Unidad: 3
Unidad: 3
Distribución de probabilidades discretas y
Distribución de probabilidades discretas y continuas
continuas..
Variable aleatoria.
Variable aleatoria.
Es una descripción numérica del resultado de un
Es una descripción numérica del resultado de un experimento.experimento.
Variables aleatorias discretas.
Variables aleatorias discretas.
Son las variables aleatorias que pueden tomar un número finito de valores o un número Son las variables aleatorias que pueden tomar un número finito de valores o un número infinito de valores en
infinito de valores en una sucesión.una sucesión. Ejemplos:
Ejemplos: E
Exxppeerriimmeennttoo VVaarriiaabblle e aalleeaattoorriia a ((xx)) VVaalloorrees s ppoossiibbllees s ((xx)) LLllaammaar r a a cciinncco o cclliieenntteess NNúúmmeerro o dde e cclliieennttees s qquuee
hacen un pedido
hacen un pedido 0, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5 In
Inspspececciciononar ear envnvío dío de 50 e 50 pipiezezasas NúNúmemeroros de s de pipiezezas as ququee tienen algún defecto
tienen algún defecto 0, 1, 2, …49, 500, 1, 2, …49, 50 Hacerse cargo de la Hacerse cargo de la administración de un restaurante administración de un restaurante durante un día durante un día N
Núúmmeerro o dde e cclliieenntteess 00,,11,,22,,33,,....1100,,1111,,……
Observar los automóviles que Observar los automóviles que llegan a las cabina de peajes
llegan a las cabina de peajes Número de automóviles queNúmero de automóviles quellegan a la cabina en un díallegan a la cabina en un día 1, 2,..50,..1000..1, 2,..50,..1000..
Variables aleatorias continuas.
Variables aleatorias continuas.
To
Toma cuma cualalququieier valor valor numr numéréricico deno dentro de tro de un intun interervavalo lo o de o de ununa colea coleccccióión den de intervalos.
intervalos. Los resultados experimLos resultados experimentales basados en escentales basados en escalas de medición tales comalas de medición tales comoo tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias tiempo, peso, distancia y temperatura pueden ser descritos por variables aleatorias continuas.
continuas. Ejemplos: Ejemplos:
E
Exxppeerriimmeennttoo VVaarriiaabblle e aalleeaattoorriia a ((xx)) VVaalloorrees s ppoossiibbllees s ((xx)) O
Oppeerraar ur un n bbaannccoo TTiieemmppo o een n mmiinnuuttoos s eennttrre le la a lllleeggaadda a ddee los clientes los clientes xx ≥ ≥ 00 Llenar un botella de Llenar un botella de gaseosa
gaseosa Cantidad de cmCantidad de cm
33 00≤≤ xx ≤≤ 10001000
Con
Constrstruir uuir una bina bibliblioteotecaca PorcenPorcentaje taje del pdel proyroyectecto tero terminminado eado enn seis meses seis meses 00 ≤ ≤ xx ≤≤ 100100 Probar un proceso Probar un proceso químico nuevo
químico nuevo Temperatura a reacción deseadaTemperatura reacción deseadaa la la que que tiene tiene lugar lugar lala 150°150° ≤
Un modo de determinar si una variable aleatoria es discreta o continua es imaginar los Un modo de determinar si una variable aleatoria es discreta o continua es imaginar los valores de
valores de la variable ala variable aleatoria como leatoria como puntos sobpuntos sobre re un segmeun segmento de la nto de la recta. recta. Elegir dosElegir dos punto
puntos s que que represrepresenten enten valovalores dres de la ve la variabariable alele aleatoriatoria. a. Si toSi todo el do el segmsegmento ento de de lala recta entre esos dos puntos representa también valores posibles para la variable recta entre esos dos puntos representa también valores posibles para la variable aleatoria, entonces la variable aleatoria es
aleatoria, entonces la variable aleatoria es continua.continua.
Distribuciones de probabilidad discretas.
Distribuciones de probabilidad discretas.
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe como se distribuyen La distribución de probabilidad de una variable aleatoria describe como se distribuyen las probabilidades entre los valores de l
las probabilidades entre los valores de la variable aleatoria.a variable aleatoria.
En el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad está En el caso de una variable aleatoria discreta x, la distribución de probabilidad está definida por una función de probabilidad,
definida por una función de probabilidad, denotada por denotada por “f(x)”.“f(x)”.
La función de probabilidad da la
La función de probabilidad da la probabilidad para cada valor de la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria.variable aleatoria.
Ejemplo: Ejemplo:
Una concesiona
Una concesionaria de autos veria de autos vende nde durante los últimos durante los últimos 300 días. Los 300 días. Los datos muestrandatos muestran que
que durandurante 54 te 54 días días no sno se vene vendió ndió ningún ingún automautomóvil, óvil, 117 d117 días ías en loen los que s que vendvendió ió 11 automóvil por día, 72 día
automóvil por día, 72 días s en los que venden los que vendió 2 autos, 42 días en ió 2 autos, 42 días en los que vendieron 3los que vendieron 3 autos, 12 días en los vendieron 4 automóviles y 3 días en los que vendieron 5 autos, 12 días en los vendieron 4 automóviles y 3 días en los que vendieron 5 automóviles.
automóviles.
Definimos la variable aleatoria como x= número de autos vendidos en un día, de Definimos la variable aleatoria como x= número de autos vendidos en un día, de acuerdo a los datos del pasado se sabe que x es una variable aleatoria discreta que acuerdo a los datos del pasado se sabe que x es una variable aleatoria discreta que puede toma
puede tomar los valores r los valores 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 4 o 3, 4 o 5. 5. En la noEn la notación tación de funciones de funciones de probabilidadde probabilidad
f(0)
f(0) da la probabilidad de vda la probabilidad de vender 0 automóviles. Y aender 0 automóviles. Y así sucesivamente sí sucesivamente con las otras. con las otras. LaLa
probabilidad
probabilidad de de vender vender en en un un día día 0 0 automóvil automóvil es es = = 54/300 54/300 = = 0,18, 0,18, se se arma arma una una tablatabla y se asignan las probabilidades.
y se asignan las probabilidades.
x x ff((xx)) 00 00,,1188 11 00,,3399 22 00,,2244 33 00,,1144 44 00,,0044 55 00,,0011 T Toottaall 11
Se observa las probabilidades de la variable aleatoria
Se observa las probabilidades de la variable aleatoria x x satisfacen las condicionessatisfacen las condiciones
requeridas para un función de probabilidad o sea que f(x) sea igual o mayor a 0 y la requeridas para un función de probabilidad o sea que f(x) sea igual o mayor a 0 y la suma de las probabilidades sean iguales a 1.
suma de las probabilidades sean iguales a 1.
CONDICIONES REQUERIDAS PARA UNA FUNCIÓN DE
CONDICIONES REQUERIDAS PARA UNA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA.PROBABILIDAD DISCRETA. •
• f(x)f(x) ≥≥ 00 •
Se pueden representar gráficamente, en el eje horizontal los valores de la variable aleatoria x y en el eje vertical aparecen las probabilidades correspondientes a estos
valores.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAES DISCRETAS
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 1 2 3 4 5 Ventas diarias P r o b a b i l i d a d d e v e n t a s d i a r i a s
Además de tablas y gráficos, para describir las funciones de probabilidad se suele usar una fórmula que da el valor de la función de probabilidadf (x), para cada valor de x.
Ejemplo.
Si en el experimento que consiste en lanzar un dado se define una variable aleatoria x
como el número de puntos en al cara del dado que cae hacia arriba. En este experimento la variable aleatoria toma n = 6; x = 1, 2, 3, 4, 5, 6; la función de
probabilidad de esta variable aleatoria uniforme discreta es
f(x) = 1/ 6 x= 1, 2, 3, 4, 5, 6 x f(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD UNIFORME DISCRETA
f(x) = 1 / n
Las funciones de probabilidad discreta más empleadas suelen especificarse mediante fórmulas. Las principales son:
• Distribución binomial • Distribución de Poisson • Distribución hipergeométrica
Valor esperado
El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la localización central de la variable aleatoria.
La ecuación indica que para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta se multiplica cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad correspondientef (x).
Volviendo al ejemplo de las ventas de autos, tenemos:
x f(x) x . f(x) 0 0,18 0. (0,18)= 0,00 1 0,39 1. (0,39)= 0,39 2 0,24 2. (0,24)= 0,48 3 0,14 3. (0,14)= 0,42 4 0,04 4. (0,04)= 0,16 5 0,01 5. (0,01)= 0,05 1,50 E(x) = µ = ∑ x. f(x) = 1,50
Indica que el valor esperado es de 1,50 automóviles por día.
Si en el mes hay 30 días podemos pronosticar que las ventas promedio mensuales serán de 30 (1,50) = 45 autos.
Varianza
Medida de variabilidad o dispersión su utiliza para resumir la variabilidad en los valores de la variable aleatoria.
VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
E(x) = µ = ∑ x. f (x)
VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Para el caso de venta de autos, la varianza es la siguiente: x x - µ (x - µ )2 f(x) (x - µ )2 f(x) 0 0 – 1,50 = -1,50 2,25 0,18 2,25 (0,189= 0,4050 1 1 - 1,50 = -0,50 0,25 0,39 0,25 (0,39)=0,0975 2 2 – 1,50 = 0,50 0,25 0,24 0,25 (0,24)= 0,0600 3 3 - 1,50= 1,50 2,25 0,14 2,25 (0,14)= 0,3150 4 4 - 1,50= 2,50 6,25 0,04 6,25 (0,04)= 0,2500 5 5 - 1,50= 3,50 12,25 0,001 12,25 (0,01)= 0,1225 1,2500 σ 2 = ∑ (x - µ )2 f(x) = 1,2500
La desviación estándar σ , se define como a raíz cuadrada positiva de la varianza.
σ = √1,25 = 1,1180
Distribución de probabilidad binomial
La distribución de probabilidad binomial es una distribución que tiene muchas
aplicaciones. Esta relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.
Propiedades de un experimento binomial:
1) El experimento consiste en una serie de “n” ensayos idénticos.
2) En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro fracaso.
3) La probabilidad de éxito, que se denota“p”, no cambia de un ensayo a otro. Por
ende, la probabilidad de fracaso, que se denota “1 –p” , tampoco cambia de un
ensayo a otro.
4) Los ensayos son independientes.
“Lo que interesa en un experimento binomial es el número de éxitos en “n” ensayos, si “x” denota el número de éxitos en “n” ensayos, es claro que x tomará valores 0, 1, 2, 3,
……., “n” dado que el número de estos valores es finito, “x” es una variable aleatoria
discreta.”
DESVIACIÓN ESTANDAR
A la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria se la llama
“distribución de probabilidad binomial” .
Ejemplo:
“lanzar una moneda cinco veces y observar si la cara de la moneda cae hacia arriba o hacia abajo (ceca).
Si analizamos si cumple con las propiedades de un experimento binomial y ¿cuál es la variable aleatoria?
Tenemos:
a) El experimento consiste en cinco ensayos idénticos, cada ensayo es lanzar una moneda.
b) En cada ensayo hay dos resultados posibles: “cara o ceca”. Se puede considerar cara como “éxito” y ceca como “fracaso”.
c) La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son iguales en todos los ensayos, siendo p= 0,5 y 1-p = 0,5.
d) Los ensayos o lanzamientos son independientes porque al resultado de un ensayo no lo afecta que pasa en los siguientes lanzamientos.
Por lo tanto, se satisfacen las propiedades de un experimento binomial. La variable aleatoria que interesa es “x = números de caras” que aparecen en cinco lanzamientos.
En este caso “x” puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ó 5.
Otro ejemplo:
Consideremos las decisiones de compra de los próximos 3 clientes de un negocio de venta de ropas. De acuerdo con la experiencia, el gerente del local estima que la
probabilidad que un cliente realice una compra es = 0,30. ¿Cuál es la probabilidad que 2 de los próximos 3 clientes realice una compra?
Entonces se verifican primero las propiedades del experimento binomial:
a) Es posible describir el experimento como una serie de tres ensayos idénticos, un ensayo por cada uno de los clientes que llegan al local.
b) Cada ensayo tiene dos posibles resultados: el cliente hace una compra (éxito) o el cliente no hace ninguna compra (fracaso).
c) La probabilidad que el cliente haga una compra (0,30) o que no haga ninguna compra (0,70) se supone que es la misma para todos los clientes.
d) La decisión de comprar de cada cliente es independiente de la decisión de comprar de los otros clientes.
Podemos realizar un diagrama de árbol de experimento para observar a los tres clientes para ver si cada uno de ellos decide realizar una compra, tiene ocho posibles resultados.
Denotamos con “E” como éxito (compra) y “F” fracaso (no compra), lo que interesa son
los resultados experimentales en los que haya “2 éxitos” (decisiones de compra) en los tres ensayos.
Diagrama de arbol Primer Cliente Segundo Cliente Tercer Cliente Resultado Experimental Valor de x E (E; E; E) 3 E F (E; E; F) 2 E F E (E; F; E) 2 F (E; F; F) 1 F E (F; E; E) 2 E F F; E; F) 1 F E (F; F; E) 1 F (F; F; F) 0
El diagrama nos indica en los resultados experimentales que hay dos compra, elnúero de maneras posibles x =2 éxitos en n= 3 ensayos.
Función de probabilidad binomial.
f(x) = nC x . p x (1 – p)(n-x)
f(x)= n! p x (1 – p)(n-x)
x! (n- x)!
Donde:
f(x )= probabilidad de x éxitos en n ensayos n = números de ensayos
p= probabilidad de éxitos en cualquiera de los ensayos
1 – p= probabilidad de un fracaso en cualquiera de los ensayos.
Siguiendo con el mismo ejemplo podemos calcular la probabilidad de que el local de ropa que ningún cliente compre; que exactamente un cliente realice una compra; que exactamente dos clientes realicen una compra y que tres clientes realicen una compra.
x f(x) 0 3! (0,30)0(0,70)3 = 0,343 0! 3! 1 3! (0,30)1(0,70)2 = 0,441 1! 2! 2 3! (0,30)2(0,70)1 = 0,189 2! 1! 3 3! (0,30)3(0,70)0 = 0,027 3! 0! Total 1,000
Representación gráfica
Distribución Probabilidad Binomial
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0 1 2 3
Número de clientes que hace n una compra
P r o b a b i l i d a d
La función de probabilidad binomial es aplicable a cualquier experimento binomial. Si encuentra que una situación presenta las propiedades de un experimento binomial y conoce los valores de “n” y “p” se usa la ecuación para calcular la probabilidad de “ x”
Uso de la tabla Binomial
Halle la probabilidad que lleguen al local de ropa 10 clientes o sea n0 10 y que x= 4; p= 0,30
f(x)= n! p x (1 – p)(n-x)
x! (n- x)!
f(4) = 10! (0,30)4 (0,70)6 = 0,2001
4!6!
Por la tabla se comienza a buscar por la n= 10 ; luego se identifica la x= 4; se sigue el renglón hasta hallar la p= 0,30 y el resultado nos da 0,2001.
Otro ejemplo:
n= 20 x = 0, 1, 2 p= 0,10
f(x≤2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0,1216 + 0,2702 + 0.2852 = 0,6670
Valor esperado binomial
Si la variable aleatoria tiene una distribución binomial en la que se conoce el número de ensayos “n” y la probabilidad de éxitos “p”, la fórmula es la siguiente:
Continuando con el ejemplo del local de ropa el gerente pronostica para el próximo mes que 1000 clientes visitaran el negocio. ¿Cuál es el número esperado de clientes que harán una compra? Aplicando la formula del valor esperado sería.
VALOR ESPERADO BINOMIAL
E(x) = µ = n. p
E(x) = (1000) (0,30) = 300 clientes.
Varianza y desviación estándar en la distribución binomial
Para los próximos 1000 clientes que visiten el local de venta la varianza y el desvío estándar será de:
σ 2 = n. p (1 – p) = (1000) (0,30) (1 – 0,30) = 210 σ = σ 2 = 210 = 14,49
Características y usos del distribución binomial.
1) Cuando “n” es pequeña y “p” también , o sea cuando “p” es menor a 0,50.
2) Cuando “n” es pequeña y “p” grande o sea mayor a 0,50
3) Cuando “p” = 0,50 y/o “n” es grande.
4) No es una distribución simétrica.
5) // 12 7597%% = − + = − + σ µ σ µ
Distribución de probabilidad de Poisson
VARIANZA Y DESVIO ESTANDAR
Var (x) = σ 2 = n. p (1 – p)
Estudia a una variable aleatoria discreta que se suele utilizar para estimar el número de veces que sucede un hecho determinado (ocurrencias) en un intervalo de tiempo o de espacio.
Propiedades del experimento de Poisson.
1) La probabilidad de ocurrencia es la misma para cualquiera de los intervalos de la misma magnitud.
2) La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier otro intervalo.
El número de ocurrencias x , no tiene limite superior, es una variable discreta que toma
los valores de una sucesión infinita de números ( x =0, 1, 2; …….)
Ejemplo.
Suponga que desea saber el número de personas que llegan en un lapso de 15 minutos al cajero automático de un banco, en un análisis de datos pasados se establece que el número promedio de personas que llegan en un lapso 15 minutos es de 10 personas.
Verificada el cumplimiento de las propiedades. Y la administración quiere saber la probabilidad que lleguen exactamente 5 personas en 15 minutos, x = 5 y se obtiene:
f (5) = 105 e- 10 = 0,0378
5!
µ = 10
x = 5
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON
f(x) = µ x e- µ
x!
f(x)= probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
µ = número medio de ocurrencias en un intervalo
Suponga que desea calcular la probabilidad que llegue 1 persona en un lapso de 3 minutos. Entonces es la siguiente, como 10 personas es el número esperado de llegada en 15 minutos debemos realizar lo siguiente 10 /15 = 2/3 es el número esperado de personas en un lapso de 1 minuto. Entonces debemos multiplicar 2/3 (3) = 2 es el número esperado en 3 minutos. Por consiguiente la probabilidad de llegadas
x en un lapso de 3 minutos con µ = 2, está dada por siguiente función de
probabilidad de Poisson.
f(x) = 2x e-2 = f(1)= 2 e – 2 = 0,2707
x! 1!
Varianza y desviación estandar
Una propiedad de la distribución de Poisson es que la media y la varianza son iguales, entonces tenemos que
µ = σ 2 , por lo tanto la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la
varianza o sea, σ = √σ2
µ +- σ = contiene el 71% de las probabilidades
µ +- 2 σ = contiene el 96% de las probabilidades
Las funciones de probabilidad correspondientes a una variable aleatoria continua reciben el nombre de funciones de densidad de probabilidad o simplemente funciones de densidad. Si en un experimento puede dar lugar a un número infinito y no enumerable de resultados, estamos frente a una variable aleatoria continua. Cuando el valor de una variable aleatoria “se mide y no se cuenta” queda definida como una variable aleatoria continua.
Ejemplos:
• Nivel de agua en un lago • La presión en una caldera • La distancia entre dos puntos • Temperaturas
• La cantidad de gramos en una
caja de cereales
• El tiempo de vuelo entre dos
ciudades.
El valor de la variable puede ser cualquiera de los infinitos números pertenecientes a un intervalo definido. Puede tomar cualquier valor entre dos límites.
Ejemplo:
Considere una variable aleatoria x que represente el tiempo de vuelo de un avión que viaja de Bs.As. a San Pablo. Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el intervalo de 120 minutos a 140 minutos. Dado que la variable aleatoria x toma cualquier valor en este intervalo, x es una variable aleatoria continua y no una variable aleatoria discreta. Se admite que la probabilidad es la misma para todos los intervalos de 1 minuto dentro del mismo intervalo de tiempo, entonces se dice que tiene una distribución de probabilidad uniforme. La función densidad es la siguiente:
En el caso de la variable tiempo de vuelo a = 120 y b= 140
FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD UNIFORME 1 para a ≤ x ≤b
b – a f(x)
f(x)
1/20
x
120 130 140
Tiempo de vuelo en minutos
Área como medida de probabilidad.
La probabilidad en una función de densidad de probabilidad continua se representa por el área comprendida entre el eje x y la función de densidad. Por lo tanto la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome cualquier valor puntual específico es igual a “0” cuando dicha variable es continua, las probabilidades son del tipo P( a ≤ x ≤b) que
se refieren a intervalos.
En el caso del ejemplo anterior si queremos saber ¿Cuál es la probabilidad de que tiempo de vuelo se encuentre entre 120 y 130 minutos? Es decir P (120≤ x ≤130).
Como el tiempo de vuelo debe estar entre los 120 y los 140 minutos y como se ha dicho que la probabilidad es uniforme en este intervalo, es factible decir que la P(120
≤ ≤ x 130) = 0,50 f(x) 1/20 x 120 130 140
Tiempo de vuelo en minutos
P( a ≤ x ≤b) = área bajo f(x) desde a hasta b
Dada la distribución uniforme del tiempo de vuelo y usando la interpretación de área como probabilidad es posible contestar cualquier pregunta acerca de la probabilidad de los tiempos de vuelo.
¿Cuál es la probabilidad de un tiempo de vuelo entre 128 y 136 minutos?
• Ancho del intervalo es: 136 -128 = 8 • Altura uniforme es 1/ 20
• Entonces es 8 (1/20) = 0,40
Observe P (120 ≤ x ≤140) = 20 (1/20) = 1; es decir que el área total bajo la grafica
de f(x) es iguala 1.
Valor esperado y varianza
E(x) = µ, es la media, es la medida de posición central o punto de equilibrio de la función densidad.
V(x) = σ2 y el desvío estándar es σ =
σ 2
Distribución de probabilidad normal
También llamada distribución de Gauss, es la más conocida y utilizada de todas las distribuciones de probabilidad. Tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas en las cuales las variables aleatorias pueden ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de exámenes, precipitación pluvial, longitud, altura, temperaturas, grosor de cuerpos, mediciones de glóbulos, aptitudes o capacidades humanas, etc.
La forma de la curva de la distribución normal tiene forma de campana, a continuación se presente la función de densidad de probabilidad que define la curva en forma de campana de la distribución normal.
Propiedades de las funciones de densidad.
• f(x) ≥ 0; la función densidad nunca es negativa
• P (−∞≤ x≤+∞) = 1 ; el área total bajo la función de densidad
CURVA NORMAL
Las principales características de las distribución normal son.
• Toda distribución normal se diferencia por medio de dos parámetros la media
“µ” y la desviación estándar “σ”.
• El punto más alto de una curva normal se encuentra sobre la media “µ”, la cual
coincide con la mediana y la moda.
• La media de una distribución normal puede tener cualquier valor: negativo,
positivo o cero.
• La distribución normal es simétrica. Las colas de la curva normal se extienden al
infinito en ambas direcciones y en teoría jamás tocan el eje horizontal. Dado que es simétrica la distribución normal no es sesgada: su sesgo es =0.
• La desviación estándar determina que tan plana y ancha es la curva.
Desviaciones estándar grandes corresponden a curvas más planas, lo cual indica mayor variabilidad en los datos.
Función de densidad de probabilidad normal
f(x) = 1 e-(x-µ)2 / 2σ2 σ 2π µ= media σ= desviación estándar π = 3,14159 e = 2,71828
• Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal se dan
mediante áreas bajo la curva. Toda el área bajo la curva de una distribución normal es “1”. Como esta distribución es simétrica, el área bajo la curva y a la izquierda de la media es 0,50 y el área bajo la curva y a la derecha es 0,50.
• Los porcentajes de los valores que se encuentran en algunos intervalos
comúnmente usados son:
µ+- 1σ = 68,2% de los valores de una variable aleatoria normal. µ+- 2σ = 95,4% de los valores de una variable aleatoria normal. µ+- 3σ = 99,7 % de los valores de una variable aleatoria normal.
Una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media igual a “0” y desviación estándar igual a “1”, tiene una distribución normal estándar. Para designar esa variable normal se suele usar la letra “z”
• µ = 0 • σ = 1
Como ocurre con otras variables aleatorias continuas, los cálculos de la probabilidad se hacen calculando el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. Para la distribución normal estándar ya se encuentran calculadas las áreas bajo la curva normal y se cuentan con tablas que dan esas áreas y que se usan para calcular las probabilidades.
Conversión a la variable aleatoria normal estándar
1) Convertimos el problema en otro equivalente con una variable medida en unidades de desviación estándar que recibe el nombre de variable normal estandarizada
2) Se usa la tabla para tener respuesta al problema transformado.
3) Finalmente volviendo a las unidades originales de medida de x, podemos obtener la respuesta al problema original.
µ = 0 y σ = 1
FUNCION DE DENSIDAD NORMAL ESTANDAR
f(z) = 1 e–z2 / 2
π
2
Z= x - µ σ
Ejemplo: µ = 10 σ = 2
¿Cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria x esté entre 10 y 14? Z= 10 – 10 = 0 y Z= 14 -10 = 2
2 2
P (0≤ z ≤2) = P ( z ≤2) - P( z ≤0) = 0,9772 – 0,5000 = 0,4772. Por lo tanto la
probabilidad que este x entre 10 y 14 es de 0,4772.
E(z) = E ( x-µ ) = 0 σ
V(z)= V ( x-µ ) = 1 σ
Si nos dan z y hay que hallar “x” es igual a:
x = Z.σ + µ
Si hay que halar “µ” es igual a:
µ = Z . σ - x
Aproximación normal de las probabilidades binomiales.
Se utiliza la aproximación normal cuando tienen. 1) La misma media
µ= n . p
2) Misma varianza σ2= n. p .(1-p)
3) Se usa cuando los numero de observaciones tienden a infinito o sea cuando “n” es grande en estas condiciones aseguran que la distribución normal permitirá obtener una aproximación razonablemente buena de la binomial una buena aproximación se la considera cuando:
n≥ 30 n . p ≥ 5 n . (1-p) ≥ 5
Z = ( x-µ ) = x – n . p σ n. p.(1−p)
A medida que aumenta el tamaño tiende al formato de la distribución normal. Ejemplo:
Suponga que una empresa sabe por la experiencia que 10% de sus facturas tienen algún error. Toma una muestra de 100 facturas y desea calcular la probabilidad de que 12 de estas facturas contengan algún error. Es decir, quiere hallar la probabilidad binomial de 12 éxitos en 100 ensayos. Aplicando la aproximación normal a este caso se tiene µ = n.p = (100)(0,1) = 10 y σ = np(1−p) = (100 )(0,1)(0,9) =3
3
10 =
= σ
µ y
Se debe aplicar un factor de corrección de continuidad o sea que se lo trata como un intervalo 11,5 y 12,5. Entonces de una distribución binomial discreta se aproxima a P(11,5 ≤ x ≤12,5) en la distribución normal continua.
Z = x- µ = 12,5 – 10,0 = 0,83
σ 3
Z = x- µ = 11,5 – 10,0 = 0,50
σ 3
