EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Temas 6 y 71. (0,5 puntos) Definición de función real de variable real. Pon un ejemplo definido mediante un enunciado.
2. (2 puntos) Para la función representada en la figura adjunta, determina: a) (0,4 puntos) Su dominio y recorrido.
b) (0,3 puntos) Los valores f(0), f(10) y
(12) f .
c) (0, 3 puntos) Indica, aproximadamente, los valores de x que se transforman mediante f en –6, esto es: 1
( 6) f .
d) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas. e) (0,4 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f) (0,2 puntos) Sus máximos y mínimos, si los tiene.
3. (2 puntos) Dadas f x( ) 2x 3 x
y g x( ) 2x , halla:
a) f g
( 2)
y g f
(1)
. b) La función g f x
( )
.c) La función inversa de f x( ).
d) El dominio de cada una de las funciones: f x( ), g x( ) y g f x
( )
.4. (2 puntos) Representa la función
2
0,1 2 10, si 0 30 ( )
35, si 30 70 2
x x x
f x x
x
.
Indica su máximo y mínimo absoluto, si los tiene.
5. (2 puntos) Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: Oferta: fo
p 0,1p22p10; Demanda: fd
p 35 0,5 p,donde p viene dado en euros, f en cientos de unidades. Halla:
a) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 20 €. (Recuerda, f se obtiene en centenas). b) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto.
c) ¿Cuántas unidades de producto faltarían o sobrarían si el precio estuviese fijado en 35 €?
6. (1,5 puntos) De un fenómeno se tiene la información dada en la siguiente tabla:
Variable x 0 3 5 10 11
Variable y 2 y1 9 y2 6
Representa gráficamente los puntos dados y calcula mediante interpolación lineal a trozos los valores de y1 e y2. (En alguno de los casos determina la función de interpolación).
EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
Temas 6 y 71. (0,5 puntos) Definición de función real de variable real. Pon un ejemplo definido mediante un enunciado.
Solución:
Una función real de variable real, que puede escribirse en la forma y f x( ), es una relación entre pares de números reales, (x, y), de manera que a cada primer elemento del par (al número x) le asocia un solo número y.
El conjunto de todos los x forma el dominio de la función; el conjunto de todos los números y determina el recorrido.
Ejemplo: A cada número x se le asocia su mitad.
2. (2 puntos) Para la función representada en la figura adjunta, determina: a) (0,4 puntos) Su dominio y recorrido.
b) (0,3 puntos) Los valores f(0), f(10) y f(12). c) (0, 3 puntos) Indica, aproximadamente, los valores de x que se transforman mediante f en –6, esto es: f1( 6) .
d) (0,4 puntos) La ecuación de sus asíntotas. e) (0,4 puntos) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f) (0,2 puntos) Sus máximos y mínimos, si los tiene.
Solución:
a) Dominio: (–, 10] (12, +). Recorrido: (–, 7).
b) f(0)2; f(10) 8; f(12) no está definido.
c) La recta horizontal y = –6 corta a la gráfica en los puntos de abscisa (todos aproximados): x = –1; x = 9,5; x = 15. Luego, f1( 6)
1, 9,5, 15
.d) Vertical: x0, por la derecha.
Horizontales: y0, hacia –∞; y 2, hacia +∞.
e) Crecimiento: x
0, 5
12,
.Decrecimiento: x
, 0
5, 10
.3. (2 puntos) Dadas f x( ) 2x 3 x
y g x( ) 2x , halla:
a) f g
( 2)
y g f
(1)
.b) La función g f x
( )
.c) La función inversa de f x( ).
d) El dominio de cada una de las funciones: f x( ), g x( ) y g f x
( )
. Solución:a) Como ( 2)g 2
( 2)
2 1 2f g f .
Como f( 1) 1 g f
( 1)
g( 1) 3.b) g f x
( )
2 f x( ) 2 2x 3 2x 2x 3 3x x x
.
c) Si y es la inversa de f ( )f y x f y( ) 2y 3 x 2y 3 yx y
2 3
2
3 32
y yx y x y
x
.
d) Dom(f) = R – {0}. Dom(g) = (–, 2]. Dom(g(f)) = (0, +).
4. (2 puntos) Representa la función
2
0,1 2 10, si 0 30 ( )
35, si 30 70 2
x x x
f x x
x
.
Indica su máximo y mínimo absoluto, si los tiene. Solución:
La primera función es una parábola; la segunda, una recta. Pueden representarse hallando algunos de sus puntos.
Parábola:
(0, –10); (10, –20), vértice;
10 10 2, 0
, corte con el eje OX. Otros puntos: (20, 20); (30, 20). Recta:(30, 20); (70, 0).
El máximo absoluto vale 20, punto (30, 20). El mínimo absoluto vale –20; se da en el vértice de la parábola, punto (10, –20).
5. (2 puntos) Las funciones de oferta y demanda de un determinado producto son: Oferta: fo
p 0,1p22p10; Demanda: fd
p 35 0,5 p,donde p viene dado en euros, f en cientos de unidades. Halla:
a) (0,5 p) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 20 €. (Recuerda, f se obtiene en centenas). b) (1 punto) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto.
c) (0,5 p) ¿Cuántas unidades de producto faltarían o sobrarían si el precio estuviese fijado en 35 €? Solución:
a) Si p = 20 fo
20 0,1·2022·20 10 10 a ese precio no hay oferta.
20 35 0,5·20 25 df cientos 2500 unidades.
b) Igualando la oferta y la demanda:
2 2
0,1p 2p1035 0,5 p0,1p 1,5p450
1,5 2, 25 18 1,5 4,5 30 15
0, 2 0, 2
p
euros. La solución negativa no tiene sentido.
A ese precio, las cantidades de oferta y demanda son de
30 35 0,5·30 20d
f cientos 2000 unidades.
Luego, E = (30, 20) (30 €, 2000 unidades).
Observación: las funciones de oferta y demanda son las estudiadas en el problema anterior.
c) Si el precio fuese 35 €, la oferta ascendería a
235 0,1·35 2·35 10 42,5
o
f (4250 unidades); mientras que la
demanda sería a fd
35 35 0,5·35 17,5 (1750 unidades). Habría un exceso de 2500 unidades delproducto.
6. (1,5 puntos) De un fenómeno se tiene la información dada en la siguiente tabla:
Variable x 0 3 5 10 11
Variable y 2 y1 9 y2 6
Representa gráficamente los puntos dados y calcula mediante interpolación lineal a trozos los valores de y1 e y2. (En alguno de los casos determina la función de interpolación).
Solución:
a) Cálculo de y1. Se interpola entre los valores 0 y 5 de x:
A un incremento de 5 unidades (la x pasa de 0 a 5) le corresponde un incremento de 7 (la variable dependiente pasa de valer 2 a valer 9).
Luego a un incremento de 3 (pasar de 0 a 3) un incremento de 1 7·3 21 4, 2
5 5
I .
b) Hay que determinar la función lineal ymx n a partir de los datos (5, 9) y (11, 6). (5, 9) es de la recta: 95m n .
(11, 6) es de la recta: 6 11 m n .
Resolviendo 9 5 9 5 9 2,5 11.5
6 11 1 2 3 6 0,5
m n m n n n
m n E E m m
.
La función es y 0,5x11,5.
Por tanto, para x = 10, y 0,5·10 11,5 6,5.
Conviene hacer la gráfica adjunta.