a)j X dx b) f 1 +X dx Jl - sinx e).j R J) J: e-x2x2dx 1.- Calcu lar las siguientes primitivas inmediatas: a) J 3xdx e). - J 2x dx - d).

l 1".

.·, !,

... ~ .... ¿<~'

MATEMATICAS 11 PARA LA EMPRESA EJERCICIOS

PARTE 11 INTEGRACIÓN

1°.-Calcular las siguientes primitivas inmediatas:

a)

J

^{3xdx e).-}

J

^{2x dx - d).}

J

^{e3x dx}

x²

+

4 e³x

+

6

e).J R

_{1 -x}²

h). J cosx dx i) J ba; dx :

Jl -

^sinx

2°.- Integración por descomposición, por partes y sustitución:

a).-J(3x⁴ - 5x3)dx b).Jxi3dx c).J(

(x~3)- (x~2)

^)dx

d) Jxcosxdx e) J xexdx j).x²lnxdx

g) J (x2: 1)

f

^{dx h)f} _l+x ^{X 4dx i) J 4x}

3

+

14x dx x 4 + 7x²

+

2

3°.- Integración de funciones racionales y transcedentes:

a)J

^{X dx b)}

f

^{1 +X dx}

(x - 1 ) (x

+

1) ( 1 - x) ² e) J sinxcos³xdx 4°.- Integral definida:

d) Area limitada por las curvas y

=

x e y

=

x2

4

e) Area de un circulo de radio r

5°.- Integrales impropias y funciones eulerianas:

a)

r

_{o x2} ^{dx b)}

r

_{-«> 1}

₊

¹ _{x 2} ^dx c)J>lnxdx d) J:, e-x2

dx e)( h d x

o 1 - x2 J) J: e-x2x2dx g) J: e-x j i dx h) J! cos⁵xsin2xdx i) J

~

(lnx)⁴ dx 1

6°.- Integrales múltiples:

a) f f /x²

+

y²)dx dy siendo S el cuadrado de vertices (0,0), (0, 1 ), (1, 1 ),(1 ,0) b) f f/x- y)dx dy siendo S el triángulo d_e vértices (0,0), (0,1), (1 ,1)

e) f f sx²y dx dy siendo S la región del plano limitado por las lineas y

=

O, y

=

^{X, X} +y

=

1

d) f fs ~ dx dy siendo S={(x,y)!x²

+

y² ~ 25, x²

+

y² ~ 16 x ~y, O ~ x}

2

' C',_;.::::,..__.._ .. .._... __ ... -•• ·~--" ... \~-... -~ . .;) __..._...~ ,_.__) ... ~----...:..J'....:...ll'-. \f'l~ ''Jo"".

\<91..~ h·.

GJ

INTEGRAL INDEFINIDA

~ Encontrar la integral indefinida y verificar el resuftado mediante integración

l. l

J

^{(x + 7)dx}

l. 3

J

^(2x-3x2)dx

l. S

J

^{(x5 + 1 )dx}

l. 7

J

^{(x312 + 2x + 2)dx}

!.9f{;idx

I,_ii ':J x+ ⁶

^dx

: . jX

1.13

f

^+dx _X

l. 15

f

^{(x + 1)(3x- 2)dx}

l. 17

f

^{(1 + 3t)t2dt}

e~J 2x5xdx

1.2lf(tg²

x+

^l)dx

r l. ;~'J¡

^{5 ,}

dx

'\._¿/ 1 + 4x-

1.2

fC13

- x)dx

l. 4

f

^{(8x3- 9x2 + 4)dx}

1.6 fCx³ - lüx-3)dx

1.8

s(x +

^{2}x )dx}

l.IoJ(R +l)dx

J

2 "

1.12Jx-+ ;-.)dx

X

l.l4fdx

í~) Jy

^{2 pdy}

f ^3x

1.18 ydx

l. 20

f

^{(3senx- 5 cos 2x)dx}

l. 22

f

^tg~dx

l . 2 4 f -2 -dx 2 +x²

CALCULO DE UNA SOLUCIÓN PARTICULAR

© Calcular una función F(x) sabiendo que

@F'(x) = 3x²- 1;

!I(",.,)F"( ) - J? ?

'IE..:9

x - _x + -·

y pasa por el punto (2,4) F(O) = 3; F(-1) = 3

@F''(x) = 6; y pasa por los puntos P = (0,3) y Q = (-1,4)

~ ^{F''(x) =} J2x + 3. pasa por el punto (0.3) y su derivada se anula en el_ punto de abcisa x = -2;

.. ·_ ..

@calcular las siguientes integrales

3. 1

f

^{(x4 + 7)x3dx}

3.3

f

^{X 2 dx}

l+x

3. 5

f

tg2x _l_2x dx cos

3. 7

f (

^{1 +}

+y t;

^dx

3. 9

f

^sen3x cos 3x dx 31l

.

f x+ 6

¡x

dx 3. 13

f

₈^{\ cos}

~

^de

3. 2

f

^x

J

^{13 - x2 dx}

3.4

f

^{X 4 dx}

1+x 3.6

f

cosx? dx

1 - cos-x 3. 8

f

^{2x 2 dx}

1+x

3.Io f Rdx

3. 12

f ( ~

⁺

4~2

^{) dt}

3. 14

f

_ax+ ^{0 b dx}

INTEGRAL DEFINIDA

(D-

Compruebe los siguiente resultados:

l.lf ~/4

tg X dx

= ~2

l. 3

f ~

^{14 sen x dx = 1 -}

i ^J2

f

^{rr:/4 1T: 2}

l. 5

0 elr cosx dx = e

S

1 7

J o

^{X dx}

=

_!!_

. o a4

+

x4 8a2

CALCULO DE AREAS PLANAS

l. 2

f~

^{14 tan2x dx}

=

1 -

~

n l. 4

f ~

^{are cos x dx}

⁼

¹

l. 6

J ~ (x

³

⁺

^{2) 5x2 dx}

⁼

²

i

f

^{rr:/4 1}

-F-1. 8

0 e os 2x dx =

2

l. 10 r2

J2 - rx rx

^dx

^{= 4J2 -}

⁶

@

Utilizando la integral definida, calcule las áreas que se indican:

2.1 Área de la región comprendida entre las curvas y= x e y= x²/4

2.2 Área limitada por las curvas y= x² e y= -3x² + 1

..1 2.3 Área comprendida entre la curva

~

^{= 3, la recta x =} 1 y el eje de abscisas.

-12.4 *Área de un cuadrante de un círculo de radio r.

_, 2.5* Área del circulo de radio r

-'2.6 Área delimitada por las curvas y= cosx, y= O, x = O; x = 2rr.

-T:2.7 Area limitada por la función^. j(x)

=

^{{ 4 si x}

-

^{< 3} x²- 5 si x > 3

el eje de abscisas, y las rectas y

=

O; y

=

4;

2.8 Área limitada por la curva y= (x- l)(x

+

2), las rectas x = -3; x = 2 y el eje de abscisas

INTEGRALES IMPROPIAS Y EULERIANAS

INTEGRALES IMPROPIAS

@-calcule, si es posible, el valor de las siguientes integrales:

1.1

I +oo

_1 dx

1 xs I.-2

J ~

e2x dx 1.3 J~ e-3x dx 1.4

J +oo

lnx dx

e X

1.5

J o

^dx

-1

rx

1.6 fl_dx

O X

13.-Compruebe los siguientes resultados:

l.lJ ~

^{xJxe-x dx}

⁼ 3f

l. 3

J +oo

e-x x² dx = 3r( .±.)

o ~ 3

l. 5

J ~

^{e-x2x2 dx =}

~

l. 7 J~ e-krcx- 2)² dx

=

1.9f

_o

_JT=X ^fi

^dx=.!L

2

I

^rrn

⁸

1.11

0 cos⁵x sen²x dx

=

105 1.13

J +oo ,e;;

^dx

⁼

^3r(4/3)

o 4x2

1.2

J~

x 2e-x dx

=

2 l. 4

J +oo

o e-xl. ⁴x³ dx

=

2⁹

*

3

l. 6 J~ e-(x+1) ^X

1.8f

^{dx .1L}

o~ 2

l.lüf3 1 dx=;r

2 j(3-x)(x-2)

l. 12

J ~

¹² cos⁴x sen⁴x dx

= .] 5 ^~

1.14

J ~x

⁷

e-x

dx

=

2⁴

*

3²

*

5

*

7

LÍMITES 1 CONTINUIDAD

EJERCICIOS

1. Calcular los limites si existen de las siguientes funciones. En caso de no existir explicar la razón de su no existencia

l. xy

a. i. lffi(x,y)-(0,0) 2 2

X +y

. x3 + y3

ii. llmcx,y)-(O,o) 2 2

X +y

. xy-x+y

iii. lliD(x,y,z)-+(0,0) X+ Y

iv. j(x,y)

~

^{ ;: : ; ' ^{si x}

2 +y =1= O

si x² +y =t= O

x4 + y4

V. j( X, y) = ---"---,-

(x2 + y4)3 -t vi. j(x,y) = sen(xy)

Jxz

^{+ y2}

-tvii. j(x,y) = x²1n(x² + y²)

"'S~'( )- ( x 2 2 l ) C I I

t VIII. ea1,x,y- x+y'x +ysenxy acuar

limcxJ•Ho.o;/(x,y)

b. Hallar la continuidad de las funciones

{

x2 _ y2 i. f(x,y) = xz

+

y2

. o

si (x,y) =t= (0,0) si (x,y) =t= (0, O)

->.¡ iL j(x,y) = [x +y+ z, sen(x +y), tang(x-y)] en (0,0)

{

xy2

-l:::iii. j(x,y) = jx⁴ + ^y8

(0,0)

si (x,y) =t= (0,0)

si (x,y) =t= (0, O)

1

-\-2.

i-3.

\,!Q.lo,

+- r ^rn

. r ; / Yt'\1 ^t

~ / / ""-, o

Estudiar la continuidad de la función.f(x,y) = ₂x- ₂ en el conjunto

X +y

A = {(x,y) /O:::; x² + y^{2 :::;} 1}. Razónese si.f(A) es un conjunto acotado y sij alcanza sus valores máximo y mínimo en A.

Estudiar la continuidad de la función

{

2xj;2

si (x,y)

*

^(0,0)

fix,y).

=

0

x² + Y² en el conjunto

si (x,y)

*

^{(0, O)}

A = {(x,y) /0 :::; x² + y² :::; 1}. Razónese si.f(A) es un conjunto acotado y sij alcanza sus valores

DJ..áximo

y mínimQ.en A. ·

2

TEMAS

DERIVADA Y DIFERENCIAL

y..Y..

5.1.- Comprobar los siguientes resultados:

a) V./(1,0,0) = (0,-1,-1), siendo flx¡,xz,x3) = X¡ . X¡ +X2 +X3'

b) V./(1,0) = (2a+ 1,2b-1) siendo j(x,y) = ax² +2bxy-y² +x-y+ 1

d) Vj(1,2) = (2,0) siendo j(x,y) = xY

e)JJ(1)

~

⁽

~

^{} siendo J(x)}

~

^{(x' + 1,e')}

f) J./(1, 1) = (

2 1

) , siendo flx,y) = (x²y,x² + y²⁾ 2 1

g) Jj(O, 1 ,2) = ,

(

1

o o)

2

o o

^{siendo j(x,y,z) = (xly,ex:)}

h) JJ(O, 1)

~

⁽

- ~1 ~

^{) siendo j(x,y)}

~

(x'(2 +y), x

~y

^,xy)

1)/,.(1, 1) = 1 siendo j(x,y) = 1 +x+ y²; v=(-1,1)

'"(....5.2 Estidar la existencia de derivadas parciales y continuidad de las funciones:

si (x,y)

*

^{(0, O)}

si (x.y) = (0, O)

1

(x,y)

*

^{(0, O)}

si (x,y) = (0, O)

~ 5.3.-Sea JCx,y) = x² + y² {

x3 +y3

si (x,y)

*

^{(0, O)}

estudiar la continuidad y existencia de O si (x,y) = (0, O)

derivadas parciales en el punto (O, O).

5.4.-Seaflx,y) =

In( x~

₁ )

a Calcular el dominio de la funciónf y dibujarlo.

b Calcular la curva de nivel cero y dibujarla.

e Calcular las derivadas parciales

~/

^y

ux

8f

8y ¿Es la función diferenciable en el punto (1, 1)?.

d Calcular la derivada direccional de

f

en el punto (1, 1) en la dirección del vector (0, 1 ).

5.5 .-La demanda mensual de freidoras eléctricas viene dada por la funciónfCx,y), donde x representa la cantidad invertida en publicidad, medida en unidades de 1.000 dólares, e y el precio unitario de venta de las freidoras , en dólares.

a) Dé interpretaciones económicas de las derivadas parciales ofl;;y) y

ofl~y)

b) Bajo condiciones económicas normales, ¿cuáles son los signos de estas derivadas?

5.6.- Dada la funciónJCx,y) = (y+x²)lny

a Analizar la diferenciabilidad de flx,y) en R² y calcular la derivada direccional de JCx,y) en el punto (O, e) según la dirección del vector v ⁼ (1, 1).

b Obtener la ecuación del palno tangente a la gráfica dej en el punto (O, e, e). Dar un valor aproximado de fC0'1, e).

5..7 Dada la funciónJCx,y) = eY<I-x²l. Se pide:

a Analizar la diferenciabilidad de flx,y) en R² y calcular la derivada direccional de flx,y) en el punto (1, 1) según la dirección del vector v = (1,0). ¿Qué relación

tiene este valor con las derivadas parciales de la funciónj en el punto (1, 1)?

b ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento en el punto (1, 1 )?

2

{

x-y ^{' si (x,y) si (x,y) = =1= (0, O(O, O) ) y g(x,y) =} -¡::::::.:;:::::-=2

=-

Jy2 - xy

a Calcular lim f(x,y). ¿Es la función ¡ continua en el punto (O, O)?

(xJIHO,O)

b Analizar la diferenciabilidad de gen su dominio. Calcular el vector gradiente de g en el punto (O, 1 ). ¿Qué podemos decir sobre el carácter creciente o decreciente de la función gen un entorno del punto (O, 1) si mantenemos fija la variable x?

e Calcular la curva de nivel -2 asociada a la función g. ¿Pertenece el punto (O, 1) a esta curva de nivel?

d Calcular la derivada direccional de la función gen el punto (O, 1) según la dirección del vector (1, 1).

5.9 Seaf(x,y) = -¡::::::.~²x:::·=;::­

J x2 _

^y2

a Calcular el dominio de la función¡ ¿Es este dominio compacto?

b Calcular lim f(x,y). ¿Es la funciónj continua en el punto (0,0)? ¿Y

(xJI)~(O,O)

diferenciable?

e Analizar la diferenciabilidad de f(x,y) en su dominio. Calcular el vector gradiente de f(x,y) en el punto (5,4). ¿Qué podemos deducir sobre el carácter creciente o

decreciente de la funciónj en un entorno del punto (5,4) si mantenemos fija la variable x?

d Calcular la curva de nivel f a la que pertenece el punto (5,4).

e ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento en el punto (5,4)?

f ¿Cuál es el valor máximo de la derivada direccional en el punto (5,4)?

g Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica dej en el punto (5,4).

3

MATEMATICAS APLICADAS A LA EMPRESA

TEMA VI: DERIVADAS Y DIFERENCIALES SUCESIVAS

6.1.-Hallar

~~

y

~

^en las siguientes funciones aplicando la regla de la cadena

1. z=e+v siendo u = x² - 3y; v = sen x + y² en el punto (0, 1) 2. z=3 u - vu siendo u = x2 + ^{2y; v} = e:x - eY

6.2.- Hallar

~

y

~~

en la función z=

l~x ,

siendo x = u² + 2v; y= t² +u, con u= s + 2t^2; v = 2t³ en el punto (1, 1)

6. 3.

-Comprobar los siguientes resultados:

1.

z~ (x =

1)

=

¹

9

°;

^siendo

z = YI + Y2 YI = 1 -x2, y - 1 .

2y¡ - 3y2' ^{2 -} X '

2.

~~(u=

^1, v = O) = -2 siendo y¡

z = Y2' u+v

y¡ = U-V '

3.

~

(x = 1 ,y = O) = -1

Y - X

I - x+y'

siendo

Y

'=

_- ^_Y_. _{x- y '}

6.4.-Ca1cular la matriz Hessiana para cada una de las siguientes funciones

1. JCx,y) = x²e²Y en a( -2, O) 2. JCx,y) = e:x=sen'xz en a = (0,0)

3. Dada la función z = Ln(x² + y²>, compruebese que

8~z

+

8~z

⁼ O _ 8 X 8-y

6.5.-

^Sea

f :

R² --> R² con JCO,O) = (1, 1) y g.: R² -:-

R

^{con g(x,y) = x2 +y}

1. Sea h

=

g ^o

f

Si la matdz Jacobiana de

f

en (0, O) es (

~;

^{(0, O) =4 y}

~

^{(0, O) = 5} ¿Es afirmativo el enunciado?

) entonces 2 3

2. Si fCx,y) = (x + y,x-y) y g : R² -+ R. o Supongamos que

~!

^{(1, 1) = 1 y}

~

^{(1,1) = 2 y se h} = (go/)0 LamatrizJacobianade henelpunto(l,O)es(-3,-1)¿

Es afirmativo?

6.6.- Se consideran las funciones f: R² -+ R y

g :

R² -+ R definidas por JCx,y) = (y+ cosx,x + eY)

g(t,u) = t+ u

Comprobar que fy g son diferenciables en R² o Calcular la diferencial de la función compuesta F = (g o/) en (O, O) o Calcular la derivada de F en el punto (0,0) según el vector v=(2, 1)

6 .7.-

Dada la funciónJCx,y) = 2 Jx2 + y2

1. Obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica dejen el punto (3,4,2/5).

20 Calcular la derivada parcial segunda

0 ^:~

en el punto (3,4)

30 Calcular la derivada parcial segunda

s:oy

en el punto (3,4)0 ¿Podemos saber el uyux

valor de

o~Yx

^{(3, 4)} sin calcularlo directamente? o Razonar la respuesta

4. Calcular los polinomio de Taylor de grado 1 y grado 2 en el punto (3, 4) 50 Dar un valor aproximado defC3'02, 3'99)

FUNCIONES HOMOGÉNEAS

6.8.-0Dada la funciónfCx,y,z), homogénea de grado+, tal que fx(l,2,3) = -1; /;(1,2,3) = 2, /:(1,2,3) = 1, hallarfC1,2,3)o

3x² +xy- y² 6.9.-0- Dada la función fCx,y) =e x² + Y²

2

Ejercicios de Optimización

l.

Demostrar que el conjunto {(x

,

y)

E

IR

² /

ax +by+ ez::; d, a, b, e,

dE

IR} es un conjunto convexo.

2. Estudiar si el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciónes lineales con coeficientes reales es un conjunto convexo

.

3. Estudiar si

la

función j(x, y) = ax +by+ cz + d con a, b, e, d

^E

IR es una función convexa. ¿Es estríctamente convexa?

4. Demostrar que

la

función f ( x , y)

=

4x

²

e

^{Y -}

2x

⁴ -

e

^4Y

tiene dos máximos relativos

y

ningún mínimo.

5. Estudiar los puntos críticos de las siguientes funciones

y

clasificarlos

f(x ,y) j(x , y)

x

^{3 -}

3xy + y

³

x

²

+ (y

²

-1) (z -1)

6. Hallar

los

máximos

y

mínimos relativos de

la

funciones

:

j(x , y) (2x + y

²

)ex j(x,y) ^(x- y)ex+y J(x , y) ^y

^2ln

(x-y) f (x , y) x

² -

4xy

²

+ 4y

⁴

J(x , y) (2x-;-

1)²

+ 10(y + 3)

²-

xy f(x , y,z ) 2x

³

+ y

² - z²

+ 3xy- 5z

7. Demostrar que la funcíon J(x , y) = (x+ 1)

²

+y

²

tiene míniú: J.O

, condicionado

a la relación

y² = x³

en el punto (0, O)

y

sin embargo no existe A que verifique

las condiciones

del Teorema de Lagrange. ¿Existe contradicción?.

1

8. Hallar las soluciones a los siguientes problemas de optimización restringida utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange.

(a) max (x +y) sujeta a x

²

+y=

^l.

(b) min (x

²

+

y²)

sujeta a x +

^{2y =}

4.

(e) opt (xy) sujeto a x

²

+ y

²

= 2.

(d

)

max (xy

²

+ x

²

y) sujeto a x +y=

l.

(e) opt

(2x

+y) sujeto a xy

= 32.

(f) opt (xy) sujeto a x

²

+ y

²

= 2.

(g) opt (x

²

+ y

²

+

z²)

sujeto a x +y+ z

^{= l.}

{

x+y+ z =1 (h) opt (x

² -

2z

² -

xy) sujeto a

X - Z = -

4

9. Determinar la relación entre

los

parámetros a

y b para que el

punto (1, O) sea un punto crítico del problema

max (x

²

+ axy + by

²)

sujeto a (x-y)= 1

10. Resolver el siguiente programa matemático utilizando el método de resolu- ción gráfica

,•

max (x-

4y) s.a.

y-x::S:1

2x- 8y :::; O o::;x::;3

o::;y

11. Resolver el siguiente programa matemático utilizando el método de resolu- ción gráfica

max

y

min

(2x - 4y) s.a.

2

y-x::S:1

X - 4y ::S: Ü

o::;x

o ::; y

~~-:---· ....

f '

/ ·'f' \

! ..) ./

'---·/

MATEMAT~CAS PARA lA EMPRESA ~~

EJERCICIOS PARTE 1 CALCULO EN VARIAS VARIABLES Tema 1° Cálculo en varias variables

1°.- Determinar si son abiertos o cerrados los siguientes conjuntos, puntos interioress exteriores, frontera, acumulación

A) a).-A={(x,y) ^E R²/x² + y²

<

1} b).- B

=

{(x,y) E R²/1 < x² + y² :::; 2}

e).- C

=

{(x,y) ^E R²/x > O,y >O} U {(-1,-1)} el) D

=

{(x,y) E R²/(x- 1)² +(y- 3)² :S 4}

e).- Dado el conjunto A = {

t, t}

^{U {O}} estudiar los puntos O,

t. f,

³

B).-Representar graficamente las curvas de nivel de lo siguientes campos escalares a).-j(x,y)

=

xy

b) j(x,y) = e²x-y

b).-j(x,y)

=

x²

+

y² e).- j(x,y) =y- x²

2°.- Calcular los limítes si existen de las siguientes funciones

A) . xy

a) hill(XJ') ... (0,0) 2 2

X +y b) . x3 + y3

hmcx,y) ... (O,O) 2 2 X +y

) . xy+z

C hm(x,y,z) ... (O,O,O) X+ y+ z según el vector v=(í ,2, 1)

d) Sea f(x,y)= ( x ¡Y ,x²

+

y² sen }y ) Calcular limcxJ'Ho.o)/'(x,y) B)- Hallar la continuidad de las funciones

si (x,y)

*

(0,0) si (x,y)

*

^{(0, O)}

b).- j(x,y) = [x +y+ z, sen(x +y), tang(x-y] en (0,0)

{

xy2

e).-J(x,y)

~ e/~;+

^{y8 si (x,y)}

*

^{(0, O)}

si (x,y)

*

^{(0, O)}

1

Tema 2°.y 3°- Derivada y diferencial en campos escalares y vectoriales, , Derivadas

y

diferenciales sucesivas

1.- Calcular, aplicando la defnición, las derivadas parciales de primer orden de las funciones:

a).-j(x,y) = x+y x _Y en el punto (2,3)

2 2

{

xy b).:fCx,y)

=

x O+ y

(x,y) ⁼¹⁼ (O, O) (x,y)

=

(0, O)

2.- Utilizando las reglas prácticas de la derivación parcial, estudiar las derivadas

parciales y los gradientes de las funciones : a). j(x,y,z) = xy + xz + yz

c).j(x,y)

=

exy +

A

_ _ x+y+z e). j(x,y,z) - xyz g).j(f,k)

=

(Aka

+

Jf3)

b)JCx,y,z) = x + sen(xy) + Ln(xz)

d)JCx,y)

=

m-csen(l +

l)

( x+

y)

f) JCx,y) = Ln x-y

(2,2)

h)-j(x,y,z)

=

LnJx² + ay² + bz²

1^{8 ada} la función . j(x,y,z) = x^2- 2xy + z³ Hallar las derivadas de

f

en la dirección del vector v = (-1,3, 1) en el punto (1 ,-1 ,2) . . Obtener el gradiente def

en el punto (1,1,).

~-

Se considera la superficie z

=

x²

+

2y². Hallar el plano tangente

, / A--<

+

\~ 'i

+ C

~ ^{J_ r)} ~O

a la misma que sea paralelo al plano x + 2y-z

=

1 O ;f,

2_ , - - ¿

@ sea f: D e R² ... R. E sea a= (1,2) e D, tal que el gradj(a)

=

(3,4)

¿Se puede asegurar que

f

es diferenciable en a ? ¿ Se puede asegurar que fes continua en

a?.

En el caso de ser diferenciable, calcular la diferncial en a .

/~\

( ~ J

Sean las funciones j(x,y) = xy +

l ,

h(x,y,z) = ex+ y senz. Calcular:

.

~) son

diferenciables en a

=

(4, 1) y

2

g(x,y) = jX

+ JY'

la función h en b = (0, 1, O)

d). Sea z == (u+ .xy²)2 siendo x == u+ v, y == uv. Calcular gad z(uo, vo). con (uo, vo) == (1, 1), utilizando la regla de la cadena 6.- a) Obtener el grado de homogeneidad y comprobara si cumple el

teorema de Euler, las funciones:

a) flx,y) == x²

+

y² - Sxy

__L

b), g(x,y,z) == xye x² para x *O e). h(x,) == (x³ +x²y)+

7.- Utilizar la formula de Taylor para desarrollar las funciones a) y b) en potencias de (x-1) e (y-2)

b) g(x,y) == x²

+

xy

+

y²

- --

2

₃

4