Entscheidungsproblem I LENGUAJES RECURSIVAMENTE ENUMERABLES MÁQUINAS DE TURING. DECIDIBILIDAD OTROS MODELOS COMPUTACIONALES. Máquinas de Turing (TM)

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LENGUAJES RECURSIVAMENTE ENUMERABLES

MÁQUINAS DE TURING. DECIDIBILIDAD

OTROS MODELOS COMPUTACIONALES

Francisco Hernández Quiroz Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias, UNAM E-mail: [email protected] Página Web: www.matematicas.unam.mx/fhq

Facultad de Ciencias

Francisco Hernández Quiroz Teoría de la Computación Máq. de Turing y Mod. de Comp. 1 / 69

Entscheidungsproblem I

Las máquinas de Turing se inventaron para contestar una pregunta abierta en lógica matemática:

Seanα1,. . .,αnfórmulas del cálculo de predicados a las que

llamaremosaxiomas.

Seaθotra fórmula a la que llamaremoscandidato a teorema.

Queremos un método para poder contestar la pregunta ¿α1,. . .,αn|=θ?

(Que se lee “¿θes una consecuencia lógica deα1,. . .,αn?”)

Éste es elproblema clásico de la decisiónoEntscheidungsproblem.

Máquinas de Turing Indecidibilidad Incomputabilidad T. de Church-Turing Modelos equivalentes a TM Definición y ejemplos Variantes Recursivo vs. recursivamente enumerable

Procedimiento efectivo

El método que buscamos deberá tener las siguientes características:

1 _{Deberá expresarse en términos tan formales como las instancias del}

problema.

2 Deberá ser “mecánico”: su aplicación se basará en reglas que se

siguen sin necesidad de interpretación o de “inspiración”.

3 _{El método deberá especificarse de manera finita.}

4 _{Los recursos utilizados deben ser finitos tanto espacial como}

temporalmente y, de preferencia, deben poder acotarse con anticipación.

Church y Turing demostraron que no existe un método para resolver el

Entscheidungsproblemque cumpla con lo anterior.

De paso, inventaron dos de los modelos más populares de computación.

Máquinas de Turing (

TM

)

Unamáquina de Turinges un mecanismo muy simple que consiste en una cinta de lectura y escritura, una cabeza de lectura y escritura que recorre esta cinta (y que puede estar en diferentes estados) y una función que regula los movimientos de la cinta.

a a b b c c · · ·

↑ q

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Definición formal

Una máquina de Turing está formada por los siguientes elementos:

un conjunto de estadosQ;

un alfabeto de entradaΣ;

un alfabeto de cinta, conΣ⊆Γ;

una función de transiciónδ :Q×Γ→Q×Γ× {→,←}

los estados inicial, de aceptación y de rechazos,t,r ∈Q,

respectivamente;

el símbolo de espacio en blanco ∈Γ−Σ;

el símbolo de inicio de la cinta ∈Γ.

Es imposible moverse a la izquierda del símbolo de inicio. Los estados de aceptación y rechazo no se pueden abandonar.

Aceptación y rechazo I

Una configuración es una terna

(q, α ∞,n),

dondeq∈Q,α∈Γyn∈_N. La configuración inicial es

(s, α ∞, 0) α∈Σ∗. Definiremos una relación entre configuraciones. Sean

α_[n]

eln-ésimo símbolo de la cadenaαy

α_[_n/x_]

Aceptación y rechazo II

la cadena resultante de sustituir ese símbolo porx.

Entonces:

(q,α,n) ⇒(r,β,m) sii δ(q,α[n])=(r,b,→),β=α[n/b],m =n+ 1

o bien δ(q,α[n])=(r,b,←),β=α[n/b],m =n−1

⇒∗_{es la cerradura transitiva y reflexiva de esta relación.}

Una máquina de TuringM se detienecon una entradaα∈Σ∗sii

(s, α ∞, 0)⇒∗ (q, β ∞,n) conq=to bienq=r.

El lenguaje aceptado porMes

L(M)={α∈Σ∗ |(s, α ∞, 0)⇒∗ (t, β ∞,n)}.

Ejemplos

Una máquina que acepta{anbncn}, conQ={s,q1,. . .,q10,t,r},

Σ={a,b,c},Γ={a,b,c, , , }yδdefinida por la tabla

a b c s (s, ,→) (s,a,→) (q1,b,→) (q2,c,→) (q3, ,←) q1 (r,−,−) (q1,b,→) (q2,c,→) (q3, ←) q2 (r,−,−) (r,−,−) (q2,c,→) (q3, ,←) q3 (t,−,−) (r,−,−) (r,−,−) (q4, ,←) (q3, ,←) q4 (r,−,−) (r,−,−) (q5, ,←) (q4,c,←) (q4, ,←) q5 (r,−,−) (q6, ,←) (q5,b,←) (q5, ,←) q6 (q7, ,→) (q6,a,←) (q6, ,←) q7 (q8, ,→) (r,−,−) (r,−,−) (q7, ,→) (t,−,−) q8 (q8,a,→) (q9, ,→) (r,−,−) (q8, ,→) (r,−,−) q9 (q9,b,→) (q10, →) (q9, ,→) (r,−,−) q10 (q10,c,→) (q10, ,→) (q3, ,←)

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Variantes de máquinas de Turing

Existen variantes de lasTMque no añaden poder computacional (aunque sí

ventajas prácticas):

Máquinas con varias cintas (se presentará el caso particular de dos cintas).

Máquinas con cintas infinitas en ambos sentidos. Máquinas no deterministas.

El último caso tiene interés especial en la teoría de la complejidad. Todas estas variantes pueden reducirse al modelo original.

Varias cintas I

Una máquina de Turing con dos cintas tiene una función de transición

δ :Q×Γ2×Q→Q×Γ2× {→,←}2 a a b b c c · · · ↑ q ↓ a b c a b c · · ·

Esta máquina se puede simular con una máquina de una sola cinta con alfabeto

Γ1={ } ∪Σ∪(Γ∪ {aˆ|a∈Γ})2. La cinta de esta máquina se ve así

a aˆ b b c c · · ·

a b c a bˆ c · · ·

Máquinas de Turing Indecidibilidad Incomputabilidad T. de Church-Turing Modelos equivalentes a TM

Definición y ejemplos Variantes Recursivo vs. recursivamente enumerable

Varias cintas II

La nueva máquina utiliza con símbolos del tipo ˆapara indicar la posición en

cada una de las cintas de la máquina original y simula de esta forma una transición original con una serie de transiciones en la nueva máquina.

Cinta infinita en ambos sentidos

Una máquina con cinta infinita en ambos sentidos se puede simular por medio de una máquina con dos cintas:

Se elige un punto arbitrario en la cinta original. Se divide la cinta original a partir de este punto.

Se copia la información de la cinta original a las dos cintas nuevas, invirtiendo el orden de una de ellas para simular la parte infinita hacia la izquierda.

. . . a a a a b b b b c c c c . . . ↑

b b a a a a . . . b b c c c c . . .

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TM

no deterministas I

Una máquina de Turing no determinista (NTM) es similar a unaTM, excepto

por

δ :Q×Γ→P(Q×Γ× {→,←}).

La aceptación se produce sii existe una secuencia de elecciones que lleve al estado de aceptación.

Para reducir unaNTMa unTMse utilizará una máquina con tres cintas:

la primera cinta tendrá la entrada original;

la segunda contendrá secuencias de los dígitos 1,. . .,r, separadas por

el símbolo#ordenadas por longitud y lexicográficamente:

1 # 2 # ··· # r # 11 # 12 # ··· # rr # 111 # 112 # ···

TM

no deterministas II

en la tercera cinta se copiará la entrada original y se “procesará” de acuerdo con las instrucciones de la máquina original, elegidas de acuerdo con las secuencias de la cinta 2:

donderes el número máximo de opciones que contiene la funciónδoriginal.

Esta máquina aceptará la entrada sii en alguna de las simulaciones de la máquina original acepta.

Lenguajes recursivos y recursivamente enumerables

SeaM ∈TM. Dada una cadenaα∈Σ∗, tenemos tres posibilidades:

1 _M _acepta_α_{, es decir,}h_s_, _α ω_{, 0}i ⇒∗

M ht, β ω,ni;

2 _M _rechaza_α_{, es decir,}h_s_, _α ω_{, 0}i ⇒∗

M hr, β ω,ni;

3 _M _{no hace ninguna de las dos cosas anteriores pues entra en un}_ciclo

infinito.

Diremos queMestotalsi para todaα∈Σ∗,M acepta o rechazaα.

Definiremos ahora dos tipos de lenguajes. SeaL⊆Σ∗.

Lesrecursivo(rec) sii existe unaM ∈TMtotaltal queL=L(M);

Lesrecursivamente enumerable(r.e.) sii existe unaM ∈TMtal que

L=L(M);

Como se verá más adelante, algunos lenguajes que son r.e.noson rec.

TM universal Problema de la detención Reducción≤m Teorema de Rice

Propiedades decidibles, indecidibles y semidecidibles

SeaPuna propiedad de cadenas enΣ∗, i.e.,P(α)=V siiPes verdadera

deα. Por ejemplo, la propiedad

Primo(α)=V sii |α|=nynes primo.

Una propiedadPes

decidible sii {α|P(α)=V}es recursivo

indecidible sii {α|P(α)=V}no es recursivo

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Indecidibilidad

De acuerdo con la definición,todas las propiedades decidibles son semidecidibles.

Sin embargo, algunas propiedades semidecidibles son indecidibles. Peor todavía, existen también propiedades indecidibles que no son siquiera semidecidibles.

Para demostrar lo anterior, construiremos máquinas de Turing que se basan en la idea de universalidad.

Codificación de máquinas de Turing I

El primer paso es representar de manera adecuada una máquina de Turing adecuada. Un esquema posible es el siguiente. Sea

M =hQ,Σ,Γ,δ,s,t,r, , iuna TM con |Q| = i |Σ| = j |Γ| = k s elm-ésimo estado t eln-ésimo estado r elp-ésimo estado elq-ésimo carácter deΣ elr-ésimo carácter deΣ

Máquinas de Turing Indecidibilidad Incomputabilidad T. de Church-Turing Modelos equivalentes a TM TM universal Problema de la detención Reducción≤m Teorema de Rice

Codificación de máquinas de Turing II

Entonces la cadena binaria siguiente codifica esta información 0i10j10k10m10n10p10q10r1

Y una transición en deltaδ(su,av) =(sw,ax,→)está representada por la

cadena

0u10v10w10x101

Mientras que la transiciónδ(su,av)=(sw,ax,←)queda codificada en la

cadena

0u10v10w10x111.

Finalmente una cadena enΓde la forma

an₁an₂· · ·anz

Codificación de máquinas de Turing III

queda codificada por la cadena

0n1₁₀n2₁_{· · ·}₀nz₁

En adelante, designaremos conhMiyhαilas codificaciones de la TMMy la

cadenaα, respectivamente.

Si las queremos combinar en una cadena usaremos el símbolo # para separarlas:

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Máquina de Turing universal

Dada esta codificación, se puede crear un máquina de Turing que, para

todasM ∈TM yα∈ΣM,simulela ejecución de las instrucciones de

M con la entradaαa partir de la cadena

hMi#hαi.

Llamaremosmáquina de Turing universal(o para abreviar TMU) a esta

máquina y, con algunas leves modificaciones propias de cada caso, la usaremos como base para construir TM especiales.

Por ejemplo, podemos modificar la TMU de tal forma que al terminar de

simularMconαacepte la cadenahMi#hαisiiMaceptóα.

Problema de la detención

HP

Con las codificaciones anteriores podemos definir dos conjuntos:

HP = {hMi#hαi |Mse detiene con la entradaα}

MP = {hMi#hαi |α∈L(M)}.

El primer conjunto debe su nombre a que describe lo que se conoce

como elproblema de la detención(halting problem); y el segundo, el

problema de la pertenencia(membership problem).

Si HP fuera rec, la pregunta de si una TM dada se detiene con una entrada particular sería decidible. Algo análogo se puede plantear para MP.

En cambio, es muy fácil ver que ambos son r.e., pues una leve adaptación de la TMU nos lleva a tener TM que aceptan HP y MP (véase la lámina anterior).

HP no tiene solución total I

HP no es rec, i.e. la pregunta de si una TM se detiene con una entrada no es decidible. Si aceptamos la tesis de Church-Turing, esto equivale a

decir que no existe unprocedimiento efectivopara responder siempre

esta pregunta.

Antes de demostrar lo anterior, véase cómo la codificación de las TM nos permite ordenarlas lexicográficamente.

Se puede hacer lo mismo con las cadenas y, gracias a esto, construir una tabla como la siguiente:

TM/cad. 0 1 . . . α . . .

M s s n . . . n . . .

M0 s s s . . . n . . .

. . . .

M_β n n s . . . n . . .

HP no tiene solución total II

donde tenemos s en la entrada(Mβ,α)si la TM codificada por la

cadenaβse detiene con la entradaα; y n, en caso contrario.

Por reducción al absurdo, supongamos que existe una TM totalHtal

que

L(H)=HP ={hMi#hαi |Mse detiene conα}

Hnos permitiría construir la tabla anterior sin error, pues

hMi#hαi ∈L(H)

siiMse detiene con la entradaα.

Considérese a hora la siguiente TM,H: para toda entradahMi#hαi,H

la acepta siHla rechaza, y entra en un ciclo trivial en caso contrario.

Obsérvese cómoHes muy fácil de construir, suponiendo que

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HP no tiene solución total III

Por otro lado, la lista de TM codificada es exhaustiva (pero veremos que

Hno está ahí).

Nos podemos preguntar ahora si

hHi#hHi ∈HP,

lo que equivale a decir queHse detiene cuando recibe como entrada la

cadena que la codifica.

Pero en ese caso, por la definición deH, esta TM debe entrar en un

loop trivial cuando tiene como entrada su propia descripción, lo cual contradice nuestra hipótesis.

Si por el contrario suponemos que

hHi#hHi 6∈HP, llegamos a una contradicción análoga.

HP no tiene solución total IV

En conclusión, la suposición de queHexiste nos lleva una

contradicción.

La demostración anterior se basa en el método de diagonalización de

Cantor, puesHes la negación de la diagonal de la tabla anterior, lo que

la hace diferir de todas los renglones de la lista.

Esto contradice el supuesto de que la lista es exhaustiva.

Problemas indecidibles o que no son semidecidibles

El problema de la detención no es el único indecidible; el problema de la pertenencia tampoco es decidible.

Sin embargo, ambos problemas son semidecidibles, i.e., HP y MP son r.e.

Para demostrarlo, se necesitan adaptaciones muy simples de la TMU.

DadasM ∈TM yα∈Σ∗:

se simulaMconαy se aceptahMi#hαisiMaceptaα(el lenguaje aceptado es MP);

se simulaMconα, pero se aceptahMi#hαisiMtermina, ya sea con aceptación o rechazo (el lenguaje aceptado es HP).

Otros problemas no son siquiera semidecidibles, e.g. determinar si una

TMnose detiene con una entrada:

∼HP ={hMi#hαi |Mno se detiene conα}.

Complementos de lenguajes I

El caso de∼HP se puede demostrar por medio de un teorema muy general.

Definición

Sea L⊆Σ∗. Designaremos su complemento con∼L. Si∼L es rec (r.e.), entonces diremos que L es co-rec. (co-r.e.).

Teorema

(a) Si tanto L como∼L son r.e., entonces ambos son rec. (b) Si L es rec, entonces es co-rec.

Dem. (a) SiLy∼Lson r.e., existenM,M ∈TMtales que

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Complementos de lenguajes II

La TMU se puede adaptar muy para obtenerN ∈TMtal que

L(N)=LyNes total.

Nfunciona así:

Ntiene dos cintas y∀α∈Σ∗

NsimulaMen la primera cinta

NsimulaMen la segunda cinta

las simulaciones se realizan alternando pasos (para evitar la posibilidad

de queNentre en un ciclo infinito siMoM lo hacen)

siMaceptaα,Nacepta

siMaceptaα,Nrechaza.

Complementos de lenguajes III

Dado queα∈L=L(M)o bienα∈L=L(M),Nsiempre se detiene y, por

tanto,Les recursivo.

Se puede construir unaTMtotal para∼Lde manera análoga.

Para (b) la hipótesis implica la existencia de unaTMtotal que aceptaL.

Basta modificar estaTMinvirtiendo los estados de aceptación y rechazo

para obtener otraTMtotal que acepta∼L.

Corolario

Corolario.∼HP no es r.e.

Dem. HP es r.e, y (a) implicaría que si∼HP también fuera r.e., ambos serían

rec y ya se demostró que HP no es rec.

Funciones computables

Hasta ahora hemos visto las TM como mecanismos para decidir problemas (i.e., responder preguntas con sí o no).

Pero también podríamos verlas como formas de calcular funciones.

SeaM ∈TM, conΣyΓcomo alfabetos de entrada y de la cinta,

respectivamente. Entonces, podemos definir una función

fM :Σ∗ →Γ∗como

{(α,β)| hsM,α, 0i ⇒∗M ht,β,ni}.

Obsérvese quefM no tiene por qué ser total.

Por otro lado, diremos que la funciónσ :Σ∗ →∆∗es:

(a) Turing-computablesii existe unaM∈TMtal queσ=fM; (b) computablesii existe unaM∈TM totaltal queσ=fM.

Reducción

≤

m

I

Definición

Sean A⊆Σ∗y B⊆∆∗. Una reducción (no inyectiva) de A a B es una función computableσ:Σ∗ →∆∗tal que para todaα∈Σ∗

α∈A sii σ(α)∈B.

En general, escribiremos A≤m B sii existe una reducción de A a B.

El siguiente teorema será de gran utilidad en adelante: Teorema

Sean A,B ∈Σ∗y A≤m B. Entonces:

(a) Si B es r.e (rec), entonces A también es r.e (rec). (b) Si A no es r.e. (rec), entonces B tampoco es r.e. (rec).

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Reducción

≤

m

II

Dem. Por hipótesis, existeσcomputable tal que para todaα∈Σ∗

α∈A sii σ(α)∈B.

En el caso (a) existe unaM ∈TM(total) tal queL(M)=B. Entonces,

podemos construir unaN∈TM(total) tal queL(N)=A.

Nprocede así:

para todaα,Ncalculaσ(α);

simulaM conσ(α);

acepta siMaceptaσ(α).

Entonces

NaceptaαsiiMaceptaσ(α)siiσ(α)∈Bsiiα∈A.

En cuanto a (b), es fácil ver que la reducciónσnos permitiría decidir la

pertenencia aApor medio de la pertenencia aBsiBfuera r.e. (rec).

Ejemplos

Sea FIN ={hMi |L(M)es finito} Entonces HP≤m MP ∼HP≤m FIN.

El primer ejemplo se resuelve con unaK ∈TMtotal que, a partir de una

cadenahMi#hαi, genera otraM0 ∈TMque, para toda entradaβ, simula

Mconαy, si esta se detiene, aceptaβ.

M0acepta todas las cadenas siiM se detiene conα.

K computa laσdeseada y la pregunta ¿hMi#hαi ∈HP? se convierte en la

pregunta ¿hM0i#hγi ∈MP?, para cualquierγarbitraria.

El segundo caso se puede demostrar con una construcción similar.

Propiedades no triviales de lenguajes r.e.

SeaΣun alfabeto y consideremos ahora sólo los subconjuntos deΣ∗que

sean lenguajes r.e.

Nos interesan propiedades de lenguajes r.e. como las siguientes: ser regular;

ser unCFL;

ser infinito; incluir a.

SeaPuna propiedad yLun lenguaje. SiPes cierta deLescribiremos

P(L)=V. En caso contrario,P(L)=F.

Una propiedad que es cierta de algunos lenguajes r.e. pero no de otros esno

trivial. Todos los ejemplos anteriores son no triviales.

Propiedades decidibles

Hay que observar que hablamos de propiedades de lenguajes y no de

cadenas. Sin embargo, los conceptos dedecidibilidad, semidecibilidad e

indecibilidadse pueden extender a estas propiedades.

SeaPuna propiedad y seaLun r.e. EntoncesPesdecidiblesii

∃M,N∈TM.L(N)=L∧Mes total ∧(hNi ∈L(M)⇔P(L)=V).

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Teorema de Rice I

SeaPuna propiedad no trivial de lenguajes r.e. EntoncesPes indecidible.

Demostración. ReduciremosHPal lenguaje

{hMi |P(L(M))=V}.

Supongamos queP(∅)=F. ComoPno es trivial, existeAr.e. tal que

P(A)=V.

SeaMA∈TMtal queL(MA)=A.

Dada unaN∈ TMy unaα∈Σ∗_N, construimos unaK =σ(hNi#hαi)tal

que para todaβ ∈Σ∗_K

1 preserva una copia de_βen una cinta separada;

2 _escribe_α_{en su cinta;}

3 _simula_N_con_α_;

Teorema de Rice II

4 _si_N_{se detiene con}_α_{, simula}_M

Aconβy acepta siMAacepta.

SihNi#hαi 6∈HP,L(K)=∅. En caso contrario,L(K)=L(MA)=A. Es

decir,

hNi#hαi ∈HP ⇒ L(K) =A ⇒ P(L(K))=P(A)=V hNi#hαi 6∈HP ⇒ L(K) =∅ ⇒ P(L(K))=P(∅)=F

es decir,

HP≤m{hMi |P(L(M))=V}.

ComoHPno es rec,{hMi |P(L(M))=V}tampoco lo es yPes indecidible.

Segundo teorema de Rice I

SeaPuna propiedad de lenguajes r.e. Diremos quePes monótona si∀A,B

r.e.

A⊆B∧P(A)=V ⇒P(B)=V.

Por ejemplo, la propiedad de contener aes monótona, lo mismo que la

propiedad de ser infinito, pero las propiedades de ser finito o regular no son monótonas.

Segundo teorema de Rice. SeaPuna propiedad de lenguajes r.e. no

monótona. EntoncesPno es siquiera semidecidible.

Demostración. Por reducción de∼HPal conjunto

{hMi |P(L(M))=V}.

Para esto,∀M ∈TM,∀α∈Σ∗_Mconstruimos unaK ∈TMtal que

hMi#hαi ∈∼HP sii hKi ∈ {hMi |P(L(M))=V}.

Segundo teorema de Rice II

ComoPno es monótona, existenA,Br.e. tales que

A⊆B P(A)=V P(B)=F.

SeanMA,MB ∈TMtales que

L(MA)=A L(MB)=B.

K contará con tres cintas y∀βprocederá de la siguiente forma

1 _escribe_β_{en las cintas 1 y 2;}

2 _escribe_α_{en la cinta 3;}

3 simulaM

Aen la cinta 1,MBen la cinta 2 yM en la cinta 3;

4 _acepta_β_{si ocurre cualquiera de los siguientes casos:}

1 M_Aaceptaβo bien

(11)

Segundo teorema de Rice III

Entonces

hMi#hαi ∈HP ⇒ L(K)=L(MB) ⇒ P(L(K))=P(L(MB))=F hMi#hαi ∈∼HP ⇒ L(K)=L(MA) ⇒ P(L(K))=P(L(MA))=V

Incomputabilidad y sus grados

Hasta ahora parece que los conjuntos incomputables se reducen a dos tipos: los que no son recursivos y los que ni siquiera son

recursivamente enumerables.

En realidad, el panorama puede ser más complejo: los conjuntos no r.e. son clasificables en función de su grado de incomputabilidad.

El método básico es determinar qué problema necesitamos resolver para que un conjunto se vuelva rec o r.e.

Las soluciones a problemas de decisión se pueden clasificar por medio deoráculos.

Máquinas de Turing Indecidibilidad Incomputabilidad T. de Church-Turing Modelos equivalentes a TM TM con oráculo Jerarquía aritmética

Máquinas de Turing con oráculo

Un oráculo es una cinta adicional donde se codifica lafunción

característicade un conjunto.

Supongamos que ordenamos las cadenas en un alfabetoΣy que la

funciónν :Σ∗b→Nnos dice la posición que le corresponde a una

cadena en el orden lexicográfico.

SeaA⊆Σ∗. El oráculo de A, denotado porOAes una cinta infinita

que en cada celda guarda 0 o 1 de acuerdo con la regla

α∈A sii OA[n]= 1.

Una máquina de Turing con oráculo (TMO) es una TM que durante un momento de su ejecución puede entrar en un estado tal que puede consultar el valor de una celda de un oráculo.

Máquinas de Turing Indecidibilidad Incomputabilidad T. de Church-Turing Modelos equivalentes a TM TM con oráculo Jerarquía aritmética

Reductibilidad-Turing

SeanA,B⊆Σ∗.Aesrecursivamente enumerable en Bsii existe una

M ∈TMOcon oráculoOBtal que

A=L(M).

SiMes total, entoncesAesrecursiva en BoTuring-reductible a B. En

símbolos

A≤T B.

Ejemplos: MP≤T HP y HP≤T MP.

(12)

TM con oráculo Jerarquía aritmética

Jerarquía aritmética

La relación≤T nos permite clasificar lenguajes no r.e.:

Σ0₁ = {lenguajes r.e.}

∆0₁ = {lenguajes rec}

Σ0_n₊₁ = {lenguajes r.e. en algúnL∈Σ0_n}

∆0_n₊₁ = {lenguajes rec en algúnL∈Σ0n}

Π0_n = {complementos de lenguajes enΣ0_n}

Alternativamente, un lenguajeLes r.e. sii existe una propiedadR decidible

de pares de cadenas tal queL={α| ∃β.R(α,β)}. Por ejemplo

HP = {hMi#hαi | ∃x.M se detiene conαenxpasos} MP = {hMi#hαi | ∃x.M aceptaαenxpasos}

Versión lógica de la jerarquía aritmética

Las observaciones anteriores se pueden generalizar por medio del siguiente teorema:

1 _{Un lenguaje}_L_{está en}_Σ0

nsii una propiedadR(n+ 1)-aria decidible tal

L={α| ∃β1∀β2. . . .R(α,β1,. . .,βn)}

2 _{Un lenguaje}_L_{está en}_Π0

nsii una propiedadR(n+ 1)-aria decidible tal

L={α| ∀β1∃β2. . . .R(α,β1,. . .,βn)}

3 _∆0

n=Σ0n∩Π0n.

Completitud

Definición. SeaCun nivel de la jerarquía aritmética y seaLun lenguaje.

Diremos queLes

C-difícil sii para todoA∈C,A≤m L.

C-completo siiLesC-difícil yL∈C.

Por ejemplo, HP y MP sonΣ0_n-completos.

Definiciones de computabilidad

Turing propuso sus máquinas como una definición formal de la noción intuitiva de “calculabilidad efectiva”.

Él mismo aplicó su definición a dos problemas: la determinación de qué es un número computable y la demostración de irresolubilidad del

Entscheidungsproblem.

Otros matemáticos contemporáneos propusieron otras formas de definir la calculabilidad efectiva: el cálculo lambda, las gramáticas formales, etc.

Es posible demostrar que, una vez que se acepta una noción de equivalencia adecuada, todos estas definiciones son equivalentes, en el sentido de que nos permiten calcular la misma clase de funciones.

(13)

Tesis de Church-Turing

La equivalencia entre modelos de computación llevó a plantear la siguiente afirmación:

Toda función es calculable efectivamente si y sólo si es calculable por una máquina de Turing.

Esta afirmación es conocida como la tesis de Church-Turing, pues se deriva del trabajo de ambos

Dado que afirma que una noción intuitiva (calculabilidad efectiva) es capturada por una noción formal, no se puede decir propiamente que está “demostrada”.

Pero es una hipótesis de trabajo conveniente y los resultados de computabilidad vistos en la sección anterior pueden formularse de manera más general si se acepta la validez de la tesis.

También es posible reformularla de manera que no se vea como una afirmación dogmática, sino como un conjunto de axiomas de los cuales se pueden derivar los mismos resultados

Computabilidad-Turing

Para poder comparar los modelos que estudiaremos adoptaremos una convención similar a la que vimos antes.

SeaM ∈TM, conΣyΓcomo alfabetos de entrada y de la cinta,

respectivamente. Entonces, podemos definir una función

fM :Σ∗ →Γ∗como

{(α,β)| hs_M,α, 0i ⇒∗_M ht,β,ni}.

Obsérvese quefM no tiene por qué ser total.

Por otro lado, diremos que la funciónσ :Σ∗ →∆∗es:

(a) Turing-computablesii existe unaM∈TMtal queσ=fM; (b) computablesii existe unaM∈TM totaltal queσ=fM.

Esta convención se puede modificar para que se refiera a números naturales y no a cadenas. Por ejemplo, podemos pensar en que la

cadenaαse refiere al número natural que corresponde al lugar que

ocupaαen el orden lexicográfico.

Máquinas de Turing Indecidibilidad Incomputabilidad T. de Church-Turing Modelos equivalentes a TM Fun. recursivas CálculoΛ Programas M. de registros

Funciones recursivas

µ

Las funciones recursivas-µson otro modelo de computabilidad. La

terminología adoptada presupone latesis de Church-Turing.

Estas funciones son el mínimo conjunto cerrado bajo las operaciones de composición, recursión primitiva, minimización acotada y que contiene a las siguientes funciones básicas (donde ¯x =x1,. . .,xn):

Cero. La constantec:_N0→_N, conc= 0 es computable.

Sucesor. La funcións:_N→_N, cons(x)=x+ 1, es computable.

Proyecciones. Las funcionesπ_kn:_Nn→_Nyπ_kn(x1,. . .,xn)=xk, con

1≤k ≤n, son computables.

Funciones nuevas I

Las operaciones para crear nuevas funciones son:

Composición. Si las funciones

f :_Nk →N

y

g1,. . .,gk :Nn→N

son computables entonces también lo es la función

f ◦(g1,. . .,gk):Nn→N,

definida por

(14)

Funciones nuevas II

Recursión primitiva. Si

h1,. . .,hk :Nn→N

y

g1,. . .,gk :Nn+k+1→N

son computables, entonces también lo son las funciones

f₁,. . .,f_k :_Nn+1 →_N, definidas a continuación

fi(0, ¯x) = hi(x¯)

fi(s(n), ¯x) = gi(n, ¯x,f1(n, ¯x),. . .,fk(n, ¯x)).

Funciones nuevas III

Minimización no acotada. Sea

g:_Nn+1 →_N

una función computable. Entonces, también es computable la función

f :_Nn→_N, definida por

f(x¯) = mdondemes el mínimo valor tal que:

g(x,m)= 0 y∀n≤m.g(x,n)está definida

= indefinida, en caso de que no exista talm

El valor def(x¯)se denota con la expresión

µy.g(y, ¯x)= 0.

Ejemplos

La función + suele definirse por medio de las siguientes ecuaciones

0 +x = x

s(y)+x = s(y+x)

En la notación de las funcionesµtendríamos:

h = π₁1 g = s◦π₃3 f(0,x) = π₁1(x)

f(s(y),x) = s(π₃3(y,x,f(y,x)))

Fun. recursivas CálculoΛ Programas M. de registros

Cálculo lambda I

Las funciones recursivas también son expresables en el cálculoλ.

El conjunto de términos del cálculoλse denotará porΛ.

La sintaxis del cálculo lambda es al siguiente

Λ→V |(λx.Λ)|(ΛΛ)

dondeV denota una variable:w,x,y,z,w1,. . .

La regla básica es la reducciónβ

(15)

Funciones recursivas en el cálculo lambda I

SeanMyN∈Λ. Entonces: V ≡def λxy.x F ≡def λxy.y [M,N] ≡def λz.zMN ¯0 ≡def λx.x n+ 1 ≡def [F, ¯n] S ≡def λx.[F,x] P ≡def λx.xF C ≡def λx. ¯0 Cero ≡def λx.xV π_in ≡def λx1,. . .,xn.xi Y ≡def λf .(λx.f(xx))(λx.f(xx))

Funciones recursivas en el cálculo lambda II

Obviamente, ¯0 yn+ 1 definen los números naturales.SyPson las

funciones predecesor y sucesor.V yF son los valores de verdad,Ceroes

una función que nos daV si su argumento es ¯0 yF en caso contrario.π_ines,

por supuesto, la proyeccióni-ésima connargumentos. El términoY será útil

más adelante para definir la recursión.

Supongamos queh:_N→_Nyg1,. . .,gn:N→Nson funciones

definidas por los términosHyG1, . . .Gn∈Λ, respectivamente, la

composicióne(x)=h(g1(x),. . .,gn(x))se define con el términoE

E ≡def λx.H(G1x). . .(Gnx).

Supongamos queh:_N→_Nyg:_N×_N→_Nson funciones computables

definidas por los términosH,G∈Λ. La función recursivae:_N→N

definida a partir dehygse define por medio del términoλ:

E ≡def Yλf.λx.(Cero x)(Hx)(G(P x)(f(P x)))

Funciones recursivas en el cálculo lambda III

Seag:_N×N→Nuna función computable definida por el términoG∈Λ.

La funcióne:_N→_Ndefinida por minimización a partir deges el término

E ≡def λxµ[λy.Cero(Gxy)]

Supongamos que ahora queremos definir la función suma del ejemplo

anterior en términos deΛ. Entonces:

H ≡def λx1.x1

G ≡def λz,x1,x2.S((λx1,x2,x3.x3)zx1x2)

SUMA ≡def Yλf.λx,y.(Cero x)(Hy)(G(P x)y(f(P x)y))

Lenguaje de programación

IMP

Se trata de unCFL. Empezaremos con las expresiones aritméticas:

A→n|X |(A+A)|(A−A)|(A×A)

donden∈_ZyX ∈Loc.

Tenemos ahora las expresiones booleanasEB:

B→V |F |(A=A)|(A≤A)| ¬B|(B∧B) |(B∨B)

dondeA∈EA. Finalmente, los comandos del lenguaje se definen así:

C::= skip|X :=A|(C; C)|(ifBthenCelseC)|(whileBdoC).

(16)

Funciones recursivas y programas while I

Las funcionesµtambién son definibles por medio de programas deIMP. Sea

f :_Nn→_N

una función recursiva. El objeto es definir un programaPcon al menos las

localidades

X0,. . .,Xn

tal que

[[P]]σ(X0)=f(σ(X1),. . .,σ(Xn)).

Funciones recursivas y programas while II

Lo haremos por inducción en la funciones recursivas.

P0 ≡def X0:= 0

PS ≡def X0:=X1+ 1;

P_πn

i ≡def X0:=Xi;

SeanP_f yPg1,. . .,Pgk los programas correspondientes a las funciones

f :_Nk →_Nyg1, . . . ,gk :Nn→N. Entonces, el programa correspondiente

ah=f◦(g1,. . .,gk)es

Ph ≡def Pg1; Y1:=X0; . . .Pgk; Yk :=X0;

X₁:=Y₁; . . .X_k :=Y_k; P_f

Funciones recursivas y programas while III

Veamos ahora un caso restringido para la recursión primitiva. Supongamos que tenemos las funciones

h:_N→N

y

g:_N3→N

y a partir de ellas definimos la funciónf :_N2→N:

f(0,x1) = h(x1)

f(s(n),x1) = g(n,x1,f(n,x1))

Queremos un programaPf tal que

[[P_f]]σ(X₀)=f(σ(Z),σ(X₁)).

Funciones recursivas y programas while IV

Por hipótesis inductiva, suponemos la existencia de dos programas

[[Ph]]σ(X0) = h(σ(X1))

[[Pg]]σ(X0) = g(σ(Z),σ(X1),σ(X2))

EntoncesPfes el programa

W :=Z; Y1:=X1; %Guardamos los argumentos originales def

Y₀:= 0; %Usaremos aY₀como contador

Ph; %Ejecutamos el programa del caso base

whileY0<W do Z :=Y0; X1:=Y1; X₂:=X₀; Pg Y0:=Y0+ 1

(17)

Funciones recursivas y programas while V

Por ejemplo, si tenemos la función recursiva

suma(0,x1) = x1

suma(s(n),x1) = s(suma(n,x1))

aquí la función baseh:_N→_Nse define como la proyecciónπ₁1(x1)=x1y

la funcióng:_N3_→ Ness◦π33(n,x1,x2)=s(x2). Los programasPhyPg tales que [[Ph]]σ(X0) = π11(σ(X1)) [[Pg]]σ(X0) = s◦π33(σ(Z),σ(X1),σ(X2)) son: Ph = X0:=X1 Pg = X0:=X2+ 1

Funciones recursivas y programas while VI

y entonces, el programaPsumatal que

[[Psuma]]σ(X0)= suma(σ(Z),σ(X1)) queda así: W :=Z; Y1:=X1; Y0:= 0; Ph; whileY0<W do Z :=Y₀; X1:=Y1; X2:=X0; Pg; Y0:=Y0+ 1

Máquinas de registros I

Las máquinas de registros ilimitados (URM) son una abstracción del procesador central de una computadora.

La memoria es como la del lenguaje IMP, pero las localidades se llaman registros:

Reg ={R1,R2. . .}

Los programas para URM se basan en unas cuantas instrucciones:

Nombre Sintaxis Significado

Cero Z(n) Rn:= 0

Sucesor S(n) Rn:=Rn+ 1

Transferencia T(n,m) Rn:=Rm

Salto J(n,m,k) siRn=Rmentonces ve a la

instrucciónk-ésima; si no,

continúa con la siguiente

Los registros guardan números naturales y los estados posibles son

Σ={σ: Reg→_N}

Este programa calcula la suma de los números enR1yR2. La tabla presenta

el estado de la memoria después de cada instrucción:

1 J(2, 3, 5) 2 S(1) 3 S(3) 4 J(1, 1, 1) 5 R1 R2 R3 1.1 1 2 0 2.1 2 2 0 3.1 2 2 1 4.1 2 2 1 1.2 2 2 1 2.2 3 2 1 3.2 3 2 2 4.2 3 2 2 1.3 3 2 2 5.1 3 2 2

(18)

Funciones recursivas y URM

Las funciones recursivasµpueden calcularse por medio de URM de una

manera muy similar a los programas en IMP:

Las funciones cero, sucesor y proyecciones tienen una implementación muy simple.

Para la composición de funciones hay que adoptar convenciones para guardar resultados parciales de funciones y presentar parámetros de manera similar a como se hizo con los programas IMP.

Además, hay que reenumerar las direcciones referidas en la operación de salto, para evitar interferir en el código de otros programas.

Finalmente, la recursión y la minimalización se manejan como se hizo con los ciclos while en IMP.