Esper
Esper
anza
anza
matemática
matemática
La
La esperanza matemáticaesperanza matemática oo valor esperadovalor esperado de una variable aleatoria discreta es la sumade una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.
Los nombre de
Los nombre de esperanza matemáticaesperanza matemática yy valor esperadovalor esperado tienen su origen en los juegos detienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hac e un gran azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hac e un gran número de apuestas.
número de apuestas. Si la
Si la esperanza matemáticaesperanza matemática eses cerocero, E(x) = 0, el, E(x) = 0, el ju ju egeg oo eses equitativoequitativo , es decir, no existe, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.
ventaja ni para el jugador ni para la banca. Ejemplos
Ejemplos
Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
por la papeleta?
E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 111 1 €€
Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la
pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemáticaesperanza matemática del juego y si éste esdel juego y si éste es favorable. favorable. E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} p(+1) = 2/4 p(+1) = 2/4 p(+2) = 1/4 p(+2) = 1/4 p(−5) = 1/4 p(−5) = 1/4 E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4
E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 =- 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable−1/4. Es desfavorable
Variable aleatoria
Variable aleatoria
Se llama
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espaciovariable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.
muestral E un número real.
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúscula
minúsculas (x, s (x, y, ...) para designar y, ...) para designar valores concretos de las mismas.valores concretos de las mismas.
Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta
Un
Un aa variable aleatoria discreta es aquella que sólo variable aleatoria discreta es aquella que sólo puede tomar valores enterospuede tomar valores enteros .. Ejemplos
Ejemplos
El número de hijos de
El número de hijos de una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.una familia, la puntuación obtenida al lanzar un dado.
Variable aleatoria continua
Variable aleatoria continua
Un
Un aa variable aleatoria continuavariable aleatoria continua es aquella quees aquella que puede tomar todos los valorespuede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo
posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.de la recta real. Ejemplos
Ejemplos
La altura de los alumnos de
La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.una clase, las horas de duración de una pila.
Distribuciones discretas de probabilidad
Distribuciones discretas de probabilidad
Función de probabilidad
Función de probabilidad
Se llama
Se llama f f unción de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a launción de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de x
aplicación que asocia a cada valor de x i i de la variable su probabilidad pde la variable su probabilidad pi i .. 0 0 ≤ ≤ ppii ≤ ≤ 11 p p11 + + pp22 + + pp33 + · · · + p+ · · · + pnn = = Σ Σ ppii = = 11 Ejemplo Ejemplo Calcular la
x p i 1 2 3 4 5 6 1 Representación
La representación de una distribución discreta de probabilidad es un diagrama de barras.
Función de distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X , y escribiremos F(x) a la función:
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la va riable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.
Ejemplo
Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.
x p i x <1 0 1≤ x < 2
2≤ x < 3 3≤ x < 4 4≤ x < 5 5≤ x < 6 6≤ x 1 Representación
La representación de una función de distribución de probabilidad es una gráfica escalonada.
Media y varianza de una variable aleatoria discreta
Esperanza matemática o media
Varianza
Desviación típica
Ejemplo
x p i x · p i x 2 · pi 1 2 3 4 5 6 1 6
Ejercicios resueltos de distribuciones discretas
1. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza. x p i x · p i x 2· p i 2 1/36 2/36 4/36 3 2/36 6/36 18/36 4 3/36 12/36 48/36 5 4 /36 20/3 6 100/36 6 5/36 30/36 180/36 7 6/36 42/36 294/36 8 5/36 40/36 320/36 9 4 /36 36/36 324/36 10 3/36 30/36 300/36 11 2/36 22/36 242/36 12 1/36 12/36 144/36 7 54.83
2. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperan za matemática del juego.
x p i x· p i +100 100/6 + 200 200/6 + 300 300/6 - 400 -400/6 + 500 500/6 -600 - 600/6 100/6 µ =16.667
3. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?
μ = 5000 · 0.001 + 20 00 · 0.003 = 11 €
4. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es: x p i 0 0,1 1 0,2 2 0,1 3 0,4 4 0,1 5 0,1
1.
Calcular, representar gráficamente la función de distribución.2.
Calcular las siguientes probabilidades: p (X < 4.5)p (X < 4.5) = F (4.5) = 0. 9 p (X ≥ 3)
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0. 5
5. Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Deter minar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable. E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)} p(+1) = 2/4 p(+2) = 1/4 p(−5) = 1/4 μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar: La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.
x p i x · p i x 2· pi 0 0.1 0 0 1 0.15 0.15 0.15 2 0.45 0.9 1.8 3 0.1 0.3 0.9 4 0.2 0.8 3.2 2.15 6.05 μ =2.15 σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275 σ = 1.19
