Clasificación de Grafos

Clasificación de Grafos

Los grafos se utilizan en aplicaciones muy diversas (redes de

comunicaciones, redes de transporte, circuitos, planificación de tareas) cada una de las cuales utiliza una noción distinta de grafo.

Los grafos de pueden clasificar atendiendo

ƒ Al número de arcos que puedan existir entre dos nodos:

ƒ Grafos múltiples (vuelos entre aeropuertos)

ƒ Grafos simples (líneas de ferrocarril)

ƒ A la orientación de los arcos:

ƒ Grafos orientados (vuelos entre aeropuertos)

ƒ Grafos no orientados (red de carreteras, líneas de teléfono)

ƒ A la existencia de funciones definidas sobre los arcos o los nodos:

Nociones de Grafo Orientado

‰ La noción más general corresponde a un grafo orientado con

posibilidad de múltiples arcos entre dos nodos (grafo múltiple orientado):

G = (N,A,o,d) N conjunto de nodos

A conjunto de arcos

o,d : A -> N aplicaciones origen y destino

‰ Cuando sólo se admite la posibilidad de un arco, a lo más, entre

cada dos nodos (grafo simple orientado_{), cada arco a puede}

identificarse con el par de nodos (o(a),d(a)) y los grafos con las relaciones binarias entre nodos:

Grafos orientados

Los grafos orientados se pueden generar de muchas formas:

9 a partir de un conjunto inicial de nodos aislados, estableciendo

arcos entre dichos nodos;

9 a partir de un conjunto inicial de nodos aislados, estableciendo

arcos que pueden involucrar nuevos nodos;

9 a partir de un conjunto inicial de nodos, añadiendo conjuntos de

sucesores a los nodos establecidos;

9 a partir de un conjunto vacío de arcos añadiendo arcos (y sus

correspondientes nodos).

Grafos múltiples orientados

‰ Los grafos múltiples orientados se pueden representar también

como pares

G = (N,{(a,o(a),d(a))|a ∈ A})

donde las aplicaciones _o y _d quedan definidas de forma implícita.

‰ Estas representaciones se pueden generar, de forma incremental, 9 a partir de un conjunto inicial de nodos aislados

9 añadiendo tripletas _(a,n1,n2) en las que _n1 y _n2 pueden ser

Grafos Múltiples Orientados (I)

protecting CONJUNTO[N] . protecting CONJUNTO[A] . protecting LISTA[A] . sorts GMO[N,A] Elt? .

subsort Cj[N] < GMO[N,A] . subsort Elt.N < Elt? .

op _[_:_->_] : GMO[N,A] Elt.A Elt.N Elt.N -> GMO[N,A] [ctor] . var G: GMO[N, A] .

Grafos Múltiples Orientados (II)

op borrarArc : Elt.A GMO[N,A] -> GMO[N,A] . op nodos : GMO[N,A] -> Cj[N] .

op sucs : Elt.N GMO[N,A] -> Cj[N] .

ops origen destino : Elt.A GMO[N,A] -> Elt?.N . op esCamino? : ListaNv[A] GMO[N,A] -> Bool .

ops origen destino : ListaNv[A] GMO[N,A] -> Elt? . var C: Cj[N] . var L : ListaNv[A] .

Grafos Múltiples Orientados (III)

Grafos Múltiples Orientados (IV)

eq esCamino?(A1:L,G) =

if pertenece?(A1,arcos(G))

then (destino(A1) == origen(cabeza(L))) and esCamino?(L,G) else false fi .

Ejercicios

ƒ Especificad, para grafos múltiples orientados, las operaciones

siguientes:

preds : Elt.N GMO[N] -> Cj[N]

existeArco? : Elt.N Elt.N GMO[N] -> Bool borrarNodo : Elt.N GMO[N] -> GMO[N]

que determinen, para un grafo dado, el conjunto de predecesores de un nodo, si existe un arco entre dos nodos y el grafo resultante de eliminar un cierto nodo (y los arcos relacionados), respectivamente.

ƒ Volved a enunciar la especificación de grafo múltiple orientado con la

Grafos simples orientados

‰ Los grafos simples orientados se pueden representar como pares

G = (N,A)

donde el conjunto de arcos _A es un conjunto de pares de nodos.

‰ Estas representaciones se pueden generar también, de forma

incremental,

9 a partir de un conjunto inicial de nodos aislados,

9 añadiendo pares (n1, n2), siendo n1 y n2 nodos del conjunto inicial o

Grafos simples orientados (I)

protecting CONJUNTO[N] . protecting LISTA[N] . sort GSO[N] .

subsort Cj[N] < GSO[N] .

op _[_ -> _] : GSO[N] Elt.N Elt.N -> GSO[N] [ctor] . op borrarArc : Elt.N Elt.N GSO[N] -> GSO[N] .

op nodos : GSO[N] -> Cj[N] .

op sucs : Elt.N GSO[N] -> Cj[N] .

Grafos simples orientados (II)

if (N1 == N3) and (N2 == N4) then true else esArco?(N1,N2,G) fi . eq sucs(N3,C) = {} .

eq sucs(N3,G[N1->N2]) =

Grafos simples orientados (III)

eq borrarArc(N3,N4,G[N1->N2]) =

if (N3 == N1) and (N4 == N2) then borraArc(N3,N4,G) else (borraArc(N3,N4,G))[N1->N2] fi .

eq esCamino?(L,C) = false .

eq esCamino?(N1:nil,G) = false . eq esCamino?(N1:L,G) =

if cola(L) == nil then esArco?(N1,cabeza(L),G)

Recorridos sobre Grafos (I)

‰ La mayoría de las operaciones importantes que se realizan sobre un

grafo (cálculo de caminos, caminos mínimos, componentes conexas, etc.) requieren de un recorrido sobre el grafo.

‰ Los grafos se pueden recorrer en profundidad y en amplitud. El

primero se utiliza para identificar propiedades estructurales y el segundo para propiedades en las que las características

estructurales no son relevantes.

‰ A diferencia de los árboles, cuando se elimina un nodo en un grafo

Recorridos sobre Grafos (II)

‰ En consecuencia, para recorrer un grafo hay que utilizar:

9 algún procedimiento para seleccionar nodos y

9 algún procedimiento para marcar los nodos visitados de manera que no

se vuelva a ellos.

‰ Se necesita una ordenación de los nodos para que se pueda

construir una lista a partir del conjunto de nodos (lista de candidatos) que marque un orden de visita.

‰ De la lista de candidatos se saca el primer nodo y, si no ha sido

visitado, pasa al final del recorrido y la lista de sus sucesores se incorpora a la lista de candidatos al comienzo (recorrido en

Recorridos sobre Grafos (III)

protecting GRAFOsOR[Ord][N] . protecting CONJUNTOORD[N] .

op listaProf : GSO[Ord][N] -> Lista[Ord][N] .

op ilistaProf: GSO[Ord][N] Lista[Ord][N] Lista[Ord][N] ->

Lista[Ord][N] . op listaAmp : GSO[Ord][N] -> Lista[Ord][N] .

op ilistaAmp: GSO[Ord][N] Lista[Ord][N] Lista[Ord][N] ->

Lista[Ord][N] . op elimLista : Lista[Ord][N] Cj[Ord][N] -> Cj[Ord][N] .

Recorridos sobre Grafos (IV)

eq ilistaProf(G,nil,L1) = L1 . eq ilistaProf(G,N1:L1,L2) =

if esta(N1,L2) then ilistaProf(G,L1,L2)

else ilistaProf(G,listado(sucs(N1,G))++L1,L2++(N1:nil)) fi . eq listaAmp(G) = ilistaAmp(G,cabeza(listado(nodos(G))),nil) . eq ilistaAmp(G,nil,L1) = if longitud(L1)==card(nodos(G)) then L1 else ilistaAmp(G,cabeza(listado(elimLista(L1,nodos(G)))),L1) fi . eq ilistaAmp(G,N1:L1,L2) =

if esta(N1,L2) then ilistaAmp(G,L1,L2)

Ejercicios

ƒ Especificar cada una de las operaciones siguientes sobre grafos

simples orientados con recorridos:

accesibles : Elt.N GSO[N] -> Lista[Ord][N] . hayCamino? : Elt.N Elt.N GSO[N] -> Bool . equivalentes? : Elt.N Elt.N GSO[N] -> Bool . aciclico? : GSO[N] -> Bool .

fConexo : GSO[N] -> Bool .

Grafos como conjuntos de arcos

‰ Los grafos simples orientados G = (N, A), cuando no se contempla

la posibilidad de nodos aislados, se pueden considerar como conjuntos de arcos, es decir, como conjuntos de pares de nodos.

‰ Estas representaciones se pueden generar, de forma parecida a las

funciones parciales,

Grafos: conjuntos de arcos (I)

protecting CONJUNTO[N] . protecting LISTA[N] . sort GSO[N] .

op gfoV : -> GSO[N] [ctor] .

op _ (_->_) : GSO[N] Elt.N Elt.N -> GSO[N] [ctor] . op nodos : GSO[N] -> Cj[N] .

op sucs : Elt.N GSO[N] -> Cj[N] .

op borrarArc : Elt.N Elt.N GSO[N] -> GSO[N] . op esArco? : Elt.N Elt.N GSO[N] -> Bool . op esCamino? : ListaNv[N] GSO[N] -> Bool .

vars N1 N2 N3 N4 : Elt.N . var G : GSO[N] . var L : ListaNv[N] .

Grafos: conjuntos de arcos (II)

eq nodos(G(N1->N2)) = {N1,N2,nodos(G)} . eq sucs(N3,gfoV) = {} .

eq sucs(N3,G(N1->N2)) = if N3 == N1 then {N2,sucs(N3,G)} else sucs(N3,G) fi .

eq borrarArc((N3->N4),gfoV) = gfoV . eq borrarArc((N3->N4),G(N1->N2)) =

if N3 == N1 and N4 == N2 then borrarArc((N3->N4),G)

else (borrarArc((N3->N4),G))(N1->N2) fi . eq esArco?(N3,N4,gfoV) = false .

eq esArco?(N3,N4,G(N1->N2)) = if N3 == N1 and N4 == N2 then true

else esArco?(N3,N4,G) fi . eq esCamino?(N1:nil,G) = false .

Grafos no Orientados

‰ Los grafos no orientados se caracterizan porque en ellos, el orden

de los extremos de los arcos no tiene ninguna relevancia.

‰ En el caso de grafos múltiples serían grafos con una función

extremo definida sobre los arcos (en lugar de las funciones o y d), que asigna un conjunto de dos nodos a cada arco.

‰ En el caso de los grafos simples se pueden identificar con aquellos

correspondientes a relaciones simétricas (por cada arco a->b debe haber otro b->a).

‰ En cualquier caso siempre se puede enunciar una especificación

Grafos no Orientados (I)

(fmod GRAFOsNOr [N :: TOSET] is

protecting CONJUNTOORD[N] . protecting LISTA[Ord][N] . sorts GsNo[N] GsNo?[N] .

subsorts Cj[Ord][N] < GsNo[N] < GsNo?[N] .

op conectar : Elt.N Elt.N GsNo[N] -> GsNo?[N] [ctor]. -- solo nodos del conjunto inicial

op nodos : GsNo[N] -> Cj[Ord][N] .

op adyacs : Elt.N GsNo[N] -> Cj[Ord][N] .

op desconectar : Elt.N Elt.N GsNo[N] -> GsNo[N] . op borrarNodo : Elt.N GsNo[N] -> GsNo[N] .

Grafos no Orientados (II)

cmb conectar(N1,N2,G) : GsNo[N]

if esta?(N1,nodos(G)) and esta?(N2,nodos(G)) . eq conectar(N3,N4,conectar(N1,N2,G)) =

if (N3==N1 and N4==N2) or (N3==N2 and N4==N1) then conectar(N1,N2,G)

else conectar(N1,N2,conectar(N3,N4,G)) fi. eq nodos(C) = C .

ceq nodos(conectar(N1,N2,G)) = nodos(G)

if esta?(N1,nodos(G)) and esta?(N2,nodos(G)) . ...

Ejercicios (I)

ƒ Completar la especificación anterior

ƒ Añadir a la especificación anterior las operaciones siguientes:

accesibles : Elt.N GsNo[N] -> CjOr[N] . hayCamino? : Elt.N Elt.N GsNo[N] -> Bool . aciclico? : GsNo[N] -> Bool .

conexo? : GsNo[N] -> Bool .

Ejercicios (II)

ƒ Sobre la especificación dada para grafos simples no orientados,

especificad las operaciones siguientes:

caminoP : Elt.N Elt.N GsNo[N] -> Lista[Ord][N] . unionG : GsNo[N] GsNo[N] -> GsNo[N] .

compConexa : Elt:N GsNo[N] -> GsNo[N] .