Alvaro Cabrera Javier
Índice general
1. NUMEROS REALES Y DESIGUALDADES 7
2. VECTORES EN EL PLANO 11
3. GEOMETRIA ANALITICA 19
4. LIMITES 53
5. DERIVADAS 83
6. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 103
7. EXTREMOS DE UNA FUNCION 111
8. INTEGRALES 117
INTRODUCCION
Capítulo 1 NUMEROS REALES Y
DESIGUALDADES
Los teoremas se demuestran usando los axiomas de campo conmutativo de los Números Reales u otros Teoremas ya demostrados. Tales axiomas son:
Si, a, b, c2R:
P1. a+b =b+a Conmutatividad de la suma. P2. (a+b) +c=a+ (b+c) Asociatividad de la suma.
P3. a+ 0 =a Existencia de neutro aditivo(0).
P4. a+ ( a) = 0 Existencia de opuesto( a).
P5. ab=ba Conmutatividad del producto. P6. (ab)c=a(bc) Asociatividad del producto.
P7. a1 = a Existencia del neutro multiplicativo(1). P8. aa 1 = 1 Existencia del inverso (a 6= 0).
P9. a(b+c) =ab+ac Distributividad del producto. P10. a2R+(a >0) Tricotomía de los reales.
a2R (a <0)
a= 0
P11. Si:a >0,b >0 ) a+b >0
ab >0 Clausura de la suma y el producto.
P12. 8a 9b=b > a Del supremo.
1. Demostrar los siguientes Teoremas de los Números Reales:
a) a+x=b=)x=b a
b) ( 1)a= a
c) a(b c) = ab ac
d) ( a) = a
e) ab= 0 =)a= 0 ób = 0
f) (ab) 1 =a 1b 1
g) a+a = 2a
h) a0 = 1, a
6
= 0
2. Demostrar los siguientes Teoremas sobre Desigualdades:
a) a > b =)a c > b c
b) 0< a < b=) 1
a >
1
b
c) 0< a < b=)a2 < b2 d) 0< a < b=)ab >0
e) b > 0, a2 < b
() pb < b <pb
f) (a+b) (b+c) (a+c) 8abc
g) a2+b2 = 1, c2+d2 = 1 =
h) x1y1+x2y2
p x2
1+x22
p y2
1+y22.
3. Resolver las siguientes Inecuaciones Lineales:
a) 2x+ 1 <7
Solución.
2x+ 1 < 7
2x < 7 1
2x < 6
x < 3
b) 3x 2 4
Solución.
3x 2 4
3x 6
x 2
c) 9 x <6
d) 8 3x 2
e) 5 2x >7 3x
f) 1 + 3x >4x 5
g) 4x 3 2 x
h) 2x+ 6 5x 3
i) 3<2x 3<9
j) 5 3x+ 2 8
k) 1<9 2x <5
l) 1<8 3x <5
m) 8<3x+ 2<2
n) 9<5x+ 4<1
4. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas y de Grado Superior:
a) x2 5x+ 4 <0 Solución.
x2 5x+ 4 < 0
(x 4) (x 1) < 0
b) x2 5x+ 6 >0 Solución.
x2 5x+ 6 > 0
c) x2 4<5
d) 4 x2 <3 e) x2 3x 10<0 f) x2 +x 12>0 g) 2x2 3x+ 1<0
h) 3x2 7x+ 2<0 i) x2 4x+ 4 0 j) x2 2x+ 1 <0 k) x2 + 9<0
l) x4 1<0
m) (x+ 1)2 (x 1)2 <4
n) (x2+ 1)2 <(x2 1)2 ñ) x3 3x2 18x+ 40<0
o) x4 13x2+ 36<0 p) x3 8x2+ 17x 10>0 q) x4 17x2+ 16 0 r) x3 6x2+ 12x 8<0
s) x4 x2 >0 t) x5 5x3+ 4x >0 u) x2 + 1 0
v) x4 6x3+ 13x2 12x+ 4<0 w) x3 x <0
x) x4 10x3+ 35x2 50x+ 24<0 y) x8 256 >0
5. Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadráticas
a) 3 x >1
Solución.
3
x > 1
3
x 1 > 0
3 x
x > 0 x 3
b) 4x 3
2x 8 >2
Solución.
4x 3
2x 8 > 2
4x 3
2x 8 2 > 0
4x 3 4x+ 16
2x 8 > 0
13
2 (x 4) > 0
c) 4 x <1
d) 3x+ 1
2x 6 >4
e) 3 x 2 >1
f) x 2 x <
x x 2
g) 1 x 1 >1
h) x 1 x 4 <
x 3
x 2
i) x 1 x 2 <1
j) 9
x 2 > x 2
k) x 3 x 5 >1
l) 1 x 2 +
2
x 1 >2
m) 3x 1 x 4 <2
n) x
2 7x+ 12
x2 3x+ 2 <0 ñ) 5x 1
x 1 <3
o) x
2 7x+ 12
x2 3x+ 2 <1 p) 3
x +
2
x 1 + 4
Capítulo 2 VECTORES EN EL PLANO
1. Gra…car y hallar los módulos de los vectores: (6;8); (3;0); ( a; a)2. Si: A= (x;4) =) jAj= 5; B = (y2; y) =) jBj=p2. Hallar: x; y.
Solución.
jAj= 5 =px2 + 42
resolviendo x= 3. La segunda parte:
jBj=p2 =
q
(y2)2+y2
ordenando
x4+x2 2 = 0
resolviendo, y1 = 1, y2 = 1, y3 =i
p
2y y4 = i
p
2.
3. Efectuar y gra…car: A+B; A B; 2A+ 3B. Si: A= (4;3);B = (1;2).
Solución.
A+B = (5;5)
A B = (3;1)
2A+ 3B = (11;12)
4. Si: A = (3;1); B = (6;5); C = (0;2); efectuar: A+B +C; A B +C;
2A+B 3C; 3A 2B+ 4C.
Solución.
A+B+C = (3 + 6 + 0;1 + 5 + 2) = (9;8)
A B+C = (3 6 + 0;1 5 + 2) = ( 3; 2)
2A+B 3C = (2 (3) + 6 3 (0);2 (1) + 5 3 (2)) = (12;1)
3A 2B + 4C = (3 (3) 2 (6) + 4 (0);3 (1) 2 (5) + 4 (2)) = ( 3;1)
5. Demostrar:A+(B+C) = (A+B)+C;A+( A) = 0;k(A+B) =kA+kB;
(k+r)A=kA+rA.
Solución. Sea los vectores:
A = (ax; ay)
B = (bx; by)
C = (cx; cy)
entonces
A+ (B+C) = (ax+ (bx+cx); ay + (by+cy))
= ((ax+bx) +cx;(ay +by) +cy)
6. Demostrar: A (B +C) =A B +A C; A B =jAj jBjcos .
7. Efectuar: A B, si: (a) A = (1;3); B = (2;4), (b)A = (3; 1); B = ( 2;4), (c)A= (2; 1); B = (3;6)y (d) A= (a1; a2); B = ( a2; a1).
Solución. (a)
A B = (1) (2) + (3) (4) = 14
(b)
A B = (3) ( 2) + ( 1) (4) = 10
(c)
A B = (2) (3) + ( 1) (6) = 0
son vectores perpendiculares.. (d)
A B = (a1) ( a2) + (a2) (a1) = 0
son vectores perpendiculares.
8. Determinar si existe paralelismo (//), perpendicularidad (?) o ninguna de estas características entre los siguientes pares de vectores: (a)(3;1)y( 1;3), (b)(2; 3)y ( 4;6), (c) (4; 2)y (1;2), (d) (2;4)y (6;4), (e) (3;0)y (6;4)
y (f)(2;6)y (0;0).
Solución. (a)
(3;1) ( 1;3) = (3) ( 1) + (1) (3) = 0 Perpendiculares
(b)
(2; 3) ( 4;6) = (2) ( 4) + ( 3) (6) = 26
(c)
(4; 2) (1;2) = (4) (1) + ( 2) (2) = 0 Perpendiculares
(d)
(2;4) (6;4) = (2) (6) + (4) (4) = 28
(e)
(3;0) (1;0) = 3 (1) + (0) (0) = 3
(f)
(2;6) (0;0) = (2) (0) + (6) (0) = 0
9. Hallar el ángulo entre los siguientes pares de vectores: (a) (6;8); (4;3), (b)
Solución. (a) Gra…cando:
6.25 5
3.75 2.5
1.25 0
8
6
4
2
0
x y
x y
Aplicando la ecuación
A B =jAj jBjcos
sustituyendo
cos = p(6) (4) + (8) (3)
62+ 82p42 + 32 =
24 25
donde = 16;26o
(b) Gra…cando:
2 1
0 -1
-2
2
1
0
-1
-2
x y
x y
Aplicando la ecuación
A B =jAj jBjcos
sustituyendo
cos = p(1) (1) + (1) (0)
12+ 12p12+ 02 =
p
2 2
(c) Gra…cando:
3.75 2.5
1.25 0
-1.25 -2.5
8
6
4
2
0
x y
x y
Aplicando la ecuación
A B =jAj jBjcos
sustituyendo
cos = (3) ( 2) + (1) (6)
p
32+ 12
q
( 2)2+ 62
= 0
donde = 90;00o .
10. Hallar x para que sean paralelas y luego perpendiculares los vectores: (a)
A= (x;2); B= (3;6); (b) A= (x;8) y B= (2; x).
Solución. (a) Condición de paralelismo
(x) (3) + (2) (6)
p
x2+ 22 p32+ 62 = 1
(3x+ 12)2 = px2+ 22 2 p32 + 62 2
9x2+ 72x+ 144 = x2+ 4 (45)
9x2+ 72x+ 144 45x2 180 = 0
36x2+ 72x 36 = 0 j 36
x2 2x+ 1 = 0
(x 1)2 = 0
x = 1
Condición de perpendicularidad
(x) (3) + (2) (6)
p
(b) Condición de paralelismo
(x) (2) + (8) (x)
p
x2+ 82 p22+x2 = 1
(10x)2 = px2+ 82 2 p22+x2 2
100x2 = x2+ 64 4 +x2
100x2 = x4+ 68x2+ 256
x4 32x2+ 256 = 0
x2 16 2 = 0
x2 = 16
x = 4
condición de perpendicularidad
(x) (2) + (8) (x)
p
x2+ 82 p22 +x2 = 0 =)x= 0
11. Demostrar que: A es paralelo a B, si se cumple: a1b2 a2b1 = 0; cuando se
tiene: A= (a1; a2);B = (b1; b2). Solución. Condición de paralelismo
a1b1+a2b2
p a2
1 +a22
p b2
1+b22
= 1
(a1b1+a2b2) =
q a2
1+a22
2 q
b2 1+b22
2
a21b21+ 2a1a2b1b2+a22b 2
2 = a
2 1+a
2
2 b
2 1+b
2 2
a21b21+ 2a1a2b1b2+a22b 2
2 = a
2 1b
2 1+a
2 1b
2 2+a
2 2b
2 1+a
2 2b
2 2
2a1a2b1b2 = a21b 2 2+a
2 2b
2 1
a21b22 2a1a2b1b2+a22b 2
1 = 0
(a1b2 a2b1) 2
= 0
…nalmente
a1b2 a2b1 = 0
12. A los vectores (2;3);(5; 4)y ( 1;1), determinar un vector perpendicular:
Solución.
13. Efectuar la proyección ortogonal deAsobreBsi: (a)A= (5;10)yB = (2;1), (b)A= (8;2) y B = (1; 1).
Solución.
14. Hallar las áreas del paralelogramo y triángulo conformado entre los siguientes pares de vectores: (a) (2;4); (5;3); (b) (3;2);(1;5)y (c) (0;4); (3;0).
15. Hallar el área del triángulo, que se encuentra entre los siguientes trios de puntos: (a)(2;1); (3;4);(6;2), (b)(1;1);(4;2); (2;4), (c)(1;2);(4;5); (5;1), (d)( 1;1); (1;2); (3;3).
Solución.
16. Hallar el área del polígono que se encuentra situado entre los siguientes puntos (El polígono no es regular). (a)(2;0);(7;3);(1;5)m; ( 2;4);(0;0), (b)(5;0);
(6;2); (2;5);( 2;3);(1;1).
Solución.
17. Demostrar:jAj=
Solución.
18. Demostrar:jA+Bj jAj+jBj
Solución.
19. Hallar las ecuaciones de recta y gra…carlas, si cumplen con: (a) L para por P0(2;3)dirección: A= (1;4).
Solución.
20. Escribir en forma general las anteriores rectas: (a)4x y 5 = 0, (b)2x 3y=
0;2x y 3 = 0; 2x+y 5 = 0.
Solución.
21. Determinar si es verdadero (V) o falso (F), que los puntos:(1;4);(2;5);(0;7);
(1;10) pertenecen a la recta: L=f(2;1) +t( 1;3)g.
Solución.
22. Hallar las rectas paralelas y perpendicular a:Ldada, que pasan porP dado. (a)f(1;3) +t(2;4); P (6;5)g, (b)
Solución.
23. Hallar la distancia entre la recta:Ly el punto externo:P e. (a)f(1;2) +t(4;3); P e(5;8)g, (b)
Solución.
24. Cuál es el puntoP de la recta L, que está más cerca al punto P e dado: (a) L=f(2;3) +t(6;8); P e(6;5)g, (b)
Solución.
25. Hallar el ángulo entre las rectas: (a)L1 =f(3;1) +t(2;1)g;L2 =f(7;6) +t(1;3)g,
(b)
Solución.
26. Hallar el cuarto vértice del cuadrado ubicado entre los puntos: (a) (4;1);
(3;6); (1;3), (b)
27. SixA+yB= 0, donde:A = 06 ; B6= 0, Ano es paralelo a B, demostrar que la igualdad se veri…ca cuando: x=y= 0.
Solución.
28. Demostrar que cuando:A 6= 0;B6= 0,Ano es paralelo aB. Si:x1A+y1B=
x2A+y2B =)x1 =x2; y1 =y2. Solución.
29. Demostrar que las diagonales de un paralelogramo, se intersectan en sus puntos medios.
Solución.
30. Demostrar que la recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y posee la mitad de su longitud.
Solución.
31. Demostrar que las medianas de un triángulo, se cortan en un punto (llamado baricentro), ubicado a un tercio de un lado y a dos tercios del vértice opuesto.
Solución.
32. Demostrar que la diagonal de un paralelogramo, es dividida en tres partes iguales, por dos rectas, que partiendo de un vértice lateral, van a los puntos medios del lado opuesto.
Solución.
33. Demostrar que la mediana de un triángulo isósceles, que va al lado distinto, el perpendicular a ese lado.
Solución.
34. Demostrar que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un trián-gulo rectántrián-gulo.
Solución.
35. Demostrar que las diagonales de un rombo, se intersectan en sus puntos medios.
Capítulo 3 GEOMETRIA ANALITICA
1. Hallar Distancias y Puntos Medios entre los Pares de Puntos:(2;1) ; (6;4) (0;3) ; (8;9)
(0;2) ; (4;0) (3a;0) ; (0;4a)
Solución. La distancia entre los puntos:
d1 =
q
(6 2)2+ (4 1)2 = 5
d2 =
q
(8 0)2+ (9 3)2 = 10
d3 =
q
(4 0)2+ (0 2)2 = 2p5
d4 =
q
(0 3a)2+ (4a 0)2 = 5a
Los puntos medios:
x1 =
2 + 6
2 = 4 ; y1 =
1 + 4
2 =
5
2 =) P1 4;
5 2
x2 =
0 + 8
2 = 4 ; y2 =
3 + 9
2 = 6 =) P2(4;6)
x3 =
0 + 4
2 = 2 ; y3 =
2 + 0
2 = 1 =) P3(2;1)
x4 =
3a+ 0
2 =
3a
2 ; y4 =
0 + 4a
2 = 2a =) P4
3a
2 ;2a
2. Hallar la coordenada: u, de manera que se cumpla:
a) P1(5;2); P2(1; u); d= 5
d =
q
(x2 x1)2+ (y2 y1)2
sustituyendo
5 =
q
(1 5)2+ (u 2)2
25 = 16 + (u 2)2
q
(u 2)2 = p9
u 2 = 3
entonces: u1 = 5 y u2 = 1. b) P1(u;1); P2(2; u);d=
p
5
d =
q
sustituyendo
p
5 =
q
(2 u)2+ (u 1)2
5 = 4 4u+u2+u2 2u+ 1
2u2 6u = 0
2u(u 3) = 0
entonces: u1 = 0 y u2 = 3. c) P1(6;3); P2(4; u); P (5;4)
Solución. El punto medio está dado por:
y = y1+y2 2
sustituyendo:
4 = 3 +u
2 =)u= 5
3. Hallar los Puntos que dividen al Segmento entre: P1(2;6) y P2(8;3) en tres
partes iguales.
Solución. De la fórmula
x= x1+rx2
1 +r ; y=
y1+ry2
1 +r
Para el puntoP, el problema es encontrarr. Según la relación P1P
P P2
=r
de la grá…caP1P =a y P P2 = 2a, entonces r=
a
2a =
1
2, sustituyendo:
x=
2 + 1
2(8)
1 + 1
2
= 4;y =
6 + 1
2(3)
1 + 1
2 = 5
entonces P(4;5):
Para el puntoP0, según la relación P1P0
P0P2 =r
de la grá…caP1P0 = 2a y P0P2 =a, entonces r=
2a
a = 2, sustituyendo:
x= 2 + 2 (8)
1 + 2 = 6;y =
6 + 2 (3)
1 + 2 = 4
4. Demostrar que es Restángulo el Triángulo ubicado entre: A(1;5); B(4;4); C(3;1). Demostrar que es Isosceles el Triángulo ubicado entre: A0(1;5);
B0(6;2); C0(5;6).
Solución. La solución consiste en todo triángulo rectángulo cumple la Ley de Pitágoras
AB =
q
(4 1)2+ (4 5)2 =p10
BC =
q
(3 4)2+ (1 4)2 =p10
AC =
q
(3 1)2+ (1 5)2 = 2p5
2p5
2
= p10
2
+ p10
2
20 = 10 + 10 20 = 20
entonces el triángulo es rectángulo y también isosceles.
Para el segundo caso el problema consiste en que dos lados son iguales:
A0B0 =
q
(6 1)2+ (2 5)2 =p34
B0C0 =
q
(5 6)2+ (6 2)2 =p17
A0C0 =
q
(5 1)2+ (6 5)2 =p17
ya que dos lados con iguales el triángulo es isósceles, también es rectángulo. 5. Indicar si pertenece (V)o nó (F)a la recta: 3x+ 4y 24 = 0, los siguientes
puntos: (4;3); ( 2;9);(0;6).
Solución. 24 3x
4
Para: (4;3) 3 (4) + 4 (3) 24 = 0 =) 0 = 0 (V)
Para: ( 2;9) 3 ( 2) + 4 (9) 24 = 0 =) 6 = 0 (F)
Para: (0;6) 3 (0) + 4 (6) 24 = 0 =) 0 = 0 (V)
11.25 10 8.75 7.5 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5 -3.75
10
8.75
7.5
6.25
5
3.75
2.5
1.25 0
-1.25 x
y
6. Gra…car las siguientes rectas:3x 2y+12 = 0;2x+3y 12 = 0;4x y 8 = 0;
y 3 = 0.
Solución. Para:
-6 -4 -2 2
2 4 6
x y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 2
4 6
x y
3x 2y+ 12 = 0 2x+ 3y 12 = 0
-1 1 2 3
-8 -6 -4 -2 2
x y
-4 -2 2 4
-1 1 2 3 4 5
x y
4x y 8 = 0 y 3 = 0
7. Hallar los Puntos de Interesección de los siguientes Pares de Rectas:
Solución.
-2 2 4 6
2 4 6 8
x y
-1 1 2 3 4 5 6 7
2 4 6
x y
2x+y 8 = 0
3x 4y 1 = 0 =)P (3;2)
2x 3y 2 = 0
-4 -2 2 4
-2 2 4
x y
x+ 3y 6 = 0
2x 6y 6 = 0 =)
8. Hallar las ecuaciones de recta, que poseen las siguientes características:
a) Pendiente: m= 3; pasa por: P(2;1).
Solución. Aplicando la condición punto pendiente:y y1 =m(x x1)
y 1 = 3 (x 2)
y 1 = 3x 6
…nalmente:
3x y 5 = 0
-1 1 2 3 4 5
-5 5 10
x y
b) Pendiente: m= 1; pasa por: P(1;4).
Solución.
y 4 = (x 1)
simpli…cando:
-1 1 2 3 4 5 6 2
4 6
x y
c) Pendiente: m= 0; pasa por: P(3;2).
Solución.
y 2 = 0 (x 3)
simpli…cando:
y= 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1 1 2 3 4
x y
d) Pendiente: m=1; pasa por: P (4;6).
Solución.
y 6 =1(x 4)
aplicando 1 1 = 0
y 6
1 =x 4 =)x 4 = 0
simpli…cando:
-1 1 2 3 4 5 -1
1 2 3 4 5
x y
e) Pendiente: m= 2; intersecta al eje y en:3.
Solución. Pasa por el punto (0;3)
y 3 = 2 (x 0)
…nalmente:
2x y+ 3 = 0
-2 -1 1 2
2 4 6
x y
f) Pendiente: m= 1
2; intersecta al eje xen: 1:
Solución. Pasa por el punto (1;0)
y 0 = 1
2(x 1)
2y = x 1
…nalmente:
x 2y 1 = 0
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0 -0.5 0.5 1.0
g) Pasa por los puntos:(2;6);(8;2).
Solución. Aplicando la fórmula: y y1 =
y2 y1
x2 x1
(x x1)
y 6 = 2 6
8 2(x 2)
y 6 = 2
3(x 2)
3y 18 = 2x+ 4
…nalmente:
2x+ 3y 22 = 0
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2
4 6 8 10
x y
h) Pasa por los puntos:(3;3);(6;5).
Solución. Aplicando la fórmula: y y1 =
y2 y1
x2 x1
(x x1)
y 3 = 5 3
6 3(x 3)
y 3 = 2
3(x 3)
3y 9 = 2x 6
2x 3y+ 3 = 0
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-2 2 4 6
x y
Solución. Aplicando la forma canónica: x a +
y b = 1
x
3 +
y
4 = 1
4x+ 3y 12 = 0
-4 -2 2 4 6 8
-2 2 4 6
x y
j) Interscta a los ejes x,y en: 6; 2 respectivamente.
Solución. Aplicando la forma canónica: x a +
y b = 1
x
6 +
y
2 = 1
x+ 3y 6 = 0
-1 1 2 3 4 5 6 7
-1 1 2 3
x y
k) Interscta a los ejes x,y en: 2; 1 respectivamente.
Solución. Aplicando la forma canónica de la recta: x a +
y b = 1
x
2 +
y
1 = 1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1 1 2 3
x y
l) Intersecta al eje y en:5, pasa porP (4;2).
Solución. Pasa por los puntos (0;5)y P (4;2)
y 5 = 2 5
4 0(x 0)
4y 20 = 3x
3x+ 4y 20 = 0
-1 1 2 3 4 5 6 7 8
2 4 6
x y
m) Intersecta al eje x en:3, pasa porP (5;4).
Solución. Pasa por los puntos (3;0)y P (5;4)
y 0 = 4 0
5 3(x 3)
y = 2x 6
2x y 6 = 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-8 -6 -4 -2 2 4
n) Pasa por P (4;3) con inclinación de: = 45o.
Solución. Pasa por el punto P (4;3)y tiene pendiente m= 1
y 3 = x 4
x y 1 = 0
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x y
ñ) Pasa por P (3;1) con inclinación de: = 68;2o.
Solución. Pasa por el punto P (3;1)y tiene pendiente m= 5 2
y 1 = 5
2(x 3)
2y 2 = 5x 15
5x 2y 13 = 0
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8 -6 -4 -2 2
x y
9. Hallar el ángulo de inclinación de las rectas:
a) 3x 2y 12 = 0.
Solución.
m= A
B =
3
( 2) =
3
2 =) = tan
1 3
2 = 56;3
-1 1 2 3 4 5 6
-6 -4 -2 2
x y
b) 5x+ 3y 17 = 0.
Solución.
m= A
B =
5
3 =) = tan
1 5
3 = 121
o
-1 1 2 3 4 5
-2 2 4 6
x y
c) 2x+y 4 = 0.
Solución.
m= A
B = 2 =) = tan
1
( 2) = 116;5o
-1 1 2 3
-2 2 4 6
x y
d) 3x 4y+ 12 = 0.
Solución.
m = A
B =
3
4 =) = tan
1 3
4 = 36;9
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4 -2 2 4
x y
e) 2x 6 = 0
Solución.
m= A
B =
2
0 =) = tan
1(
1) = 90o
-2 -1 1 2 3 4 5
-4 -2 2 4
x y
.
f) 3y 7 = 0.
Solución.
m= A
B =
0
3 =) = tan
1(0) = 0o
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2 -1 1 2 3 4
x y
a) 3x+ 2y 6 = 0; P(3;2).
Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo:
m1 =m2 =
3 2
por punto y pendiente
y 2 = 3
2(x 3) =) 3x+ 2y 13 = 0
La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad:m1m2 =
1, sustituyendo
3
2m2 = 1 =)m2 =
2 3
por punto y pendiente
y 2 = 2
3(x 3) =) 2x 3y= 0
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2 2 4 6
x y
b) x 2y 2 = 0; P (4;3).
Solución. La recta paralela. Por condición de paralelismo:
m1 =m2 =
1 2
por punto y pendiente
y 3 = 1
2(x 4) =) x 2y+ 2 = 0
La recta perpendicular. Por condición de perpendicularidad:m1m2 =
1, sustituyendo
1
2m2 = 1 =)m2 = 2
por punto y pendiente
-4 -2 2 4 6 8 10
-2 2 4 6
x y
c) y 2 = 0; P(5;3).
11. Hallar los Angulos de Intersección entre los siguientes Pares de Rectas:
x 2y+ 2 = 0 2x y+ 2 = 0. x 2y+ 2 = 0.
6x+ 3y 15 = 0 2x+ 3y 12 = 0. Eje y.
12. Hallar las Distancias entre las Rectas y los Puntos indicados:
3x+ 4y 24 = 0; Pe(8;5) 6x 8y+ 8 = 0;Pe(2;5)
2x+ 3y 12 = 0; Pe(4;5) x 2y+ 2 = 0;Pe(4;3)
13. Hallar el Baricentro, Ortocentro e Incentro del triángulo ubicado entre los puntos: A(1;4); B(6;8); C(9;2).
14. Determinar a que tipo de Cónica, pertenecen las siguientes Ecuaciones:
a) 2x2+ 2y2 4x 8y 12 = 0.
Solución. A=B = 2 signo iguales: Circunferencia.
-4 -2 2 4 6
-2 2 4 6
x y
Solución. A= 1 y B = 4 signos iguales: Elipse.
-2 -1 1 2
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
x y
c) 4x2+y2 16x+ 2y 18 = 0.
Solución. A= 4 y B = 1 signos iguales: Elipse.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-6 -4 -2 2 4
x y
d) x2 +y 2 = 0.
Solución. A= 1 y B = 0: Parábola.
-3 -2 -1 1 2 3
-4 -2 2
x y
Solución. A=B = 1 signos diferentes: Hipérbola.
-4 -2 2 4 6 8 10
-2 2 4 6 8 10
x y
f) x2 y2 4 = 0.
Solución. A=B = 1 signos diferentes: Hipérbola.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4 -2 2 4
x y
g) 7x2+ 7y2 x 14y 11 = 0.
Solución. A=B = 7 signos iguales: Circunferencia.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1 1 2 3
x y
Solución. A= 1 y B = 2 signos iguales: Elipse.
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
-1.0 -0.5 0.5 1.0
x y
15. Hallar la Ecuación General de Circunferencia, que posee los siguientes datos:
a) Centro:(0;0); Radio: 5.
Solución. Dada la forma
(x h)2+ (y k)2 =R2
sustituyendo los valores
x2+y2 = 25
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4 -2 2 4
x y
b) Centro (2;3); Radio:4.
Solución. Dada la forma de la circunferencia:
(x h)2+ (y k)2 =R2
sustituyendo
(x 2)2+ (y 3)2 = 16
simpli…cando
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
x y
c) Centro (2;1); Para por el origen.
Solución. Centro (2;1) y pasa por el origen, quiere decir que el radio es la distancia entre el punto y el origen
R =
q
(2 0)2+ (1 0)2
R = p5
sustituyendo
(x 2)2 + (y 1)2 = p5 2
x2 4x+ 4 +y2 2y+ 1 = 5
x2 4x+y2 2y = 0
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4 -2 2 4
x y
d) Centro (3;2); Diámetro:8.
Solución. Aplicando la forma (x h)2+ (y k)2 =R2, entonces
(x 3)2+ (y 2)2 = 42
e) Tiene un diámetro entre: ( 1;2); (7;8).
Solución. El punto medio es el centro, entonces
h= 1 + 7
2 = 3; k=
2 + 8
2 = 5
y el radio
D=
q
entonces el radio es 5. La ecuación de la circunferencia
(x 3)2+ (y 5)2 = 52
f) Tiene un diámetro entre: (2;1); (5;4).
Solución. El punto medio es el centro, entonces
h= 2 + 5
2 =
7
2; k=
1 + 4
2 =
5 2
y el radio
D=
q
(2 5)2+ (1 4)2 = 3p2
entonces el radio es 3
2
p
2. La ecuación de la circunferencia
x 7
2
2
+ y 5
2
2
= 9
2
g) Centro:(3;4); Tangente al Eje y.
Solución. Como es tangente al eje y, entonces el radio es la abscisa del centro, luego
(x 3)2+ (y 4)2 = 32
h) Centro:(3;4); Tangente al eje x.
Solución. Como es tangente al eje x, entonces el radio es la ordenada del centro, luego
(x 3)2+ (y 4)2 = 42
16. Hallar el Centro y Radio de las siguientes circunferencias.
a) x2 +y2 36 = 0.
Solución. Es una circunferencia con centro en el origen y radio 6
x2+y2 = 62
b) x2 +y2 2x 6y+ 9 = 0.
Solución. Completando cuadrados perfectos
x2+y2 2x 6y+ 9 = 0
x2 2x+y2 6y = 9
x2 2x+ 1 +y2 6y+ 9 = 9 + 1 + 9
tiene centro en el punto C(1;3)y radio 1.
-6 -4 -2 2 4 6
2 4 6
x y
c) x2 +y2+ 6x 4y 12 = 0.
Solución. Completando cuadrados perfectos
x2+y2+ 6x 4y 12 = 0
x2+ 6x+y2 4y = 12
x2+ 6x+ 9 +y2 4y+ 4 = 12 + 9 + 4
(x+ 3)2+ (y 2)2 = 52
tiene centro en el punto C( 3;2)y radio 5
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4 -2 2 4 6 8
x y
d) 2x2+ 2y2 6x 14y 3 = 0.
Solución. Completando cuadrados perfectos
2x2+ 2y2 6x 14y 3 = 0
2x2+ 2y2 6x 14y = 3 j 2
x2 3x+y2 7y = 3 2
x2 3x+ 9
4+y
2 7y+ 49
4 =
3
2 +
9
4 +
49 4
x 3
2
2
+ y 7
2
2
tiene como centro el punto C 3
2; 7
2 y radio 4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2 2 4 6 8
x y
17. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientes datos:
a) Pasa por: (8;6); Centro (0;0).
Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia
x2+y2+Dx+Ey+F = 0
donde D= 2h = 0, E = 2k = 0 y F =h2 +k2 R2, el radio es la
distancia del punto al centro
R2 = (8 0)2+ (6 0)2 = 100
sustituyendo F = 100. Entonces la ecuación general
x2+y2 100 = 0
20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5 -10 -12.5 -15 -17.5 -20
12
10
8
6
4
2 0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
x y
x y
b) Pasa por: (1;3); (3;7);(10;6).
Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia
sustituyendo los puntos:
8(1;3) : (1)2 + (3)2+D(1) +E(3) +F = 0 =)D+ 3E+F + 10 = 0
8(3;7) : (3)2 + (7)2+D(3) +E(7) +F = 0 =)3D+ 7E+F + 58 = 0
8(10;6) : (10)2+ (6)2 +D(10) +E(6) +F = 0 =)10D+ 6E+F + 136 = 0
resolviendo el sistema: D= 12,E = 6yF = 20, la ecuación general
x2+y2 12x 6y+ 20 = 0
11.25 10 8.75 7.5 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5
9
8
7
6
5
4
3
2
1 0
-1
-2
-3
x y
x y
c) Pasa por: (1;7); (4;6);(5; 1).
Solución. Dada la ecuación general de la circunferencia
x2+y2+Dx+Ey+F = 0
sustituyendo los puntos:
8(1;7) : (1)2+ (7)2+D(1) +E(7) +F = 0 =)D+ 7E+F + 50 = 0
8(4;6) : (4)2+ (6)2+D(4) +E(6) +F = 0 =)4D+ 6E+F + 52 = 0
8(5; 1) : (5)2+ ( 1)2+D(5) +E( 1) +F = 0 =)5D E+F + 26 = 0
resolviendo el sistema:D= 2,E = 4yF = 20, la ecuación general
x2+y2 2x 4y 20 = 0
10 7.5 5 2.5 0 -2.5 -5 -7.5
7.5
5
2.5
0
-2.5
x y
d) Centro:(2;3); tangente a: 3x+ 4y 43 = 0.
Solución. D= 2h= 4, E = 2k = 6 y F =h2+k2 R2
R= 3 (2) + 4 (3)p 43
32+ 42 = 5
sustituyendo F = 22+ 32 52 = 12, la ecuación general de la circun-ferencia:
x2+y2 4x 6y 12 = 0
15 10
5 0
-5
10
7.5
5
2.5
0
-2.5
x y
x y
e) Centro:(3;2); tangente a: 5x+ 12y+ 26 = 0.
Solución. D= 2h= 6, E = 2k = 4 y F =h2+k2 R2
R = 5 (3) + 12 (2) + 26p
52+ 122 = 5
sustituyendo F = 32+ 22 52 = 12, la ecuación general de la
circun-ferencia:
x2+y2 6x 4y 12 = 0
11.25 10 8.75 7.5 6.25 5 3.75 2.5 1.25 0 -1.25 -2.5 -3.75 -5 -6.25 -7.5
8
7
6
5
4
3
2
1 0
-1
-2
-3
-4
x y
x y
18. Hallar la Ecuación General de la Circunferencia, que posee los siguientes datos:
a) Pasa por: (8; 2); tangente a: 3x+ 4y 41 = 0; en: (7;5).
Solución. Sea C(h; k), el centro entonces
R = 3hp+ 4k 41
también
R2 = (h 7)2 + (k 5)2
…nalmente
R2 = (h 8)2+ (k+ 2)2
resolviendo el sistema: R = 5, h= 4y k= 1, entonces D= 2h= 8, E = 2k = 2 y F = 42 + 12 52 = 8, la ecuación general de la circunferencia
x2+y2 8x 2y 8 = 0
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4
7
6
5
4
3
2
1 0
-1
-2
-3
-4
x y
x y
b) Pasa por: ( 3;2); (4;1) tangente al eje x.
Solución. Aplicando la distancia entre dos puntos
R2 = (h+ 3)2+ (k 2)2
R2 = (h 4)2+ (k 1)2
R = k
resolviendo el sistema se tiene dos soluciones:R = 145,h= 21yk = 145
también: R = 5, h= 1, k = 5. Finalmente las ecuaciones:
x2+y2 42x 290y+ 441 = 0
x2+y2 2x 10y+ 1 = 0
37.5 25
12.5 0
-12.5
20
15
10
5
0
-5
-10
x y
x y
Solución. Se tiene las siguientes ecuaciones
(h 1)2+ (k+ 4)2 = R2
(h 5)2+ (k 2)2 = R2
h 2k+ 9 = 0
resolviendo el sistema: R = p65; h = 3; k = 3, entonces la ecuación de la circunferencia F = 32+ 32 65 = 47
x2 +y2+ 6x 6y 47 = 0
10 5
0 -5
-10 -15
10
7.5
5
2.5
0
-2.5
-5
x y
x y
d) Pasa por: ( 2;3); (4;5); centro sobre el eje x.
Solución. Sea la ecuación de la circunferencia que pasa por el eje x
(x h)2+y2 =r2
sustituyendo los puntos
( 2 h)2+ 32 =r2
(4 h)2+ 52 =r2
Resolviendo el sistema: h = 7 3; r
2 = 250
9 y h=
7
3; r=
250
9 . La ecuació
de la circunferencia es:
x 7
3
2
+y2 = 250
9
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8
6
4
2
0
-2
-4
-6
x y
e) Radio:10 tangente a: 3x 4y 13 = 0 en: (7;2)
Solución. La distancia de un punto a una recta y la ecuación de la circunferencia, tenemos:
8 < :
10 = 3h 4k 13
5
(7 h)2+ (2 k)2 = 100
Resolviendo el sistema: h= 13 y k = 6. Entonces la ecuación es:
(x 13)2+ (y+ 6)2 = 102
25 20 15 10 5 0 -5 -10
5
0
-5
-10
-15
x y
x y
f) Inscrita al triángulo de lados: 4x 3y 65 = 0; 7x 24y+ 55 = 0;
3x+ 4y= 5.
Solución. Aplicando distancia de un punto a una recta: 8
> > > > < > > > > :
d= 4h 3k 65 5
d= 7h 24k+ 55 25
d= 3h+ 4k 5 5
Resolviendo el sistema:d= 10,h= 3yk= 9. La ecuación buscada es:
(x+ 3)2+ (y+ 9)2 = 102
12.5 0
-12.5 -25
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
x y
g) Circunscrita al triángulo de lados: x y+ 2 = 0; 2x+ 3y 1 = 0;
4x+y 17 = 0.
Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia
x y+ 2 = 0
2x+ 3y 1 = 0
El punto A( 1;1). Luego
x y+ 2 = 0
4x+y 17 = 0
El punto B(3;5) …nalmente
2x+ 3y 1 = 0
4x+y 17 = 0
El punto C(5; 3).Sea la ecuación de la circunferencia:x2+y2+Cx+
Dy+E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8
< :
2 C+D+E = 0
34 + 3C+ 5D+E = 0
34 + 5C 3D+E = 0
Resolviendo el sistema: C = 32
5 ,D=
8
5 y E =
34
5 . La ecuación de
la circunferencia
5x2+ 5y2 32x 8y 34 = 0
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
5
2.5
0
-2.5
x y
x y
h) Circunscrita al triángulo de lados: 3x+ 2y 13 = 0; x+ 2y 3 = 0;
x+y 5 = 0.
Solución. Hallamos los tres puntos donde pasa la circunferencia
3x+ 2y 13 = 0
x+ 2y 3 = 0
El punto A(5; 1). Luego
3x+ 2y 13 = 0
El punto B(3;2) …nalmente
x+ 2y 3 = 0
x+y 5 = 0
El punto C(7; 2).Sea la ecuación de la circunferencia:x2+y2+Cx+
Dy+E = 0, sustituendo estos tres puntos en esta ecuación: 8
< :
26 + 5C D+E = 0
13 + 3C+ 2D+E = 0
53 + 7C 2D+E = 0
Resolviendo el sistema: C = 17, D= 7 y E = 52. La ecuación de la circunferencia
x2+y2 17x 7y+ 52 = 0
15 10
5 0
-5
10
7.5
5
2.5
0
-2.5
x y
x y
i) Tangente a: 4x+ 3y 40 = 0; centro en la intersección de: x+y = 4; x y = 2.
Solución. Hallamos el centro
x+y= 4
x y= 2
C(3;1). Distancia de un punto a una recta
r = 4 (3) + 3 (1) 40
5
r = 5
entonces la circunferencia
(x 3)2+ (y 1)2 = 52
19. Hallar la Ecuación General de la Parábola, que satisface los siguientes datos:
a) Vértice:(0;0); foco: (6;0).
Solución. Dada la forma(y h) = 4a(x h)2, dondeV (h; k) = (0;0)
y a= 6. Sustituyendo
1 0.5
0 -0.5
-1
25
20
15
10
5
0
x y
x y
b) Vértice:(0;0); foco ( 2;0).
Solución. Dada la forma(y k)2 = 4a(x h)2, dondeV (h; k) = (0;0)
y a= 2. Sustituyendo
y2 = 8x y = p 8x
0 -12.5 -25 -37.5 -50 -62.5
25
12.5
0
-12.5
-25 x
y
x
y
c) Vértice:(2;4); foco (7;4).
Solución. Dada la forma (y k)2 = 4a(x h), dondeV (h; k) = (2;4)
y a= 7 2 = 5. Sustituyendo
(y 4)2 = 10 (x 2)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2
14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
-1 -2 -3 -4 -5 -6
x y
x y
Solución. Dada la forma (y k) = 4a(x h)2, dondeV (h; k) = (3;1)
y a= 5 1 = 4. Sustituyendo
y 1 = 8 (x 3)2
= 8 (x 3)2+ 1
= 8x2 48x+ 73
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 15
12.5
10
7.5
5
2.5
0
x y
x y
e) Vértice:(3;2); Directriz: x 1 = 0.
f) Vértice:(2;1); Latus rectum entre: (5; 5); (5;7).
g) Foco: (4;3); Directriz: x+ 2 = 0.
20. Hallar Vértice y Foco de las siguientes Parábolas:
a) y2 16x= 0.
b) y2 8x 6y+ 17 = 0.
c) x2 24y= 0.
d) x2 4x 12y+ 64 = 0.
21. Hallar la Ecuación General de la Parábola que satisface los siguientes datos:
a) Eje paralelo al ejex; pasa por:(3;6); vértice: (0;0).
b) Eje paralelo al ejey; pasa por: (4;1); vértice: (0;0).
c) Eje paralelo al ejex; pasa por:(5;7);(5; 5); (2;1).
d) Eje paralelo al ejey; pasa por: (6;2);(2;1);( 6;5).
e) Eje paralelo al ejex; pasa por:(3;5);(6; 1); vértice sobre:2y 3x= 0.
f) Latus rectum entre:(3;3); (3; 2).
22. Un cable colgante forma una parábola, las torres de soporte son de 220 m de altura, separadas entre sí por 1500 m. El punto más bajo del cable está a 70 m de altura. Hallar la altura entre el cable y la base a 150 m de una torre. 23. Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface los siguientes datos:
b) Centro:(2;1); semiejes: (4;2).
c) Vértices:( 5;0); focos ( 3;0).
d) Focos: ( 4;0); excentricidad: e= 0;8.
e) Vértices:( 8;0); e= 0;5.
f) Vértices:(0; 10); focos: (0; 8).
g) Vértices:(0; 4); e= 0;25.
h) Vértices:( 1;3), (9;3); focos: (1;3),(7;3).
i) Vértices:(1;2), (7;2); e= 1 3.
j) Focos: (3;1); (7;1); e= 2 3.
k) Vértices:(2;1), (2;5); focos: (2;2), (2;4).
l) Un foco:( 1;1); directriz: x= 0; e=
p
2
2 .
24. Hallar el Centro y Semieje Mayor y Menor de las siguientes Elipses:
a) x2 + 9y2 9 = 0.
b) x2 + 4y2 2x 24y+ 21 = 0.
c) 4x2+ 9y2 36 = 0.
d) 9x2+ 4y2 36x 8y 104 = 0.
25. Hallar la ecuación general de la elipse que satisface los siguientes datos:
a) Pasa por: (0;1), (2;0); Centro:(0;0).
b) Pasa por: 6;29
5 , (2;7), 5;
32
5 ,(7;4).
c) Pasa por: (1;0), ( 1;1),(2;2), (0;4).
26. Un arco de 80 m de base, tiene forma semielíptica, sabiendo que su altura es de 30 m. Hallar la altura cuando se recorre 15 m del centro.
27. Hallar la ecuación general de la hipérbola que satisface los siguientes datos:
a) Centro:(0;0); semieje real e imaginario: 4; 2; Eje paralelo al ejex.
b) Centro:(3;2); semiejes: 6; 3; eje real paralelo al eje x.
c) Vértices:( 5;0); focos: ( 13;0).
d) Vértices:( 6;0); Excentricidad: e= 5 3.
e) Focos: ( 4;0); e= 2.
f) Vértices:(0; 3); focos: (0; 5).
h) Vértices:(1;3), (7;3); focos: ( 1;3),(9;3).
i) Vértices:(1;2); (3;2); focos: ( 1;2),(5;2).
j) Vértices:(2;3); (6;3); e= 3.
k) Focos: (3;4), (3; 2); e= 1;5.
28. Hallar el centro y semiejes real e imaginario de las siguientes hipérbolas:
a) 4x2 y2 16 = 0.
b) 9x2 16y2 36x+ 128y 796 = 0.
c) 4x2 y2 + 36 = 0.
d) 4x2 y2 16x+ 2y+ 19 = 0.
29. Hallar la ecuación de la hipérbola que satisface los siguientes datos:
a) Pasa por: 20
3 ;4 ; (4;0); centro: (0;0).
b) Pasa por: (12;1); 52
3 ;9 ,( 4;1),
28
3 ; 7 .
c) Pasa por: (2;2), 2p2;3 , 2p2;1 ,( 2;2).
d) Vértices:( 6;0); asíntotas: y= 7x
6 .
e) Centro:(0;0); latus rectum: 36; c= 12; eje paralelo al ejey.
30. Hallar la resolución de los siguientes problemas de geometría analítica.
a) Hallar la ecuación de la esfera de radio 4 cuyo centro está en la inter-sección de las rectas: x+ 2y 5 = 0; 2x y 5 = 0.
b) Hallar la mínima distancia entre la recta:3x+ 4y 36 = 0; y la circun-ferencia:x2+y2 6x 2y+ 6 = 0. Hallar también los puntos de la recta
y circunferencia que determinan esa mínima distancia.
c) Hallar la ecuación de circunferencia, que pasa por los puntos: ( 1;1);
(8; 2)es tangente a la recta: 3x+ 4y 41 = 0.
d) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el centro de la cir-cunferencia x2 +y2 4x 8y+ 11 = 0. Su latus rectum entre (3;2) y
(3;6).
e) Hallar la ecuación de la elipse, cuyo centro coincide con el vértice de la parábola: y2 12x 2y+ 25 = 0. Sus semiejes son: 4; 2.
f) Hallar el lugar geométrico de puntos, que dividen a las ordenadas de los puntos de una circunferencia x2+y2 =R2, en la relación: 1
2.
h) La órbita de la tierra es una elipse, en uno de sus focos está el sol; el semieje mayor es de 148;5 106 km, su excentricidad 0;017. Hallar la
máxima distancia entre la tierra y el sol.
i) Hallar el lugar geométrico de los puntos, cuya distancia al punto …jo
(0;6)sea 3
2 de la correspondiente distancia a la recta y 8
Capítulo 4 LIMITES
Hallar los siguientes Límites Algebraicos con radicales1. l m
x !9
9 x
3 px
Solución.
l m
x !9
9 x
3 px = xl m!9
32 (px)2
3 px
= l m
x !9
(3 px) (3 +px)
3 px
= l m
x !9 3 +
p
x = 3 +p9 = 6==
2. l m
x !4
p x 2
x 4
Solución.
l m
x !4
p x 2
x 4 = xl m!4
p x 2
(px)2 22 = l mx !4
p x 2
(px 2) (px+ 2)
= l m
x !4
1
p
x+ 2 = 1
p
4 + 2 =
1
4==
3. l m
x !1
p
x+ 8 3
x 1
Solución.
l m
x !1
p
x+ 8 3
x 1 = xl m!1
p
x+ 8 3 px+ 8 + 3
(x 1) px+ 8 + 3 = l mx !1
p
x+ 8 2 32
(x 1) px+ 8 + 3
= l m
x !1
x+ 8 9
(x 1) px+ 8 + 3 = l mx !1
x 1
(x 1) px+ 8 + 3
= l m
x !1
1
p
x+ 8 + 3 =
1
p
9 + 3 =
1
6==
4. l m
x !2
x 2
p
x+ 2 2
Solución.
l m
x !2
x 2
p
x+ 2 2 = xl m!2
(x 2) px+ 2 + 2
p
x+ 2 2 px+ 2 + 2
= l m
x !2
(x 2) px+ 2 + 2
p
x+ 2 2 22 = l mx !2
(x 2) px+ 2 + 2
x+ 2 4
= l m
x !2
(x 2) px+ 2 + 2
x 2 = l mx !2
p
x+ 2 + 2
5. l m
x !3
2 px+ 1
3 x
Solución.
l m
x !3
2 px+ 1
3 x = xl m!3
2 px+ 1 2 +px+ 1
(3 x) 2 +px+ 1
= l m
x !3
22 px+ 1 2
(3 x) 2 +px+ 1 = l mx !3
4 x 1
(3 x) 2 +px+ 1
= l m
x !3
3 x
(3 x) 2 +px+ 1 = l mx !3
1
2 +px+ 1
= 1
2 +p3 + 1 =
1
4==
6. l m
x !2
p
x+ 7 3
x2 4 Solución.
l m
x !2
p
x+ 7 3
x2 4 = xl m!2
p
x+ 7 3 px+ 7 + 3
(x 2) (x+ 2) px+ 7 + 3
= l m
x !2
p
x+ 7 2 32
(x 2) (x+ 2) px+ 7 + 3
= l m
x !2
x+ 7 9
(x 2) (x+ 2) px+ 7 + 3
= l m
x !2
x 2
(x 2) (x+ 2) px+ 7 + 3
= l m
x !2
1
(x+ 2) px+ 7 + 3 =
1
(2 + 2) p2 + 7 + 3
= 1
(4) (6) =
1
24==
7. l m
x !3
x px+ 6
x 3
Solución.
l m
x !3
x px+ 6
x 3 = xl m!3
x px+ 6 x+px+ 6
(x 3) x+px+ 6
= l m
x !3
x2 px+ 6 2
(x 3) x+px+ 6 = l mx !3
x2 x 6
(x 3) x+px+ 6
= l m
x !3
(x 3) (x+ 2)
(x 3) x+px+ 6 = l mx !3
x+ 2
x+px+ 6
= 3 + 2
3 +p3 + 6 =
5
3 + 3 =
5
8. l m
x !1
p
5x+ 4 3
x 1
Solución.
l m
x !1
p
5x+ 4 3
x 1 = xl m!1
p
5x+ 4 3 p5x+ 4 + 3
(x 1) p5x+ 4 + 3
= l m
x !1
p
5x+ 4 2 32
(x 1) p5x+ 4 + 3 = l mx !1
5x+ 4 9
(x 1) p5x+ 4 + 3
= l m
x !1
5x 5
(x 1) p5x+ 4 + 3 = l mx !1
5 (x 1)
(x 1) p5x+ 4 + 3
= l m
x !1
5
p
5x+ 4 + 3 =
5
p
5 (1) + 4 + 3 =
5
p
9 + 3 =
5
6==
9. l m
x !2
p
x+ 2 2
x2 3x+ 2 Solución.
l m
x !2
p
x+ 2 2
x2 3x+ 2 = xl m!2
p
x+ 2 2 px+ 2 + 2
(x 2) (x 1) px+ 2 + 2
= l m
x !2
p
x+ 2 2 22
(x 2) (x 1) px+ 2 + 2
= l m
x !2
x+ 2 4
(x 2) (x 1) px+ 2 + 2
= l m
x !2
x 2
(x 2) (x 1) px+ 2 + 2
= l m
x !2
1
(x 1) px+ 2 + 2 =
1
(2 1) p2 + 2 + 2 =
1
4==
10. l m
x !3
2 px+ 1
1 px 2
Solución.
l m
x !3
2 px+ 1
1 px 2 = xl m!3
2 px+ 1 2 +px+ 1 1 +px 2
1 px 2 1 +px 2 2 +px+ 1
= l m
x !3
h
22 px+ 1 2i 1 +px 2
h
12 px 2 2i 2 +px+ 1
= l m
x !3
[4 x 1] 1 +px 2
[1 x+ 2] 2 +px+ 1 = l mx !3
[3 x] 1 +px 2
[3 x] 2 +px+ 1
= l m
x !3
1 +px 2
2 +px+ 1 =
1 +p3 2
2 +p3 + 1 =
1
11. l m
x !2
p
x 1 1
p
x+ 7 3
Solución.
l m
x !2
p
x 1 1
p
x+ 7 3 = xl m!2
p
x 1 1 px 1 + 1 px+ 7 + 3
p
x+ 7 3 px+ 7 + 3 px 1 + 1
= l m
x !2
h p
x 1 2 12i px+ 7 + 3
h p
x+ 7 2 32i px 1 + 1
= l m
x !2
[x 2] px+ 7 + 3
[x 2] px 1 + 1 = l mx !2
p
x+ 7 + 3
p
x 1 + 1
=
p
2 + 7 + 3
p
2 1 + 1 =
6
2 = 3==
12. l m
x !4
p
2x+ 1 px+ 5
x 4
Solución.
l m
x !4
p
2x+ 1 px+ 5
x 4 = xl m!4
p
2x+ 1 px+ 5 p2x+ 1 +px+ 5
(x 4) p2x+ 1 +px+ 5
= l m
x !4
p
2x+ 1 2 px+ 5 2
(x 4) p2x+ 1 +px+ 5
= l m
x !4
2x+ 1 x 5
(x 4) p2x+ 1 +px+ 5
= l m
x !4
x 4
(x 4) p2x+ 1 +px+ 5
= l m
x !4
1
p
2x+ 1 +px+ 5 =
1
p
2 (8) + 1 +p4 + 5 =
1
6==
13. l m
x !1
3x px+ 8
2x px+ 3
Solución.
l m
x !1
3x px+ 8
2x px+ 3 = xl m!1
3x px+ 8 3x+px+ 8 2x+px+ 3
2x px+ 3 2x+px+ 3 3x+px+ 8
= l m
x !1
h
(3x)2 px+ 8 2i 2x+px+ 3
h
(2x)2 px+ 3 2i 3x+px+ 8
= l m
x !1
(9x2 x 8) 2x+px+ 3
(4x2 x 3) 3x+px+ 8
= l m
x !1
(x 1) (9x+ 8) 2x+px+ 3
(x 1) (4x+ 3) 3x+px+ 8
= l m
x !1
(9x+ 8) 2x+px+ 3
(4x+ 3) 3x+px+ 8 =
(9 + 8) 2 +p1 + 3
(4 + 3) 3 +p1 + 8 =
34
14. l m
x !2
p
x2+ 5 3
x 2
Solución.
l m
x !2
p
x2+ 5 3
x 2 = xl m!2
p
x2+ 5 3 px2+ 5 + 3
(x 2) px2+ 5 + 3
= l m
x !2
p
x2+ 5 2 32
(x 2) px2+ 5 + 3 = l mx !2
x2+ 5 9
(x 2) px2+ 5 + 3
= l m
x !2
x2 4
(x 2) px2+ 5 + 3 = l mx !2
(x 2) (x+ 2)
(x 2) px2+ 5 + 3
= l m
x !2
x+ 2
p
x2+ 5 + 3 =
2 + 2
p
22+ 5 + 3 =
2
3==
15. l m
x !5
p
2x 1 px+ 4
p
2x 6 px 1
Solución.
= l m
x !5
p
2x 1 px+ 4 p2x 1 +px+ 4 p2x 6 +px 1
p
2x 6 px 1 p2x 6 +px 1 p2x 1 +px+ 4
= l m
x !5
p
2x 1 2 px+ 4 2 p2x 6 +px 1
p
2x 6 2 px 1 2 p2x 1 +px+ 4
= l m
x !5
(2x 1 x 4) p2x 6 +px 1
(2x 6 x+ 1) p2x 1 +px+ 4
= l m
x !5
(x 5) p2x 6 +px 1
(x 5) p2x 1 +px+ 4
= l m
x !5
p
2x 6 +px 1
p
2x 1 +px+ 4 =
p
2 (5) 6 +p5 1
p
2 (5) 1 +p5 + 4 =
2 + 2
3 + 3 =
2
3==
16. l m
x !1
1 x
1 p3 x
Solución.
l m
x !1
1 x
1 p3x = xl m!1
(1 x) 1 +p3 x+p3 x2
(1 p3x) 1 +p3 x+p3 x2
= l m
x !1
(1 x) 1 +p3x+p3x2
1 (p3x)3
= l m
x !1
(1 x) 1 +p3x+p3x2
1 x
= l m
x !11 +
3
p
17. l m
x !1
5 p x 1 x 1 Solución. l m
x !1
5
p x 1
x 1 = xl m!1
(p5x 1) p5x4+p5
x3+p5
x2+p5x+ 1
(x 1) p5x4+p5
x3+p5
x2+p5 x+ 1
= l m
x !1
(p5 x)5 15
(x 1) p5 x4+p5
x3+p5
x2+p5x+ 1
= l m
x !1
x 1
(x 1) p5 x4+p5
x3+p5
x2+p5x+ 1
= l m
x !1
1
5
p
x4+p5
x3+p5
x2+p5x+ 1
= 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
1 5
18. l m
x !4
1 p3
x 3
4 x
Solución.
l m
x !4
1 p3
x 3
4 x = xl m!4
1 p3
x 3 1 +p3
x 3 + 3
q
(x 3)2
(4 x) 1 +p3
x 3 + 3
q
(x 3)2
= l m
x !4
13 p3
x 3 3
(4 x) 1 +p3
x 3 +q3
(x 3)2
= l m
x !4
1 x+ 3
(4 x) 1 +p3
x 3 +q3
(x 3)2
= l m
x !4
4 x
(4 x) 1 +p3
x 3 + 3
q
(x 3)2
= l m
x !4
1
1 +p3
x 3 +q3
(x 3)2
= 1
1 +p3
4 3 +q3
(4 3)2
= 1
3==
19. l m
x !1
1 p5 x
Solución.
l m
x !1
1 p5 x
1 p3 x = xl m
!1
(1 p5 x) 1 +p5x+p5x2+p5
x3+p5
x4 1 +p3 x+p3 x2
(1 p3 x) 1 +p3x+p3x2 1 +p5 x+p5 x2+p5
x3+p5
x4
= l m
x !1
15 (p5 x)5 1 +p3 x+p3x2
13 (p3 x)3 1 +p5 x+p5 x2+p5
x3+p5
x4
= l m
x !1
(1 x) 1 +p3 x+p3 x2
(1 x) 1 +p5 x+p5 x2+p5
x3+p5
x4
= l m
x !1
1 +p3 x+p3 x2
1 +p5x+p5x2+p5
x3+p5
x4
= 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
3
5==
20. l m
x !0
3
p
x+ 1 1
p
x+ 1 1
Solución.
l m
x !0
3
p
x+ 1 1
p
x+ 1 1 = xl m!0
3
p
x+ 1 1 3
q
(x+ 1)2+p3
x+ 1 + 1 px+ 1 + 1
p
x+ 1 1 px+ 1 + 1 3
q
(x+ 1)2+p3
x+ 1 + 1
= l m
x !0
3
p
x+ 1 3 13 px+ 1 + 1
p
x+ 1 2 12 q3
(x+ 1)2+p3
x+ 1 + 1
= l m
x !0
(x+ 1 1) px+ 1 + 1
(x+ 1 1) q3
(x+ 1)2+p3
x+ 1 + 1
= l m
x !0
p
x+ 1 + 1
3
q
(x+ 1)2+p3
x+ 1 + 1
=
p
0 + 1 + 1
3
q
(0 + 1)2+p3
0 + 1 + 1
= 2
3==
21. l m
x !1
Solución.
l m
x !1
m
p x 1
n
p
x 1 = xl m!1
(pmx 1) (mpx)m 1+ (pmx)m 2+:::+ mpx+ 1
(pnx 1) (mpx)m 1+ (mpx)m 2+:::+ mpx+ 1
= l m
x !1
(x 1) (pnx)n 1+ (pnx)n 2+:::+pnx+ 1
(x 1) (pmx)m 1+ ( pmx)m 2+:::+ pmx+ 1
= l m
x !1
(pnx)n 1+ (pnx)n 2+:::+pnx+ 1
(pmx)m 1+ ( mpx)m 2+:::+ pmx+ 1
= n
m
22. l m
x !1
3
p
x+ 7 2
p
x+ 3 2
Solución.
= l m
x !1
3
p
x+ 7 2 p3
x+ 7 2+ p3
x+ 7 (2) + 4 px+ 3 + 2
p
x+ 3 2 px+ 3 + 2 p3
x+ 7 2+ p3
x+ 7 (2) + 4
= l m
x !1
3
p
x+ 7 3 23 px+ 3 + 2
p
x+ 3 2 22 p3
x+ 7 2+ p3
x+ 7 (2) + 4
= l m
x !1
(x 1) px+ 3 + 2
(x 1) p3
x+ 7 2+ p3
x+ 7 (2) + 4
= l m
x !1
p
x+ 3 + 2
3
p
x+ 7 2+ p3
x+ 7 (2) + 4 =
1
3==
23. l m
x !1
p
x p4 x
p
x p3 x
Solución.
= l m
x !1
(px p4 x)h(px)3+ (px)2(p4x) + (px) (p4 x)2+ (p4 x)3i
(px p3x)
h
(px)2+ (px) (p3 x) + (p3x)2
i
= l m
x !1
(px)4 (p4 x)4
h
(px)2+ (px) (p3 x) + (p3 x)2
i
(px)3 (p3x)3 h(px)3+ (px)2(p4 x) + (px) (p4x)2+ (p4 x)3i
= 3
4xl m!1
(x 1) (px+ 1)
(px 1) (px+ 1)
= 3
4xl m!1
(x 1) (px+ 1)
x 1 =
3 4xl m!1
p
x+ 1 = 3
24. l m
x !4
pp
x+ 7 3
x 4
Solución.
l m
x !4
pp
x+ 7 3
x 4 = xl m!4
pp
x+ 7 3 ppx+ 7 + 3
(x 4) ppx+ 7 + 3
= l m
x !4
pp
x+ 7 2 32
(x 4) ppx+ 7 + 3
= l m
x !4
(px 2) (px+ 2)
(x 4) ppx+ 7 + 3 (px+ 2)
= l m
x !4
x 4
(x 4) ppx+ 7 + 3 (px+ 2)
= l m
x !4
1
pp
x+ 7 + 3 (px+ 2)
= pp 1
4 + 7 + 3 p4 + 2
= 1
24==
25. l m
x !4
1 px+px 3
x 4
Solución.
= l m
x !4
1 +px 3 px 1 +px 3 +px
(x 4) 1 +px 3 +px
= l m
x !4
1 +px 3 2 (px)2
(x 4) 1 +px 3 +px
= l m
x !4
2 px 3 1 px 3 + 1
(x 4) 1 +px 3 +px px 3 + 1
= l m
x !4
2h px 3 2 12i
(x 4) 1 +px 3 +px px 3 + 1
= l m
x !4
2
1 +px 3 +px px 3 + 1
= 2
1 +p4 3 +p4 p4 3 + 1 =
1 4
26. l m
x !1
x2 px
Solución.
l m
x !1
x2 px
p
x 1 = xl m!1
(x2 px) (x2+px) (px+ 1)
(px 1) (x2+px) (px+ 1)
= l m
x !1
(x2)2 (px)2 (px+ 1)
(px)2 12 (x2+px)
= l m
x !1
x(x3 1) (px+ 1)
(x 1) (x2+px)
= l m
x !1
x(x 1) (x2+x+ 1) (px+ 1)
(x 1) (x2+px)
= l m
x !1
x(x2 +x+ 1) (px+ 1)
x2+px
= (1) (1
2+ 1 + 1) p1 + 1
12+p1 = 3
27. l m
x !1
3
p
7 +x3 2x
x 1
Solución.
l m
x !1
3
p
7 +x3 2x
x 1 = xl m!1
3
p
7 +x3 2x h p3
7 +x3 2+ 2x p3
7 +x3 + 4x2i
(x 1)h p3
7 +x3 2+ 2x p3
7 +x3 + 4x2i
= l m
x !1
3
p
7 +x3 3 (2x)3
(x 1)h p3
7 +x3 2 + 2x p3
7 +x3 + 4x2i
= l m
x !1
7 (1 x3)
(x 1)h p3
7 +x3 2 + 2x p3
7 +x3 + 4x2i
= l m
x !1
7 (1 x) (1 +x+x2)
(x 1)h p3
7 +x3 2 + 2x p3
7 +x3 + 4x2i
= l m
x !1
7 (1 +x+x2)
3
p
7 +x3 2+ 2x p3
7 +x3 + 4x2
= 7 (1 + 1 + 1
2)
3
p
7 + 13 2+ 2 (1) p3
7 + 13 + 4 (1)2
= 7
4
Hallar los siguientes límites
1. l m
x !1
8x 6
4x+ 9.
Solución.
l m
x !1
8x 6
2. l m
x !1
x2+ 1
x 1.
Solución.
l m
x !1
x2+ 1
x 1 =1
3. l m
x !1
6x3+x+ 3
2x3+x2 + 1.
Solución.
l m
x !1
6x3+x+ 3
2x3+x2+ 1 = 3
4. l m
x !1
x2+ 1
x4+ 1. Solución.
l m
x !1
x2+ 1
x4+ 1 = 0
5. l m
x !1
p x2+ 1
x+ 1 .
Solución.
l m
x !1
p x2+ 1
x+ 1 = 1
6. l m
x !1
(2x+ 3)4(3x+ 2)3
x7+ 1 . Solución.
l m
x !1
(2x+ 3)4(3x+ 2)3
x7+ 1 = 432
7. l m
x !1
p
1 +px
p
1 +x .
Solución.
l m
x !1
p
1 +px
p
1 +x = 0
8. l m
x !1
(2x2+ 1)6
(3x3+ 1)4. Solución.
l m
x !1
(2x2+ 1)6
(3x3+ 1)4 =
64 81
9. l m
x !1
(x+ 1)mxn
xm(xn 1).
Solución.
l m
x !1
(x+ 1)mxn
xm(xn 1) = 1
1. l m
x !1x
2 9x.
Solución.
l m
x !1x 2
9x=1
2. l m
x !1
p
x+ 1 px 1.
Solución.
l m
x !1
p
x+ 1 px 1 =
3. l m
x !1
p
x2+ 1 x. Solución.
l m
x !1
p
x2+ 1 x = l m
x !1
p
x2+ 1 x
p
x2+ 1 +x
p
x2+ 1 +x
= l m
x !1
x2+ 1 x2
p
x2+ 1 +x = l mx !1
1
p
x2+ 1 +x
= p 1
1+ 1 +1 =
1
1 = 0
4. l m
x !1x
p x+ 1.
Solución.
l m
x !1x
p
x+ 1 = l m
x !1 x
p
x+ 1 x+
p x+ 1
x+px+ 1
= l m
x !1
x2 x 1
x+px+ 1 1
x2
1
x2
= l m
x !1 1 1 x 1 x2 1 x+ r 1
x3 +
1
x4
= 1
0 =1
5. l m
x !1x
2 px4+ 1. Solución.
l m
x !1x
2 p
x4+ 1 = l m
x !1 x
2 p
x4+ 1 x
2+px4+ 1
x2+px4+ 1
= l m
x !1
x4 x4 1
x2 +px4+ 1 = l mx !1
1
x2+px4+ 1 =
1
1 = 0
6. l m
x !1
3
p
x+ 1 p3x.
Solución.
l m
x !1
3
p
x+ 1 p3
x = l m
x !1
3
p
x+ 1 p3
x h
3
p
x+ 1 2+ p3
x+ 1 (p3 x) + (p3x)2i
h
3
p
x+ 1 2+ p3
x+ 1 (p3 x) + (p3x)2
i
= l m
x !1
1
h
3
p
x+ 1 2+ p3
x+ 1 (p3x) + (p3 x)2
i = 1
7. l m
x !1e
x+1 ex.
Solución.
l m
x !1e
x+1
ex =
8. l m
x !13
x 2x.
Solución.
9. l m
x !1ln (x 1) lnx. Solución.
l m
x !1ln (x 1) lnx = xl m!1ln
x 1
x
= ln l m
x !11
1
x = 0
10. l m
x !1x
x2
x+ 1.
Solución.
l m
x !1x
x2
x+ 1 = l mx !1
x2+x x2
x+ 1 = l mx !1
x x+ 1 = 1
11. l m
x !1
1
x 1
3
x3 1. Solución.
12. l m
x !1
1
1 x
1
1 px.
Solución.
13. l m
x !1
p
x p3x.
Solución.
14. l m
x !1
x3 x 1 x
2. Solución.
15. l m
x !1
x3 x2 1
x2 x+ 1.
16. l m
x !12
3x 2x.
Solución.
17. l m
x !1
x3
1 x2 x.
Solución.
18. l m
x !1
m
1 xm
n
1 xn.
Solución.
19. l m
x !1x senx. Solución.
20. l m
x !1ln 2x lnx. Solución.
21. l m
x !1sen
p
x+ 1 senpx.
Solución.
22. l m
x !0
1
x2
1
px.
Solución.
l m
x !0
1
x2
1
p
x = l mx !0
p x x2 x2px
cambio de variables u2 =x
l m
x !0
p x x2
x2px = l mu !0
u u4
u4u = l mu !0
1 u3
u4 =
1 0
0 =1
23. l m
x !3
1
x 3
6
x2 9. Solución.
l m
x !3
1
x 3
6
x2 9 = l mx !3
x+ 3 6
x2 9 = l mx !3
x 3
x2 9 = l mx !3
1
x+ 3 = 1 6
24. l m
x !1
3
1 px
2
1 p3 x.
Solución.
