Examen Temas 6 y 7

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 6 y 7

1. (0,5 puntos) Definición de función real de variable real. Pon un ejemplo definido mediante un enunciado.

2. (2 puntos) Para la función representada en la figura adjunta, determina: a) (0,4 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,3 puntos) Los valores f(0), f(10) y

(12) f .

c) (0, 3 puntos) Indica, aproximadamente, los valores de x que se transforman mediante f en –6, esto es: 1

( 6) f  .

d) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas. e) (0,4 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f) (0,2 puntos) Sus máximos y mínimos, si los tiene.

3. (2 puntos) Dadas f x( ) 2x 3 x

 y g x( ) 2x , halla:

a) f g

( 2)

y g f

(1)

. b) La función g f x

( )

.

c) La función inversa de f x( ).

d) El dominio de cada una de las funciones: f x( ), g x( ) y g f x

( )

.

4. (2 puntos) Representa la función

2

0,1 2 10, si 0 30 ( )

35, si 30 70 2

x x x

f x x

x

    

  

   

 .

Indica su máximo y mínimo absoluto, si los tiene.

5. (2 puntos) Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: Oferta: fo

 

p 0,1p22p10; Demanda: fd

 

p 35 0,5 p,

donde p viene dado en euros, f en cientos de unidades. Halla:

a) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 20 €. (Recuerda, f se obtiene en centenas). b) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto.

c) ¿Cuántas unidades de producto faltarían o sobrarían si el precio estuviese fijado en 35 €?

6. (1,5 puntos) De un fenómeno se tiene la información dada en la siguiente tabla:

Variable x 0 3 5 10 11

Variable y 2 y1 9 y2 6

Representa gráficamente los puntos dados y calcula mediante interpolación lineal a trozos los valores de y1 e y2. (En alguno de los casos determina la función de interpolación).

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 6 y 7

1. (0,5 puntos) Definición de función real de variable real. Pon un ejemplo definido mediante un enunciado.

Solución:

Una función real de variable real, que puede escribirse en la forma yf x( ), es una relación entre pares de números reales, (x, y), de manera que a cada primer elemento del par (al número x) le asocia un solo número y.

El conjunto de todos los x forma el dominio de la función; el conjunto de todos los números y determina el recorrido.

Ejemplo: A cada número x se le asocia su mitad.

2. (2 puntos) Para la función representada en la figura adjunta, determina: a) (0,4 puntos) Su dominio y recorrido.

b) (0,3 puntos) Los valores f(0), f(10) y f(12). c) (0, 3 puntos) Indica, aproximadamente, los valores de x que se transforman mediante f en –6, esto es: f1( 6) .

d) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas. e) (0,4 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

f) (0,2 puntos) Sus máximos y mínimos, si los tiene.

Solución:

a) Dominio: (–, 10]  (12, +). Recorrido: (–, 7).

b) f(0)2; f(10) 8; f(12) no está definido.

c) La recta horizontal y = –6 corta a la gráfica en los puntos de abscisa (todos aproximados): x = –1; x = 9,5; x = 15. Luego, f1( 6)  

1, 9,5, 15

.

d) Vertical: x0, por la derecha.

Horizontales: y0, hacia –∞; y 2, hacia +∞.

e) Crecimiento: x

0, 5

 

 12,  

.

Decrecimiento: x 

, 0

 

 5, 10

.

(3)

3. (2 puntos) Dadas f x( ) 2x 3 x

 y g x( ) 2x , halla:

a) f g

( 2)

y g f

(1)

.

b) La función g f x

( )

.

c) La función inversa de f x( ).

d) El dominio de cada una de las funciones: f x( ), g x( ) y g f x

( )

. Solución:

a) Como ( 2)g  2 

( 2)

 

2 1 2

f g   f  .

Como f( 1)  1  g f

( 1)

  g( 1) 3.

b) g f x

( )

2 f x( ) 2 2x 3 2x 2x 3 3

x x x

  

      .

c) Si y es la inversa de f  ( )f yxf y( ) 2y 3 x 2y 3 yx y

     

 2 3

2

3 3

2

y yx y x y

x

      

 .

d) Dom(f) = R – {0}. Dom(g) = (–, 2]. Dom(g(f)) = (0, +).

4. (2 puntos) Representa la función

2

0,1 2 10, si 0 30 ( )

35, si 30 70 2

x x x

f x x

x

    

  

   

 .

Indica su máximo y mínimo absoluto, si los tiene. Solución:

La primera función es una parábola; la segunda, una recta. Pueden representarse hallando algunos de sus puntos.

Parábola:

(0, –10); (10, –20), vértice;

10 10 2, 0

, corte con el eje OX. Otros puntos: (20, 20); (30, 20). Recta:

(30, 20); (70, 0).

El máximo absoluto vale 20, punto (30, 20). El mínimo absoluto vale –20; se da en el vértice de la parábola, punto (10, –20).

(4)

5. (2 puntos) Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: Oferta: fo

 

p 0,1p22p10; Demanda: fd

 

p 35 0,5 p,

donde p viene dado en euros, f en cientos de unidades. Halla:

a) (0,5 p) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 20 €. (Recuerda, f se obtiene en centenas). b) (1 punto) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto.

c) (0,5 p) ¿Cuántas unidades de producto faltarían o sobrarían si el precio estuviese fijado en 35 €? Solución:

a) Si p = 20  fo

 

20 0,1·2022·20 10  10  a ese precio no hay oferta.

 

20 35 0,5·20 25 d

f    cientos  2500 unidades.

b) Igualando la oferta y la demanda:

2 2

0,1p 2p1035 0,5 p0,1p 1,5p450 

 1,5 2, 25 18 1,5 4,5 30 15

0, 2 0, 2

p      

 euros. La solución negativa no tiene sentido.

A ese precio, las cantidades de oferta y demanda son de

 

30 35 0,5·30 20

d

f    cientos  2000 unidades.

Luego, E = (30, 20)  (30 €, 2000 unidades).

Observación: las funciones de oferta y demanda son las estudiadas en el problema anterior.

c) Si el precio fuese 35 €, la oferta ascendería a

 

2

35 0,1·35 2·35 10 42,5

o

f     (4250 unidades); mientras que la

demanda sería a fd

 

35 35 0,5·35 17,5  (1750 unidades). Habría un exceso de 2500 unidades del

producto.

6. (1,5 puntos) De un fenómeno se tiene la información dada en la siguiente tabla:

Variable x 0 3 5 10 11

Variable y 2 y1 9 y2 6

Representa gráficamente los puntos dados y calcula mediante interpolación lineal a trozos los valores de y1 e y2. (En alguno de los casos determina la función de interpolación).

Solución:

a) Cálculo de y1. Se interpola entre los valores 0 y 5 de x:

 A un incremento de 5 unidades (la x pasa de 0 a 5)  le corresponde un incremento de 7 (la variable dependiente pasa de valer 2 a valer 9).

Luego a un incremento de 3 (pasar de 0 a 3)  un incremento de 1 7·3 21 4, 2

5 5

I    .

(5)

b) Hay que determinar la función lineal ymx n a partir de los datos (5, 9) y (11, 6).  (5, 9) es de la recta: 95m n .

 (11, 6) es de la recta: 6 11 m n .

Resolviendo 9 5 9 5 9 2,5 11.5

6 11 1 2 3 6 0,5

m n m n n n

m n E E m m

         

 

    

  .

La función es y 0,5x11,5.

Por tanto, para x = 10, y 0,5·10 11,5 6,5.

Conviene hacer la gráfica adjunta.

Figure

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