1 Aplicaciones Medibles. Variables Aleatorias.

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1 Aplicaciones Medibles. Variables Aleatorias.

La comparación y la aproximación constituyen parte de la esencia de las Matemáticas. En consecuencia el estudio matemático de cualquier modelo adquiere una mayor relevancia sobre la recta real o, más generalmente sobre el espacio Euclideo <n, por la riqueza adicional que aportan las diferentes estructuras que en él conviven. Como consecuencia es natural el estudio espec´ıfico, ya iniciado, de las peculiaridades de la probabilidad sobre < o <n_{, y el consiguiente que permita el estudio de caracter´ısticas que se miden num´}_ericamente

sobre sucesos aleatorios.

La asociaci´on a cada suceso elemental en un espacio probabil´ıstico de una caracter´ıstica num´erica constituye una variable aleatoria (real).

Debe se˜nalarse que a menudo no conocemos o no estamos interesados en conocer el experimento aleatorio en si, por lo que podr´ıa establecerse que una variable aleatoria es un experimento aleatorio con valores num´ericos. Desde este punto de vista el estudio de las variables aleatorias no aportar´ıa nada al ya realizado acerca de las probabilidades sobre < o <n_{. El principal inter´}_{es del estudio de las variables aleatorias radica en que podremos}

manejar varias variables conjuntamente, definidas en un mismo espacio muestral, y “hacer matemáticas” con ellas. Recordando los comentarios iniciales al hablar de espacio muestral y nuestra laxitud sobre su naturaleza, diriamos que es en el estudio de las variables aleatorias donde esta laxitud se hace aún más patente. Nuestro interés reside en asegurar que las variables en estudio puedan convivir en un espacio suficientemente grande, por lo que los análisis que realicemos (y esto es caracter´ıstico de la Teor´ıa de la Probabilidad) no podrán depender de la naturaleza del espacio, sino tan sólo del grado de relación o dependencia probabil´ıstica entre ellas.

1.1 Aplicaciones Medibles

Partiendo del caso discreto, debe recordarse que la “descripci´on probabil´ıstica” de una variable aleatoria con valores x1, x2, ...xn, ... consist´ıa en la asociaci´on a cada valor, xk, de

la probabilidad correspondiente, entendiendo como tal la de los sucesos elementales del espacio muestral que dan lugar a tal imagen, que escribiremos indistintamente como:

PX(xk) := P (X = xk) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) = xk}) = P (X−1({xk})).

En consecuencia el único aspecto cualitativo que debemos cuidar al definir con precisión matemática la idea de aplicación aleatoria es asegurar que podamos hablar de estas pro-babilidades.

Teniendo en cuenta la posibilidad de que Ω sea no numerable deberemos, por tanto, exigir que X−1({xk}) est´e en la clase de los sucesos de inter´es de Ω que es donde hemos

definido la probabilidad, es decir, que sea medible.

El c´alculo de probabilidades en espacios discretos justifica inmediatamente que aso-ciemos a cualquier B ⊂ < la probabilidad

PX(B) =

X

xk∈B∩X(Ω)

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Sin embargo podemos actuar tambi´en intentando utilizar el mismo argumento natural de asociar a B la probabilidad de los sucesos elementales que dan lugar a tal imagen por X:

PX(B) = P ({ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B}) = P (X−1(B)).

Ambas definiciones coinciden evidentemente al observar que X define una partici´on en Ω, {Ak}_k∈_{N , haciendo A}k = X−1({xk}), y que {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} = X−1(B) = [ xk∈B X−1({xk}) = [ xk∈B Ak

que es una unión finita o numerable de sucesos (y por tanto medible si estos lo son). En general esta partición no será numerable por lo que nuestra exigencia deberá ser mayor. Los conjuntos de interés de < (o, en general, de otro espacio Ω0) deberán tener contraimagen medible para que puedan ser probabilizados. Esto nos lleva a la siguiente definición de aplicación medible entre los espacios medibles (Ω, σ) y (Ω0, σ0).

Definici´on 1.1 Una aplicaci´on f : Ω → Ω0 es σ|σ0-medible si la contraimagen por f de cada conjunto de σ0 es un conjunto de σ:

f−1(A0) ∈ σ para cada A0 ∈ σ0.

Si el espacio (Ω0, σ0) es (<, β) (resp. (<n, βn)) las aplicaciones medibles se denominan variables aleatorias reales (resp. vectores aleatorios n-dimensionales).

Las funciones medibles entre espacios Eucl´ıdeos (f : <m → <n_{) se denominan}

fun-ciones de Borel.

La caracterización siguiente permitirá simplificar notablemente la comprobación de la medibilidad de una aplicación.

Teorema 1.2 Sea C0 una clase de conjuntos que genera la σ-álgebra σ’, σ’=σ(C0), y sea f : Ω → Ω0 una aplicación entre los espacios medibles (Ω, σ) y (Ω0, σ0). Entonces f es σ|σ0-medible si y sólo si

f−1(C0) ∈ σ para cada C0 ∈ C0.

Demostraci´on: La clase Γ0 := {A0 ∈ σ0 _{: f}−1_(A0_{) ∈ σ} es trivialmente una σ-´}_algebra

(recu´erdense las propiedades de la aplicaci´on inversa: f−1(∪i∈IA0i) = ∪i∈If−1(A0i), f−1((A0)c)

= (f−1(A0))c, f−1(Ω0) = Ω). Como por hip´otesis C0 ⊂ Γ0_{, tambi´}_{en se tendr´}_{a σ}0 _{= σ(C}0_{) ⊂}

Γ0. 2

Nótese que las múltiples caracterizaciones que hemos obtenido de las σ-álgebras de Borel en < y <n _{pueden utilizarse ahora convenientemente para asegurar la medibilidad}

de las variables o los vectores aleatorios. Por ejemplo, bastar´a probar que {f ≤ x} ∈ σ para cada x ∈ < (resp. {f ∈ Πn

i=1(−∞, xi]} ∈ σ para cada (x1, x2, ...xn) ∈ <n)para

asegurar que f es una variable aleatoria σ|β-medible (resp.σ|βn-medible).

El argumento utilizado en la demostraci´on anterior puede modificarse ligeramente para probar la siguiente proposici´on.

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Proposici´on 1.3 Sea f : Ω → Ω0 una aplicaci´on y C0 una clase de conjuntos de Ω0. Entonces se tiene

σ({f−1(C0), C0 ∈ C0}) = {f−1(A0), A0 ∈ σ(C0)}.

Una consecuencia inmediata e importante del Teorema 1.2 es la de asegurar la medi-bilidad de las funciones continuas. M´as precisamente se tiene:

Proposición 1.4 Sean Ω, Ω0 dos espacios topológicos y sean σ, σ0 sus σ-álgebras de Borel (las m´ınimas que contienen a todos los abiertos de los respectivos espacios). Si f : Ω → Ω0 es una aplicación continua, entonces es σ|σ0-medible. En particular toda función continua f : <m _{→ <}n _{es una funci´}_{on de Borel.}

Demostraci´on: Sean τ, τ0 las familias de abiertos en las topologias respectivas de Ω y Ω0. Como σ0 = σ(τ0), por el Teorema 1.2, ser´a suficiente probar que f−1(B0) ∈ σ para todo B0 ∈ τ0_{, pero por la continuidad se tiene f}−1_(B0_{) ∈ τ ⊂ σ(τ ) = σ.} ₂

Obs´ervese que si σ0 es una σ-´algebra en Ω’, la clase {f−1(A0), A0 ∈ σ0_{} es una σ-´}_algebra

sobre Ω y es la m´ınima que hace medible la aplicación. Tal σ-álgebra suele denotarse σ(f ) y se denomina la σ-álgebra engendrada por f . Nótese el hecho trivial de que la condición de σ|σ0-medibilidad puede reescribirse de forma equivalente como σ(f ) ⊂ σ.

La continua aparición de composiciones de aplicaciones en cualquier rama de las Matemáticas justifica obviamente la necesaria mención de proposiciones relativas a su comportamiento como lo es la siguiente.

Proposici´on 1.5 Sean (Ω, σ), (Ω0, σ0) y (Ω00, σ00) tres espacios medibles y f : Ω → Ω0, g : Ω0 → Ω00 aplicaciones respectivamente σ|σ0 y σ0|σ00 _{-medibles. La aplicaci´}_{on compuesta}

h : Ω → Ω00, h = g ◦ f es, entonces, σ|σ00-medible.

Demostraci´on: Sea A00 ∈ σ00_{. Puesto que g es σ}0_|σ00_{-medible se tiene g}−1_(A00_{) ∈ σ}0_{, y al ser}

f σ|σ0-medible, f−1(g−1(A00)) ∈ σ, y por tanto (g ◦ f )−1(A00) = f−1(g−1(A00)) ∈ σ. 2

Como consecuencia de las dos últimas proposiciones, podremos asegurar que (cuando tengan sentido) las operaciones habituales (sumas, productos,...) entre variables aleato-rias serán también variables aleatorias. Previamente obtendremos el siguiente resultado, simple pero fundamental.

Proposici´on 1.6 Sea ~X : Ω → <n una aplicaci´on cualquiera y sean X1, X2, ...Xn sus

componentes (Xi : Ω → <, Xi(ω) = πi( ~X(ω)), i = 1, ...n). Entonces ~X es un vector

aleatorio (σ|βn-medible) si y s´olo si sus componentes son variables aleatorias.

Demostraci´on: Como Xi = πi◦ ~X, se tiene

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por lo que (t´engase en cuenta el teorema 1.2 y que los conjuntos del tipo Πn

i=1(−∞, xi]

y (−∞, x] engendran respectivamente βn _{y β) ~}_{X es un vector aleatorio cuando X}

1, ...Xn

(sus componentes) son variables aleatorias.

Adem´as, observando que {X1 ≤ x1} = ∪∞k=1{ ~X ∈ (−∞, x1] × (−∞, k] × ...(−∞, k]},

tambi´en resulta obvia la implicaci´on opuesta. 2

Proposici´on 1.7 Sean X e Y variables aleatorias reales definidas en el espacio medible (Ω, σ). Las aplicaciones definidas por a.X, X + Y , X.Y , X/Y (si {Y = 0} = ∅) son tambi´en variables aleatorias reales.

Demostraci´on: Las aplicaciones definidas por f1 : x → f1(x) = a.x, f2 : (x, y) →

f2(x, y) = x + y, f3 : (x, y) → f3(x, y) = x.y son funciones continuas; como adem´as

la aplicación definida por ~X := (X, Y ) es un vector aleatorio por la proposición anterior, basta observar que a.X = f1◦ X, X + Y = f2◦ ~X, X.Y = f3◦ ~X, y aplicar la proposición

1.14 (util´ıcese el problema 4 para demostrar que X/Y tambi´en es variable aleatoria bajo la hip´otesis planteada). 2

1.2 Variables Aleatorias Reales

La especialización a las variables aleatorias con valores en < permite “construir” las varia-bles a través de un proceso que será la base del estudio de sus caracter´ısticas numéricas (como la Esperanza Matemática). Al no conocer como se construian los conjuntos de una σ-álgebra debiamos recurrir a procedimientos indirectos para demostrar propiedades. El proceso de construcción de las variables reales permitirá en cambio demostraciones escalonadas, comenzando por las variables más sencillas y “subiendo” hasta llegar a las más generales.

Comenzaremos por estudiar la medibilidad de las aplicaciones asociadas a l´ımites de variables aleatorias reales, para lo cual es conveniente considerar la posibilidad de que las variables tomen valores infinitos sin que ello provoque m´as problemas que los que intentamos resolver, o mejor evitar. Sea entonces ¯< = < ∪ {+∞} ∪ {−∞} (la recta real extendida) con la σ-´algebra ¯β = σ_<¯(β ∪ {+∞} ∪ {−∞}), definida como la m´ınima en ¯<

que contiene a los conjuntos de β y a los conjuntos {+∞} y {−∞}. Es sencillo probar que una aplicación X : Ω → ¯< es σ| ¯β-medible si y sólo si X−1(C) ∈ σ para cada C ∈ C y X−1({+∞}) ∈ σ, X−1({−∞}) ∈ σ, siendo C cualquier clase que genere la σ-álgebra de Borel de <.

Por supuesto una variable X : Ω → ¯< σ| ¯β-medible que no toma valores infinitos es autom´aticamente considerada tambi´en como una variable σ|β-medible, y una variable X : Ω → < σ|β-medible lo es como una variable σ| ¯β-medible sin apelar a equivalencias triviales.

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Respecto de la definición de las operaciones habituales en ¯<, respetaremos el “sentido común”, no dándoselo a cálculos como ∞ − ∞, ∞/∞, ó 0.∞..., y definiendo obviamente x + ∞ = ∞ + x = +∞, x − ∞ = −∞ + x = −∞, x.∞ = ∞.x = sign(x).∞, x.(−∞) = (−∞).x = −sign(x).∞, x/∞ = x/(−∞) = 0, ∞/x = sign(x).∞, −∞/x = −sign(x).∞ para todo x ∈ <, donde sign(x) = −1, 0 ó 1 según sea x < 0, x = 0 ó x > 0 respectiva-mente.

Para dos variables aleatorias reales X e Y σ|β-medibles es trivial ver que el conjunto {X = Y } pertenece a σ, basta tener en cuenta que X − Y es por la proposici´on 1.7 una nueva variable σ|β-medible y que {X = Y } = (X − Y )−1({0}), siendo {0}) un conjunto de Borel. Sin embargo la posibilidad de valores infinitos invalida parcialmente este argumento y, en consecuencia estableceremos el siguiente lema.

Lema 1.8 Sean X e Y variables aleatorias σ| ¯β-medibles definidas en el espacio medible (Ω, σ). El conjunto {X = Y } pertenece a σ.

{X = Y } = ({X = ∞} ∩ {Y = ∞}) ∪ ({X = −∞} ∩ {Y = −∞}) ∪ ({X0 = Y0} ∩ {|X| < ∞} ∩ {|Y | < ∞}) .

Ahora comprobar la medibilidad es trivial ya que cada conjunto involucrado est´a en σ; t´engase en cuenta el argumento empleado antes del lema para asegurar que {X0 = Y0} ∈ σ, y que {|X| < ∞} = ({X = ∞} ∪ {X = −∞})c. 2

Proposici´on 1.9 Sea {Xn}n una sucesi´on de variables Xn: Ω → ¯< σ| ¯β-medibles.

1. Las aplicaciones sup_n∈_{N X}n, inf_n∈_{N X}n, lim sup

n→∞Xn, lim infn→∞Xn son entonces

vari-ables σ| ¯β-medibles. 2. Si existe lim

n→∞Xn(ω) para cada ω ∈ Ω entonces la aplicaci´on X definida como X(ω) =

lim

n→∞Xn(ω) es una variable σ| ¯β-medible

3. El conjunto {ω ∈ Ω : {Xn(ω)}n converge } es un conjunto medible (pertenece a σ).

4. El conjunto {ω ∈ Ω : lim

n→∞Xn(ω) = X(ω)} pertenece a σsi X es una variable σ| ¯

β-medible.

Demostraci´on: Teniendo en cuenta las identidades {sup_n∈_{N X}n = −∞} = T∞n=1{Xn =

−∞}, {sup_n∈_{N X}n = ∞} = T∞M =1

S∞

n=1{Xn > M } y {sup_n∈_{N X}n ≤ x} = T∞n=1{Xn ≤

x}, y el hecho de que las σ-´algebras son cerradas para las uniones e intersecciones nume-rables, y que la clase de conjuntos (−∞, x], x ∈ <, genera β, queda asegurada la medi-bilidad de sup_n∈_{N X}n. La de inf_n∈_{N X}n se asegura an´alogamente argumentando con los

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Reescribiendo lim sup

n→∞

Xncomo inf_n∈_{N sup} m≥n

Xmy lim inf_n→∞Xncomo sup_n∈_{N inf}

m≥nXm, y

teniendo en cuenta la medibilidad de superiores e inferiores ya demostrada, queda probada la de estas nuevas variables y completada la parte 1).

La parte 2) es inmediata teniendo en cuenta que si existe lim

n→∞Xn(ω) para cada ω ∈ Ω,

entonces X coincide con lim sup

n→∞Xn (y con lim infn→∞Xn), por lo que su medibilidad es

consecuencia de 1).

3) es consecuencia de que, por 1), lim sup

n→∞

Xny lim inf_n→∞Xnson σ| ¯β-medibles y de que el

conjunto {ω ∈ Ω : {Xn(ω)}n converge } puede escribirse como {ω ∈ Ω : lim inf_n→∞Xn(ω) =

lim sup

n→∞

Xn(ω)}, y ahora podemos aplicar el lema anterior.

4) se obtiene de la igualdad {ω ∈ Ω : lim

n→∞Xn(ω) = X(ω)} = {lim sup_n→∞Xn= X} ∩ {lim infn→∞Xn= X}

y de 1) junto con el lema previo. 2

En la proposición anterior se ha demostrado que los l´ımites de variables aleatorias (σ| ¯β-medibles) son también variables aleatorias (σ| ¯β-medibles). Ahora demostraremos que, de hecho, las variables aleatorias reales pueden considerarse como l´ımites de variables aleatorias más sencillas, que son fácilmente manejables. Comenzaremos con la siguiente definición.

Definici´on 1.10 Sea A un subconjunto cualquiera de Ω, llamaremos indicador de A, y lo representaremos por IA a la aplicaci´on definida por IA(ω) = 1 si ω ∈ A, y 0 si ω /∈ A.

Cuando (Ω, σ) es un espacio medible y A ∈ σ, entonces el indicador de A es una variable aleatoria real y recibe el nombre de variable indicadora.

Una combinaci´on lineal de variables indicadoras se denomina variable aleatoria simple y, por tanto, admite una expresi´on del tipo Pn

i=1

xiIAi, siendo x1, x2, ...xn∈ <, A1, A2, ...An ∈

σ, n ∈ N .

Como la contraimagen, por una aplicación X que sólo toma los valores 0 y 1, de cualquier conjunto sólo puede ser el vac´ıo, el conjunto total, el conjunto X−1({1}) y su complementario (que es igual a X−1({0})), llamando A = X−1({1}) se tiene X = IA y

evidentemente una variable indicadora puede describirse como cualquier variable aleatoria que sólo toma los valores 0 y 1. Análogamente, una variable aleatoria X que sólo toma un número finito de valores z1, z2, ...zm ∈ < puede escribirse en “forma canónica” como

X = Pm

j=1

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hipótesis de medibilidad de X y constituyen una partición (medible) del espacio. Llegamos as´ı a la siguiente caracterización de las variables aleatorias reales.

Proposici´on 1.11 Si X es una variable aleatoria σ| ¯β-medible, X : Ω → ¯<, existe una sucesi´on {Xn}n de variables aleatorias simples tal que X(ω) = lim_n→∞Xn(ω) para todo

ω ∈ Ω.

Cuando la variable X es positiva (resp. negativa), la sucesi´on puede tomarse creciente (resp. decreciente) y de variables positivas (resp. negativas), 0 ≤ Xn(ω) ↑ X(ω) (resp.

0 ≥ Xn(ω) ↓ X(ω)) para cada ω ∈ Ω.

Si la variable X est´a acotada entonces la sucesi´on puede tomarse de modo que la convergencia sea uniforme.

Demostración: La idea es muy sencilla y puede expresarse diciendo que, para cada n, nos preocuparemos sólo de los valores x (que puede tomar la variable) que están comprendidos en el intervalo [−n, n], al resto los “aproximaremos” genéricamente por −n y n según sean negativos o positivos. Para los valores que están en [−n, n], estableceremos una partición suficientemente fina, que fijaremos por comodidad de tamaño 1/2n, aproximándolos por el extremo superior (resp. inferior) del intervalo de la partición en que se encuentra, si el valor es negativo (resp. positivo). Con ello conseguimos que la mayor de las diferencias entre la variable Xn, que construimos, y la original sea del orden de 1/2n para los valores

entre −n y n, mientras que para los restantes... ya les llegar´a su turno! con un n suficientemente grande. Definiendo Φn : ¯<+ → <+ por Φn(x) := n2n X k=1 k − 1 2n I[(k−1)/2n,k/2n)(x) + nI[n,∞](x) y Ψn : ¯< → < por Ψn(x) = Φn(x) si x ≥ 0 y = −Φn(−x) si x < 0, es elemental la

demostraci´on de que Ψnes ¯β|β-medible (cada conjunto de los considerados en su definici´on

es un intervalo y por tanto pertenece a ¯β) y, por tanto que Xn := Ψn◦ X es σ|β-medible

como compuesta de medibles.

Las propiedades enunciadas en la proposici´on son inmediatas a partir de la construcci´on anterior. 2

El siguiente teorema constituye uno de los más importantes resultados sobre el papel de las σ-álgebras en la Teor´ıa de la Probabilidad, al ligar la σ-álgebra engendrada por una variable con las funciones de ella. Obsérvese que su demostración es sencilla como consecuencia de la proposición anterior.

Teorema 1.12 Sea Ω un espacio muestral y X : Ω → Ω0 una aplicación cualquiera. Sea σ = σ(X) la σ-álgebra engendrada por X (cuando consideramos sobre Ω0 alguna σ-álgebra σ’. Si Y : Ω → ¯< es una variable aleatoria σ| ¯β-medible, entonces existe una función f : Ω0 → ¯<, σ0_{| ¯}_{β-medible, tal que Y = f (X).}

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Demostración: Supongamos primero que la variable Y es simple y que toma los va-lores y1, y2, ...yk. Entonces los conjuntos correspondientes a la “partición canónica” {Y =

yj}, j = 1, 2, ...k ser´an conjuntos de σ, pero como σ = σ(X) = {X−1(H0), H0 ∈ σ0},

existir´an k conjuntos H₁0, H₂0, ...H_k0 ∈ σ0 _{tales que {Y = y}

j} = X−1(Hj0), j = 1, 2, ...k.

Definiendo f : Ω0 → < como f = Pk

j=1

yjIH0

j, es evidente que f es una variable aleatoria

σ0|β-medible y que Y = f (X).

En el caso general, sea {Yn}n una sucesi´on, que existe por la proposici´on anterior, de

variables simples que convergen a Y , y sean fn, n = 1, 2, ... las funciones σ0|β-medibles,

que acabamos de obtener, tales que Yn = fn(X), n = 1, 2, .... Definiendo f = lim sup n→∞fn

(obsérvese que la existencia del l´ımite no está garantizada en todos los puntos de Ω0 y de este modo conseguimos una función definida entodos los puntos, que sabemos que es σ0| ¯β-medible por la proposición 1.9, y que coincide con el l´ımite donde este existe), obtenemos

Y = lim

n→∞Yn = limn→∞fn(X) = lim sup_n→∞fn(X) = f (X)

como queriamos. 2

Debemos destacar que al tratar el caso “abstracto” en que X toma valores en cualquier espacio medible, quedan incluidas situaciones en las que X es un vector aleatorio o una sucesi´on de variables aleatorias.

1.3 Ley de Probabilidad de una Variable Aleatoria

El lector deber´ıa haberse dado cuenta a estas alturas del cap´ıtulo de que no hemos hecho ninguna referencia a una probabilidad o a un espacio probabil´ıstico desde la, pretendida al menos, motivación al comienzo del cap´ıtulo. Entonces ¿por qué el calificativo “aleatoria” asociado a las aplicaciones o variables?. En realidad deber´ıa ser a partir de este momento cuando comenzásemos a emplearlo, porque a partir de ahora supondremos que (Ω, σ, P ) es un espacio probabil´ıstico donde están definidas las variables aleatorias en estudio.

Si X : Ω → Ω0 es una variable σ|σ0-medible, a partir de la probabilidad P definida en (Ω, σ) podemos asociar, como hicimos en la introducci´on, una probabilidad a cada conjunto B0 ∈ σ0 _{como P}

X(B0) = P (X0) := P (X−1(B0)). Las propiedades de la aplicaci´on

inversa y de la probabilidad permiten demostrar sin ning´un problema que PX es una

probabilidad sobre el espacio medible (Ω0, σ0), y el modo en que se ha definido justifica la siguiente definici´on.

Definición 1.13 Con la notación e hipótesis previamente introducidas, llamaremos a la probabilidad PX, definida sobre (Ω0, σ0) ley de probabilidad o distribución de probabilidad

de la variable X. Para representarla tambi´en utilizaremos la notaci´on P ◦ X−1, justificada formalmente por el hecho de poder escribir, para cada B0 ∈ σ0_{, P}

X(B0) = P (X−1(B0)) =

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Precisamente la forma P ◦ X−1 de escribir esta probabilidad es muy iluminadora a la hora de plantearnos la ley de probabilidad asociada a una variable que es función de otra: Proposición 1.14 Sea X : Ω → Ω0 una variable σ|σ0-medible y f : Ω0 → Ω00 una función σ0|σ00_{-medible. Entonces la ley de probabilidad asociada a la variable Y = f (X) definida}

en el espacio probabil´ıstico (Ω, σ, P ) coincide con la asociada a la variable aleatoria f definida en el espacio probabil´ıstico (Ω0, σ0, PX).

Demostraci´on: Sea B00 ∈ σ00, entonces, por las propiedades de la composici´on de aplica-ciones:

Pf (X)(B00) = P ◦ (f (X))−1(B00) = P ◦ X−1◦ f−1(B00) = PX ◦ f−1(B00) = (PX)f(B00).

2

Recordemos que en el cap´ıtulo anterior habiamos visto que si dos probabilidades en (<, β) ten´ıan la misma función de distribución entonces deb´ıan coincidir. También anunciamos que cualquier función F : < → < creciente, continua por la derecha y que tuviese los l´ımites limx→−∞F (x) = 0, limx→∞F (x) = 1, es decir, cualquier función de

dis-tribuci´on, determinaba una probabilidad P en (<, β) que verificase F (x) = P ((−∞, x]) para cada x ∈ <. Conociendo la existencia de la medida de Lebesgue, λ, en ((0, 1), β(0,1))

podemos dar una demostración muy simple de este hecho basada en la “transformación cuantil” asociada a F . El interés de esta transformación tanto en la Teor´ıa de la Proba-bilidad como en la Estad´ıstica justifica una definición formal.

Definición 1.15 Sea F una función de distribución en <. La función cuantil asociada a F , que denotaremos habitualmente (con un evidente abuso de notación) por F−1 es la función definida en (0, 1) por

F−1(y) = inf{x : y ≤ F (x)}.

Como F es creciente y limx→−∞F (x) = 0, limx→∞F (x) = 1, el conjunto {x : y ≤ F (x)}

es no vac´ıo y acotado inferiormente para cada y ∈ (0, 1), por lo que F−1(y) est´a bien definida. Adem´as de la continuidad por la derecha de F se tiene que si x0 = inf{x : y ≤

F (x)} entonces tambi´en y ≤ F (x0), y se tiene la propiedad caracter´ıstica de la funci´on

cuantil:

F−1(y) ≤ x ⇔ y ≤ F (x), y ∈ (0, 1), x ∈ <, (1) y, por el crecimiento de F ,

F (F−1(y)−) ≤ y ≤ F (F−1(y)), y ∈ (0, 1). (2) otras propiedades de inter´es de F−1 que son f´acilmente comprobables son el ser creciente y su continuidad por la izquierda.

Desde nuestro punto de vista actual, la propiedad de crecimiento es suficiente para asegurar que F−1 es una variable aleatoria β(0,1)|β-medible (v´ease el problema 5), que,

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probabilidad P sobre (<, β). Sea G la funci´on de distribuci´on de esta ley de probabilidad. G verifica entonces

G(x) = P ((−∞, x]) := λ({y ∈ (0, 1) : F−1(y) ∈ (−∞, x]}) = λ((0, F (x)]) = F (x) por la propiedad (1).

Es decir, La función de distribución de P (la ley de probabilidad asociada a F−1) es precisamente F , con lo que queda demostrada la existencia de probabilidades asociadas a cualquier función de distribución en <.

En la siguiente definición comenzamos a formalizar la idea de que lo importante de una variable no es cómo o donde esté definida sino su ley de probabilidad.

Definici´on 1.16 Sean X1 y X2 dos variables aleatorias definidas en sendos espacios

probabil´ısticos (Ω1, σ1, P1), (Ω2, σ2, P2) (posiblemente, pero no necesariamente, el mismo),

con valores en el espacio medible (Ω0, σ0). Diremos que X1 y X2 son igualmente

dis-tribuidas si sus leyes de probabilidad (definidas en (Ω0, σ0)) son iguales, esto es, si P1 ◦

X₁−1= P2 ◦ X2−1.

A partir de la definici´on, teniendo en cuenta la proposici´on 1.14 es trivial obtener el siguiente resultado.

Proposici´on 1.17 Si X1 y X2 son dos variables aleatorias, con valores en el espacio

medible (Ω0, σ0), igualmente distribuidas y f : Ω0 → Ω00 es una aplicaci´on σ0|σ00_-medible,

entonces f (X1) =d f (X2) (f (X1) y f (X2) son igualmente distribuidas).

Debemos destacar que esta proposición puede considerarse como un resultado funda-mental de la Teor´ıa de la Probabilidad, o si se quiere, como la justificación teórica del “principio de representación” al que tantas veces hemos aludido: Los resultados de in-terés probabil´ıstico sólo dependerán de la distribución de probabilidades asociada a la(s) variables que intervienen en el problema y no a donde o cómo estén definidas.

Obsérvese también que la formulación de la proposición en términos abstractos permite considerar como variables a vectores o incluso sucesiones de variables aleatorias reales , ya que si {Xn}n es una sucesión de variables aleatorias reales definida en algún espacio

prob-abil´ıstico (Ω, σ, P ) (σ|β-medibles), podemos definir X : Ω → <∞ por X(ω) = {Xn(ω)}n,

que será σ|β∞-medible (véase el problema 3). Además, por el teorema 1.12 y la proposición 1.9 resulta que las variables involucradas en procesos l´ımite también serán consideradas como funciones de la sucesión; téngase en cuenta que en la proposición 1.9 la σ-álgebra σ puede ser la m´ınima que hace medibles a todas las variables de la sucesión es decir σ(X1, X2, ...Xn, ...). La proposición recien enunciada asegura entonces, por ejemplo, que

si {Xn}n =d{Yn}n, entonces lim inf Xn =d lim inf Yn.

En las notas anteriores debe observarse que hemos hablado de la distribución de una variable con valores en un espacio abstracto y como ejemplo hemos considerado la de toda una sucesión. Es conveniente distinguir adecuadamente esta distribución de otras en las que sólo están involucradas una parte de las variables. Para no complicar innecesariamente la notación y la terminolog´ıa estableceremos las pertinentes definiciones sólo para variables aleatorias reales.

(11)

Definici´on 1.18 Sean X1, X2, ...Xn variables aleatorias reales definidas en un mismo

es-pacio probabil´ıstico (Ω, σ, P ). Se denomina ley o distribuci´on de probabilidad conjunta de X1, X2, ...Xn a la ley de probabilidad del vector X := (X1, X2, ...Xn). Las leyes de

probabilidad de cada una de las variables X1, X2, ...Xn, respectivamente representadas por

PX1, PX2, ...PXn, se denominan leyes o distribuciones de probabilidad marginales. M´as

gen-eralmente, dado cualquier subconjunto {i1, ...ik} ⊂ {1, 2, ...n}, la distribuci´on (conjunta)

del subvector (Xi1, ...Xik) recibe el nombre de distribuci´on marginal de (X1, X2, ...Xn).

La definici´on se extiende a sucesiones de variables aleatorias X1, X2, ...Xn, ...,

con-siderando la variable X(ω) = {Xn(ω)}n, con valores en el espacio medible (<∞, β∞) y la

ley de probabilidad conjunta de X1, X2, ...Xn, ... como la (definida en (<∞, β∞)) de X.

Los comentarios anteriores a esta definición se refer´ıan por tanto a la distribución con-junta de X1, X2, ...Xn, ..., que determina las marginales (apl´ıquese la proposición 1.17 a la

aplicaci´on proyecci´on πi1,i2,...ik definida por πi1,i2,...ik(x1, x2, ...xn, ...) = (xi1, xi2, ...xik) para

notar que la “conjunta” determina cualquier “marginal”). Por otra parte la distribuci´on conjunta de X1, X2, ...Xn, ... queda determinada por las de los vectores (X1, X2, ...Xn), n ∈

N (v´ease el problema 32).

El conocimiento de las distribuciones marginales de cada una de las variables X1, X2, ...

Xn, no es, sin embargo, suficiente para determinar la ley de probabilidad conjunta. Como

ejemplo simple sea Ω = {c, x}, donde supondremos la probabilidad definida por P ({c}) = P ({x}) = 1/2, y podemos mostrar dos variables X e Y definidas por X(c) = 1, X(x) = 0, e Y (c) = 0, Y (x) = 1. Ahora es inmediato ver que X =d Y , mientras que (X, X) 6=d(X, Y )

porque, por ejemplo P ((X, X) = (0, 0)) = 1/2, mientras que P ((X, Y ) = (0, 0)) = 0. A las formas “econ´omicas” de definir o determinar probabilidades en < o <n_{, cuando}

se aplican a variables o vectores aleatorios se les a˜nade el calificativo correspondiente, as´ı, si X es un vector o una variable aleatoria con distribuci´on de probabilidad PX, y esta ley

de probabilidad tiene función de distribución F y (posiblemente) función de densidad f , diremos que F (resp. f ) es la función de distribución (resp. densidad) de X.

La funci´on de distribuci´on de la variable X (resp. “conjunta” del vector (X1, X2, ...Xn))

vendr´a entonces definida por F (x) = P (X ≤ x) (resp. F (x1, x2, ...xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤

x2, ...Xn≤ xn)). La forma de obtener las funciones de distribuci´on marginales consiste, sin

más, en tomar l´ımites en el infinito en aquellas variables que no intervienen. Por ejemplo la función de distribución marginal del subvector (X1, X2, ...Xk) de (X1, X2, ...Xn) será

F1,...,k(x1, ...xk) = lim

xk+1→∞,...xn→∞F (x1, x2, ...xn)

como puede comprobarse observando que, por la continuidad mon´otona secuencial de la probabilidad se tiene: F1,...,k(x1, ...xk) = P ((X1, X2, ...Xk) ∈ (−∞, x1] × (−∞, x2] × ...(−∞, xk]) = P ((X1, X2, ...Xn) ∈ (−∞, x1] × (−∞, x2] × ...(−∞, xk] × < × ... × <) = lim xk+1↑∞,...xn↑∞ P ((X1, X2, ...Xn) ∈ (−∞, x1]×...×(−∞, xk]×(−∞, xk+1]×...×(−∞, xn]) = lim xk+1→∞,...xn→∞F (x1, x2, ...xn).

(12)

Consideraciones an´alogas nos llevan a obtener la funci´on de densidad marginal, f1,...,k,

correspondiente a (X1, X2, ...Xk), partiendo de la densidad conjunta de (X1, X2, ...Xn). Si

f (x1, x2, ...xn) es la funci´on de densidad conjunta, entonces

f1,...,k(x1, x2, ...xk) =

Z

<...

Z

<f (x1, x2, ...xn)dxk+1...dxn.

Para probarlo sólo necesitamos recurrir a la definición de función de densidad de una probabilidad y comprobar que la función definida por el segundo miembro de la igualdad anterior cumple tal definición, que conseguiremos aplicando el teorema de Fubini:

Z B Z < ... Z < f (x1, x2, ...xn)dxk+1...dxn dx1...dxk = Z B×<×...×< f (x1, x2, ...xn)dx1...dxkdxk+1...dxn = P ((X1, X2, ...Xn) ∈ B × < × ... × <) = P ((X1, X2, ...Xk) ∈ B) para todo B ∈ βk.

Uno de los problemas t´ıpicos del Cálculo de Probabilidades consiste en la obtención de la distribución de una variable o vector aleatorio que es una función de otro cuya dis-tribución es conocida. Las técnicas que se utilizan para este fin son de varios tipos e irán ilustrándose a través de la resolución de problemas, estando basadas en mayor o menor medida en propiedades de monoton´ıa, para las que la función de distribución es un instru-mento inmejorable, o de cambio de variable cuando existe función de densidad conjunta. Aunque las variaciones que pueden establecerse son muy diversas, nos contentaremos con observar el siguiente argumento básico:

Sea X = (X1, ...Xn) un vector aleatorio con funci´on de densidad f (x1, ...xn), y sea Y =

(Y1, ...Yn) = T (X) = (T1(X1, ...Xn), ...Tn(X1, ...Xn)) el vector aleatorio n-dimensional

obtenido por la transformaci´on T , de componentes T1, ...Tn. Llamaremos S a la

trans-formaci´on inversa, de componentes S1, ...Sn. Si la transformaci´on T es un difeomorfismo

y J (y1, ...yn) es el “Jacobiano”, Det (

_∂S

i(y1,y2,...yn)

∂yj

i,j), la funci´on de densidad g(y1, ...yn)

de Y vendr´a dada por:

g(y1, ...yn) = f (S1(y1, ...yn), ...Sn(y1, ...yn))|J (y1, ...yn)|. (3)

Sólo habrá que probar que g, definida de este modo, es la función de densidad de Y , sea entonces B un abierto de <n_{. Aplicando la f´}_{ormula del cambio de variable para la}

integral tendremos: P (Y ∈ B) = P (T (X) ∈ B) = P (X ∈ T−1B) = Z T−1_(B)f (x1, ...xn)dx1...dxn = Z B

f (S1(y1, ...yn), ...Sn(y1, ...yn))|J (y1, ...yn)|dy1...dyn =

Z

B

(13)

que demuestra que P (Y ∈ B) = R

Bg(y1, ...yn)dy1...dyn para los conjuntos abiertos. Si

definimos, para cualquier conjunto C de βn_{, Q(C) =} R

Cg(y1, ...yn)dy1...dyn, por las

propiedades de f y la definici´on de g, Q ser´a una probabilidad sobre (<n_{, β}n_{) que tiene a}

g como funci´on de densidad y que coincide con PY en una clase (la de los abiertos) que

es cerrada para intersecciones finitas y que genera la σ-álgebra de Borel βn. Por tanto Q y PY coinciden y g será función de densidad de PY, es decir, del vector aleatorio Y .

2 Problemas propuestos

1. Sea X : Ω → Ω0 una aplicaci´on y C0 una clase de conjuntos de Ω0. Probar que se tiene

σ({X−1(C0), C0 ∈ C0}) = {X−1(A0), A0 ∈ σ(C0)}.

2. Sea (Ω, σ) un espacio medible y B ∈ σ. Probar que si C es una clase que genera σ, entonces la “σ-´algebra de subespacio” σB := {H ⊂ B : H ∈ σ} coincide con la

m´ınima σ-´algebra sobre B que contiene a la clase CB = {B ∩ C : C ∈ C}.

3. Se define en <∞ (el espacio de las sucesiones de n´umeros reales) la σ-´algebra β∞ como la m´ınima que hace medibles las proyecciones

πi : <∞ → <, πi(x1, x2, ...xn, ...) = xi, i = 1, 2, ...n, ...

Probar que β∞ es tambi´en la σ-´algebra engendrada por las clases C = {< × < × ...< × Bn× < × ...., Bn∈ β, n ∈ N } y

D = {B1× B2× ... × Bn× < × ...., Bi ∈ β, i = 1, ...n, n ∈ N }

y que D es cerrada para intersecciones finitas.

Probar que X : Ω → <∞, X = (X1, X2, ...Xn, ...) es σ|β∞-medible si y s´olo si todas

sus componentes Xn, n ∈ N son variables aleatorias σ|β-medibles.

4. Sea ~X : Ω → <m un vector aleatorio m-dimensional tal que ~X(Ω) ⊂ B ∈ βm. Probar que si f : B → <n _{es continua, entonces f ( ~}_{X) es un vector aleatorio.}

5. Sea B un conjunto de Borel de < y f : B → < una funci´on creciente. Probar que es (βB|β−)medible.

6. Sea C una clase que genera la σ-´algebra σ, σ = σ(C). Probar que si X es una variable aleatoria real σ|β-medible entonces existe una subclase numerable CX ⊂ C tal que X

es σ(CX)|β-medible. Extender el resultado a vectores aleatorios.

7. Probar que una variable aleatoria simple es una aplicación medible que sólo toma un número finito de valores.

8. Probar que si X e Y son variables aleatorias reales definidas en el espacio medible (Ω, σ), entonces el conjunto {X > Y } es σ-medible. (Considerar la posibilidad de que las variables tomen valores infinitos).

(14)

9. Extender el teorema 1.12 a vectores aleatorios.

10. Sea X una variable aleatoria real con función de distribución F y correspondiente función cuantil F−1.

(a) Probar que si F es continua y estrictamente continua entonces F (X) tiene una distribuci´on uniforme en (0, 1).

(b) Probar que siempre se tiene F (F−1(x)−) ≤ x ≤ F (F−1(x)) para cada x ∈ (0, 1). (c) Deducir que F (X) tiene una distribución uniforme si F es continua (por lo que la condición de crecimiento estricto en a) es innecesaria). La transformación F (X) tiene gran interés en Estad´ıstica y recibe el nombre de transformación integral. 11. Sea X una variable aleatoria con valores positivos y “pérdida de memoria”:

P (X > x + y/X > y) = P (X > x) si x, y ∈ <+. Probar que entonces X tiene una distribuci´on exponencial:

Existe α > 0 tal que P (X > x) = e−αx, x > 0 (= 0 si x ≤ 0).

12. Sean (X, Y ) las coordenadas de un punto obtenido al azar del cuadrado unidad (0, 1) × (0, 1). Obtener P (X + Y ≤ 1₂) y P (X + Y ≤ 3₄). Si ahora (X, Y, Z) son las coordenadas de un punto elegido al azar del cubo unidad (0, 1) × (0, 1) × (0, 1), obtener P (X + Y + Z ≤ 1).

13. Sea X una variable aleatoria con distribuci´on uniforme en el intervalo (−1, 1). Obte-ner la distribuci´on de las variables |X|, X2, y (X + 1)/2.

14. Sea X una variable aleatoria con densidad f (x) = _π(1+x1 2₎. Obtener la distribuci´on

de la variable Y = X2_.

15. Obtener la función de densidad de la variable √X, si X es una variable con función de distribución F (x) = (1 − e−x)I[0,∞)(x).

16. Obtener la funci´on de distribuci´on de la variable Y = X2_{, si X tiene como funci´}_on

de distribuci´on a F (x) =      0 si x < 0 x2 _{si 0 ≤ x ≤ 1} 1 si x ≥ 1 ·

17. Sean (X, Y ) las coordenadas de un punto obtenido al azar del cuadrado unidad (0, 1) × (0, 1). Obtener la funci´on de densidad conjunta del vector (U, V ), siendo U = X + Y, V = X − Y . Obtener la funci´on de densidad marginal de las variables U y V .

(15)

18. Probar que la funci´on f (x) = √1 2πσ e −1 2{ x−µ σ }2

es una función de densidad si µ ∈ < y σ > 0. Una variable aleatoria X con esta función de densidad se denomina “normal µ, σ” (y suele escribirse L(X) = N (µ, σ), o también X =d_{N (µ, σ)). Obtener}

la funci´on de densidad del cuadrado de una variable N (0, 1).

19. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con densidad conjunta f (x, y) = _2π1 e−12{x 2_+y2_}

. Obte-ner las distribuciones marginales y la de la distancia de (X, Y ) al origen.

20. (Aguja de Buffon). Sobre un plano se trazan rectas paralelas equidistantes, separadas una distancia d. ¿Cu´al es la probabilidad de que al lanzar sobre el plano una aguja de longitud l, l < d, corte alguna recta?

21. (Paradoja de Bertrand). Se elige una cuerda al azar de una circunferencia dada . ¿Cuál es la probabilidad de que sea más larga que el lado del triángulo inscrito en la circunferencia?

22. (Método de Box-Müller de generación de leyes normales). Sean X e Y las coorde-nadas de un punto elegido al azar en el cuadrado unidad (0, 1) × (0, 1). Definimos las nuevas variables U =√−2 log X cos(2πY ) y V =√−2 log Xsen(2πY ). Obtener su densidad conjunta y las densidades marginales.

23. A lo largo de una carretera de 10 Km se han situado al azar 100 personas. ¿Cu´al es la probabilidad de que ninguna pareja de personas diste m´as de l metros?

24. Un dispositivo electrónico cuenta con n componentes y funciona mientras que una de estas componentes lo hace. Sabiendo que la función de distribución conjunta de los tiempos de fallo de las componentes es

F∗(x1, x2, ...xn) = Πni=1F (xi),

siendo F la función de distribución (común) del tiempo de fallo de cada componente, obtener la función de distribución del tiempo de fallo del dispositivo.

25. Se eligen tres puntos A, B, C al azar sobre una circunferencia , sea X el valor del ´

angulo (interior) ABC. Calcular la distribuci´on de X.

26. Sean X e Y variables aleatorias con funci´on de densidad conjunta h(x, y) = f (x)f (y), donde f es una funci´on medible y positiva. Obtener las funciones de densidad marginales y la conjunta del par (T, U ), siendo T y U las variables definidas por T = X + Y y U = XY .

27. Un vector aleatorio (X, Y ) tiene una distribuci´on uniforme sobre la superficie ence-rrada por una elipse de semiejes a, b y centro el origen. Calcular las funciones de densidad conjunta y marginales.

28. Probar que la funci´on

F (x, y) =

_{0 si x < 0 ´}_{o y < 0}

(16)

no es una funci´on de distribuci´on de un vector aleatorio.

29. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con densidad uniforme sobre el c´ırculo x2_{+ y}2 _{≤ 4.}

Determinar: (a) P (Y > kX).

(b) la funci´on de densidad de X. (c) P (X2+ Y2 > 1).

(d) La función de distribución de X2+ Y2. (e) La función de distribución de √X2_{+ Y}2_.

30. Probar que si F y G son dos funciones de distribuci´on en <, entonces las funciones H1(x, y) = F (x)G(y) y H2(x, y) = min{F (x), G(y)} son funciones de distribuci´on en

<2_{. Probar que si f y g son funciones de densidad en <, h(x, y) = f (x)g(y) es una}

funci´on de densidad en <2_.

31. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con densidad conjunta definida por f (x, y) = e−x−y si x > 0, y > 0 (y 0 en el resto). Obtener:

(a) Las distribuciones marginales. (b) La funci´on de distribuci´on conjunta.

(c) P (X = Y ). (d) P (X + Y ≤ 4).

(e) La funci´on de distribuci´on de Z = X + Y .

32. Sea X1, X2, ...Xn, ... una sucesi´on de variables aleatorias reales definidas en un espacio

probabil´ıstico (Ω, σ, P ). La distribución de la sucesión es la ley de probabilidad que ésta engendra en (<∞, β∞). Probar que dos sucesiones de variables aleatorias reales, X1, X2, ...Xn, ..., y Y1, Y2, ...Yn, ... son igualmente distribuidas si y sólo si los

vectores aleatorios (X1, X2, ...Xn) y (Y1, Y2, ...Yn) son igualmente distribuidos para