Comparabilidad parcial con mediciones cardinales y elección colectiva

COMPARABILIDAD PARCIAL CON MEDICIONES

CARDINALES Y ELECCIÓN COLECTIVA*

Elvio Acci ne lli

y

Leo bar do Pla ta

**

R

ESUMEN

Se gún el es que ma del re sul ta do de im po si bi li dad de Arrow, la in for ma ción pro ve -nien te de com pa ra cio nes in ter per so na les no pue de ser usa da pa ra cons truir re glas de elec ción co lec ti va. Por otro la do, me dian te el uso de fun cio nes de uti li dad y la com pa ra ción de di ver sos as pec tos de las me di cio nes, en tre to dos los in di vi duos, se han lo gra do ca rac te ri zar di ver sas re glas no dic ta to ria les que, ade más, se usan em pí ri ca men te. En es te ar tícu lo es tu dia mos un es que ma ge ne ral pa ra rea li zar com pa ra -cio nes in ter per so na les con uti li da des car di na les. Ca rac te ri za mos un con cep to de com pa ra ción par cial que ad mi te, co mo ex tre mos, los ca sos de com pa ra cio nes to ta les o su au sen cia en tre los in di vi duos. Nues tro con cep to sir ve de ba se pa ra pro po -ner una cla si fi ca ción de to dos los ór de nes de bie nes tar so cial, que ca rac te ri za ca da uno con su pues tos tra di cio na les y el ti po de com pa ra ción in ter per so nal ad mi ti da.

A

BSTRACT

Under the fra me work of Arrow’s im pos si bi lity theo rem, all the in for ma tion ba sed on in ter per so nal com pa ri sons is avoi ded in the cons truc tion pro cess of co lec ti ve

97

* Pa la bras cla ve: com pa ra cio nes in ter per so na les, com pa ra cio nes par cia les, fun cio na les de bie nes tar so cial, or de nes de bie nes tar so cial, me di cio nes car di na les. Cla si fi ca ción JEL: D70, D71, C00, D63. Este tra ba jo ha sido apo ya do fi nan cie ra men te con el pro yec to Co nacyt 46209 del go bier no de Mé xi co y por el Fon do de Apo yo a la Inves ti ga ción C06-FAI-114582 de la UASLP. Los au to res agra de cen los co men -ta rios de dos dic -ta mi na do res anó ni mos de EL TRIMESTRE ECONÓMICO y se res pon sa bi li zan de los po -si bles erro res que aún pu die ran exis tir.

** Fa cul tad de Eco no mía de la Uni ver si dad Au tó no ma de San Luis Po to sí (UASLP) (co rreos elec tró -ni cos: lpla ta@uaslp.mx y el vio.ac ci ne lli@eco.valsp.mx).

choi ce ru les. Ho we ver, throught the use of uti lity func tions and the com pa ri son of se ve ral mea su ra ble as pects, among all in di vi duals, so me non dic ta to rial co llec ti ve ru les ha ve been cha rac te ri zed and they ha ve been used em pi ri cally. In this work we study a ge ne ral fra me work to ma ke in ter per so nal com pa ri sons with car di nal uti li -ties. We cha rac te ri ze a par tial com pa ra bi lity con cept ad mi ting li ke ex tre mes full com pa ri sons bet ween all the in di vi duals or no one com pa ri son bet ween any pair of in di vi duals. Our con cept pro vi des ba sis to pro po se a cla si fi ca tion of so cial wel fa re or de rings, each one can be cha rac te ri zed with stan dard as sump tions and the type of in ter pe so nal com pa ri sons ad mi ted.

I

NTRODUCCIÓN

E

s muy co no ci do que la re fe ren cia bá si ca pa ra abor dar te mas so bre de ci -sio nes co lec ti vas es So cial Choi ce and Indi vi dual Va lues de Arrow (1951,1963). A par tir de es ta obra se han de sa rro lla do cam pos muy es pe cia -li za dos con pro ble mas es pe cí fi cos de elec ción co lec ti va. La con tri bu ción de Sen (1970) ayu dó mu cho a la ex pan sión y es tu dio de lo que hoy se co no ce co mo teo ría de elec ción so cial. El re sul ta do de Arrow ha si do de mos tra do de muy di ver sas ma ne ras; to das ellas han con tri bui do a mi rar el pro ble ma des de di fe ren tes án gu los. Ha ha bi do una gran re per cu sión en la cien cia po lí -ti ca y en la fi lo so fía mo ral, ade más de lo que ha sig ni fi ca do pa ra la teo ría eco nó mi ca, su cam po de ori gen, la teo ría de elec ción so cial ha usa do in ten -siva men te el mé to do axio má ti co co mo sus ins tru men tos ba se. El con tex to de los pro ble mas de elec ción co lec ti va no es úni co. Hay di ver sas ma ne ras de mo de lar el con cep to de re gla de elec ción co lec ti va. Una vez que se fi ja el con jun to de in di vi duos y el con jun to de las op cio nes so cia les, las re glas son por lo ge ne ral fun cio nes cu yo do mi nio es un es pa cio de ca rac te rís ti cas de los agen tes im pli ca dos. El ran go de las fun cio nes con tie ne los po si bles re sul ta dos que arro ja la re gla cuan do se apli ca en ca da pun to del do mi nio. El do mi nio ge ne ral men te se cons tru ye con las pre fe ren cias de los dis tin tos in di vi duos res pec to al con jun to de op cio nes. Tam bién se pue den usar me di cio nes de las pre fe ren cias me dian te fun cio nes de uti li dad. El ran go pue de con te ner ór de -nes so cia les de las op cio -nes, sub con jun tos de las mis mas o sim ple men te ser el mis mo con jun to. En es te ul ti mo ca so ha bla mos de fun cio nes de de ci sión so cial.1

Con si de re mos un con tex to es pe cí fi co de una fa mi lia po si ble de re glas de lec ción co lec ti va. Éste con siste en una de fi ni ción pre ci sa de opciones, in di vi duos implicados, do mi nio de las re glas y ran go de las mis mas. Una vez fi -ja do un con tex to de po si bles re glas in te re sa es tu diar dos ti pos de pro ble mas. Por un la do, in te re sa in ves ti gar si al gu nas pro pie da des de sea bles pa ra las re glas son sa tis fe chas si mul tá nea men te y con qué re gla es pe cí fi ca. Hay oca sio -nes en que las pro pie da des que se im po nen re sul tan in con gruen tes entre sí, por lo que no hay nin gu na re gla que las sa tis fa ga, co mo es el ca so del teo re ma de im po si bi li dad de Arrow. Por otro la do, si co no ce mos una re gla es pe -cí fi ca de un cier to con tex to, in te re sa elaborar una for ma li za ción de con tex to de re gla y las pro pie da des que po drían ca rac te ri zar a es ta re gla.

El con tex to del teo re ma de Arrow con tie ne un nú me ro fi ni to de op cio nes, de he cho al me nos tres de ellas, y un nú me ro tam bién fi ni to de in di vi -duos. El do mi nio de las re glas con si de ra das por Arrow es el con jun to de po si bles pre fe ren cias ra cio na les (com ple tas y tran si ti vas) que pu die ran te -ner los di fe ren tes in di vi duos res pec to al con jun to de op cio nes. Un ele men to de este do mi nio es un arre glo de n pre fe ren cias, una por cada in di vi duo, lla -ma do per fil de pre fe ren cias. Las re glas que con si de ra Arrow se co no cen como fun cio nes de bie nes tar so cial. El ran go de es tas re glas esta for ma do tam bién por pre fe ren cias com ple tas y tran si ti vas en el con jun to de op cio nes. Así pues, las fun cio nes de bie nes tar so cial aso cian una pre fe ren cia com -ple ta y tran si ti va con cada po si ble arre glo de n pre fe ren cias com ple tas y tran si ti vas. Dado lo an te rior, no es ex tra ño que el pro ble ma haya sido co no -ci do como pro ble ma de agre ga -ción de pre fe ren -cias.

El es que ma de Arrow tie ne una base to tal men te or di na lis ta y de no com -pa ra bi li dad. Ello sig ni fi ca que la re gla de elec ción co lec ti va sólo pue de ha cer uso de la in for ma ción or di nal que con tie ne cada una de las pre fe ren cias in -di vi dua les. Ade más, la re gla no pue de ha cer uso de nin gu na in for ma ción que ten ga re la ción con al gu na po si ble com pa ra ción de las pre fe ren cias de los in di vi duos. Si una op ción, x, per ju di ca mu cho a un gran gru po de in di vi -duos y otra, y, be ne fi cia poco a unos cuan tos, la re gla no pue de con si de rar nin gu na me di ción de las pér di das de unos ni las ga nan cias de los otros. De este modo, el uso de las re glas de elec ción co lec ti va para rea li zar com pa ra cio nes que per mi tie ran pos te rio res re dis tri bu cio nes es ta ría to tal men te prohi -bi do con el es que ma arro wia no.

Ha ha bi do di ver sas mo di fi ca cio nes del es que ma de Arrow, se han lo gra -do más re sul ta -dos de im po si bi li dad y tam bién la ca rac te ri za ción de di ver sas

re glas apli ca bles en con tex tos bien es pe ci fi ca dos. Un pa no ra ma de lo an te rior pue de con sul tar se en Pla ta (1998). Una de las lí neas pa ra sa lir de la im -po si bi li dad con sis te en la in tro duc ción de in for ma ción car di nal de las pre fe ren cias in di vi dua les. En el ca pi tu lo 8 de Sen (1970) se de mues tra que el re sul ta do de im po si bi li dad se pue de to da vía re pli car con me di cio nes car di na les y man te nien do la no com pa ra bi li dad de las me di ci nes en tre los in di vi -duos. Sen es el pri me ro en in tro du cir el mar co con cep tual que es ta ble ce su pues tos de me di ción y com pa ra ción en las fun cio nes de bie nes tar so cial. Estos su pues tos y su mo ti va ción son ana li za dos en la sec ción I de es te

artículo. A par tir del tra ba jo de Sen sur gen va rios re sul ta dos que ca rac te ri zan di ver sas fun cio nes de bie nes tar so cial con ba se en la im po si ción de axio -mas de in va rian za en las re glas co lec ti vas. En Sen (1977) se ge ne ra uno de los pri me ros in ten tos por je rar qui zar los di fe ren tes ti pos de axio mas de in va -rian za. La im po si ción de és tos en las re glas co lec ti vas es tá aso cia da con una ma ne ra de de fi nir per fi les in for ma cio nal men te equi va len tes. La in tro duc ción de uti li da des per mi te la com pa ra ción de ga nan cias (o pér di das) de uti li -dad y es tas pue den me dir se en di fe ren cias o en por cen ta jes. Estas di fe ren cias o por cen ta jes se pue den usar pa ra ge ne rar in di ca do res que ayu den a to mar la de ci sión co lec ti va.

En el es que ma de Arrow es to no se pue de ha cer, sólo se con si de ra la in -for ma ción del or den y no se per mi ten com pa ra cio nes en tre in di vi duos. Dos ca rac te rís ti cas que or de nen igual a las op cio nes de be rán te ner aso cia do el mis mo or den so cial. Más pre ci sa men te, si con si de ra mos un per fil de uti li da -des ini cial y ge ne ra mos otro trans for man do ca da una de sus com po nen tes con di fe ren tes fun cio nes cre cien tes, el nue vo per fil es con si de ra do co mo equi va len te al pri me ro en el es que ma de Arrow. Esto sig ni fi ca que Arrow im po ne unas cla ses de in va rian za de ma sia do am plias pa ra sus re glas ad mi si bles. La in cor po ra ción de me di cio nes y com pa ra cio nes más fi nas ge ne ra cla -ses más pe que ñas y abre la po si bi li dad de que ha ya re glas no dic ta to ria les que sean in va rian tes en las cla ses pe que ñas.

La im po si ción de axio mas de in va rian za en las re glas está vin cu la da a la de fi ni ción de par ti cio nes del con jun to de per fi les de uti li dad. La de fi ni ción de es tas par ti cio nes se hace ge ne ral men te me dian te la de fi ni ción de un con jun to de trans for ma cio nes ad mi si bles para que dos per fi les sean con si de ra -dos equi va len tes. Cuan do se tra ba ja con fun cio nes de uti li dad en el do mi nio de las re glas, és tas son co no ci das como fun cio na les de bie nes tar so cial, pues su do mi nio está for ma do por vec to res de fun cio nes de uti li dad. En este caso

pa re ce na tu ral iden ti fi car una de es tas fun cio nes con un or den de bie nes tar de fi ni do en el es pa cio de vec to res nu mé ri cos rea les. Cuan do la fun cio nal apli ca da a un per fil diga que una op ción x es so cial men te pre fe ri da a otra y se de be rá te ner que el vec tor de uti li da des in di vi dua les para x debe ser pre -fe ri do al vec tor de uti li da des in di vi dua les para y. La ela bo ra ción pre ci sa de esta iden ti fi ca ción y los su pues tos en los que se basa se co no ce como wel fa -rism theo rem y fue de sa rro lla do por pri me ra vez in de pen dien te men te por d’Aspre mont y Ge vers (1977) y Ham mond (1979). Apa re ce tam bién en d’Aspre mont (1985).

El uso de com pa ra cio nes de di fe ren cias per mi tió ca rac te ri zar ver sio nes de las re glas uti li ta ris tas en tra ba jos como Des champs y Ge vers (1978), Ham mond (1979, 1991), Mas kin (1978), Ro berts (1980a, b). En los tra ba jos de Ro berts se ob tie nen im por tan tes re sul ta dos per mi tien do com pa ra cio nes con me di cio nes tan to car di na les como or di na les. Hay va rios tra ba jos pa no rá -mi cos que han ido pre sen tan do de ma ne ra pau la ti na los re sul ta dos lo gra dos. Des ta ca mos d’Aspre mont (1985), Sen (1986) y Mou lin (1988). Re cien te -men te te ne mos a d’Aspre mont y Ge vers (2002) y Bos sert y Wey mark (2004). Este úl ti mo tra ba jo con tie ne una ex ce len te pre sen ta ción de los avan -ces lo gra dos has ta aho ra e in clu ye casi to das las prue bas. En el tra ba jo de Fleur baey y Ham mond (2004) se ana li zan am plia men te los fun da men tos fi -lo só fi cos de las com pa ra cio nes y las apli ca cio nes en eco no mía del bie nes tar. Hay un as pec to que es im por tan te des ta car pa ra los fi nes de es te ar tícu lo. Ca si to da la bi blio gra fía ci ta da lí neas arri ba se ha preo cu pa do por ca sos ex -tre mos de com pa ra ción in ter per so nal. En unos ca sos se ad mi ten axio mas de in va rian za que per mi ten la com pa ra ción en tre to dos los in di vi duos. En los otros ca sos se prohí ben to tal men te las mis mas: no es po si ble com pa rar a nin gún par de in di vi duos. De es te mo do las com pa ra cio nes son ge ne ral men te to ta les o nu las. Sen (1970), cap. 7, pro po ne un con cep to de com pa ra -ción par cial. Sin em bar go, la pro pues ta no ha te ni do mu cho éxi to ya que el con cep to de com pa ra ción par cial de Sen no ha si do muy ex plo ta da ni se gui -do en la bi blio gra fía pos te rior. La pro pues ta es tam bién li mi ta da ya que só lo con si de ra trans for ma cio nes pa ra com pa rar di fe ren cias pe ro só lo en tre dos cla ses muy es pe cí fi cas: la de me di cio nes car di na les sin com pa ra cio nes (CNC)

y la de me di cio nes car di na les con com pa ra ción ple na de di fe ren cias o uni da -des (CUC). En es tas cla ses las or de na das al ori gen de las trans for ma cio nes

ad mi ti das pue den va riar ar bi tra ria men te. Ello no per mi te in cor po rar, por ejem plo, com pa ra cio nes de por cen ta jes. Por otro la do, pa re cie ra na tu ral

que cier tas com pa ra cio nes sólo se pue dan ha cer en tre un con jun to de in di -vi duos pe ro no en tre to dos. Ello abre otras po si bi li da des pa ra es tu diar las re glas con gruen tes con es te ti po de com pa ra cio nes.

En es te ar tícu lo abor da mos el es tu dio de com pa ra cio nes in ter per so na les con me di cio nes de uti li dad car di nal. Lo pri me ro que ha ce mos es pre sen tar una cla si fi ca ción de to dos los ti pos de com pa ra ción ló gi ca men te po si bles. Las com pa ra cio nes que se han usa do en la bi blio gra fía apa re cen de ma ne ra na tu -ral co mo ca sos ex tre mos en nues tra cla si fi ca ción, que es ob te ni da me dian te el estu dio de las po si bles par ti cio nes del con jun to de per fi les de uti li dad. Obte ne -mos una in te re san te in ter pre ta ción y un con cep to de com pa ra ción par cial muy in tui ti vo y di fe ren te del Sen. Co mo se gun do pa so pre sen ta mos al gu nas ca rac te ri za cio nes de ór de nes de bie nes tar so cial con gruen tes con su pues tos tra di cio na les y al gu nos su pues tos de com pa ra ción par cial. Las re glas ge ne -ra das in clu yen nue va men te co mo ca sos ex tre mos a las ya co no ci das en la bi blio gra fía. No te ne mos aún una cla si fi ca ción com ple ta de to das las re glas. Khmel nits ka ya y Wey mark (2000) ob tie nen al gu nos de los re sul ta dos pre sen ta dos en la par te fi nal, de ca rac te ri za ción de ór de nes de bie nes tar so -cial. Sin em bar go el en fo que de es tos au to res es di fe ren te del nues tro al me nos en dos as pec tos. Ellos con si de ran cla ses de trans for ma cio nes más am plias que las me ra men te car di na les co mo ha ce mos aquí. Un se gun do as pec to es que ellos im po nen de mo do exó ge no las trans for ma cio nes ad mi si bles mien tras que aquí son re sul ta do de nues tra ló gi ca de cla si fi ca ción al ge brai ca de los su pues tos de com pa ra ción. Ello nos per mi te con si de ra ti pos de com pa ra -ción par cial car di nal que no ha bían apa re ci do has ta aho ra. Khmel nits ka ya y Wey mark só lo con si de ran di fe ren tes sub gru pos dis jun tos de in di vi duos e im po nen una cla se de trans for ma cio nes ad mi si bles en ca da gru po. La con di -ción de in va rian za se apli ca de ma ne ra tra di cio nal al pro duc to car te sia no de las trans for ma cio nes ad mi si bles en ca da gru po. De es te mo do, en su es que -ma no apa re cen las nue vas cla ses de com pa ra ción que se ob tie nen del teo re -ma 3 con la pa re ja de par ti cio nes. La sec ción I pre sen ta el mo de lo con las de fi ni

-cio nes for ma les de los con cep tos y una mo ti va ción del pro ble ma.

I. M

ODELO Y MOTIVACIÓN

El es pa cio de op cio nes socia les es de no ta do por el con jun to X, la so cie dad esta for ma da por n in di vi duos re pre sen ta dos en el con jun to N={ , , ..., }1 2 n.

fun ción de X en el con jun to de nú me ros rea les, de no ta do por R. El con jun -to de fun cio nes de uti li dad es de no ta do por U y el con jun to de ca rac te rís ti -cas de uti li dad es Un. Para ma yor pre ci sión, Un es el es pa cio de per fi les, cada en tra da de un per fil re pre sen ta una me di ción de la pre fe ren cia del in di vi duo co rres pon dien te.

Una re gla de elec ción co lec ti va aso cia una pre fe ren cia so cial, com ple ta y tran si ti va, con cada po si ble ca rac te rís ti ca de me di cio nes de uti li dad in di vi -dual. En nues tro caso las ci ta das re glas son co no ci das como fun cio na les de bie nes tar so cial (FLBS), que no son mas que fun cio nes F con do mi nio Un y re co rri do en Â, en que  es el con jun to de pre fe ren cias com ple tas y tran si ti -vas so bre X. Una fun cio nal de bie nes tar so cial, F, ge ne ra una pre fe ren cia so -cial para cada per fil de pre fe ren cias in di vi dua les. De este modo se re cu pe ra la idea fun da men tal de que las de ci sio nes so cia les de pen den en de fi ni ti va de las va lo ra cio nes que los in di vi duos tie nen de las op cio nes. ¿De qué ma ne ra se es ta ble ce esta co rres pon den cia en tre va lo ra cio nes in di vi dua les y so cia -les?; esta im plí ci ta en la fun cio nal F. Para ha cer cla ro lo an te rior ana li za re mos al gu nos ejem plos.

1. Ejem plos de mo ti va ción

Con si de re mos una so cie dad de tres in di vi duos, N={ , , },1 2 3 que en fren tan el con jun to de op cio nes X={ , , }. Las pre fe ren cias de los in di vi duos enx y x

este caso son los si guien tes or de na mien tos de X:

Indi vi duo 1 Indi vi duo 2 Indi vi duo 3

x y z

y z x

z x y

Va mos a con si de rar cua tro po si bles per fi les de uti li dad, ca da uno de ellos re pre sen ta las mis mas pre fe ren cias pe ro con di fe ren tes me di cio nes, co mo si gue:

Opción _u Per fil 1 Per fil 2 Per fil 3 Per fil 4

1 u2 u3 u1 u2 u3 u1 u2 u3 u1 u2 u3

x 3 1 2 7 4 7 7 5 11 9 1 4

y 2 3 1 5 8 5 5 11 7 4 9 1

z 1 2 3 3 6 9 3 8 15 1 4 9

A con ti nua ción pre sen ta mos di ver sas ma ne ras de ob te ner or de na mien tos co lec ti vos de X. Cada una de ellos se ob ten drá con una de ter mi na da re gla

que in cor po ra hi pó te sis es pe cí fi cas de la me di ción y com pa ra ción.2 _{La apli} -ca ción de la re gla de ma yo ría sim ple, para or de nar -cada par de op cio nes, nos ge ne ra un ci clo: x do mi na a y por ma yo ría de 1 y 3 con tra el 2, y do mi na a z

por ma yo ría de 1 y 2 con tra el 3, z do mi na a x por ma yo ría de 2 y 3 con tra el 1. Así pues, el or di na lis mo y la re gla de ma yo ría sim ple no nos per mi ten lo -grar resul ta dos sa tis fac to rios pues no ha bría una me jor de ci sión co lec ti va. Si con si de ra mos aho ra la lla ma da la re gla de bor da se ge ne ra un em pa te. Se gún es ta re gla ca da op ción ob ten dría 6 pun tos al fi nal y to das se rían con si -de ras in di fe ren tes. La re gla -de Bor da con sis te en asig nar pri me ro pun ta jes en or den des cen den te a ca da op ción. La más pre fe ri da 3 pun tos, le se gun da más pre fe ri da 2 pun tos y la peor 1 pun to. De es te mo do la op ción x ob tie ne 3 pun tos del pri mer agen te, 1 pun to de se gun do agen te y 2 pun tos del ter cer agen te, lo cual nos ge ne ra los 6 pun tos. De ma ne ra si mi lar las otras op cio nes ob tie nen ca da una 6 pun tos al fi nal del pro ce so. No te mos que, im plí ci ta men te, es ta re gla pre su po ne dos pro pie da des fuer tes: la me di ción de la in -ten si dad de la pre fe ren cia de mo do que en tre cual quier op ción y la que le si gue, la di fe ren cia de me di ción es cons tan te y, ade más, es la mis ma en tre los in di vi duos. Te ne mos pues una mis ma uni dad co mún com pa ra ble en tre los in di vi duos y que nos sir ve pa ra me dir la di fe ren cia de me di ción en tre op cio -nes con se cu ti vas.

Con si de re mos aho ra una re gla uti li ta ris ta. Me dian te es ta re gla cons trui -mos un or den so cial va lo ran do ca da op ción se gún la su ma de las uti li da des, ca da su man do es la uti li dad que ca da agen te otor ga a la op ción. De es te mo -do la va lo ra ción uti li ta ris ta de x ba jo el per fil Ues W x U( ; )=S_iÎNu x_i( ). Cuan do la va lo ra ción de x es ma yor o igual a la de y de ci mos que x es al me -nos tan pre fe ri do so cial men te a y. For mal men te se de no ta es to co mo si gue,

xR yU «Si NÎ u xi( )³Si NÎ u yi( )

No te mos que lo an te rior se pue de res cri bir co mo,

xR yU «Si NÎ ( ( )u xi -u yi( )) 0³

Cada di fe ren cia u x_i( )-u y_i( ) mide la pér di da o ga nan cia, se gún sea el caso, del in di vi duo i al pa sar de la op ción x a la y. Estos nú me ros son su ma -dos en tre los in di vi duos; ello nos dice que es ta mos com pa ran do las pér di das de unos con las ga nan cias de otros. Esto sólo tie ne sen ti do si su po ne mos al

-2 _{No te mos que las pre fe ren cias que he mos cons trui do cons ti tu yen una ver sión de las que se usan}

gu na uni dad co mún de com pa ra ción de las di fe ren cias en tre los in di vi duos, ade más de la po si bi li dad de com pa rar di fe ren cias in train di vi duales.

Al apli car la re gla uti li ta ris ta en ca da uno de los cua tro per fi les no ta mos que se ge ne ran los si guien tes or de na mien tos:

Per fil Pun tos por op ción Orden so cial

x y z

Per fil 1 6 6 6 x y zI I (to das in di fe ren tes)

Per fil 2 18 18 18 x y zI I (to das in di fe ren tes) Per fil 3 23 23 26 z x yP I (z do mi na a x y, ) Per fil 4 14 14 14 x y zI I (to das in di fe ren tes)

No te mos que la re gla uti li ta ris ta no ge ne ró los mis mos re sul ta dos en los cua tro per fi les. Las pre fe ren cias son or di nal men te las mis mas en cada caso. Sin em bar go la in for ma ción con te ni da en cada par de per fi les pue de ser la mis ma o no para la re gla uti li ta ris ta. Para ex pli car esto me jor fi je mos el per fil 1 como re fe ren cia y ha ga mos cam bios en la me di ción y com pa ra ción. Las me di cio nes pre sen ta das en el per fil 2 se pue den ob te ner a par tir del per fil 1 apli can do las trans for ma cio nes afi nes j_i( )t = +i 2 con t i=1 2 3, , res pec ti va -men te. Esto sig ni fi ca que las me di cio nes del per fil 2 se ob tie nen a par tir del per fil 1 con cam bios de “cero” o de “ori gen” en cada me di ción in di vi dual de modo que el “cero” del agen te i en el per fil 2 co rres pon de aho ra al ni vel i. Por otro lado, hay tam bién un cam bio de “uni dad” de me di ción pero es co mún en tre los in di vi duos. En este caso di cha uni dad de me di ción está aso -cia da a la pen dien te co mún de las trans for ma cio nes j_i( ), que es el nú me rot 2. Es muy fá cil ve ri fi car que el or den so cial no se al te ra si usa mos el per fil 1, ( ( ), ( ), ( )),u₁ u₂ u₃ o el per fil 2, (1 2+ u₁( ),2 2+ u₂( ),3 2+ u₃( )), la com pa -ra ción de las di fe ren cias arro ja los mis mos re sul ta dos pues sólo es ta mos cam bian do la uni dad de me di ción de ma ne ra co mún a pe sar de que los 0 de cada quien sean dis tin tos o ten gan dis tin to sig ni fi ca do. Este tipo de trans for ma cio nes nos sir ven para ca rac te ri zar el tipo de in va rian za al que po de -mos so me ter a una re gla de tipo uti li ta ris ta como la de fi ni da lí neas arri ba. Obsér ve se que u_i y j_i( ) re pre sen tan las mis mas pre fe ren cias in di vi dua lesu_i

para cada in di vi duo, a la vez que los per fi les u y j( )u gene ran la mis ma pre -fe ren cia so cial, lo que es par ti cu lar de este tipo de trans for ma cio nes.

No ocu rre lo mis mo si la trans for ma ción esta dada aho ra por j_i( )t =

i+(i+1 con )t i=1 2 3, , res pec ti va men te. Esta trans for ma ción lle va el per fil 1

al per fil 3. Ya no te ne mos una uni dad co mún de me di ción; las di fe ren cias tie nen aho ra más peso a me di da que au men ta el ín di ce con que nom bra mos

a cada in di vi duo. Al com pa rar por ejem plo z con x en el per fil 3 no ta mos que los in di vi duos 2 y 3 ga nan res pec ti va men te 3 (8-5) y 4 (15-11) al pa sar de

x a z. Esta ga nan cia de 7 no se pue de com pen sar con la pér di da de -4 (3-7) del in di vi duo 1, por lo que la op ción z es pre fe ri ble so cial men te a la op ción

x. En el per fil 1 la ga nan cia neta de 2 y 3 es 2 y se com pen sa con el 2 de pér di -da por el agen te 1 con lo que las op cio nes se de cla ran so cial men te in di fe ren tes. Así pues, el per fil 1 y el per fil 3 no con tie nen la mis ma in for ma ción, de me di ción y com pa ra ción, des de el pun to de vis ta uti li ta ris ta, por lo que son tra -ta dos de ma ne ra di fe ren te. Obsér ve se que aho ra u_i y j_i( ) re pre sen tan lasu_i

mis mas pre fe ren cias in di vi dua les res pec to a X, no obs tan te, a di fe ren cia del ejem plo an te rior, los per fi les u y j( )u no ge ne ran la mis ma pre fe ren cia so cial. Con si de re mos aho ra la trans for ma cio nes j_i( )t =t2, que trans for man el per fil 1 en el per fil 4. Estas trans for ma cio nes nos per mi ten con ti nuar con los mis mos ór de nes en am bos per fi les a ni vel in di vi dual. Como se hace la mis -ma trans for -ma ción en to das las uti li da des, po de mos ha cer com pa ra cio nes de or den en tre los in di vi duos. Cual quier jui cio de or den que sea cier to en el per fil 1, aún es cier to en el per fil 4. Sin em bar go ya no po de mos ha cer com -pa ra cio nes de di fe ren cias pues en este caso de sa -pa re ce el con cep to de uni dad de me di ción. La si me tría de las va lo ra cio nes en el per fil 1 per mi te ob te ner la mis ma or de na ción so cial para el per fil 4, cuan do usa mos la re gla uti li ta ris ta. Sin esta si me tría los re sul ta dos pue den va riar.

Cam bie mos aho ra de re gla de va lo ra ción so cial. Nues tra va lo ra ción so cial aho ra es de ter mi na da por la re gla rawl sia na. Me dian te es ta re gla se otor ga el po der de la de ci sión co lec ti va al in di vi duo peor si tua do; se pre su po ne la com -pa ra ción de po si cio nes en tre los in di vi duos. La de fi ni ción de la re gla es aho ra,

xR yU «min{ ( )/u x i N_i Î } min{ ( )/³ u y i N_i Î }

Al apli car la re gla rawl sia na ob te ne mos los si guien tes re sul ta dos pa ra ca -da per fil:

Per fil Pun tos por op ción Orden so cial

x y z

Per fil 1 1 1 1 x y zI I (to das in di fe ren tes)

Per fil 2 4 5 3 y x zP P

Per fil 3 5 5 3 x y zI P (z do mi na da por x y, )

Per fil 4 1 1 1 x y zI I (to das in di fe ren tes)

Ve mos que los per fi les 1 y 4 ge ne ran los mis mos re sul ta dos mien tras que los per fi les 2 y 3 ge ne ran re sul ta dos dis tin tos en tre ellos y res pec to al per fil

1. Lo an te rior sig ni fi ca que pa ra la re gla rawl sia na los per fi les 1 y 4 con tie -nen la mis ma in for ma ción y por tan to ge ne ran el mis mo or den so cial con la re gla de Rawls. Es de cir, con es ta re gla, se gún el per fil 1 o el 4, to das las op -cio nes son so cial men te in di fe ren tes, a pa sar de no exis tir nin gún in di vi duo que sea in di fe ren te se gún el per fil 1 o el 4. Esta in for ma ción só lo se re fie re a las po si cio nes de las op cio nes y a la ple na com pa ra bi li dad de las mi mas en tre to dos los in di vi duos. Los per fi les 2 y 3 mo di fi can es te ti po de in for ma ción res pec to al per fil 1. Cual quie ra de las op cio nes pue de apa re cer co mo la peor si tua da con el ni vel 1 y cual quie ra de los in di vi duos pue de con si de rar se co mo peor si tua do en el per fil 1, de ahí que to das son in di fe ren tes. Sin em bar go, con la me di ción mos tra da en el per fil 2 la op ción peor si tua da es la z y co rres pon de al pri mer in di vi duo el po der de se lec cio nar la co mo la peor so cial men -te. No te mos que las me di cio nes pre sen ta das en el per fil 2 han mo di fi ca do los orí ge nes o ce ros y la mo di fi ca ción ha si do dis tin ta pa ra ca da in di vi duo, to do ello res pec to al per fil 1. Lo an te rior im pi de que la in for ma ción pue da usar se pa ra com pa rar los peo res ele men tos pues se tra ta de di fe ren tes me di -cio nes en esen cia.

2. Infor ma ción y per fi les

Los ejem plos ex pues tos líneas arri ba dan la pau ta pe ra pen sar en una po si ble ma ne ra de ana li zar y cla si fi car los di fe ren tes ti pos de in for ma ción, de me di -ción-com pa ra ción, pre sen tes en el con jun to de po si bles per fi les. Cuan do asu mi mos un de ter mi na do su pues to de me di ción-com pa ra ción en rea li dad es ta mos in du cien do una par ti ción en el con jun to de per fi les. Los per fi les que con tie nen la mis ma in for ma ción per te ne cen a una mis ma cla se. En es te pun to apa re ce una pre gun ta fun da men tal: ¿es po si ble cla si fi car las par ti cio -nes del con jun to de per fi les y en con trar una re gla co lec ti va con gruen te con ca da par ti ción? Esta con gruen cia se re fie re a la in va rian za de la re gla en ca da cla se de la par ti ción. ¿Hay una úni ca re gla que sa tis fa ce su pues tos es tán dar y es exac ta men te in va rian te en ca da cla se de la par ti ción con gruen te con la re gla? Estas pre gun tas han si do con tes ta das par cial men te en el in te re san te ar -tícu lo pa no rá mi co de Bos sert y Wey mark (2004) y en una se rie de tra ba jos ya clá si cos co mo d’Aspre mont (1985), Ro berts (1980a,b), Sen(1986), en tre otros. El ar tícu lo de Fleur baey y Ham mond (2004) ana li za el te ma des de un pun to de vis ta am plio que es tu dia tam bién el sig ni fi ca do fi lo só fi co de las com pa ra cio nes in ter per so na les. Algu nos tex tos de mi croe co no mía in clu

-yen ya ca pí tu los con es tos re sul ta dos. Es dig no de des ta car el ca pí tu lo 22 de Mas-Co lell et al (1995) y el ca pí tu lo 6 de Jeh le (2001). El en fo que adop ta do con sis te en con si de rar cier tos su pues tos es tán dar y va rios ti pos de hi pó te sis de me di ción-com pa ra ción. Las com pa ra cio nes se in tro du cen im po nien do en las re glas al gún re qui si to de in va rian za, de fi ni do por me dio de cier tos con jun tos de trans for ma cio nes de los per fi les que se con si de ran co mo equi -va len tes in for ma cio nal men te.

Ge ne ral men te los re sul ta dos ca rac te ri zan las re glas con gruen tes con los su pues tos es tán dar y ca da ti po de in va rian za ad mi ti da. Ca da re gla in du ce na tu ral men te una par ti ción del con jun to de per fi les. Las con se cuen cias de imponer re qui si tos de in va rian za en ge ne ral, no for zo sa men te de fi ni dos con trans for ma cio nes de uti li dad en los per fi les, son ana li za das en Bos sert (2000). El ar tícu lo pre sen ta re la cio nes de dua li dad en tre la in va rian za en las fun cio na les de bie nes tar so cial y las pro pie da des aso cia das co rres pon dien tes en sus res pec ti vas re pre sen ta cio nes: los ór de nes de bie nes tar so cial. Expli -que mos es te im por tan te con cep to con cier to de ta lle.

Se gún al gu nos su pues tos sim pli fi ca do res, las fun cio na les de bie nes tar so -cial pue den re pre sen tar se me dian te ór de nes de bie nes tar so -cial (OBS)3 de fi

-ni dos en el es pa cio eu cli dea no Rn_{. La ra zón de ello pa re ce cla ra pero hay}

que des ta car los de ta lles con cui da do. Cuan do la fun cio nal F aso cia un or -den so cial R_U al per fil U u= ₁( ), ..., ( )) y se tie ne que se gún u_n R_U la op ción x es so cial men te pre fe ri da o in di fe ren te a la op ción y, lo de no ta mos como

xR y_U . La idea es aho ra cons truir un preor den en Rn _{a par tir de los per fi les}

y la fun cio nal. Esto po dría ser re pre sen ta do me dian te la de fi ni ción de una re la ción R*_{, cons trui da en R}n_{, di cien do que se tie ne ( ( ), ..., ( ))u x1 u xn}

R u y*_{( ( ), ..., ( ))1} u y_{n cuan do xR yU . Para que esto fun cio ne de be mos ha cer su}

-pues tos que ga ran ti cen que R* _{está bien de fi ni da.}

II. S

UPUESTOS ESTÁNDADR SOBRE LAS FLBS

Nues tra in ten ción fi nal es lo grar una cla si fi ca ción de los po si bles R*_con

base en su pues tos es tán dar y las di fe ren tes for mas de in tro du cir com pa ra -cio nes in ter per so na les.

Con di ción UT (do mi nio uni ver sal y tran si ti vi dad). Las re glas co lec ti vas son

fun cio nes: F_:Un_{® Â}

3 _{Los ór de nes de bie nes tar so cial (}OBS) son co no ci dos en in glés como So cial Wel fa re Orde rings (SWO).

Esto sig ni fi ca que las FLBS tie nen como do mi nio a cual quier po si ble per fil

de uti li da des y cual quier fun ción de uti li dad es ad mi ti da para cada in di vi -duo en cual quier per fil. Ade más, el or den so cial aso cia do con un per fil dado es siem pre una re la ción com ple ta y tran si ti va del con jun to de op cio nes X. La si guien te con di ción re quie re que, dado cual quier per fil, el or den so cial aso cia do por la FLBS es tal que para cual quier par de op cio nes da das, di cho

or den debe ser in de pen dien te de las uti li da des pre sen ta das por cual quier otra ter ce ra op ción. Si dos per fi les coin ci den en la me di ción de las op cio-nes x, y, el or den so cial de es tas op cio nes debe coin ci dir y ser in de pen dien-te de cómo los agen dien-tes mi den las otras op cio nes en cada per fil. For mal men dien-te:

Con di ción IOI (in de pen den cia de op cio nes irre le van tes). "x y X u, Î " , vÎUn:

si u x( )=v x( ) y u y( )=v y( ), en ton ces xR y_u ÛxR y_v .

Cuan do dos op cio nes son in di fe ren tes para to dos los in di vi duos en un de -ter mi na do per fil, el or den so cial aso cia do a di cho per fil las debe de cla rar tam bién in di fe ren tes.

Con di ción PI (pa re to in di fe ren cia). "x y X u, Î " ÎUn: si u x( )=u y( ), en ton -ces xIuy.

Las con di cio nes an te rio res nos di cen que toda la in for ma ción re que ri da para or de nar a un par de op cio nes x, y está con te ni da en los vec to res de uti li -dad u x( ) y u y( ), aso cia dos res pec ti va men te con cada op ción. Otro tipo de in for ma ción de las op cio nes, como sus ca rac te rís ti cas fí si cas, nor ma ti vas o los nom bres de las mis mas, es con si de ra da irre le van te para la or de na ción que pro pon ga la FLBS. La si guien te con di ción co no ci da como neu tra li dad

de las op cio nes refle ja esto he cho de ma ne ra sin té ti ca.

Con di ción NOF (neu tra li dad de op cio nes fuer te). "x y z w X, , , Î "u v, ÎUn:

si u x( )=v z( ) y u y( )=v w( ), en ton ces xR y_u ÛzR w_v .

La con di ción de neu tra li dad fuer te es ca rac te ri za da por las tres pri me ras con di cio nes como si gue.

Teo re ma 1 (d’’Aspre mont y Ge vers, 1977). Si una fun cio nal de bie nes tar so -cial F sa tis fa ce las con di ción UT, en ton ces F sa tis fa ce IOI y PI si y só lo si F

sa tis fa ce la con di ción NOF.

Te ne mos aho ra si, todo para enun ciar el teo re ma de re pre sen ta ción de las

-ce las con di cio nes UT, IOI y PI, hay un úni co or den de bie nes tar so cial, R*,

aso cia do con F y de fi ni do en el es pa cio eu clí dea no Rn_{, en el que se en cuen}

-tran los vec to res de uti li dad que mi den las op cio nes del con jun to X. De este modo los vec to res de nú me ros rea les pue den ser usa dos para or de nar las op -cio nes de X. Da dos dos pun tos r s, en Rn_{, po dre mos de cir que r pre ce de a s}

si y so la men te si exis te un per fil u y un par de op cio nes x, y ta les que u x( )=r

y u y( )=s, de modo que x es so cial men te pre fe ri do a y cuan do la FLBSF se

apli ca en el per fil u y esto se de no ta como u x R u y( ) * ( ). _{Un or den de vec to res} de uti li dad es co no ci do como un OBS. Se gún una hi pó te sis de con ti nui dad,

los OBS pue den ser re pre sen ta dos por fun cio nes nu mé ri cas W: Rn®R de -no mi na das fun cio nes de bie nes tar.

Teo re ma 2 (d’Aspre mont y Ge vers, 1977, Ham mond, 1979; d’Aspre mont, 1985). Si una fun cio nal de bie nes tar so cial F sa tis fa ce la con di ción UT, en

-ton ces F sa tis fa ce IOI y PI si y so lo si exis te un úni co or den de bie nes tar

so cial R* _{en R}n _{tal que pa ra cual quier par de op cio nes x y X, Î y cual}

-quier per fil uÎUn,xR y_u Ûu x R u y( ) * ( ).

No te mos que de acuer do con el teo re ma 1 las con di cio nes IOI y PI pue den

ser sus ti tui das por la con di ción NOF de neu tra li dad fuer te. La neu tra li dad nos

dice, esen cial men te, que la cons truc ción de R* _{como u x R u y( )} * _{( )Û xR yu}

está bien de fi ni da. De este modo, po de mos es tu diar a las FLBS por me dio de

sus ór de nes de bie nes tar so cial, R*_{, co rres pon dien tes. Los su pues tos acer ca}

de la com pa ra ción-me di ción se im pon drán di rec ta men te en los OBS en lu

-gar de en las FLBS.

Nues tro si guien te ob je ti vo se rá cla si fi car las di fe ren tes com pa ra cio nes in ter per so na les cuan do se asu men me di cio nes car di na les. Ve re mos que la cla si fi ca ción es ta aso cia da con las ma ne ras de in tro du cir par ti cio nes en el conjunto de perfiles Un.

III. C

OMPARACIONES PARCIALES CON MEDICIONES CARDINALES

Pri me ro acla ra mos el con cep to de me di ción car di nal de las pre fe ren cias. Ello sig ni fi ca que la re gla so cial pue de usar in for ma ción pro ve nien te de com pa -ra cio nes de di fe ren cias de uti li dad, en tre cual quier par de op cio nes in t-ra- tra-in di vi dua les. For mal men te esto sig ni fi ca que la me di ción u_i( ) o la me di ción

fe ren cia, or de nan igual las op cio nes y am bas con ser van los jui cios de com -pa ra ción de di fe ren cias. El jui cio,

u x_i( )-u y_i( )³u z_i( )-u w_i( )

es to tal men te equi va len te al jui cio,

a bu x+ _i( )- +a bu y_i( )³a bu z+ _i( )- +a bu w_i( )

Asu mien do la hi pó te sis de me di cio nes in di vi dua les car di na les, nos in te re sa aho ra cla si fi car las ma ne ras ló gi ca men te po si bles de rea li zar com pa ra -cio nes in te rin di vi dua les usan do las me di -cio nes de los di fe ren tes in di vi duos. El pro ble ma se com pli ca por que si ui pue de ser trans for ma da en a_i +b u_{i i},

mien tras que uj pue de ser trans for ma da en aj +b uj j, las com pa ra cio nes in

ter per so na les po drían de pen der de ma ne ra de ci si va de las me di cio nes ele gi -das y pro vo car ci clos en el or den so cial. En rea li dad este es el caso cuan do se su po ne la no com pa ra bi li dad car di nal. Cuan do se per mi ten com pa ra cio nes de uni da des que im pon gan que to das las b_i sean igua les se lo gran re glas uti li -ta ris -tas. Nues tro ob je ti vo es es tu diar toda es-ta gama de po si bi li da des ló gi cas en tre las po si bles ma ne ras de in tro du cir com pa ra cio nes in ter per so na les. Vea mos que el pro ble ma se re du ce a la cla si fi ca ción de las par ti cio nes del con jun to de per fi les uti li da des y que cada par ti ción está aso cia da con unos con jun tos nu mé ri cos de vec to res de rea les que es ta ble cen pro pie da des en las

a_i y las b_i.

He mos di cho que la ma ne ra tra di cio nal de im po ner re qui si tos de me di cióncom pa ra ción en una re gla so cial o en el or den de bie nes tar so cial aso -cia do a la mis ma con sis te en de fi nir cla ses de in va rian za en el con jun to de per fi les de uti li dad. A los per fi les equi va len tes en los re qui si tos de in for ma -ción asu mi dos se les asig na el mis mo or den so cial. Cla si fi car los di fe ren tes su pues tos de in for ma ción se pue de aso ciar con la ma ne ra de de fi nir par ti -cio nes en el con jun to de per fi les. Sea y_iun con jun to pre de ter mi na do de trans for ma cio nes a las que pue den so me ter se las fun cio nes de uti li dad o va -lo ra cio nes del agen te i. Sea y el pro duc to car te sia no de las y_i. De ci mos que f=( , ...,f₁ f_n) es ad mi si ble si y so la men te si f_iÎy_i para todo i=1, ..., . Lan par ti ción de Un in du ci da por y es tal que dos per fi les que con ten gan la mis ma yin for ma ción de ben ser tra ta dos de la mis ma ma ne ra por la re gla co lec ti -va, se les asig na el mis mo or den so cial para las op cio nes de X. Ello se ex pre sa me dian te los su pues tos o axio mas de y-in va rian za.

u_n) y v=( , ...,v₁ v_n) en Un de ci mos que los per fi les u y v son y equi va len -tes si exis te fÎy tal que v= fo con fu =( , ...,f₁ f_n) y cada f_i es una trans -for ma ción cre cien te.

Con di ción de y-in va rian za pa ra F. De ci mos que una FLBS, F:Un® Â, es y-in va rian te si ca da vez que u y v son y-equi va len tes se tie ne que F u( )=

F v( ).

Una con si de ra ción im por tan te en este pun to es que la re la ción de yequi va -len cia no es forzosamen te una re la ción de equi va -len cia en Un para cual quier y. Lo que pue de ocu rrir es que fa lle la tran si ti vi dad. Para un ejem plo y una aná li sis más am plio so bre esto pue de con sul tar se Pla ta (1994). Casi to dos los con jun tos de trans for ma cio nes y que han apa re ci do en la bi blio gra fía ge ne ran re la cio nes de equi va len cia y no hay pro ble ma con el re qui si to de in -va rian za in du ci do. Sen (1970) in tro du ce, en el ca pí tu lo 7, un con cep to de com pa ra bi li dad par cial ad mi tien do con jun tos de trans for ma cio nes que no ge ne ran re la cio nes de equi va len cia. Ello no se ría pro ble ma en prin ci pio pero la im po si ción de in va rian za con ta les con jun tos de trans for ma cio nes si lo es. La exi gen cia de in va rian za de una FLBS con trans for ma cio nes que no

ge ne ran par ti ción del con jun to de per fi les pue de ge ne rar in con gruen cias. Las cla ses de per fi les que con tie nen “la mis ma y in for ma ción” no son una par ti ción pues se in ter sec tan en tre sí. El re qui si to de y-in va rian za hace cre cer las cla ses de per fi les que se te nían ini cial men te pen sa das con y. La si guien te pro po si ción es ta ble ce esto for mal men te. Para for mu lar lo ne ce si ta -mos el con cep to de clau su ra tran si ti va pri me ro.

Dado un con jun to de trans for ma cio nes y, no va cío, la clau su ra tran si ti va de y con la ope ra ción de com po si ción de fun cio nes se de no ta por yT_{y se} de fi ne re cur si va men te del si guien te modo.

yT= È{ ,y y1 2,...,yn, ...}

en el que

y1=y y Yn+1=YnÈ{sof/sÎy f, Îyn}

Pro po si ción 1. Sea F_:Un_{® Â y y un sub con jun to no va cío de trans for ma}

-cio nes. Si F es y-in va rian te, en ton ces F es yT-in va rian te.

Prue ba. Sean u v_{, ÎU}n _{ta les que v= fo pa ra al gún fu Îy}T_{. Enton ces exis} -ten un nú me ro na tu ral n en N y f f1, 2, ...,fn ele men tos de y ta les que v= fno o... f2o of1 u. Con si de re mos v₁= f1( ), u v₂=f2( ), ...,v₁ v_n=fn(v_n-1).

Co mo F es y -in va rian te y ca da fk per te ne ce a y se tie ne que F u( )=

F v( ),1 F v( )1 =F v( ),..., (2 F vn-1)=F v( ).n La tran si ti vi dad de la re la ción de

igual dad im pli ca que F u( )=F v( ) ya que v_n=v. Esto con clu ye la prue ba.

Así pues, cuan do im po ne mos la in va rian za de una FLBS por me dio de un

con jun to ar bi tra rio y, en rea li dad la es ta mos im po nien do en su clau su ra tran si ti va yT. Nues tro ob je ti vo es es tu diar las par ti cio nes del con jun to de per fi les Unque se de fi nen me dian te trans for ma cio nes de in va rian za. Para evi tar el pro ble ma alu di do, con si de ra mos di rec ta men te los con jun to y que sí ge ne ran re la cio nes de equi va len cia y los ca rac te ri za mos a con ti nua ción.

De bi do a la im por tan cia de las me di cio nes car di na les, ini cia mos el aná li sis ca rac te ri zan do los con jun tos ad mi si bles de las mis mas y el tipo de com -pa ra cio nes que pue den in du cir por me dio de las di fe ren tes -par ti cio nes del con jun to de per fi les. Para ello, par ti mos del con jun to uni ver sal de to das las po si bles trans for ma cio nes car di na les ad mi si bles. Este con jun to es bas tan te co no ci do en la bi blio gra fía y es de no ta do por yCNCpara re fe rir se la con di -ción de in va rian za aso cia da con la me di -ción car di nal y la no com pa ra bi li dad (CNC) y se de fi ne como,

yCNC={( ( ),...,f₁t f_n( )/t " Îi N a$ _iÎR$b_i>0: ( )f_i t =a_i+b t_i }

Cada ele men to ge né ri co de yCNCes del tipo,

(a1+b t1,...,a_i+b t_i ,...,an+b tn ,...,an+b tn )

con cada b_i>0 y ai un nú me ro real ar bi tra rio. De esta ma ne ra es per fec ta -men te po si ble iden ti fi car cada sub con jun to de trans for ma cio nes ad mi si bles yÍyCNCcon un sub con jun to de Rn´Rn_{+ +} por me dio de la re la ción:

(a1+b t1, ...,a_n+b t_n ) (( , ..., ), ( ,...,» a1 a_n b1 b_n))

Dado un con jun to de trans for ma cio nes ad mi si bles yÍyCNC, de no te mos por R( )y al co rres pon dien te sub con jun to de pa res de vec to res de Rn´ Rn_{+ +} que lo iden ti fi ca. Para que la re la ción de y-equi va len cia sea real men te una re la ción de equi va len cia en Un ne ce si ta mos que se cum plan tres con di cio nes so bre y:

i)f=I_dÎy (re fle xi bi li dad de la y-equi va len cia);

ii) Si fÎy en ton ces f-1_Îy _{(si me tría de la y-equi va len cia);}

Los re qui si tos an te rio res son, res pec ti va men te, equi va len tes a los si -guien tes:

i) ( , )0 1 ÎR( );y

ii) Si ( , )a b ÎR( )y en ton ces (-ab b-1, -1)ÎR( );y

iii) Si ( , )a b ÎR( )y y (c, d)ÎR( )y en ton ces ((a bc, bd+ )ÎR( ).y

en que 0 es el vec tor de ce ros y 1 es el vec tor de unos. Si b_{=( , ..., ),b b} b-1₌

n

1

b1-1, ...,bn-1). Si b=( , ..., )b1 bn y d=( , ...,d1 dn) en ton ces bd=(b d1 1, ...,b dn n).

No te mos que el in ver so de y (o de su equi va len te (a, b)) es y-1 _{que se co}

-rres pon de con (a, b)- ( ab , b-1 -1). º

-1 _{De igual modo, la ope ra ción de com}

-po si ción se con vier te en el pro duc to (a, b c, d) ( ) (º a bc, bd+ ).

De fi ni ción 1. De ci mos que un sub con jun to de trans for ma cio nes yÍyCNC, in du ce una par ti ción de Un si R( )y sa tis fa ce las con di cio nes i)-iii) enun -cia das lí neas arri ba.

Con ob je to de po der ad mi tir que cual quier po si ble uni dad y cual quier po si ble ori gen pue da ser trans for ma do o rees ca la do a cual quier ni vel, in tro -du ci mos tam bién una con di ción de re gu la ri dad exi gien do que R( )y sea un cono con ve xo con vér ti ce en el ori gen. Este he cho se re fle ja me dian te la con -di ción:

Con di ción de con ve xi dad y es ca la in de pen dien te (CEI). Pa ra ca da con jun to de

trans for ma cio nes, y, el co rres pon dien te R( )y sa tis fa ce: i) si (a, b)ÎR( ),y (c, d R)Î ( ),y en ton ces (a c, b d R+ + )Î ( );y ii) si (a, b R)Î ( )y y l >0, en -ton ces ( ,la bl )ÎR( ).y

Lo an te rior sig ni fi ca sim ple men te que las es ca las se mi den de ma ne ra con ti -nua, por me dio de nú me ros rea les, y que no hay nin gu na res tric ción en la asig na ción de la me di da, ad mi tién do se cual quier nú me ro en tre 0 e in fi ni to. Para enun ciar el re sul ta do que ca rac te ri za los con jun tos de trans for ma cio nes que sí ge ne ran re la cio nes de equi va len cia en el con jun to de per fi les, ne -ce si ta mos in tro du cir sólo una no ta ción adi cio nal. Dado un con jun to de trans for ma cio nes, y, nos fi ja mos en el con jun to de in di vi duos cuya me di ción ad mi te un 0 abso lu to; ello sig ni fi ca que con di chas me di cio nes po de -mos com pa rar aho ra co cien tes. De ese modo las com pa ra cio nes de ta sas de cre ci mien to o de por cen ta jes son po si bles a ni vel in train di vi dual o in te rin -di vidual se gún el con jun to de que se tra te. El con jun to de in -di vi duos que

po see me di cio nes car di na les con 0 ab so lu to se de no ta por N0( )y y se de fi ne como:

N0( ) {y º h N aÎ / h=0 para todo (a,b)ÎR( )}y

Da dos el con jun to de in di vi duos N={ , , ..., },1 2 n un sub con jun to M NÍ , un vec tor v RÎ n y un nú me ro real r, de no ta mos por ( | , | \ )r M vN M al vec tor de Rn _{que coin ci de con v en los ín di ces co rres pon dien tes a ( \ )N M y que tie}

-ne al real r en to das las coor de na das de los ín di ces co rres pon dien tes a M. En tér mi nos más co lo quia les, ( | , | \ )r M v N M es igual a v ex cep to en las coor de -na das que co rres pon den a M, en cu yas en tra das apa re ce r.

Con si de re mos yÍyCNC y su co rres pon dien te R( )y ÍRn´R_{+ +}n . El con -jun to R( )y es pe ci fi ca im plí ci ta men te, me dian te sus vec to res (a, b), las com -pa ra cio nes in ter per so na les ad mi ti das al im po ner in va rian za con y. Estas com pa ra cio nes se dan en dos ni ve les: de di fe ren cias y de co cien tes. Esen cial men te, es pe ci fi can en tre que sub con jun tos de in di vi duos es po si ble com pa -rar di fe ren cias al in te rior de los mis mos, y tam bién es pe ci fi can a la vez las com pa ra cio nes de di fe ren cias prohi bi das en tre dis tin tos in di vi duos: las que se pu die ran ha cer en tre in di vi duos per te ne cien tes a cla ses di fe ren tes de la par ti ción. De modo aná lo go, se es pe ci fi can tam bién las com pa ra cio nes com ple tas y en tre por cen ta jes que se pu die ran rea li zar. Esto re quie re sin em bar -go que se haga al gún su pues to res pec to al 0 de me di ción ad mi ti do en cada gru po de in di vi duos. Más ade lan te es pe ci fi ca mos esto con pre ci sión. Lo in -te re san -te es que un con jun to y que sí ge ne re par ti ción en el con jun to de per -fi les, in du ce au to má ti ca men te dos “par ti cio nes” de N. Una de ellas es real men te par ti ción que es pe ci fi ca las com pa ra cio nes de di fe ren cias que son admi si bles. La otra po dría de no mi nar se “cua si par ti ción” de N, ya que al gu no de sus ele men tos pu die ra ser la cla se va cía. Esta se gun da cla se de sub con -jun tos de N es pe ci fi ca las com pa ra cio nes en tre por cen ta jes que son in du ci das por y.Es cla ro que cuan do una com pa ra ción de por cen ta jes sea po si ble en -tre dos in di vi duos, am bos de ben te ner el mis mo 0 ab so lu to y la mis ma uni dad de me di ción. Estas par ti cio nes se pue den cons truir di rec ta men te ana li zan do la es truc tu ra del con jun to R( )y y se pue den de fi nir como si gue.

De fi ni ción 2. Con si de re mos yÍyCNC y su co rres pon dien te R( )y ÍRn´

R_{+ +}n _{. De ci mos que R( )y re pre sen ta una bi par ti ción de com pa ra bi li dad}

par cial car di nal si exis ten dos co lec cio nes de sub con jun tos de N de no ta -dos por ( ,p_a p_b) de mo do que p_a={N₀( ),y A₁, ...,A_r}, p_b={ , ...,N₁ N_k} y se sa tis fa ce que,

i) p_b es una par ti ción de N y p_apa es tam bién una par ti ción de N ex cep to en el caso en que el con jun toN0( )y sea va cío;4

ii) Para cual quier (a, b)ÎR(y_p),A_jÎ p_a y N_iÎ p_b, se tie ne que las coor -de na das -de a co rres pon dien tes a los ín di ces en A_j son to das idén ti cas en tre sí, y las coor de na das de b co rres pon dien tes a ín di ces en N_i son tam bién igua les en tre ellas;

iii) Para cual quier (a, b)ÎR( ),y A_jÎ p_a A_j ¹N₀( ),y N_iÎ p_b, x real ar bi -tra rio y z po si ti vo se tie ne que: (( | , | / ),x Aj a N Aj ( |z Ni,b| /N Ni))ÎR( );y

iv) p_a es más fina que p_b en N N\ ₀( ):y para toda A_jÎ p_a con A_j ¹N₀( ),y exis te N_iÎ p_b tal que A_j ÍN_i.

Las cla ses de la par ti ción p_bnos se ña lan los con jun tos de in di vi duos en los que es po si ble rea li zar com pa ra cio nes de di fe ren cias. Po de mos com pa rar di fe ren cias de uti li dad en tre los miem bros de un N_i pero no en tre in di vi -duos de di fe ren tes cla ses. Las cla ses que apa re cen en p_a pue den ser de dos ti pos. Por un lado la cla se N0( ),y que pue de ser va cía, nos se ña la los in di vi duos que tie nen de fi ni do un 0 co mún, por lo que po de mos rea li zar com pa -ra cio nes de co cien tes o por cen ta jes en tre sus miem bros. Por otro lado, las cla ses A_j de fi nen gru pos de in di vi duos en tre los que es po si ble rea li zar com pa ra cio nes to ta les al in te rior de las mis mas. Los miem bros de una mis -ma cla se no tie nen for zo sa men te un 0 ab so lu to pero pue den po ner se de acuer do en usar un mis mo ori gen y una mis ma uni dad para rea li zar sus com -pa ra cio nes. Los in di vi duos de otra cla se A_i pue den ha cer tam bién com pa ra -cio nes to ta les en tre ellos pero po nién do se de acuer do en otro ori gen y otra uni dad co mu nes. El re qui si to i) es pe ci fi ca lo an te rior.

No te mos que iv) exi ge que la par ti ción de com pa ra cio nes de orí ge nes sea más fi na que la par ti ción de com pa ra ción de di fe ren cias en la par te de me di -cio nes que no tie nen 0 ab so lu to. Esto nos di ce sim ple men te, que to do gru po en el que se ad mi tan com pa ra cio nes to ta les de be poseer una uni dad co mún de com pa ra ción de di fe ren cias, la cual po dría tal vez com par tir con un gru -po ma yor. Los ele men tos del ma yor que no per te ne cen al gru -po com par ten la uni dad pe ro no el ori gen. A ma ne ra de ejem plo con si de re mos una si tua -ción en la que ha ce mos com pa ra cio nes en tre los in di vi duos de paí ses de la Amé ri ca La ti na. Po dría mos com pa rar ga nan cias de bie nes tar en dó la res en

-4 p_a sa tis fa ce que la unión de sus ele men tos es N, cada par de ele men tos son dis jun tos y se ad mi te que al gu no de sus ele men tos pue da ser va cío. Este con jun to par ti cu lar corres pon de a los in di vi duos cuya me di ción dis po ne de un 0 fijo.

tre in di vi duos de di fe ren tes paí ses y a la vez admi tir que los ni ve les 0 pue den va riar de país a país.

El re qui si to ii) exi ge una con sis ten cia de igual dad in tra gru po, cuan do se cam bian las me di cio nes en una com pa ra bi li dad par cial. Nos dice que en cada po si ble trans for ma ción de la es ca la de me di ción, re pre sen ta da con un (a, b)ÎR( ),y las coor de na das de los in di vi duos de la mis ma cla se, se gún la par ti ción de 0 o uni da des, se trans for man siem pre de la mis ma ma ne ra en tre los miem bros del mis mo gru po. El iii) es un re qui si to de in de pen den cia de es ca la al in te rior de cada gru po ya sea para fi jar orí ge nes o uni da des, cual -quier real es ad mi ti do para re pre sen tar 0 y cual -quier po si ti vo se pue de usar para re pre sen tar uni da des.

El si guien te re sul ta do ca rac te ri za a los con jun tos de trans for ma cio nes car di na les que sí ge ne ran par ti cio nes del con jun to de per fi les de uti li dad. Con la con di ción de con ve xi dad e in de pen den cia de es ca la, las re pre sen ta cio nes de las trans for ma cio nes in du cen par ti cio nes de com pa ra bi li dad par -cial. La prue ba ori gi nal pue de con sul tar se en Pla ta (1994).

Teo re ma 3. Sea yÍyCNC y su pon ga mos que R( )y sa tis fa ce la con di ción

CIE. Enton ces, y in du ce una par ti ción en Un si y só lo si R( )y re pre sen ta una bi par ti ción de com pa ra bi li dad par cial car di nal.

A con ti nua ción ilus tra mos el re sul ta do me dian te dos pa re jas de par ti cio nes de com pa ra bi li dad en N, en un caso ad mi si bles y en el otro no ad mi si bles. En el pri mer caso con si de re mos la pa re ja de par ti cio nes:

p_a={{ , },{ },{ }1 3 2 4} p_b={{ },{ , , }1 2 3 4} con N₀( ) { , }y = 1 3

En este caso el ele men to ge né ri co de fi ni do por y es del tipo

(a,b) (( , , , ), ( , , , ))= 0 b 0c d e e e N₀( ) { , }y = 1 3

La pri me ra cla se de p₁, que de no ta mos por N₀( ) { , },y =1 3 mues tra los ín -di ces de los in -di vi duos cu yas trans for ma cio nes ad mi si bles, se gún y, siem pre tie nen 0 ab so lu to, como or de na da al ori gen, en la trans for ma ción ad mi si ble. Las com pa ra cio nes de di fe ren cias pue den ha cer se al in te rior de las cla ses {1} y {2, 3, 4} pero no en tre in di vi duos de di fe ren tes cla ses. No te mos que los in -di vi duos 2 y 4 ge ne ran una par ti ción más fina que la cla se de com pa ra ción de di fe ren cias a la que per te ne cen: el con jun to {2, 3, 4}.

p_a={{ , },{ , }1 3 2 4} p_b={{ },{ , }, { }1 2 3 4} con N₀( ) { , }y = 1 3

En es te ca so te ne mos que el ele men to ge né ri co de fi ni do por y es del ti po

(a,b) (( , , , ), ( , , , ))= 0 a 0a b c c d A₀( ) { , }y = 1 3

Si ad mi ti mos es te con jun to de trans for ma cio nes pa ra rea li zar com pa ra cio -nes ten dría mos in con gruen cias en la to ma de de ci sio -nes de bi do a que no se cum ple con el re qui si to iv) de la de fi ni ción de una bi par ti ción de com pa ra bi -li dad par cial. El con jun to cu ya cla se es {2, 4} no cons ti tu ye una par ti ción más fi na que la que tie ne co mo cla ses {2}, {4}. En con cre to, te ne mos que el pro duc- to (com po si ción pa ra ge ne rar tran si ti vi dad) de dos ele men tos ge né ri cos es

(a,b a,b) ( ) (( ,= 0 a ac+ , ,0 a ad b c c d+ ), ( , , ,2 2 2 2))

No te mos que el ele men to an te rior no per te ne ce a la cla se de trans for ma -cio nes y de fi ni da ini cial men te en este caso, pues a₂¹a₄. El re qui si to de

tran si ti vi dad de la y-equi va len cia no se sa tis fa ce.

IV. A

LGUNOS OBS CON COMPARABILIDAD PARCIAL Y CARDINALIDAD

En esta sec ción pre sen ta mos fi nal men te al gu nos re sul ta dos de ca rac te ri za -ción de OBS usan do com pa ra cio nes par cia les y su pues tos tra di cio na les. Re

-cor de mos que dado un con jun to de trans for ma cio nes y, de modo que la re la ción de y-equi va len cia sea una re la ción de equi va len cia, el con jun to de per fi les Un y una FLBS de no ta da por F, la con di ción de la y-in va rian za de F

in du ce ya cier ta es truc tu ra en su co rres pon dien te or den de bie nes tar so cial

R*_{. Cuan do un per fil u}ÎUn es trans for mado en v= f( ) con fu Îy, la in va -rian za nos ase gu ra que para cual quier par de op cio nes x y X, Î , se debe te -ner que:

xR yu si y sólo si xR yv

El teo re ma 2 ase gu ra en ton ces que

u x R u y( ) * ( ) si y sólo si v x R v y( ) * ( )

De este modo, cual quier re qui si to de in va rian za he cho so bre F, pue de im po ner se di rec ta men te en el or den de bie nes tar so cial R*_.

De fi ni ción 3. Un or den de bie nes tar so cial R*_{en R}n _{sa tis fa ce in va rian za con}

res pec to a y si ca da vez que u v u v, , ,¢ ¢ es tán en Rn,u¢ = f( ),v v¢ =f( )v pa ra al gún fÎy, en ton ces uR v* si y só lo si u R v¢ * ¢.

Cuan do un OBSR*sa tis fa ce in va rian za con res pec to a y, di re mos sim ple

-men te que R*_{sa tis fa ce y-in va rian za. No te mos que esta con di ción nos dice}

que si fÎy y u v, ÎRn,se tie ne que

u vR* si y sólo si f( ) * ( )uR fu

Del mis mo modo los axio mas o re qui si tos de una FLBSF pue den im po ner se

tam bién di rec ta men te en su co rres pon dien te OBSR*_{. Un or den de bie nes tar}

so cial R* _{se com po ne, de la ma ne ra usual, por su par te es tric ta P}*_{y por su}

par te de in di fe ren cia I*_{, de modo que R}*_=P*_ÈI*_.

De fi ni ción 4. Con si de re mos un OBSR* _{con sus co rres pon dien tes par tes P}*_,

I* _{de pre fe ren cia es tric ta y de in di fe ren cia res pec ti va men te. De ci mos que,}

R*_{sa tis fa ce Pa re to dé bil si para cada u v, ÎR}n_:

Si " Îi N u( _i > v_i), en ton ces uP v* .

R*_{sa tis fa ce Pa re to fuer te si para cada u v,} ÎRn_:

i) Si " Îi N u( _i=v_i), en ton ces uI v* , y

ii) Si " Îi N u( _i³v_i) con al me nos una de si gual dad es tric ta , en ton ces

uP v* _.

R*_{sa tis fa ce ano ni mi dad si para cada u}ÎRn, y para cada per mu ta ción p:

N®N se tie ne que

uI u*( _{P( )1},...,u_{P( )n} )

R*_{sa tis fa ce con ti nui dad si para cada u}ÎRn, los con jun tos {vÎRn/vR u* } y {_vÎRn/_{uR v}* } son ce rra dos en Rn

Esta con di ción de con ti nui dad se usa de ma ne ra ha bi tual en teo ría del con su -mi dor; se im po ne en las pre fe ren cias para ga ran ti zar exis ten cia de fun ciones de uti li dad. En nues tro caso sir ve para ob te ner re pre sen ta cio ciones nu mé -ri cas de los OBS en el sen ti do tra di cio nal de que uR v* «W u_{( )}³W u_{( ),} en que W es la re pre sen ta ción nu mé ri ca de R*_{. Hay una con di ción más dé bil de}

con ti nui dad que lo gra una re pre sen ta ción dé bil en el sen ti do de que sólo ga -ran ti za W u W u( )> ( )® uP v* (véa se Ro berts, 1980b, p. 424).5 El de bi li ta

-mien to per mi te a Ro berts ha cer un in te re san te aná li sis de la im por tan cia de la in for ma ción no me ra men te nu mé ri co uti li ta ris ta en la de ci sión co lec ti va.

5 _{La con di ción es de no mi na da por Ro berts shift in va rian ce. Con súl te se tam bién Bos sert y Wey}