1. Puntos y rectas
Los puntos y las rectas son dos de los elementos geométricos fundamentales.
– El punto se nombra con letras mayúsculas, A, B, C…
– La recta está formada por infinitos puntos y se nombra con letras minúsculas, r, s, t…
11 Elementos geométricos
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Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Un punto A de una recta la divide en 2 semirrectas.
El trozo de recta comprendido entre dos puntos de la recta, A y B, se llama segmento de extremos A y B.
Semirrecta
Semirrecta A
A
B Segmento
Extremos
Secantes Paralelas Coincidentes
r P
s
r s
s r
Tienen un solo punto en común.
No tienen ningún punto en común.
Tienen todos los puntos en común.
Dos rectas secantes dividen el plano en cuatro regiones llamadas ángulos.
El punto de intersección de las rectas es el vértice del ángulo, y los lados de este son las dos semi- rrectas que lo delimitan.
Dos rectas son perpendiculares si al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Se dice que los ángulos son rectos.
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Clasificación de ángulos
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Relación entre ángulos 2. Ángulos
Vértice
Lado Lado
Agudo Llano Obtuso
180º
Menor que un ángulo recto Formado por dos rectos Entre un ángulo recto y uno llano
Convexo Cóncavo
Menor que un ángulo llano Mayor que un ángulo llano
Opuestos por el vértice Complementarios Suplementarios
B A
Mismo vértice A
B
A B
Tienen el vértice en común, y los lados están sobre la misma recta.
Al colocarlos consecutivamente forman uno recto.
Al colocarlos consecutivamente forman uno llano.
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Suma de ángulos
Para sumar ángulos en forma compleja sumamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades.
Si los segundos o minutos sobrepasan los 60, los transformamos en minutos y grados, respectivamente.
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Resta de ángulos
Para restar ángulos en forma compleja restamos las cantidades correspondientes a las mismas unidades.
Si el ángulo que se resta tiene más minutos (segundos) que el minuendo, se convierte un grado (un minuto) de este en 60 minutos (segundos) para poder efectuar la resta.
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Producto de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural, multiplicamos el número por los grados, los minutos y los segundos.
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División de un ángulo por un número natural
Para dividir una medida de un ángulo por un número natural:
1.° Dividimos la cantidad de la unidad de mayor orden entre el número.
2.° Multiplicamos el resto de la división por 60 para expresarlo en la unidad inmediatamente inferior y sumamos el resultado a la unidad siguiente.
3.° Dividimos esta cantidad entre el número.
3. Medida de ángulos. Operaciones
Cada una de las 90 partes iguales en que se divide un ángulo recto se llama grado y se representa por el símbolo °.
El grado es la unidad de medida de ángulos.
Hay dos unidades más pequeñas que el grado:
• Minuto, cada una de las 60 partes en que se divide un grado.
• Segundo, cada una de las 60 partes en que se divide un minuto.
Una medida de ángulos puede ser expresada en:
– Forma compleja, con más de una unidad.
– Forma incompleja, con una sola unidad.
Grado Minuto Segundo
: 60 º
: 60
: 360 . 360
. 60 . 60
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El transportador de ángulos es un semicírculo graduado que permite construir y medir ángulos convexos.
A = 30º
Ten en cuenta
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Ángulos opuestos por el vértice
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
La zona interior a una circunferencia, junto con la circunferencia, forman el círculo.
Un círculo de centro O y radio r es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que la longitud del radio.
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Ángulos convexos de lados paralelos
Los ángulos de lados paralelos o son iguales o suplementarios.
4. Ángulos iguales
Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto fijo llamado centro.
Los elementos de la circunferencia son:
• Centro: punto fijo O.
• Radio: segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
• Cuerda: Cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Diámetro: Cualquier cuerda que pasa por el centro.
• Arco: Cada una de las partes en que una cuerda divide la circunferencia.
• Cuando la cuerda es un diámetro, el arco que forma es una semicircunferencia.
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Ángulos en la circunferencia 5. Circunferencia y círculo
Ángulo central Ángulo inscrito
O
A
B A
A
B
A O
Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
Tiene el vértice en la circunferen- cia y sus lados son secantes o tan- gentes a ella. Mide la mitad del ángulo central que determina.
O
Radio
Centro
Cuerda Arco
Arco Diámetro
Exteriores Tangentes Secantes
r
d r
d
d r
No se cortan.
La distancia de la recta al centro de la circunferencia es mayor que el radio.
Un punto en común.
La distancia de la recta al centro de la circunferencia es igual al radio.
Dos puntos comunes.
La distancia de la recta al centro de la circunferencia es menor que el radio.
1.° Abrimos el compás con un ra- dio mayor que la mitad del segmento. Con centro en A di- bujamos un arco.
2.° Con el mismo radio, dibuja- mos un arco con centro en B de modo que corte al anterior en dos puntos, P y Q.
3.° Dibujamos la recta que une P con Q y es perpendicular a AB.
Esta recta, que corta al seg- mento en su punto medio, es la mediatriz.
A B A
P
Q
B A
P
Q
B m
Q Q M M
Q b
El punto medio de un segmento AB es el punto del segmento que lo divide en dos partes iguales.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio.
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Construcción de la mediatriz
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Construcción de la bisectriz
6. Posiciones de una recta y de una circunferencia
7. Mediatriz de un segmento
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.
