APUTES Y EJERCICIOS DEL TEMA 4 1-T4--1ºESO LAS FRACCIONES: Las F. son simplemente divisiones de un nº entre otro. Se representan con la letra “Q”. Las reconozco porque veo un nº encima de una línea horizontal (numerador) y debajo de ella hay otro nº (denominador). Se leen de arriba abajo: el primer nº se dice normal y según sea el de debajo se dice “medio/s”, “tercio/s”, “cuarto/s”, ..., “décimo/s”, “onceavo/s”, ..., “cuarenta y dosavo/s”, ...
El denominador de una fracción indica “la cantidad de partes iguales en que tengo que dividir una unidad”, y el numerador “la cantidad de partes que cojo, pinto, se pierden, me como,...”. Por tanto, utilizaremos fracciones cuando deba de expresar una situación en la que no quiero coger o pintar unidades completas, sino una parte de ella.
TIPOS DE FRACCIONES: A las F. las clasificamos en función de cómo sean los dos nos de ella (num. y den.): a) F. Propias: son las que tienen el numerador más pequeño que el denominador, y por ello son menores que la unidad (nº 1)
b) F. Unidad: son las que tienen el mismo nº en el numerador y el denominador, y por ello son iguales a la unidad (nº 1).
c) F. Enteras: son las que al dividir el numerador entre el denominador da exacto. Son iguales al nº que sale de la división.
d) F. Impropias: son las que contrarias a las propias, y son las que tienen el numerador más grande que el denominador. Por tanto, son mayores que la unidad (nº 1) y se las puede pasar a nº mixto (nº natural seguido de una fracción propia). Para pasar estas fracciones a nº mixto se puede hacer de 3 formas diferentes:
1.- Por dibujos 2.- Por división y 3.- Por suma de dos fracciones, una entera y otra propia. e) F. Equivalentes: son las fracciones que valen o representan lo mismo. Cuando las dibujamos sale exactamente la misma parte coloreada. Las reconocemos porque cuando las multiplico en cruz sale el mismo resultado (num1 x den2 = den1 x num2). Para obtener F. equivalentes existen 2 métodos: la amplificación, que consiste en multiplicar al num. y den. por un mismo nº, y la simplificación, que es dividir por el mismo nº al num. y den. Con la amp. podemos obtener infinitas fracciones equivalentes y con la simp. unas cuantas, e incluso ninguna. Se puede simplificar, básicamente, de tres maneras distintas:
1.- Simplificaciones sucesivas 2.- Tachando 3.- Por el M.C.D.
f) F. Irreducibles: son las que no se pueden simplificar, y eso pasa porque los dos nos de la fracción son “primos entre sí”.
FRACCIÓN DE UN TOTAL = PARTE:
Cuando tenemos una fracción seguida de la palabra “de” y luego un nº (el total de algo), si queremos calcular la parte habrá que multiplicar el nº del total por el numerador y dividirlo por el denominador, o viceversa.
3
5de 2800 € = ¿PARTE? = 2800 x 3 : 5 = 2800 : 5 x 3 = 1680 €
Si lo que tenemos es la fracción seguida de la palabra “de” y desconocemos el TOTAL, pero del que sabemos a qué PARTE es igual, se hacen las operaciones contrarias a lo anterior, es decir, se coge el nº de la PARTE y se multiplica por el denominador y se divide por el numerador, o viceversa.
3
7de ¿TOTAL? = 840 € ; TOTAL = 840 x 7 : 3 = 840 : 3 x 7 = 1960 € REPRESENTAR FRACCIONES EN UNA RECTA NUMÉRICA:
Debemos hacer una línea recta siguiendo la horizontalidad de las rayas del cuaderno (no hacerme una carretera de montaña) y se colocará el 0 a la izquierda y después, a la misma distancia, el resto de los nos. Posteriormente, se dividirán en partes iguales las unidades en función del nº que haya en el denominador de la fracción dada, para señalar por último la parte que diga el nº del numerador.
EJERCICIOS 2-T4--1ºESO 1.- De la página 74 del libro, el no 3. De la siguiente, los nos 4 y 7.
2.- Una moto de 2ª mano cuesta 2.530€, pero si la pago al contado me descuentan 2/25 de su valor. ¿Cuánto pagaré por ella si la pago de esa manera?
COMPARACIÓN DE FRACCIONES: Podemos tener tres casos:
1.- Con igual denominador si dos fracciones tienen el mismo denominador es mayor la que tenga el mayor numerador, y viceversa.
2.- Con igual numerador si dos fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tenga el menor denominador, y viceversa.
3.- Con distinto num. y den. cuando esto ocurre debemos de pasar las fracciones a común denominador mediante alguno de los dos métodos conocidos (productos cruzados o “hínchate a multiplicar” y M.C.M.). Una vez las tengamos pasadas a común denominador procederemos para ordenarlas según el punto 1.
EJERCICIOS
3.- De la página 77 del libro, los nos 15 dh, 16d, 17c y 19c. De la página 79, los nos 25 bd, 26 cf, 27 ce, 28 cefi, 31 y 32 abghi.
4.- Calcula: 4/5 de 100 ,, 7/100 de 1000 ,, 5/18 de 12420 ,, 2/9 de ¿? = 158 5.- Simplifica lo máximo posible las fracciones siguientes: 75
100 ,, 32 24 ,, 17 21 ,, 125 375 ,, 91 28 6.- Amplifica las fracciones 7
10, 3 5y
17
15 de modo que tengan como denominador 30. 7.- Escribe en fracciones cuántos gramos son las siguientes partes de un Kilogramo:
a) Un cuarto b) Cuarto y mitad.
8.- En un grupo de 14 chicos y 16 chicas, ¿qué fracción representan las chicas? ¿Y los chicos? Expresa el resultado con fracciones irreducibles.
9.- Indica una fracción que represente: a) 4 días del mes de junio b) 16 minutos de una hora. Simplifica en cada caso los resultados, si se pudiera.
10.- Inés quiere escribir las fracciones 2/3, 4/6 y 5/9 de modo que todas tengan como numerador 20. ¿Es posible? Si es posible, ¿por cuánto hay que multiplicar los numeradores y denominadores de cada fracción?
11.- En una reunión de amigos Ana tiene que pagar 3/15 de la merienda y Jorge 4/20. ¿Quién paga más?
12.- Un jugador de tiro con arco ha hecho diana 15 veces de 18 tiros, mientras que otro ha hecho diana 31 de 36 tiros. ¿Quién tiene mayor efectividad?
FRACCIÓN COMPRENDIDA ENTRE 2 DADAS: Para saber alguna fracción que haya comprendida (en medio) de 2 que nos dan es preciso que tengan el mismo denominador para así verlo claro. En caso de no tenerlo, como es obvio, habrá que pasarlas a común denominador. En caso de obtener la misma fracción no habrá ninguna en medio, pero que si obtenemos dos fracciones diferentes en medio hay infinitas fracciones. Ejemplos:
Entre 3 5y
7
5 está, por ejemplo, 5 5 ,, Entre 2 5y 1 2 4 10y 5 10 8 20y 10 20 5
5 está, por ej., 9 20 EJERCICIO
13.- Indica una fracción comprendida entre 3 9 y 5 10 ,, 4 9 y 13 27 ,, 20 33 y 42 66 ,, 15 6 y 5 2 ,, 36 5 y 7.
OPERACIONES CON FRACCIONES: 3-T4--1ºESO a) Sumar y restar: para sumar o restar 2 frac. con el mismo denominador se “suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador”. En caso de no tener el mismo den. “se pasarán a común denominador principalmente por el M.C.M. y luego se procede tal y como se ha dicho anteriormente”. Siempre hay que simplificar el resultado, si se pudiera, aunque el enunciado del ejercicio no lo diga.
b) Multiplicar: para multiplicar 2, 3, 4, ... fracciones se
“multiplican todos los numeradores entre sí y se coloca el resultado en el num., y se multiplican por otro lado todos los denominadores entre sí colocando el resultado en el den.” (es decir, para “adelante como los burros de Alicante”). Siempre hay que simplificar el resultado, si se pudiera, aunque el enunciado del ejercicio no lo diga.
c) Dividir: para dividir fracciones se “multiplica el num1 por el den2 y lo que sale se coloca en el num. del resultado, y por otro lado se multiplica el den1 por el num2 y lo que sale se pone en el den. del resultado. Siempre hay que simplificar el resultado, si se pudiera, aunque el enunciado del ejercicio no lo diga.
EJERCICIOS
1.- De la página 81 del libro, los nos 36 cf y 37b. De la página siguiente, los nos 39, 40 y 41. 2.- De la página 83 del libro, los nos 42 bdefgkn y 44 ab.
FRACCIONES UNITARIAS: Los antiguos egipcios escribían las fracciones como suma de fracciones unitarias (frac. con un 1 en el numerador). Además no repetían ningún sumando. Por ejemplo:
3 4= 2 4 + 1 4 = 1 2 + 1
4. Como se observa, las 2 fracciones finales tienen un 1 en el numerador y distinto denominador, de ahí que los 2 sumandos sean distintos. Otros ejemplos son:
3 50= 2 50 + 1 50 = 1 25 + 1 50 ,, 7 10= 2 10 + 5 10 = 1 5 + 1 2 ,, 3 5= 6 10= 1 10 + 5 10 = 1 10 + 1 2 EJERCICIO
3.- Pon las siguientes fracciones como suma de fracciones unitarias (como los antiguos egipcios): 14 45 ,, 9 14 ,, 5 8 ,, 9 20 ,, 10 21 ,, 8 35 ,, 7 11(3) ,, 2 9 EJERCICIO RESUELTO
Un sábado, en unos grandes almacenes, se empezó a vender el segundo disco (CD) de un cantante conocidísimo. Se sabe que por la mañana se lograron vender la cuarta parte de los CD que había; por la tarde las 2/5 partes de lo que quedaba, y al final del día (al cerrar) aún quedaban 1161 CD sin vender. ¿Cuántos CD había momentos antes de abrir las puertas ese sábado en cuestión?
- Si por la mañana se vendió la fracción 1/4 quedaron sin vender 3/4. - Por la tarde se vendieron 2/5 de 3/4 (2/5 x 3/4 = 6/20 = 3/10), o sea, 3/10.
- Por lo tanto, la fracción de CD que se vendió en total será 1/4 + 3/10 = ... = 11/20.
- Así, la fracción de CD que no llegó a venderse fue 1 – 11/20 = 9/20, que corresponderán a 1161 CD.
Planteamiento: Fracción del TOTAL = Parte 9/20 del TOTAL = 1161 CD. Entonces el TOTAL se averiguará haciendo 1161 : 9 x 20 = 2580 CD
EJERCICIOS 4-T4--1ºESO 1.- En una tienda han vendido por la mañana la mitad de las gominolas que había en un bote. Por la tarde han vendido la mitad de las que quedaban. Al cerrar la tienda quedaban 47 en el bote. ¿Cuántas había al empezar el día? Explica cómo haces este ejercicio.
2.- Durante el mes que estuve de vacaciones el verano pasado no pude leer los correos que me enviaron mis amigos/as, ya que no tenía internet. El día que volví pude leer los 2/5 de esos correos; al día siguiente leí los 5/9 de los que me quedaron, y los 160 restantes los leí al tercer día. ¿Cuántos correos me enviaron mis amigos/as durante el mes que estuve de vacaciones en el verano?
3.- En la merienda Laura se ha comido la mitad de la tarta, Juan la cuarta parte y Elena la sexta parte. ¿Se ha quedado vacío el plato?
4.- De un bidón se han sacado los 3/4 y quedan 4 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón?
5.- Un motorista ha recorrido 120 km de una carrera, lo que supone 6/10 del total. ¿Cuántos km tiene la carrera? ¿Cuántos le faltan por recorrer?
6.- Escribe en forma fraccionaria: a) La mitad de 200 b) La mitad de la mitad de 200 c) La mitad de la mitad de la mitad de 200.
7.- Expresa con una fracción: a) La mitad de la tercera parte b) La tercera parte de un quinto c) La mitad de la mitad de tres cuartos.
8.- Una botella de limonada tiene dos tercios de litro. Si un grupo de amigos ha comprado 15 botellas, ¿cuántos litros han comprado?
9.- ¿Cuántos vasos necesitas para llenar una botella de 3/4 de litro con un vaso de 1/8 de litro? 10.- Pasa a nº mixto las siguientes fracciones: 34
11 ,, 13 6 ,, 19 5 ,, 11 2 ,, 97 21 ,, 54 23 11.- Simplifica por el M.C.D. las fracciones 16
24 ,, 75 45 ,, 84 140 ,, 308 176
12.- Pasa a fracción impropia los siguientes nos mixtos siguiendo todos y cada uno de los pasos que corresponden: 42 5 ,, 9 5 6 ,, 10 1 3 ,, 3 3 7 ,, 1 2 9 . 13.- ¿Se puede encontrar una fracción mayor que 5
7 y a su vez menor que 6
7? Explica tu respuesta. 14.- Calcula los nos que faltan:
a) 3 8 + ¿? = 1 b) 3 4 x ¿? = 15 20 c) 20 30 : ¿? = 4 5 d) 7 12 – ¿? = 1 4 e) ¿? x 3 7 = 2 9 15.- Calcula y simplifica, si se pudiera:
a) 1 2+ ( 3 4+ 3) – 5 6 : 2 5 b) 5 8 + 2 4 x 1 3 – ( 6 5 – 1) + 12 20 16.- Representa cada una de estas fracciones en una recta numérica diferente:
2 9 ,, 7 4 ,, 13 5 ,, 4 7 ,, 1 3 ,, 10 2 ,, 16 6
EJERCICIOS DEL TRABAJO: 5-T4--1ºESO 46, 50, 56, 57, 62, 65, 74 abdf, 80, 83 abeh, 86, 88, 90, 95, 96, 101, 102, 103, 105, 106 y 108.
(Seguro 50)
EJERCICIOS CAMBIADOS O MODIFICADOS: 50.- Pon como los antiguos egipcios: 4
9 ,, 2 5 ,, 3 7(3) ,, 7 10 ,, 9 25.
62.- Los apartados “abcd” son los del libro. Luego, deberás hacer estos 4 apartados más: e) 4 8 f) 15 25 g) 24 60 h) 252 196 (por el M.C.D. ésta) 80.- Pedro dice que entre 3
5 y 7
10 no hay ninguna fracción. Marta dice que sí. ¿Quién lleva la razón? Obviamente, deberás explicarte lo mejor que puedas.
96.- ¿Cuál será el resultado de esta operación combinada? (1 + 1 2) · (1 + 1 3) · (1 + 1 4) · (1 + 1 5) · ( … ) · (1 + 1 98) · (1 + 1 99)
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez Profesor de matemáticas de 1º de ESO
