Ecuación Constitutiva
Ecuación Constitutiva
Para obtener la ecuación constitutiva de
Para obtener la ecuación constitutiva de
un sistema estructural, o como se verá, de
un sistema estructural, o como se verá, de
la estructura, se debe partir con las de los
la estructura, se debe partir con las de los
elementos, que por
elementos, que por ahora centraremos ahora centraremos enen
La barra axial-flexural esbelta, prismática,
La barra axial-flexural esbelta, prismática,
lineal
lineal elástica; elástica; en en ella ella son son relevantrelevantes ees ell
esfuerzo axial
T
~
~
U
U
en Términos de Esfuerzos
en Términos de Esfuerzos
Se partirá especializando la fórmula
Se partirá especializando la fórmula
para la barra axial-flexural, para la que
para la barra axial-flexural, para la que
la llamada hipótesis de Navier dice que
la llamada hipótesis de Navier dice que
y la teoría de distribución de tensiones
y la teoría de distribución de tensiones
de corte de Jourawski que conduce a las
de corte de Jourawski que conduce a las
deformaciones tangenciales
~
U
en Términos de Esfuerzos 2
con lo que al reemplazar en el integrando se tiene
y separando los términos que no son función de punto en la sección, y sólo lo son de x
~
U
en Términos de Esfuerzos 3
En la fórmula se reconocen de inmediato pero el término
requiere nuevamente invocar la teoría de Jourawski para remplazar
~
U
en Términos de Esfuerzos 4
en que el área de corte está dada por
En conclusión, el trabajo interno se puede escribir como la expresión
en la que se remplaza las distribuciones de esfuerzos internos reales y virtuales
~
U
en Términos de Esfuerzos 5
en que el área de corte está dada por
En conclusión, el trabajo interno se puede escribir como la expresión
~
U
en Términos de Esfuerzos 6
usando la conocida figura de análisis
~
U
en Términos de Esfuerzos 6
en que los esfuerzos son los causados por las cargas locales en la viga con condiciones de simple apoyo, con el deslizante en el nudo 1 y la rótula en el 2; Nl ( x) es el esfuerzo axial debido a la
carga rasante, Ml ( x) es el momento
flector debido a la carga normal, y Vl ( x)
el esfuerzo de corte, derivada del momento
De la misma figura los valores de los esfuerzos virtuales quedan dados por
~
U
en Términos de Esfuerzos 7
~
U
en Términos de Esfuerzos 8
~
U
en Términos de Esfuerzos 9
F f
~
U
en Términos de Esfuerzos 10
o definiendo la matriz de flexibilidad
y el vector de deformaciones debidas a la carga local
la forma matricial
~i ~iT i i
~
U
en Términos de Esfuerzos 11
Estas cuadraturas tienen una forma que puede entusiasmar en aplicarlas a barras no prismáticas; a más de que en rigor no son válidas si la sección varía a lo largo de la barra, el uso en tal caso tiene el inconveniente de falsear parte del comportamiento; por ejemplo,
~
U
en Términos de Esfuerzos 12
Para la barra prismática las cuadraturas son
en que el efecto de las deformaciones por corte si visualiza de escribir
concluyéndose que es despreciable
F f
F f U
La Ecuación de Flexibilidad
Como ya sabemos de la transparencia 6
~i ~iT i
por lo que se tiene que
~iT i F f
~iT i i
F J F ~iT l i
y considerando la arbitrariedad del
esfuerzo virtual, la ecuación de
La Ecuación de Flexibilidad 2
barras lleva a la ecuación formalmente semejante, correspondiente a una propiedad de sistema,
f J F fl
en el entendido que considerando los vectores de ordenamiento, aˆ
i, la matriz J
y el vector f l se obtienen de las
secuencias J 0mm fl 0m,1 J a ˆ ia ˆ i J i for i 1,2,b fla ˆ i fl i for i 1,2,b
El Método General
Tenemos ahora para el sistema
estructural las tres ecuaciones, de estática, cinemática, y de flexibilidad, que escribiremos en orden inverso,
f J F fl f C Tq
r r : r
El Método General 2
quedará f J F fl C C r : f C Tq fr con Q Q r
Q l
C F Q fr q qr
C
Tqque es un sistema de 2m+n-r ecuaciones
con 2m+n-r incógnitas que ciertamente
se puede resolver siempre; pero mejor aún sin costo alguno se puede eliminar la incógnita f , y obtener elsistema de
El Método General 3
J F C Tq fr fl
C F Q
que se escribe matricialmente
Gx b
Al definir los vectores de dimensión
m+n-r y la matriz cuadrada de la misma
dimensión
El Método General 4
Como se podía esperar, cambiándole de signo a la ecuación de equilibrio,
F fr fl J C T x q b Q G C 0
pero en ciertas circunstancias puede no convenir; por ejemplo, al resolver con
MATLAB, porque la matriz G no es
positiva definida, y el programa hará primero un intento inútil de emplear el Método de Choleski para resolver, antes
Ejemplo del Método General
Consideraremos un ejemplo no trivial; el ya visto, pero que con rótulas fijas en lugar de deslizantes es indeterminado
Empezaremos reproduciendo la
formación de la matriz de equilibrio, pero bajo la forma full y no de la sparse
Ejemplo del Método General 2
a = 1; b = 2; c [C1,L1,cs1,sn1] = = 0.4; P=1; E = 1; A = 1; axibend_C(0,0,a,0); I = 1; [C7,L7,cs7,sn7] = axibend_C(0,b,a,a+c); [C8,L8,cs8,sn8] = axibend_C(b,2*b,a+c,a); C = a = zeros(56,48); [19 20 21 1 2 3]; for i=1:6 end i3 = 3*i; C(a,i3-2:i3) = C1; a = a + 3; a = [19 20 21 37 38 52];Ejemplo del Método General 3
a = [37 38 39 22 23 24]; for i=8:2:16 i3 = 3*i; C(a,i3-2:i3) = C8; a = a + 3; end Cr = C; r = [1 2 4 5 7 8 10 Cr(r,:) = []; Qr = zeros(56,1); 11 13 14 16 17]; Qr(38:3:50) = -P*ones(5,1); Qr(r,:) = []; J1 = A_B_J(L1,E,A,I); J7 = A_B_J(L7,E,A,I);Ejemplo del Método General 4
for i=1:6 i3 = 3*i; J(i3-2:i3,i3-2:i3) = J1; end for i=7:2:15 i3 = 3*i; J(i3-2:i3,i3-2:i3) = J7; end for i=8:2:16 i3 = 3*i; J(i3-2:i3,i3-2:i3) = J7; endEjemplo del Método General 5
F = x(1:48); qr = x(49:92); bPrint2('F','qr') function J = A_B_J(L,E,A,I) J = [ 1/I/3 -1/I/6 0 -1/I/6 1/I/3 0 0 0 1/A]; J = L*J/E; |Mat 'F': |Mat 'qr': 1| 1| 1| -0.3897| -0.9677 2| 0| -0.1151 3| -0.2728| 0.003842Ejemplo del Método General 6
4| 0.3416| -0.003842 5| -2.776e-017| 0.1151 6| -1.215| 0.9677 7| 0.0171| 1.033 8| 0| -0.2728 9| -1.012| -1.163 10| -0.0171| 0.05814 11| 0| -1.215 12| -1.012| 0.05574 13| -0.3416| -0.006692 14| 0| -1.012Ejemplo del Método General 7
19| 0.3897| -0.05814 20| 4.374e-016| -1.215 21| -0.4357| -0.05574 22| -3.071e-016| -1.033 23| -1.298| -0.2728 24| -0.5248| 1.163 25| 0.9568| 0.7323 26| -4.814e-017| -3.302 27| -0.1429| 1.38 28| 2.957e-016| 0.01028 29| -1.005| -2.462 30| -0.1476| 1.037 31| 0.9876| -9.238e-017 32| 1.82e-016| -2.381 33| -0.1285| 0.9948 34| -1.949e-016| -0.01028Ejemplo del Método General 8
36| -0.1285| 0.92 37| 1.005| -0.7323 38| 3.58e-016| -3.302 39| -0.1476| 1.56 40| 1.51e-016| -1.56 41| -0.9568| -0.92 42| -0.1429| -0.9948 43| 1.298| -1.037 44| 3.864e-016| -1.38 45| -0.5248| 46| -1.591e-016|Determinación Cinemática
A veces se habla de determinación cinemática o determinación geométrica para referirse a algo que no es más que un sistema de un GDL
El real concepto debe definirse a la luz de la dualidad estático-geométrica
La determinación estática se da cuando de la ecuación
Q C F
Determinación Cinemática 2
puede invertir para obtener los esfuerzos, dadas las cargas; porque obtener las cargas en equilibrio con cualquier conjunto de esfuerzos no es ninguna gracia; se puede hacer siempre En el caso de la ecuación
Determinación Cinemática 3
porque al revés, siempre es posible
Y la condición es por supuesto que se pueda invertir la traspuesta de la matriz de equilibrio, que es equivalente a que sea invertible la matriz de equilibrio misma
Los dos caso especiales son el mismo; si la estructura que es estáticamente
determinada, es cinámicamente
El Método de Rigidez
Una estrategia de solución del Método
General es tomar la ecuación
combinada
J
F
f l
C
Tqy despejar el vector
F
J -1CTq
J -1f lpara luego remplazar en la ecuación de estática
QEl Método de Rigidez 2
que se escribe como la ecuación de
rigidez del sistema estructural
K
q
Q f
Qen que
K
CJ
-1C
TQ f
Ql
CJ
-1fly que al imponer las condiciones de vinculación queda
K
r r qr
K
r rqrr
