor máximo de la velocidad), se obtiene:
𝐤𝐀² = mA2ω2
Cancelando A2 obtenemos:
𝐤 = mω2 Despejamos ω ω2 = 𝐤
𝒎
ω = 𝐤 𝐦
Sabiendo que ω = 2π
T igualamos las dos últimas ecuaciones
2π T =
𝐤 𝐦
Por último despejamos T
T = 2π 𝐦
𝐤
3. Periodo de un Péndulo simple.
Un péndulo sencillamente es una masa suspendida de un hilo que suponemos de masa despreciable, que oscila en forma periódica (figura 1.5.).
Fig 1.5.
Al separar el péndulo de su posición de equilibrio adquiere energía potencial, en este caso gravitacional. Al dejarlo libre se inicia el proceso de sustitución de energía potencial por cinética, hasta llegar el péndulo al punto O donde toda la energía se transforma en cinética. El péndulo continúa su movimiento; llega al punto de retomo B, donde nuevamente toda su energía es potencial.
La masa se detiene en B y empieza su retorno al punto inicial. En O pierde energía potencial mientras gana cinética, teniendo nuevamente un máximo de energía cinética en el punto de equilibrio, finalmente pierde toda la energía cinética v recupera la potencial inicial cuando completa la oscilación al llegar al punto A. De esta forma el movimiento continúa periódicamente.
El periodo de un péndulo simple T depende de la longitud del mismo L y de la aceleración de la gravedad 𝐠 , así:
T = 2π 𝐋
𝐠
Ejercicios resueltos sobre sistemas oscilatorios
Calcula el periodo de oscilación de un péndulo cuya longitud es 1.5m.
Sabiendo que
L = 1.5 m
𝐠= 9.8 m/s2
Reemplazamos los valores de L y 𝐠 en la ecuación
T = 2π 𝐋
𝐠
T = 2π 𝟏.𝟓𝒎
𝟗.𝟖𝒎/s2
Realizando las operaciones obtenemos el valor del periodo
T = 2.46 s
- ¿Cuál debe ser la longitud de un péndulo para que su periodo sea de 1s?
De la ecuación T = 2π 𝐋
𝐠 despejamos L,
obteniendo:
L =
T²𝐠4π²
Reemplazamos los valores: T =1s, g = 9.8m/s2
y π = 3.1416 Y realizando las operaciones obtenemos:
L = (1𝑠)²(9.8𝑚/𝑠²)
4π² = 0.25
¿Cuál es el período de oscilación de un cuerpo de 1 kg de masa, sujeta a un resorte de 0.5N/m de constante de elasticidad?
Sabemos que: m = 1 kg y k =0.5N/m. Entonces reemplazamos estos valores en la ecuación:
T = 2π 𝐦 𝐤
T = 2π 1 kg 0.5N/m
Realizando las operaciones tenemos que: T = 8.88 s
¿Cuál debe ser la magnitud de una masa que se suspenda de un resorte con constante de elasticidad 1 N/m para que éste oscile con período de 1 s
Ahora sustituimos por los valores conocidos y realizamos las operaciones.
Nos dan los datos 𝐓 = 1s y k = 1 N/m y nos piden que calculemos m.
Actividad 2
a. Construye dos péndulos de la misma longitud pero de diferentes masas. Deja oscilar libremente uno de ellos y mide el tiempo de cinco oscilaciones, divide el tiempo registrado entre cinco para obtener su periodo (tiempo de una oscilación). Repite la acción con el otro péndulo. Compara los periodos de los dos péndulos y responde: ¿Depende el periodo del péndulo de la masa que oscila?
b. Construye dos péndulos de la misma masa pero de diferentes longitudes. Deja oscilar libremente uno de ellos y mide el tiempo de cinco oscilaciones, divide el tiempo registrado entre cinco para obtener su periodo (tiempo de una oscilación). Repite la acción con el otro péndulo. Compara los periodos de los dos péndulos y responde: ¿Depende el periodo del péndulo de su longitud?
c.
Calcula el periodo de los péndulos de los literales a. y b. utilizando la ecuaciónT
=
2π
𝐋𝐠
Y compara los resultados con los obtenidos en la práctica.
Resuelve los siguientes ejercicios.
d. Calcula el periodo de oscilación de un péndulo de 1.5 m de longitud.
e. ¿Qué longitud debe tener un péndulo para que su periodo sea 2s?
f. Si un péndulo de 6 m de longitud se hace oscilar en la luna donde la gravedad es la sexta parte de la terrestre. ¿Cuál será su periodo?
g. Diseña un procedimiento que te permita medir el valor de la gravedad terrestre en el lugar donde estás, utiliza el concepto del péndulo simple.
h. Calcula la longitud de un péndulo que realiza 12 oscilaciones en 24 segundos.
i. ¿Cuántas oscilaciones en un minuto da un péndulo de 40 cm de largo?
j. Calcular el período de oscilación de una masa de 5 kg, sujeta a un resorte de constante de elasticidad k = 1.2 N/m.
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Evaluación
El desarrollo de las actividades propuestas en estas guías se debe enviar al E-mail
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El juicio valorativo depende del número de actividades que desarrolles y de su calidad.
BIBLIOGRAFÍA
COVO TORRES, J. (1987). Einstein (Relativamente fácil). Bogotá: El Áncora Editores.
