Distribución de probabilidad continua
Una distribución de probabilidad continua es aquella en la que la variable aleatoria que la define X es continua;
o sea, es producto de una medición y no del conteo.
El dominio de la variable aleatoria continua X es infinito.
Distribución de probabilidad continua
Distribución Normal
El mejor ejemplo de una variable aleatoria continua es la variable aleatoria normal.
Una distribución de probabilidad continua es aquella en la que la variable aleatoria que la define X es continua;
o sea, es producto de una medición y no del conteo.
El dominio de la variable aleatoria continua X es infinito.
Características:
(i) La gráfica es conocida como la campana de Gauss (ii) Es simétrica
(iii) Los valores tienden a agruparse alrededor de la media (iv) La media, la mediana y la moda son iguales
(v) El área bajo la curva o de parte de la curva es igual a la probabilidad deseada.
Distribución de probabilidad continua
Distribución Normal
El mejor ejemplo de una variable aleatoria continua es la variable aleatoria normal.
Una distribución de probabilidad continua es aquella en la que la variable aleatoria que la define X es continua;
o sea, es producto de una medición y no del conteo.
El dominio de la variable aleatoria continua X es infinito.
= mediana = moda
Gráfica de una distribución de probabilidad continua.
p(X) = 1
2 " e
−1 2 X −
"
2
e es la constante 2.71828…
es la constante 3.14159...
es la media
" es la desviacio´n esta´ndar
X es cualquier valor de la variable aleatoria continua y
−∞ < X < +∞
Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar.
Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas.
Ejemplo:
Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar.
Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas.
Ejemplo:
Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar.
Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas.
Ejemplo:
Las distribuciones A y la B tienen igual μ pero distintas σ
Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar.
Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas.
Ejemplo:
Las distribuciones A y la B tienen igual μ pero distintas σ
Las distribuciones A y la C tienen igual σ pero distintas μ
Ya que e y π son constantes, la probabilidad de una variable aleatoria depende sólo de la media y la desviación estándar.
Para valores diferentes de μ y σ se producen distribuciones de probabilidad normal distintas.
Ejemplo:
Las distribuciones A y la B tienen igual μ pero distintas σ
Las distribuciones A y la C tienen igual σ pero distintas μ
Las distribuciones B y la C tienen diferentes μ y σ
Coeficiente de curtosis
Hay listas de datos en los que éstos están concentrados alrededor de la media y otras en las que no, en el primer caso la gráfica de la distribución tiene una cresta alta y en el segundo la cresta es más baja. Quien determina si la cima es más elevada o no es el coeficiente de curtosis.
La expresión para calcular dicho coeficiente está dado por:
=
i=Ni=1 (xi − )
4
N"
4− 3
Donde,
es la media,
es la desviación estándar es el número de datos
"
N
Coeficiente de curtosis
Las curvas se clasifican según el signo del coeficiente de su curtosis, es Decir, la forma de la distribución:
Leptocurtosis,
Mesocurtosis, distribución Normal Platicurtosis,
> 0
= 0
< 0
La expresión matemática es complicada y tediosa, por lo tanto, es mejor utilizar conocida como fórmula de transformación, que convierte cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria normal estandarizada Z.
p(X) = 1
2 " e−
12 X −
"
2
Z = X −
"
La expresión matemática es complicada y tediosa, por lo tanto, es mejor utilizar conocida como fórmula de transformación, que convierte cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria normal estandarizada Z.
p(X) = 1
2 " e−
12 X −
"
2
Z = X −
"
Cualquier conjunto de valores distribuidos normalmente
pueden ser convertidos a la forma estandarizada, por lo cual para calcular la probabilidad deseada se utiliza la tabla de la distribución normal estandarizada acumulada.
La expresión matemática es complicada y tediosa, por lo tanto, es mejor utilizar conocida como fórmula de transformación, que convierte cualquier variable aleatoria normal X en una variable aleatoria normal estandarizada Z.
p(X) = 1
2 " e−
12 X −
"
2
Z = X −
"
Para comprobar la aplicación de la fórmula de transformación, se presenta el siguiente ejemplo:
Cualquier conjunto de valores distribuidos normalmente
pueden ser convertidos a la forma estandarizada, por lo cual para calcular la probabilidad deseada se utiliza la tabla de la distribución normal estandarizada acumulada.
Calcular el tiempo de descarga de una página Web conocida se distribuye normalmente con
μ
= 7 yσ
= 2.Para un tiempo de descarga de 1 s X = 1
Z = X −
"
Z = 1 − 72 Z = −3
Calcular el tiempo de descarga de una página Web conocida se distribuye normalmente con
μ
= 7 yσ
= 2.Para un tiempo de descarga de 3 s X = 3 s
Z = X −
"
Z = 3 − 72 Z = −2
etc.
X = 5 s Z = X −
"
Z = 5 − 72 Z = −1
Para un tiempo de descarga de 3 s X = 3 s
Z = X −
"
Z = 3 − 72 Z = −2
Para un tiempo de descarga de 5 s
Por lo tanto, si se desea calcular la probabilidad de que el tiempo de descarga de la página sea menor a 9 s.
p(X < 9) = ? Z = 9 − 72
Z = 1
P(X < 9) = P(Z < 1) Segu´n la tabla P(Z < 1) = 0.8413
Por lo tanto, si se desea calcular la probabilidad de que el tiempo de descarga de la página sea menor a 9 s.
p(X < 9) = ? Z = 9 − 72
Z = 1
P(X < 9) = P(Z < 1) Segu´n la tabla P(Z < 1) = 0.8413
Por lo tanto, si se desea calcular la probabilidad de que el tiempo de descarga de la página sea menor a 9 s.
p(7 < X < 9) = ? p(3 < X < 11) = ? p(1 < X < 13) = ?
p(X < 3.5) = ?
Calcule las siguientes probabilidades
Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10
Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10
¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas?
Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10
¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas?
Observando la tabla se puede verificar que:
para siendo 0.1003 es el valor más cercano a 0.10
Z = −1.28, p(Z) = 0.1003
Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10
¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas?
Observando la tabla se puede verificar que:
para siendo 0.1003 es el valor más cercano a 0.10
Z = −1.28, p(Z) = 0.1003
Calcule X para una probabilidad acumulada de 0.10
¿Cuánto tiempo (segundos) deberá transcurrir antes de que el 10% de las descargas estén completas?
Observando la tabla se puede verificar que:
para siendo 0.1003 es el valor más cercano a 0.10
Z = −1.28, p(Z) = 0.1003
X = ? s Z = X −
"
− 1.28 = X − 72
− 2.56 = X − 7 X = 7 − 2.56
X = 4.44 s
Calcule los valores de X que incluyan el 95% de los tiempos de descarga.
La masa de los paquetes de un cereal de desayuno tiene una distribución normal con una media de 750 g y desviación estándar de 25 g.
(a) Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar tenga masa
(i) menos de 740 g;
(ii) al menos 780 g;
(iii) entre 740 g y 780 g.
(b) Dos paquetes son elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos paquetes tengan una masa que es menos de 740 g?
(c) La masa de 70% de los paquetes es más de x gramos. Encuentra el valor de x.
En un país llamado Tallopia, la altura de los adultos tiene una distribución normal con una media de 187,5 cm y una desviación estándar de 9.5 cm.
(a) ¿Qué porcentaje de adultos en Tallopia tienen una altura superior a 197 cm?
(b) Una puerta estándar en Tallopia está diseñado de modo que el 99%
de los adultos tienen un espacio de al menos 17 cm por encima de la cabeza al pasar por una puerta. Halle la altura de una puerta estándar en Tallopia. Escriba su respuesta al cm más cercano.
Una empresa fabrica aparatos de televisión. Ellos afirman que el tiempo de vida de un conjunto se distribuye normalmente con una media de 80 meses y la desviación estándar de 8 meses.
(a) ¿Qué proporción de los televisores se descomponen en menos de 72 meses?
(b) (i) Calcular la proporción de conjuntos que tienen una vida útil entre 72 meses y 90 meses.
(ii) ilustre esta proporción con el sombreado adecuado en un boceto de una curva de distribución normal.
(c) Si un conjunto se rompe en menos de x meses, la empresa reemplazará sin costo alguno. Se reemplaza el 4% del juego. Encuentre el valor de x.
Se afirma que las masas de una población de leones se distribuyen normalmente con una masa media de 310 kg y una desviación estándar de 30 kg.
(a) Calcule la probabilidad de que un león seleccionados al azar tenga una masa de 350 kg o más.
(b) La probabilidad de que la masa de un león se encuentra entre a y b es 0,95, donde a y b son simétricas alrededor de la media. Encuentre el valor de a y de b.
El gráfico muestra una curva normal de variable aleatoria X, con media y desviación estándar.
Se sabe que
(a) La región sombreada A es la región bajo la curva donde . Escriba el área de la región de sombra A.
También se sabe que
(b) Encuentra el valor de , justifique su respuesta.
(c) Muestre que (d) Calcule
"
P(X m 12) = 0.1
X m 12
P(X [ 8) = 0.1
P(X [ 11)
" = 1.56
El tiempo que tarda un estudiante en terminar una tarea dada sigue una distribución normal, de media 20 min. y desviación típica 1.25 min.
(a) Se elige un estudiante al azar. Halle la probabilidad de que el estudiante termine la tarea en menos de 1.25 min.
(b) La probabilidad de que un estudiante tarde entre k min. y 21.8 min. es igual a 0.3. halle el valor de k.
El coeficiente Intelectual (IQ) en una determinada población se distribuye normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 15.
(a) ¿Qué porcentaje de población tiene un IQ entre 90 y 125?
(b) Si dos personas son elegidos al azar de la población, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan el coeficiente intelectual superior a 125?
