PROBLEMAS resueltos DE INTEGRALES MÚLTIPLES
PROBLEMAS resueltos DE INTEGRALES MÚLTIPLES
1.
1.
Calcular el valor de la integral:
Calcular el valor de la integral:
I = I = zdxdydz zdxdydz V V
∫∫∫
∫∫∫
dónde V es el recinto acotado del semiespacio
dónde V es el recinto acotado del semiespacio
z
z
≥≥
0
0
interceptado por la esfera
interceptado por la esfera
x x 2 2+
+ +
y y 2 2+ ==
zz22 11yy
el cono
el cono
x x 2 2+
+ ==
y y 2 2 zz22..SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
: Haciendo el cambio a coordenadas: Haciendo el cambio a coordenadas esféricas: esféricas: x x y y z z==
==
==
ρ ρ ϕ ϕ θ θ ρ ρ ϕ ϕ θ θ ρ ρ ϕ ϕ S Seen n CCooss S Seen n SSeenn Cos Cos la integral la integral queda queda[
[
]]
.. 8 8 2 2 8 8 2 2 4 4 4 4 2 2 4 4 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 2 2 0 0 4 4 0 0 1 1 0 0 3 3 π π ϕ ϕ π π ϕ ϕ ϕ ϕ π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π ρ ρ ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ θ θ π π π π π π π π π π==
−−
==
==
==
==
==
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Cos Cos d d Sen Sen d d Cos Cos Sen Sen d d Cos Cos Sen Sen d d d d I I2.
2.
Calcular el volumen del sólido en el primer octante limitado por la superficie de ecuaciónCalcular el volumen del sólido en el primer octante limitado por la superficie de ecuación( (
))
zz==
x x ee -- xx ++ y y 2 2 22 y por el plano y por el planoz
z
==
0
0
..SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
:: Del enunciado sDel enunciado se deduce deduce que el sóe que el sólido se pulido se puede expede expresar comoresar como( (
))
S S=
=
xx yy zz xx≥
≥ ≥
yy≥ ≤
≤ ≤≤
zz xxee y y
++ (( ,, ,, )):: 00,, 00 0,,0 2 2 -- xx22 ..Por lo tanto su volumen se obtiene de la siguiente forma Por lo tanto su volumen se obtiene de la siguiente forma
( (
))
V
Vooll S(( ))S
==
x x ee ++ y y ddyyddxx∞ ∞ ∞ ∞
∫ ∫
∫ ∫
-- xx22 22 0 0 0 0 ,,Con el cambio a polares
Con el cambio a polares xx CCooss yy SSeenn
==
==
ρ ρ θ θ ρρ θ θ JJ ==ρ ρ ,la integral queda,la integral queda
V
Vooll S(( ))S
=
=
CCooss dd==
CoCoss dd
−− ∞ ∞ −− ∞ ∞∫ ∫
∫ ∫
ρρ θθ ρ ρ ρρ θ θ∫ ∫
θθ θθ ρ∫ ∫
ρ ρρ π π π π ρ ρ 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 22 e e dd dd ee ,, y como y como1 2 0
=
∫
π θ θ d Cos ρ 2 ρ ρ{
ρ}
π 0 2 12 0 2 1 2 1 2 4 4 e− e ∞ − ∞∫
d=
x=
=
∫
x xdx=
Γ
( )=
, resulta que el volumen pedido valeVol S
(
)
=
π
4
.Cabe observar que al obtener el volumen como resultado de una integral doble impropia (límites de integración infinitos), éste se puede plantear como el límite de la sucesión de integrales dobles siguiente:
(
)
Vol S lím x e dxdy n y Bn ( )=
→∞ +∫∫
- x2 2donde Bn
=
{
( , ):x y x2+ ≤ ≥ ≥
y2 n2,x 0,y 0}
, pues, evidentemente{
}
lím B x y x y
n→∞ n
=
≥
≥
( , ): 0, 0 ="primer cuadrante". El lector comprobará que se obtiene el mismo
resultado.
3.
Calcular, con un cambio de variable adecuado la integral triple:xn yn zn xn yn z dxdydzn
V n
− − −
−
−
−
∫∫∫
1 1 1 1donde Vn
=
{
(
x y z x, , :)
≥ ≥ ≥ + + ≤
0,y 0,z 0,xn yn zn 1}
, siendon
cualquier número natural sin concretar y mayor que uno.SOLUCIÓN:
El cambio de variable{
u=
xn ,v=
yn,w=
zn}
, de Jacobiano J xyz n x3 n 1yn 1zn 1 1 Juvw , transforma el sólido de integración en(
)
{
}
V*n
=
u v w u, , :≥ ≥ ≥ + + ≤
0,v 0,w 0,u v w 1 . Por lo tanto, aplicando dicho cambio, la integral planteada queda comoxn yn zn xn yn z dxdydzn V n − − −
−
−
−
∫∫∫
1 1 1 1 = = 1 1 3 n u v wdudvdw V n− − −
∫∫∫
* = = 13 n du dv u v wdw u u v 0 1 0 1 0 1 1∫ ∫ ∫
− − −− − −
= 8 105n3 .4.
Calcular el volumen del sólido limitado por la superficie de ecuación:(
x2+ + =
y2 z2)
2 a x3(
a>
0)
.Comprobando que dicho sólido se encuentra en el semiespacio x
≥
0 y que es simétrico respecto de los planos y=0 y z=0, obtenemos que el volumen total es cuatro veces eldel sólido en el primer octante. Para calcular éste, a la vista de la ecuación de la superficie parece adecuado un cambio a coordenadas esféricas:.
La ecuación de la superficie tras el cambio realiza do queda:
ρ 3
=
a3 Cos Sen , transformándose el sólido en el primer octanteθ ϕen S*
=
{
(
ρ , ,θ ϕ)
: 0≤
ρ≤
a3 Cos Sen θ ϕ ,0≤
θ π≤
2 0≤
, ϕ π≤
2}
. Así, el volumen pedido es:Vol d d d S
=
4∫∫∫
ρ 2Senϕ ρ θ ϕ * = 4 2 2 2 0 3 d d d a θ ϕ ϕ ρ ρ π π θ ϕ 0 0 Cos Sen Sen∫ ∫
∫
= 4 3 3 2 2 a dθ θ ϕ ϕ d π π 0 2 0 Cos Sen∫ ∫
= 4 3 3 2 2 a d d Cos Sen 0 2 0 θ θ ϕ ϕ π π∫
∫
= 4 6 1 2 3 2 3 a β
,
= π a3 3 .5.
Dada la función f x y( , ) definida en el rectángulo[ ] [ ]
0 1,× =
0 1,{
(
x y,)
:0≤ ≤ ≤ ≤
x 1 0, y 1}
,como f x y y x y x y x ( , ) , , ,=
< < <
−
< < <
1 0 1 1 0 1 0 2 2 si siresto del rectangulo
se pide demostrar que:
∫
∫
f x y dxdy( , )≠
∫
∫
f x y dydx( , )0 1 0 1 0 1 0 1
SOLUCIÓN:
Calculamos primero: f x y dxdy y dx x dx dy y y ( , ) 0 1 0 1 2 2 1 0 0 1 1 1∫
∫
=
∫
∫
−
∫
=
=
+ −
=
∫
1 1 1 1 0 1y y dy . La segunda de las integrales es:
f x y dydx x dy y dy dx x x ( , ) 0 1 0 1 2 2 1 0 0 1 1 1
∫
∫
= −
∫
∫
+
∫
= − − +
= −
∫
1 1 1 1 0 1 x x dx .Queda, por lo tanto, comprobado lo demandado en el enunciado del problema.
6.
Calcular el volumen del sólido limitado por el plano z=
0 y las superficies x2+ =
y2 az x , 2+ =
y2 2ax a,>
0, utilizando:a)
Integral doble.b)
Integral curvilínea.SOLUCIÓN:
a)
Descripción del sólido: x2+
y2=
azes un paraboloide de sección circular con vértice en el origen y se encuentra en el semiespacio z≥
0, x2+
y2=
2axes un cilindro vertical de sección circular.a.1. Cálculo en coordenadas cartesianas.
x y z
=
=
=
ρ θ ϕ ρ θ ϕ ρ ϕ ρ ϕ Cos Sen Sen Sen Cos J = 2 SenVol(V)= dx dy D
∫ ∫
y+
x a ² ² ,donde D={(x,y): ( x
−
a)2+
y2≤
a2 }, luegoVol(V) =
∫
∫
− −( )² ² 0 2a 0 dx dy y²) + (x² 2 a x a a = = 2 3 ) 2 5 , 2 5 ( 3 ) 2 ( + ) 2 3 , 2 7 ( (2a) 2 4 a 4 a3 a π β β
=
.a.2. Cálculo en coordenadas polares.
Con el cambio de variable
x = a+a
ρ
Cosθ
, y = aρ
Senθ
, resulta Vol(V) =∫
∫
=
π π ρ θ θ ρ ρ ρ 2 0 3 1 0 2 3 d )d Cos 2a² + a² + ² (a² a² 1 a a .b)
Cálculo usando integral curvilínea:Usamos el Teorema de Riemann y, para ello, hemos de encontrar P(x,y) y Q(x,y) continuas, con derivadas parciales acotadas e integrables en D y tales que
y x a ²
+
²
= dQ dx dP dy-
,∀
(x,y)∈
D,pues, entonces, podemos afirmar que Vol(V) = dx dy
D
∫ ∫
y+
x a ² ² = Pdx + Qdy γ∫
,donde
γ
es la circunferencia de centro (a,0) y radio a. Obligamos a que y x a dQ dx dP dy ²+
²
∀
∈
= - , (x,y) D=
dQ dx dP dy-
,
∀
(x,y)
∈
D,
de donde resulta que, por ejemplo,
P(x,y)= -y3 /3a, Q(x,y)= x3 /3a.
Vol(V) =
−
∫
g 3 3dx+x dy) (-y 3 1 a=
=
2 3 Cost)dt + t 3Cos + t 3Cos + t Cos + t (Sen 3 3 2 0 2 3 4 4 3 a a π π=
∫
.
7.
Dados el paraboloide x2+
y2=
2z y la esfera x2+ + −
y2(
z 11)
2=
25, calcular, usando integrales múltiples, el volumen que es interior simultáneamente a ambas superficies.SOLUCIÓN:
La proyección en el plano z
=
0 del volumen es el recinto limitado por la circunferencia x2+
y2=
24. Sin embargo, advertimos que hay dos partes diferenciadas en el sólido cuyo volumen se quiere calcular. Por los puntos tales que x2+
y2≤
16 la vertical entra en el sólido por la esfera y sale también por la esfera. Pero por los puntos tales que 16≤
x2+
y2≤
24 la vertical entra en el sólido el paraboloide y sale por la esfera.Entonces, Vol= V1
+
V 2, donde(
)
(
)
V dxdy dz x y x y x y 1 11 25 11 25 16 2 2 2 2 2 2=
− − + + − + + ≤∫∫
∫
(
)
(
)
V dxdy dz x y x y x y 2 2 11 25 16 24 2 2 2 2 2 2=
+ + − + ≤ + ≤∫∫
∫
.Para calcular el primer volumen hacemos una traslación de la esfera al origen , aplicamos simetrías y un cambio a cilíndricas, quedando
(
)
V dxdy dz x y x y x y 1 0 25 16 0 8 2 2 2 2=
− + + ≤ ≥∫
∫∫
, = x Cos y Sen z z J d d=
=
=
=
=
∫ ∫ ∫
=
− ρ θ ρ θ ρ ρ ϑ ρ π ρ , 8 0 4 0 2 0 25 2 dz(
)
=
−
=
−
−
=
∫
8 2 25 2 2 3 25 392 3 2 0 4 2 32 0 4 π ρ ρ d ρ π ρ πPara calcular el segundo volumen aplicamos simetrías con r especto a x e y, y un cambio a polares, quedando
(
)
(
)
V x y x y dxdy x y x y 2 2 2 2 2 16 24 0 4 11 25 2 2 2=
+
−
+
−
+
=
≤ + ≤ ≥∫∫
, = x Cos J d d=
=
=
+
−
−
=
∫ ∫
ρ θ ρ ϑ ρ ρ ρ ρ π π , 4 11 25 76 2 2 2 2 6 .Entonces: Vol= V1
+
V 2=392 3 π +76 3 π =156π
8.
A)
Dado un sólido tridimensional T acotado inferiormente por el semicono z=
x2+
y2 y superiormente por la superficie x2+
y2+ =
z2 1 , calcular la integral triple(
)
e x y z dxdydz
T
2+ +2 2 32
∫∫∫
B)
Basándose en el apartado anterior calcular ahora la integral(
)
e x y z dxdydz T 2 2 2 32 4 + +∫∫∫
SOBRE el sólido tridimensional T acotado inferiormente por el semicono z
=
x2+
4y2 y superiormente por la superficie x2+
4y2+
z2=
1 .SOLUCIÓN:
A)
Haciendo el cambio a coordenadas esféricas: x y z=
=
=
ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ Sen Cos Sen Sen Cos la integral queda(
)
I d d e Sen d e d Sen d e=
=
=
=
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
4 4 2 2 3 1 1 2 2 2 0 1 0 4 0 2 2 0 1 0 4 3 3 θ ϕ ρ ϕ ρ π ρ ρ ϕ ϕ π ρ π π ρ π .B)
Ahora podemos actuar de dos maneras para llegar a lo anterior. La primera es comenzar haciendo el cambio de varia bles:x u y v z w J u v w
=
=
=
=
2 1 2 ( , , ) ,que transforma las superficies que acotan al sólido en las de ecuaciones: w
=
u2+
v2 u2+
v2+
w2=
1 y la integral queda I=1(
)
2 2 2 2 32 e u v w dudvdw T u v w + +=
∫∫∫
, , *(
)
π 3 1 1 2 2 . e−
−
. La segunda forma de enfocar el problema es haciendo el cambio a esféricas:x y z J
=
=
=
=
ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ϕ Sen Cos Sen Sen Cos Sen 1 2 12 2con el que la integral queda
(
)
I d d e Sen d e d Sen d e=
=
=
=
−
−
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 2 3 1 1 2 2 2 0 1 0 4 0 2 2 0 1 0 4 3 3 θ ϕ ρ ϕ ρ π ρ ρ ϕ ϕ π ρ π π ρ π .9.
a)
Calcular el volumen del sólido acotado inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie 9x2+
9y2+
16z2=
4 32 2 y lateralmente por el cilindro x2+
y2− =
4y 0.b)
Lo mismo para el sólido inferiormente por el plano xy, superiormente por la superficie b x2 2+
b y2 2+
a z2 2=
a b2 2 y lateralmente por el cilindro x2+
y2− =
ay 0.SOLUCIÓN:
a)
La proyección sobre el suelo del sólido coincide con la sección recta del cilindro, esto es, la circunferencia de ecuación x2+ −
(y 2)2≤
4.La superficie que lo limita superiormente es el elipsoide del enunciado, de ecuación x y z2 2 2 2 2 2 4 4 3 1
+
+
=
. Por lo tanto y gracias a la simetría con respecto a la variable x del sólido, se puede expresar el volumen como:Vol = 6 1 4 4 2 2 2 2 2 4 0 2 2
−
+
+ − ≤ ≥ ∫∫
x y dxdy x y x ( ) = x y J=
=
=
4 4 16 ρ θ ρ θ ρ Cos Sen ( ) = = 96 1 2 0 2 0 ρ ρ θ ρ θ π ρ θ−
≤ ≤ ≤ ≤ ∫∫
Sen d d = 16
π−
4 3 .b)
El sólido del que se habla es una generalización del del anterior apartado. Ahora los semiejes del elipsoide, uno de los cuales coincide con el diámetro de la circunferencia-proyección son las constantes de valor no concreto a y b. Así las cosas el volumen lo calculamos integrando: Vol =( )
2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 b x a y a dxdy x y a a x−
+
+ − ≤ ≥ ∫∫
( ) = x a y a J a=
=
=
ρ θ ρ θ ρ Cos Sen ( ) 2 = = 2 2 1 2 0 2 a b ρ ρ θ ρ d d θ π−
≤ ≤ ∫∫
=a b 2 3 4 3 π−
.10.
Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies(
2 2)
2 2 2 2 1 y y x b z b z y x+
+
=
−
=
+
siendo b un número mayor que uno y supuestamente conocido (parámetro del problema).
SOLUCIÓN:
El sólido en cuestión está acotado inf. Por el semicono y superiormente por la esfera dados en el enunciado (es como un helado de cucurucho).
Por lo tanto el volumen lo calculamos con la siguiente integral:
VOL=
(
)
(
)
∫∫
∫
− ≤ + + − − + 1 1 2 2 2 2 2 2 2 b y x y x b y x b dz dxdy: Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas y
aplicando simetrías:
