El rango esencial de una funci´ on

El rango esencial de una funci´ on

Arroyo S´ anchez Dante, Cano Flores Sof´ıa.

Marzo y Abril de 2020

1 Definici´on. Sea (X, F , µ) un espacio de medida. Sea f ∈ M X, F , R+
. El rango esencial de f se define como:

ER(f ) :=w ∈ R+ : ∀ε > 0 µ ({x ∈ X : |f (x) − w| < ε}) > 0 .

2 Lema. Sea (X, F , µ) un espacio de medida, y sea f ∈ M (X, F ). Entonces

ER(f ) =w ∈ R⁺: ∀ε > 0 µ f⁻¹[B(w, ε)]
> 0 .

Demostraci´on. En efecto, basta notar lo siguiente:

f⁻¹[B(w, ε)] = {x ∈ X : f (x) ∈ B(w, ε)}

= {x ∈ X : |f (x) − w| < ε} .

3 Proposici´on. Sea (X, F , µ) un espacio de medida, y sea f ∈ M X, F , R+
. Entonces ER(f ) es un conjunto cerrado.

Demostraci´on. Mostremos que el complemento de E R(f ) es abierto en R+.

Sea t ∈ (R⁺\ER(f )).

Se tiene particularmente que t /∈ ER(f ), lo cual implica que existe ε > 0 tal que µ (f⁻¹[B(t, ε)]) = 0.

Sea z ∈ B(t, ε).

Como B(t, ε) es un abierto en R⁺, hallamos ε^∗ > 0 tal que B(z, ε^∗) ⊂ B(t, ε).

Por propiedades de la preimagen, f⁻¹[B(z, ε^∗)] ⊂ f⁻¹[B(t, ε)].

Finalmente, por propiedades de la medida µ (f⁻¹[B(z, ε^∗)]) ≤ µ (f⁻¹[B(t, ε)]) = 0.

Por lo tanto, µ (f⁻¹[B(z, ε^∗)]) = 0.

Se concluye as´ı que z /∈ ER(f ).

Por la arbitrariedad de z, se tiene que B(t, ε) ⊂ (R+\ER(f )).

Por lo tanto, (R⁺\ER(f )) es un abierto.

4 Definici´on. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico.

1. El espacio (X, τ ) es un espacio segundo numerable si su topolog´ıa tiene una base numerable.

2. El espacio (X, τ ) es un espacio de Lindel¨of si cada cubierta abierta del espacio tiene una subcubierta numerable.

5 Lema. El conjunto B := {(a, b) : a, b ∈ (0, +∞)}, es una base para la topolog´ıa usual definida en el conjunto (0, +∞).

6 Lema. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea B ⊂ τ .

Entonces, B es una base para τ si y s´olo si dados U ∈ τ y p ∈ U , existe B ∈ B tal que p ∈ B ⊂ U .

7 Lema. El espacio topol´ogico (0, +∞) es segundo numerable.

Demostraci´on. Consideremos la siguiente colecci´on:

C := {(a, b) : a, b ∈ Q ∩ (0, +∞) }.

Notemos que C ⊂ B ⊂ τ , donde B es la base dada en el lema 5.

Veamos que C es una base para la topolog´ıa.

Sea V ∈ τ , entonces por el lema 5 podemos hallar una familia de intervalos abiertos, a decir A tal que:

V = [

A∈A

A.

Sea v ∈ V , entonces, existe A₀ ∈ A tal que a ∈ A₀. Como A₀ es un intervalo, existen a, b ∈ (0, +∞), a 6= b, tales que A₀ = (a, b).

Notamos que a < v < b entonces, por la densidad de los racionales en los reales, existen q₁, q₂ ∈ Q tales que a < q1 < v < q₂ < b. Es decir,

v ∈ (q₁, q₂) ⊂ (a, b) ⊂ [

A∈A

= V.

Adem´as, (q₁, q₂) ∈ C. Entonces, por el lema 6, concluimos que C es una base para la topolog´ıa.

Como C ⊂ Q × Q, y Q × Q es numerable, concluimos que C es a lo m´as numerable.

Por lo tanto, (0, ∞) es segundo numerable.

8 Proposici´on. Sea (X, τ ) un espacio segundo numerable, entonces es de Lindel¨of.

Demostraci´on. Sea B una base numerable de τ , y sea A una cubierta abierta de X.

Dado x ∈ X, existe A ∈ A tal que x ∈ A. Como A ∈ τ , entonces existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ A (por el lema 6).

Sea K := {m ∈ N : Bm ∈ B ∧ (∃A ∈ A B_m ⊂ A)}.

Por lo expuesto anteriormente, tenemos que K 6= ∅. Dado k ∈ K, hallamos A_k ∈ A tal

que Bk ⊂ Ak.

Sea A^∗ := {A_k}_k∈K. Veamos que es una cubierta de X.

Como A^∗ ⊂ A, tenemos que S

A∈A^∗

A ⊂ X.

Sea x ∈ X, entonces hallamos A ∈ A tal que x ∈ A. Por otro lado, existe B_j ∈ B tal que x ∈ Bj ⊂ A. Luego j ∈ K, x ∈ A y A ∈ A^∗.

Se concluye as´ı que X = S

A∈A∗

A.

Como K ⊂ N, concluimos que A^∗ es una cubierta abierta numerable de X.

9 Corolario. El espacio (0, +∞) es de Lindel¨of.

10 Corolario. Cada conjunto abierto en [0, +∞) es una uni´on numerable o finita de bolas.

11 Proposici´on. Sea f ∈ M(X, F , [0, +∞]). Entonces

µ

f⁻¹[0, +∞] \ ER(f )

= 0.

Demostraci´on. Pongamos A := [0, +∞] \ E R(f ).

Notamos que para cada a ∈ A, con a 6= ∞, existe ε_a > 0 tal que µ (f⁻¹[B(a, ε_a)]) = 0, y m´as a´un B(a, ε_a) ⊂ A pues A ∈ τ_u.

Consideramos A := {B(a, ε_a) : a ∈ A} . Entonces A = ∪A

Como el espacio es de Lindel¨of, particularmente para A podemos hallar una subcubierta numerable a partir de la cubierta ya dada, a decir A⁰ := {B (a_n, ε_an)}_n∈N. Entonces:

µ f⁻¹[A]
= µ f⁻¹

"

[

n∈N

B (a_n, ε_an)

#!

= µ [

n∈N

f⁻¹[B (a_n, ε_an)]

!

≤X

n∈N

µ f⁻¹[B (a_n, ε_an)]
= 0.

Finalmente, si a = +∞, como +∞ ∈ E R(f ), existe γ > 0 tal que

µ(f⁻¹[(γ, +∞]]) = 0.

Y as´ı, si hacemos A⁰∪ (γ, +∞], dicha uni´on sigue siendo una cubierta para A, y se sigue cumpliendo que µ (f⁻¹[A]) = 0.

12 Definici´on. Sea (X, F , µ) un espacio de medida, y sea f ∈ M (X, F ). El supremo esencial de f se define como:

ess sup

X,µ

f : = ´ınfb ∈ R+: µ ({x ∈ X : f (x) > b}) = 0

Donde

U (f, µ) :=b ∈ R+: µ ({x ∈ X : f (x) > b}) = 0 , es el conjunto de cotas esenciales de f .

13 Proposici´on. Sea (X, F , µ) un espacio de medida, y sea f ∈ M (X, F ). Entonces

ess sup

X,µ

f = supw ∈ R+ : w ∈ E R(f ) .

Demostraci´on. Definamos lo siguiente:

s := sup E R(f ) γ := ess sup

X,µ

f.

Veamos que s ≤ γ. Para esto, probemos que si w ∈ E R(f ) entonces γ ≥ w.

Procediendo por contradicci´on, supongamos que existe w_o ∈ ER(f ) tal que γ < w₀. Para esto, notemos que el supremo esencial lo podemos ver tambi´en de la siguiente manera,

ess sup

X,µ f = ´ınf{b ∈ R+ : µ(f⁻¹[(b, ∞)]) > 0}.

Por propiedades del supremo esencial, como w0 > γ entonces w0 ∈ U (f, µ), es decir:

µ(f⁻¹[(w₀, ∞)]) = 0,

y como w₀ ∈ ER(f ) entonces

∀ε > 0, µ(f⁻¹[B(w₀, ε)]) > 0.

Notemos que existe ε₀ tal que w₀− ε₀ > γ, y as´ı, si x ∈ X es tal que f (x) ∈ B(w₀, ε₀), tendr´ıamos que (por la desigualdad inversa del tri´angulo)

f (x) > w₀− ε₀ > γ

por lo que

{x ∈ X : f (x) ∈ B(w₀, ε₀)} ⊂ {x ∈ X : f (x) > γ}.

y entonces se tiene que

0 ≤ µ({x ∈ X : f (x) ∈ B(w₀, ε₀)}) ≤ µ({x ∈ X : f (x) > γ}) = 0.

Lo cual es una contradicci´on, por lo tanto, s ≤ γ.

Veamos la otra desigualdad, γ ≤ s.

Sea S := [0, +∞] \ [0, s].

Por la proposici´on 11,

Tenemos que µ (f⁻¹[S]) = 0 es decir

µ ({x ∈ X : f (x) > s}) = 0.

Es decir,

s ∈ {c ∈ R+: µ (x ∈ X : f (x) > c) = 0} = U (f, µ).

Y as´ı,

sup(E R(f )) = s ≥ ´ınf U (f, µ) = ess sup

X,µ

f = γ.

∴ s ≥ γ.

∴ s = γ.