Teoría de Juegos para Olimpiadas Iberoamericanas Parte 1

Josu´ e Hern´ andez 10 de julio de 2018

Los juegos son un tema infaltable en el estudio para olimpiadas. Cada a˜ no se les pue- de encontrar en gran n´ umero en diferentes olimpiadas internacionales. Para abordar la teor´ıa de juegos durante esta primera parte analizaremos las diferentes aplicacio- nes de una de las t´ ecnicas m´ as usadas en la resoluci´ on de este tipo de problemas.

1. An´ alisis Posicional (congruencias y otros)

Ejemplo 1. (Alemania 2009) En una mesa hay 100 fichas. A y B van a quitar fichas alternadamente de la mesa. En cada turno se vale quitar 2, 5 ´ o 6 fichas. Pierde quien ya no puede hacer una jugada. A comienza el juego. Determina qui´ en tiene estrategia ganadora.

Soluci´ on:

Veamos que el conjunto de posiciones perdedoras es el de los n´ umeros congruentes a 0, 1, 4, 8 m´ odulo 11. Notemos que 100 deja resto 1 m´ odulo 11, as´ı que A inicialmente est´ a en una posici´ on perdedora. Probaremos que siempre B puede dejar a A en una posici´ on perdedora. Observemos que si A est´ a en una de posici´ on perdedora y quita 5 ´ o 6 fichas, entonces B quita 6 ´ o 5 fichas, respectivamente y regresa a A a la misma posici´ on perdedora m´ odulo 11. Ahora si A est´ a en una posici´ on perdedora y quita 2 fichas tenemos 4 casos:

A est´ a en una posici´ on congruente con 0, entonces B quita 5, y as´ı deja a A en una posici´ on congruente con 4.

A est´ a en una posici´ on congruente con 1, entonces B puede quitar 2, y as´ı deja

a A en una posici´ on congruente con 8.

A est´ a en una posici´ on congruente con 4, entonces B quitar 5, y as´ı deja a A en una posici´ on congruente con 8.

A est´ a en una posici´ on congruente con 8, entonces B quita 5, y as´ı deja a A en una posici´ on congruente con 1.

Con esto concluimos la prueba pues A siempre estar´ a en una posici´ on perdedora.

Ejemplo 2. (Rusia 2011, adaptado) Hay N > n

piedras en una mesa. A y B juegan un juego. A empieza, y entonces juegan alternadamente. En cada turno un jugador puede remover k piedras, donde k es un entero positivo menor que n ´ o un m´ ultiplo de n. El jugador que toma la ´ ultima piedra gana. Probar que A tiene una estrategia ganadora.

Soluci´ on:

Supongamos lo contrario que B tiene estrategia ganadora, luego sin importar lo que haga A, entonces B ganar´ a el juego. Digamos que A primero remover´ a kn piedras.

Luego si B remueve jn piedras para alg´ un j, entonces significa que N − (k + j)n es una posici´ on perdedora (pues es turno de A). En este caso A pudo remover (k + j)n piedras en el primer turno y ganar pues dejar´ıa a B en una posici´ on perdedora la cual es una contradicci´ on.

Luego si A remueve kn piedras en el primer movimiento, donde 1 ≤ k ≤ n, denote- mos por f (k) el n´ umero de piedras que B toma de acuerdo a su estrategia ganadora.

Por lo visto en el caso anterior, 1 ≤ f (k) ≤ n − 1. Sabemos que se har´ an m´ as de n jugadas antes de no dejar ninguna piedra (pues n

> n(n − 1)); notemos que por el principio de las casillas, sean estos n − 1 valores nuestras casillas, para algunos enteros k y j distintos se tendr´ a que f (k) = f (j). Esto significa que N − kn − f (k) y N − jn − f (k) son posiciones perdedoras ya que son cantidades dejadas por B a A.

Ahora supongamos sin perder generalidad que k < j. A primero remueve kn, en- tonces B remueve f (k) piedras. Ahora A remueve (k − j)n piedras. Ahora hay N − jn − f (k) piedras en el turno de B lo cual por lo dicho en el p´ arrafo anterior es una posici´ on perdedora. Luego A ganar´ a, contradiciendo el hecho de que B tenga estrategia ganadora.

En algunas ocasiones recursiones de este tipo resultan ´ utiles a la hora de resol- ver problemas de combinatoria. Por otro lado notemos que el problema nos ped´ıa

´

unicamente probar que A siempre gana y a diferencia de otros juegos el hecho de que no nos pidieran explicar la estrategia resulto muy ´ util para usar la t´ ecnica de contradicci´ on.

Ejemplo 3 (Lsita corta IMO 2004) A y B juegan por turnos de la forma siguiente:

sea N un entero positivo fijo. Primero A escribe el n´ umero 1, entonces B escribe 2.

A partir de ac´ a, en cada jugada, si el n´ umero actual es k, entonces el jugador al que le toca su turno puede escribir k + 1 o 2k, pero ning´ un jugador puede escribir un n´ umero mayor que N . Para cada N , determine qui´ en tiene estrategia ganadora.

Soluci´ on:

(1) Primeramente observemos que si N es impar, entonces A gana. A siempre puede escribir un n´ umero impar a partir de su segunda jugada al escribir 3, luego cualquier jugada que haga B le dejar´ a a A un n´ umero par. De este modo siempre A escribir´ a n´ umeros impares y entonces B no podr´ a decir N .

(2) Ahora supongamos que N es par. Entonces, notemos que todas los n´ umeros pares mayores a N/2 son posiciones ganadoras. En este punto ning´ un jugador puede duplicar el n´ umero, entonces deber´ an ir sumando 1 en cada jugada lo que garantiza que un jugador escribir´ a solo n´ umeros pares y el otro solo los impares. De esta forma el jugador que escriba un n´ umero par mayor que N/2 ganar´ a ya que eventualmente escribir´ a N el cual es par.

(3) Observemos que si N = 4k + 2 ´ o N = 4k, entonces k es una posici´ on ganadora.

Esto es debido a que si el jugador X escribe k, entonces el jugador Y debe escribir k + 1 ´ o 2k. Luego X escribe 2k + 2 si Y escribe k + 1 y X escribe 4k si Y escribe 2k.

Luego X ha escrito un n´ umero par mayor a N/2 lo cual por (2) le da la victoria.

Con lo anterior podemos conjeturar que: Si X tiene una estrategia ganadora para N = k, entonces X tiene una estrategia ganadora para N = 4k + 2 ´ o N = 4k.

Demostraci´ on: Consideremos un juego donde N = 4k ´ o N = 4k + 2. Asumamos que X tiene una estrategia ganadora para escribir k, luego si X escribe k en alg´ un momento entonces por (3) X ganar´ a. As´ı que X tratar´ a de escribir k, de modo que X debe implementar su estrategia ganadora para N = k. ¿C´ omo puede Y prevenir que X escriba k a´ un teniendo X estrategia ganadora? Saltando encima de este k en alg´ un momento: despu´ es que X escriba alg´ un n´ umero j con k/2 < j < k, Y duplica este n´ umero resultando un n´ umero 2j con N/4 < (k + 1) ≤ 2j ≤ N/2. Pero entonces X simplemente dobla este n´ umero, resultando un n´ umero par al menos igual a 2(k + 1) > N/2. As´ı X gana por (2).

Finalmente hemos encontrado una forma recursiva de determinar la respuesta para

N par. La respuesta para N es la misma que para bN/4c. Para convertir la recursi´ on

en una respuesta expl´ıcita, escribamos N en base 4. La funci´ on bN/4c es equivalente

a remover el ´ ultimo d´ıgito de N en base 4. Comenzando por la representaci´ on en

base 4 de N , nos mantendremos removiendo el d´ıgito m´ as a la derecha. Los n´ umeros

resultantes ser´ an todos posiciones ganadoras para el mismo jugador por nuestra

recursi´ on. Si en alg´ un punto obtenemos un n´ umero impar, entonces A gana para ese

n´ umero por (1) y por tanto A ganar´ a para N . Luego si N tiene un d´ıgito impar en base 4, entonces A ganar´ a. De lo contrario, supongamos que N tiene solo d´ıgitos pares en su representaci´ on base 4. En este caso B ganar´ a aplicando el procedimiento anterior ya que eventualmente llegaremos al n´ umero 2, y al ser B quien escribe 2, entonces B gana para N en este caso.

2. Problemas propuestos

1. (San Petersburgo 2001) El n´ umero 1, 000, 000 es escrito en una pizarra. A y B juegan alternadamente comenzando con A, cada jugada consiste en reemplazar el n´ umero n actualmente escrito en la pizarra con n − 1 ´ o b

c. Gana el jugador que logre escribir el n´ umero 1. ¿Qui´ en tiene la estrategia ganadora?

2. (0IM 2000) En un mont´ on hay 2000 fichas. A y B van a jugar por turnos a quitar fichas del mont´ on. En cada turno se permite quitar 1, 2, 3, 4 ´ o 5 fichas del mont´ on pero no se puede quitar la misma cantidad que se quit´ o en el turno anterior. Gana quien quite la ´ ultima ficha. ¿Qui´ en tiene estrategia ganadora?

3. Dos jugadores A y B toman piedras por turnos de un mont´ on de n ≥ 2 piedras.

A empieza el juego y toma al menos una pero no m´ as de n − 1 piedras. Cada jugador en su turno debe tomar al menos una pero no m´ as del n´ umero de piedras que el otro jugador tom´ o en el turno anterior. El jugador que toma la

´

ultima piedra es el ganador. Determinar cu´ al jugador tiene estrategia ganadora.

4. (Lista corta OIM 2015) Alex y Bibi eligen n´ umeros por turnos de la siguiente manera. En la primera jugada Alex elige un n´ umero entre 1, 2, 3, 4, 5, 6; en la segunda jugada Bibi elige un n´ umero entre 2, 3, 4, 5, 6, 7. En general, en la jugada k con k impar, Alex elige un n´ umero entre k, k+1, k+2, k+3, k+4, k+5;

Bibi hace lo mismo en la jugada k con k par. Alex hace la ´ ultima jugada, la n´ umero 4999. ´ El gana si la suma de todos los n´ umeros elegidos entre los dos jugadores es m´ ultiplo de 7; en otro caso, gana Bibi. ¿Cu´ al de los dos tiene una estrategia ganadora y cu´ al es esa estrategia?

5. (Lista corta OIM 2014) Rodrigo y Henrique juegan al siguiente juego: ini- cialmente, Rodrigo escribe 2014 n´ umeros enteros positivos en la pizarra (se permiten repeticiones). A continuaci´ on, Henrique escoge un entero positivo d < 2014 y lo suma a los n´ umeros que quiera de los escritos en la pizarra.

Despu´ es de esto, Rodrigo escoge un entero positivo k y multiplica por k exac-

tamente uno de los 2014 n´ umeros en la pizarra. En seguida Henrique escoge un

nuevo n´ umero positivo d < 2014 (igual o diferente al anterior) y lo suma a los

n´ umeros que desee. Luego Rodrigo escoge un entero positivo k y multiplica por

k exactamente uno de los 2014 n´ umeros en la pizarra (sus elecciones pueden cambiar respecto a la ronda precedente). Estas jugadas alternadas se repiten hasta que aparezca un n´ umero primo en la pizarra. En ese caso, Henrique ga- na. Rodrigo gana si demuestra que puede prolongar el juego indefinidamente.

Determine si alguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora.