semana5

La Recta en

Se llama plano Euclidiano al espacio vectorial , donde:

 A todo elemento de se llama punto de .

 Dado un conjunto , se le llama Recta si existe un punto y un vector (diferente de ), tales que

 La distancia entre dos puntos y es igual a la longitud del vector , es decir  

Notación

Y se dirá que es la recta que pasa por y es paralela al vector el cual será denomina Vector Direccional de L

Al coeficiente (que pude ser etc.) se le llama Parámetro y a la ecuación se le conoce como Ecuación Vectorial de la Recta

Teorema

Un punto pertenecerá a la recta si y solo si el vector es paralelo al vector . Es decir, si para un número real .

Equivalente,

es un punto de la recta , si y solo si  

Ejemplo

Dados los conjuntos:

Probar que y representan Rectas, y que . Solución

Puesto que se puede expresar como

Entonces y son Rectas por definición, pues tiene como PUNTO DE PASO al punto y como vector direccional al vector y tiene a como PUNTO DE PASO, y al vector como vector direccional.

Ahora probaremos que

Sea algún y se desea probar que por , se debe verificar que

Ahora probaremos que sea para algún número real , y para lo cual basta verificar que:

por en efecto.

       Por lo tanto, de estas dos inclusiones: .  

Observación

En lugar del vector direccional , que es vector que le da la inclinación a la recta con respecto al Eje , se puede elegir cualquier vector como vector direccional de la misma recta siempre que sea paralelo al vector , y por lo tanto, la recta tendría la siguiente representación equivalente:

donde , para algún número real

Por esta razón, no es tan correcto hablar de rectas dirigidas, sino simplemente de Rectas, y no se debe confundir con el vector direccional ó con la inclinación de

Análogamente el punto de paso no es único y puede ser reemplazado por cualquier por otro punto siempre que sea también elemento de la misma recta

Ecuaciones paramétricas de una recta

Si un punto donde y donde y , entonces se tienen las ecuaciones simultaneas:

�=�

+� �

Que son denominadas las ecuaciones paramétricas de la recta , con punto de paso y con vector direccional .

Ejemplo

La recta  cuyas ecuaciones paramétricas son:

�=1− �

� =2

Y que puede representarse como

Tiene como punto de paso al punto , y como vector direccional al vector , horizontal, puesto que este vector le da la inclinación a la recta , esta resulta ser una recta horizontal, que pasa por

��������é ���������������ó������ �����

Si la recta tiene como punto de paso al punto , y como vector direccional con y , entonces el par de ecuaciones simultaneas:

Es equivalente a:

Que es denominada la forma simétrica de la ecuación de la recta que pasa par , y tiene vector direccional

Ejemplo

La ecuación es equivalente a:

y representa a la recta que tiene como punto de paso y vector direccional

Ecuación normal y ecuación general de una recta

Se dice que una recta y un vector no nulo, son ortogonales si es que y son ortogonales.

A cualquier vector no nulo, ortogonal a se le llama vector normal a , y puede ser elegido como el vector

ó cualquier múltiplo de .  

Teorema

Un punto pertenecerá a la recta que tiene como punto de paso y vector normal si y solo si el vector es ortogonal al vector .

A este ultima ecuación se le conoce como la ecuación normal de la recta que pasa por y (es ortogonal ) tiene vector normal .

Si consideramos , entonces se convierte en:

Que se llama la ecuación general de la recta normal del vector  

Note que el vector está formado por los coeficientes de las variables  y , en este orden.

Ejemplo

Hallar la ecuación normal y la ecuación general de la recta que pasa por los puntos y .Solución

Consideremos como vector direccional al vector:

Y como vector normal al vector :

Y puesto que un punto de paso puede ser cualquier punto de la recta, entonces elegimos

De esta manera se tiene: para un punto genérico  

        ecuación general de .       

       , o sino Que vienen a ser las ecuaciones generales de la recta .  

Nota:

Distancia de un punto a una recta

Sea la ecuación normal del , donde y si es un punto de . Entonces se tiene que la distancia de a la recta viene dada por la relación:

Que viene a ser la formula de la distancia del punto a la recta cuya ecuación general está dad por:

Ejemplo

Hallar la distancia del punto a la recta Solución

Como  entonces   

Proyección ortogonal de un vector sobre una recta

Dado un vector y una recta la cual tiene vector direccional , se define como vector proyección

ortogonal de sobre la recta al vector de proyección ortogonal de sobre cualquier vector direccional de

Es decir,

Se observa que el vector es un vector paralelo a la recta , y no depende del vector direccional de que se elija.

Ejemplo

Sea , la recta cuyo vector direccional puede tomarse ó sino , ó cualquier múltiplo de En caso de elegir :

Ahora, si se eligiese

Y por lo tanto, en cualquiera de los casos:

Segmento de recta

Dados los puntos , se llama segmento al conjunto  

Al segmento cerrado también se denota por simplemente, y es el segmento de la recta , comprendido entre y

Se puede observar que crece de 0 a 1, entonces el punto se desplaza desde hasta a una velocidad constante, como en la siguiente figura

En los puntos , y dividen al segmento en 4 partes de igual longitud, pues va tomando valores de en con las siguientes representaciones:

y de esta manera se pueden ubicar todos los puntos que dividen a un segmento en partes de igualdad longitud.

Ejemplo

Encontrar los puntos que dividen al segmento de extremos y en cinco partes de igual longitud:

,  

División de un segmento en una razón dada:

Dado el segmento de recta , el punto  de la recta  que pasa por  y  y divide  en dos segmentos en la razón de ( de  notado también )  con , esta definido por la relación:

El punto siempre se encontrará en la recta que pasa por y , siempre que pero puede estar fuera del segmento

Caso I: :

De   resultan las siguientes formas equivalentes:

  y como

Forma que puedes ser interpreta geométricamente, y de la cual se deduce el siguiente cálculo explicito del punto

Ejemplo

Dado los extremos y del segmento , hallar el punto que divide al segmento en la razón . Solución

La razón es igual a la razón y por lo tanto, y

En este caso, es un punto del segmento  

Sub- caso I-1:

Si y tienen el mismo signo (ambos positivos ó ambos negativos), entonces resulta un punto interior del segmento

Sub- caso I-2:

Si y tienen signos opuestos, resulta ser un punto exterior al segmento (pero siempre dentro de la recta que contiene a este segmento), y

   estará mas cerca al punto  si  

    estará mas cerca al punto  si    

Ejemplo

Dados los puntos y hallar el punto que divide al segmento en la razón de Solución

Para este caso

Donde

Por lo que el punto se encontrara fuera del segmento , pero en el lado correspondiente al punto , en la recta que pasa por y . Así

Caso II:

En resulta:

   Lo que indica que el segmento consta del único punto y donde el punto que se cancela en la penúltima ecuación, puede ser cualquier punto del plano y no necesariamente que por su puesto que también es solución

Pendiente de una recta:

Si es una recta no vectorial donde con se puede especificar la inclinación de la recta mediante un número que recibe el nombre de pendiente de la recta , si es el ángulo de inclinación de , con se define como :

Pendiente  

De modo que si se expresa entonces:

Si es cualquier vector direccional de una recta no vertical, entonces es la pendiente de

En particular, se conocen dos puntos críticos distintos y de una recta vertical , entonces sigue la dirección del vector

Y en tal caso:

Esta relación origina otra forma de la ecuación de una recta L no vertical

Que es llamada la forma punto – pendiente de la ecuación general de la recta que tiene como punto de paso

y con pendiente  

Ejemplo

Determinar la pendiente, y la forma punto – pendiente de la ecuación de la recta Solución

De donde obtenemos la ecuación de la recta    

Relación entre la pendiente y el vector direccional

Desde cualquier múltiplo real del vector puede ser utilizado como vector direccional de la recta no vertical y como se puede expresar:

Entonces el vector también resulta ser un vector direccional de la recta , siendo su pendiente.

Si intercepta al eje en el punto y como el vector es vector normal a , para cualquier punto genérico se tiene que:

Que viene a ser otra forma de la ecuación general de la recta de pendiente , y pasa por el punto esta es llamada la forma intercepto a la ecuación de la recta

Paralelismos y ortogonalidad de rectas

Dos rectas y son paralelas si es que los vectores y son paralelos.

Si es paralela a , se denotara  

Ejemplo

Las rectas y son paralelos, pues sus vectores direccionales y son paralelos.

Dos rectas , son ortogonales si es que los vectores y (direccionales) son ortogonales:

Ejemplo

Las rectas y son ortogonales

Pues sus vectores direccionales y son ortogonales:

Se llama Mediatriz de un segmento a la recta que pasa por el punto medio del segmento, y es ortogonal al vector , y se dice que es el punto simétrico de con respecto a la recta y viceversa.

Teorema