Rango y menores de una matriz
Objetivos. Establecer una relaci´on entre el rango de una matriz y los tama˜nos de sus menores no nulos (en otra terminolog´ıa, demostrar, que el rango de menores de una matriz coincide con su rango de renglones).
Requisitos. Rango de una matriz, determinante y sus propiedades, criterio de invertibi- lidad de una matriz en t´erminos de su determinante.
1. Notaci´on para submatrices (repaso). Sea A ∈ Mm,n(F) y sea I ⊂ {1, . . . , m}, J ⊂ {1, . . . , n}. Entonces denotamos por AI,J a la submatriz ubicada en la intersecci´on de los renglones con ´ındices pertenecientes a I y las columnas con ´ındices pertenecientes a J . Por ejemplo, si
A ∈ M4,5(F), I = {1, 3, 4}, J = {3, 5},
entonces la matriz AI,J est´a formada de las entradas coloreadas de la matriz A:
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4 A1,5 A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 A2,5 A3,1 A3,2 A3,3 A3,4 A3,5 A4,1 A4,2 A4,3 A4,4 A4,5
,
as´ı que
AI,J = A{1,3,4},{3,5} =
A1,3 A1,5 A3,3 A3,5 A4,3 A4,5
.
Esta notaci´on resulta ser muy c´omoda. Sus an´alogos se usan en varios lenguajes de pro- gramaci´on. Por ejemplo, en MATLAB los siguientes comandos generan una matriz A con entradas aleatorias y luego sacan su submatriz A{1,3,4},{3,5}:
A = rand(4, 5)
A([1, 3, 4], [3, 5])
2. Lema (sobre dependencias lineales en una submatriz). Sea A ∈ Mm,n(F) y sea B una submatriz de A formada por algunas de las columnas de A, esto es, B = A∗,J, donde J ⊂ {1, . . . , n}, |J | = q ≤ n.
Entonces los renglones de B heredan todas las dependencias lineales que tienen los renglones de A. M´as formalmente, si λ1, . . . , λm ∈ F y
m
X
k=1
λkAk,∗= 0n, (1)
entonces
m
X
k=1
λkBk,∗= 0q. (2)
Rango y menores de una matriz, p´agina 1 de 3
Demostraci´on. La igualdad (1) significa que
m
X
k=1
λkAk,j = 0
para todo j ∈ {1, . . . , n}. En particular, esta igualdad se cumple para todo j ∈ J , lo cual quiere decir que se cumple (2).
3. Problema. Sea A ∈ Mm,n(F), sean I ⊂ {1, . . . , m}, J ⊂ {1, . . . , n} conjuntos de
´ındices tales que los renglones Ai,∗, i ∈ I, son linealmente independientes y las columnas A∗,j, j ∈ J , son linealmente independientes. Sea B = AI,J. ¿Es cierto que los renglones y las columnas de B son linealmente independientes?
4. Ejemplo.
A =
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
, I = {1, 2}, J = {3, 4}, B = AI,J = 0 0 0 0
.
Los renglones A1,∗, A2,∗ son linealmente independientes, las columnas A∗,3, A∗,4 son li- nealmente independientes, pero la matriz B = A{1,2},{3,4} es nula.
El ejemplo muestra que hay que tener cuidado y que el siguiente lema no es tan trivial.
5. Lema (sobre la submatriz formada de renglones b´asicos y columnas b´asicas).
Sea A ∈ Mm,n(F) una matriz de rango r. Supongamos que los renglones de A con ´ındices i1, . . . , ir son linealmente independientes y las columnas de A con ´ındices j1, . . . , jr son linealmente independientes. Entonces la matriz
C := A{i1,...,ir},{j1,...,jr}
ubicada en la intersecci´on de estos renglones y estas columnas es invertible.
Demostraci´on. 1. Consideremos la matriz
B := A{i1,...,ir},∗.
Por la hip´otesis del lema los renglones de B son linealmente independientes, as´ı que r(B) = r.
2. Todas las columnas de la matriz A son combinaciones lineales de las columnas con
´ındices j1, . . . , jr. Por el Lema 2, lo mismo tenemos en la submatriz B. Esto significa que las columnas B∗,j1, . . . , B∗,jr forman generan a todas las columnas de B.
3. De 1 y 2 sigue que las columnas B∗,j1, . . . , B∗,jr forman una base del subespacio generado por las columnas de B y por lo tanto son linealmente independientes. Por con- secuencia, la matriz C formada de estas columnas es invertible.
Rango y menores de una matriz, p´agina 2 de 3
6. Lema (sobre los renglones y las columnas de una matriz que pasan a trav´es de un menor no nulo). Sea A ∈ Mm,n(F). Supongamos que
MA
i1, . . . , ip j1, . . . , jp
6= 0.
Entonces los renglones i1, . . . , ip de la matriz A son linealmente independientes y las columnas j1, . . . , jp de la matriz A son linealmente independientes.
Demostraci´on. S´olo demostremos la afirmaci´on acerca de los renglones. Razonando por contradicci´on supongamos que los renglones Ai1,∗, . . . , Aip,∗ son linealmente dependien- tes. Entonces, por el Lema 2, en la submatriz C = A∗,{j1,...,jp} los renglones i1, . . . , ip tambi´en son linealmente dependientes. En otras palabras, los renglones de la submatriz B = A{i1,...,ip},{j1,...,jp} son linealmente dependientes. Pero en este caso la matriz B no es invertible, su determinante es cero y obtenemos una contradicci´on pues
det(B) = MA
i1, . . . , ip j1, . . . , jp
.
7. Teorema (rango y menores de una matriz). Sea A ∈ Mm,n(F) una matriz.
Denotemos por r su rango: r := r(A). Entonces en A existe un menor no nulo de ´orden r, y todos los menores de ´ordenes > r, si los hay, son nulos.
Demostraci´on. 1. Para la primera parte usamos el Lema 5.
2. Consideremos un menor de orden p > r que est´a en la intersecci´on de los renglones i1, . . . , ip y las columnas j1, . . . , jp. Como p > r(A), los renglones i1, . . . , ip son linealmente dependientes. por el Lema 6 concluimos que
MA
i1, . . . , ip j1, . . . , jp
= 0.
Rango y menores de una matriz, p´agina 3 de 3
