Ejercicios vectores

Revisado por Felipe Aguilar. Enero del 2007.

Ejercicio 2.1.- Un vector situado en el

plano XY tiene una magnitud de 25 unidades y forma un ángulo de 37º con la abscisa. Determine sus componentes rectangulares. Solución: X y A 20 A 15 = = Ejercicio 2.2.- La componente x de un

vector que está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector?. Solución: x A 20 53,1º = θ =

Ejercicio 2.3.- Encuentre las componentes

rectangulares, las magnitudes y los ángulos directores de los vectores A,B y CG G G que van desde el punto a hasta el punto b, desde el punto c hasta el punto d y desde el punto e hasta el punto f, respectivamente, en el espacio coordenado cartesiano: a=(2,-1,7); b=(9,4,2) c=(9,4,2); d=(2,-1,7) e=(0,0,0); f=(2,2,1) Solución: X y z A =7; A =5; A = −5; A=9,9 Ax 45,0º; Ay 59,7º; Az 120,3º; θ = θ = θ = X y z B = −7; B = −5; B =5; B=9,9 Bx 135,0º; By 120,3º; Bz 59,7º, θ = θ = θ = X y z C =2; C =2; C =1; C==3 Cx 48,2º; Cy 48,2º; Cz 70,5º θ = θ = θ =

Ejercicio 2.4.- Un vector AG tiene una magnitud de 9 [cm] y está dirigido hacia +X. Otro vector BG tiene una magnitud de 6 [cm] y forma un ángulo de 45º respecto de la abscisa positiva. El vector CG tiene una magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +X. Determine el vector resultante.

Solución:

ˆ ˆ

Ejercicio 2.5.- Dado el vector

ˆ ˆ ˆ

AG =2i+4 j - 4k, determine sus ángulos directores.

Solución:

x 70,5º; y 48,2º; z 131,8º

θ = θ = θ =

Ejercicio 2.6.- Dados los vectores:

ˆ ˆ ˆ AG =10i+5 j+3k; BG=3i - 4 jˆ ˆ+2kˆ; ˆ ˆ ˆ CG =2i+6 j - 4k Encontrar: a) AG +BG b) A - BG G c) 2A - 3B C 2 + G G G d) A • 3CXBG G G

e) Los ángulos directores de BXCG G

Solución: a) AG+ =BG 13iˆ+ +ˆj 5kˆ b) A - BG G =7iˆ+9 jˆ+kˆ c) 2A - 3B C 12iˆ 25 jˆ 2kˆ 2 + = + − G G G d) A • 3CXBG G G=-594 e) θ =_x 82,5º; θ =_y 58,7º; θ =_z 32,4º

Ejercicio 2.7.- Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este 40º hacia el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el sur.

Solución:

ˆ ˆ

RG =8,7i+1,6 j

Ejercicio 2.8.- Sumar dos vectores de

magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de 60º entre sí. 60º Y X AG BG Solución: ˆ ˆ RG =9i+6,9 j

Ejercicio 2.9.- Un barco se desplaza

sobre una superficie de agua tranquila a razón de 10 km

h

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ y entra en dirección O 60º S en una corriente cuya dirección es E y que se mueve con una velocidad de 12 km

h

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦. ¿Cuál será su velocidad resultante? Solución:

(

)

Ejercicio 2.10.- Un barco avanza hacia el norte 60 [km]; luego cambia de curso y navega en alguna dirección hacia el sureste (no necesariamente S 45º E) hasta llegar a una posición a 50 [km] de distancia del punto de partida, en una dirección E 20,6º N respecto de dicho punto. Determine la longitud y el rumbo de la segunda parte de la travesía. Solución:

(

)

[ ]

Ejercicio 2.11.- Demuestre que los vectores AG =ˆi - 3 jˆ+2kˆ y BG =-4iˆ+12 j - 8kˆ ˆ son paralelos.

Solución:

AXBG G =0G; es cierto

Ejercicio 2.12.- Encontrar un vector BG que esté en el plano XY, que sea perpendicular al vector AG = +ˆi 3 jˆ

Solución:

x y

B +3B = el que se satisface para 0 Bx=3a y By=-a, con a=cualquier número real.

Ejercicio 2.13.- Dados los vectores

ˆ ˆ ˆ ˆ

AG =3i - 2 j y BG =i - 2 j, encontrar su producto vectorial y comprobar que ese vector es perpendicular a AG y a BG.

Solución:

A • AXB 0 luego son perpendiculares B • AXB 0 luego son perpendiculares

= = G G G G G G

Ejercicio 2.14.- Dados los vectores ˆ ˆ ˆ

AG =-3i+2 j - k; BGen el plano XY de módulo 10 y dirección 120º respecto de +X; y CG =-4 jˆ. Determinar:

a) La magnitud de AG+B - CG G

b) El ángulo que forma AXBG G con el eje Z

c) Proyección de B - CG G en dirección de AG

Solución:

a) AG +B - CG G =16,8

b) θ =_z 147,9º

Ejercicio 2.15.- A partir de los vectores que se muestran en la figura, en que los módulos de AG, BG y CG son 10, 20 y 30 respectivamente, determine:

a) Proyección de AG en dirección de C - BG G

b) Un vector DG tal que 2D BG+ −G 2AG =0G

30º 60º 60º Y X

A

G

B

G

C

G

Ejercicio 2.16.- Dados los vectores ˆ ˆ

AG =4i+6 j y BG=-6i - jˆ ˆ. Encontrar:

a) El ángulo formado por los vectores.

b) Un vector unitario en la dirección del vector A - 2BG G. Solución: a) θ =133,2º b) uˆ=0,89iˆ+0,45 jˆ

Ejercicio 2.17.- Hallar el área del triángulo formado por los vectores

ˆ ˆ ˆ

AG =3i+2 j+k; BG= +-iˆ 5 j - 4kˆ ˆ y su diferencia.

Solución:

Area=12,03

Ejercicio 2.18.- Dados los vectores:

ˆ ˆ ˆ

AG = +-i 3 j+zk; BG=xiˆ+6 j - kˆ ˆ y

ˆ ˆ ˆ

CG =2i - 4 j+3k.

a) Si AG es paralelo a BG encontrar los valores de las incógnitas x, z.

b) Encontrar un vector unitario paralelo a CG .

c) Hallar un vector en el plano XY perpendicular a CG y de módulo 5. Solución: a) z - ;1 x -2 2 = = b) ˆc=0,37i - 0,74 jˆ ˆ+0,56kˆ c) ˆ ˆ ˆ ˆ

AG =4,48i+2,24 j o bien AG =-4,48i - 2,24 j

Ejercicio 2.19.- Dados los vectores: AG =P - QG G y BG= +PG QG. Determinar P • QG si B=6 y A=4.

Solución:

Ejercicio 2.20.- Encontrar el área y los ángulos interiores de un triángulo cuyos vértices son las coordenadas: (3,-1,2), (1,-1,-3) y (4,-3,1).

Solución:

Area=6,4

26,284º; 76,851º; 76,851º

α == β = γ =

Ejercicio 2.21.- Hallar el valor de r tal que los vectores AG =2iˆ+ +rjˆ kˆ y

ˆ ˆ ˆ

EG =4i - 2 j - 2k sean perpendiculares.

Solución:

r= 3

Ejercicio 2.22.- Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son:

ˆ ˆ ˆ

EG =3i+j - 2k y TG=ˆi - 3 jˆ+4kˆ

Solución:

Area=8,7

Ejercicio 2.23.- Los vectores AG y BG forman entre sí un ángulo de 45º y el módulo de AG vale 3. Encontrar el valor de la magnitud de BG para que la diferencia

A - BG G sea perpendicular a AG.

Solución:

B=4,2

Ejercicio 2.24.- Tres vectores

situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de magnitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75º. Encontrar la magnitud del vector resultante y su dirección respecto del mayor.

Solución:

x