BLOQUE A
CUESTIÓN A.1.-Demuestre sin utilizar la regla de Sarrus y sin desarrollar directamente por
una fila y/o columna, que
0
6
x
5
x
x
4
x
3
x
x
2
x
1
x
x
=
+
+
+
+
+
+
.Indique en cada paso que propiedad (o
propiedades) de los determinantes se está utilizando. [2.5 puntos]
(
)
(
)
(
El
valor
de
un
det
er
min
ante
con
una
fila
de
valores
nulos
es
cero
)
0
0
0
0
ia
var
no
otras
a
restarlas
y
número
un
por
fila
una
r
multiplica
de
te
tan
resul
ante
min
er
det
del
valor
El
0
0
0
2
2
0
2
1
x
0
0
ia
var
no
otras
a
restarlas
y
número
un
por
fila
una
r
multiplica
de
te
tan
resul
ante
min
er
det
del
valor
El
4
4
0
2
2
0
2
1
x
0
0
iguales
son
columnas
dos
si
nulo
es
ante
min
er
det
Un
antes
min
er
det
los
de
suma
en
,
descompone
se
ante
min
er
det
su
,
sumandos
dos
de
suma
en
n
descompone
se
matriz
una
de
columna
una
de
elementos
los
todos
Si
6
5
x
4
3
x
2
1
x
x
5
x
x
3
x
x
1
x
0
iguales
son
columnas
dos
si
nulo
es
ante
min
er
det
Un
6
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
x
6
x
x
x
4
x
x
x
2
x
x
x
antes
min
er
det
los
de
suma
en
,
descompone
se
ante
min
er
det
su
,
sumandos
dos
de
suma
en
n
descompone
se
matriz
una
de
columna
una
de
elementos
los
todos
Si
6
x
5
x
x
4
x
3
x
x
2
x
1
x
x
=
+
+
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
CUESTIÓN A.2.-Determine el plano que contiene a la recta
−
=
−
−
−
=
−
+
1
z
2
y
3
x
4
2
z
5
y
2
x
3
y es paralelo a la recta1
17
z
2
2
y
3
5
x
−
−
=
−
+
=
−
[2.5 puntos]Si contiene a la recta el vector director de esta es un vector generador del plano, el otro es el de la otra recta y el ultimo el vector el formado por un punto R de la recta que contiene y G el punto generador del plano. Los tres son coplanarios, y por ello, el determinante de la matriz que determinas es nulo y la ecuación del plano pedido
(
)
(
)
(
)
(
)
0
3
z
8
y
7
x
2
0
17
35
17
16
z
8
y
7
x
2
0
z
80
17
5
y
70
17
8
x
20
0
17
5
y
19
17
8
x
34
z
42
17
5
y
51
z
38
17
8
x
14
0
1
2
3
17
14
19
z
17
5
y
17
8
x
z
,
17
5
y
,
17
8
x
0
,
17
5
,
17
8
z
,
y
,
x
RG
1
,
2
,
3
v
17
,
14
,
19
v
17
z
14
17
5
y
19
17
8
x
r
17
,
14
,
19
1
,
17
14
,
17
19
v
17
5
y
17
14
z
5
z
14
y
17
5
z
14
y
17
3
z
6
y
9
x
12
8
z
20
y
8
x
12
17
8
z
17
19
x
8
z
19
x
17
8
z
19
x
17
2
z
4
y
6
x
8
6
z
15
y
6
x
9
s r r=
+
−
+
≡
π
⇒
=
+
+
−
+
⇒
=
−
+
+
+
⋅
⇒
=
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
+
−
+
⋅
−
⇒
=
−
−
+
+
≡
π
⇒
+
+
=
−
−
−
=
−
−
=
=
⇒
λ
=
λ
+
−
=
λ
+
−
=
≡
=
=
⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
−
⇒
=
+
+
−
−
=
−
+
⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
−
−
=
−
+
CUESTIÓN A.3.- Dada la función
( )
1
e
1
e
x
f
x x−
+
=
,se pide:a) Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales en caso de que las haya [1.25 puntos]
b) Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya
[1.25 puntos]
( )
( )
( )
=
=
+∞
−
+
=
−∞
=
=
−
=
−
+
=
⇒
=
−
+
=
⇒
=
⇒
=
⋅
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
+ → − − → + + − −0
2
1
e
1
e
x
f
lim
0
2
1
1
2
1
e
1
e
x
f
lim
vertical
Asíntota
0
2
1
e
1
e
0
f
0
x
0
e
ln
x
1
ln
e
ln
1
e
0
1
e
)
a
0 0 0 x 0 0 0 x 0 0 x x xContinuación de la Cuestión A3 de la opción A
−∞
→
−
=
⇒
−
=
−
=
=
→
=
∞
∞
=
+
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
∞
→
=
⇒
=
→
=
∞
∞
=
−
+
=
∞ → ∞ → ∞ → ∞ → − − ∞ → −∞ → ∞ → ∞ →x
cuando
1
y
horizontal
asíntota
una
Existe
1
e
e
lim
1
e
1
e
lim
e
e
1
e
e
1
lim
1
e
1
1
e
1
lim
1
e
1
e
lim
1
e
1
e
lim
y
x
cuando
1
y
horizontal
asíntota
una
Existe
1
e
e
lim
1
e
1
e
lim
y
)
b
x x x Hopital ' L Utilizando x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Hopital ' L Utilizando x x x CUESTIÓN A.4.-a) Calcule la integral indefinida
dx
x
1
x
∫
+
utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución) [1.25 puntos]b) Calcule la integral definida
∫
(
+
)
1 0 2
dx
x
1
ln
donde ln denota la función logaritmo neperiano, utilizando el método de integración por partes [1.25 puntos](
1
t
)
x
2
x
2
ln
(
1
x
)
K
ln
2
x
2
x
u
ln
2
x
2
x
I
2
2
t
2
t
2
2
t
2
t
2
t
2
1
t
t
2
du
dt
u
t
1
dt
t
2
dx
t
x
u
du
2
t
2
t
t
1
dt
2
t
2
t
2
1
2
t
1
2
2
t
2
dt
t
1
t
2
dt
t
2
t
1
t
dx
x
1
x
I
)
a
2 2 2 2 2 2+
+
⋅
+
−
=
+
⋅
+
−
=
⋅
+
−
=
+
−
−
−
−
+
=
⇒
=
+
=
⇒
=
+
−
=
+
+
−
⋅
⋅
=
+
+
−
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Continuación de la Cuestión A4 de la opción A
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
(
)
]
[ ]
[
]
(
)
[
(
)
(
)
]
(
) (
)
(
)
2
2
2
ln
dx
x
1
ln
4
2
2
2
ln
0
tg
arc
1
tg
arc
2
0
1
2
0
1
ln
0
1
1
ln
1
dx
x
1
ln
x
tg
arc
2
x
2
x
1
ln
x
dx
x
1
ln
K
x
tg
arc
2
x
2
x
1
ln
x
dx
x
1
2
2
x
1
ln
x
I
2
2
2
x
2
1
x
x
2
x
dx
v
dv
dx
x
1
x
2
du
u
x
1
ln
dx
x
1
x
2
x
1
ln
x
dx
x
1
x
2
x
x
1
ln
x
dx
x
1
ln
I
)
b
1 0 2 2 2 1 0 2 1 0 1 0 1 0 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2−
π
+
=
+
π
⋅
+
−
=
−
+
−
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
=
+
=
⋅
+
−
+
=
+
+
⋅
+
−
+
=
+
−
−
+
=
−
−
−
+
=
=
⇒
=
+
=
⇒
=
+
+
−
+
=
+
⋅
−
+
=
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
OPCIÓN B
CUESTIÓN B.1.- Discuta en función de los parámetros a y b, el siguiente sistema de
ecuaciones. No hay que resolverlo
=
+
+
−
−
=
−
−
=
+
+
b
z
4
y
8
x
1
z
y
3
x
3
z
2
ay
x
[2.5 puntos]{ }
( )
le
Incompatib
Sistema
5
b
y
2
a
Si
ado
min
er
det
In
Compatible
Sistema
5
b
y
2
a
Si
5
b
0
5
b
8
3
b
4
3
0
0
0
3
5
0
2
2
1
3
b
4
3
6
10
0
3
5
0
2
2
1
b
1
3
4
8
1
1
3
1
2
2
1
2
a
Si
ado
min
Deter
Compatible
Sistema
incognitas
.
num
3
A
rang
0
A
b
todo
para
y
2
a
toda
Para
2
a
0
a
3
6
0
A
Si
a
3
6
a
4
8
6
16
a
12
4
8
1
1
3
1
2
a
1
A
⇒
≠
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
−
+
−
−
−
≡
+
−
−
−
≡
−
−
−
−
=
⇒
=
=
⇒
≠
⇒
ℜ
∈
−
ℜ
∈
=
⇒
=
−
⇒
=
⇒
−
=
−
+
−
+
+
−
=
−
−
−
=
CUESTIÓN B.2. Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
a) Calcula las tres medianas del triángulo de vértices A(5 , -1 , 4), B(-1 , 7 , 6) y C(5 , 3 , 2) [1.25 puntos]
b) Probar que las tres medianas se cortan en un punto (llamado baricentro) y calcule las coordenadas de dicho punto. [1.25 puntos]
a)
Mediana h que pasa por el vértice A y pasa por el punto medio H de B y C
(
) (
) (
) (
)
=
λ
+
−
=
λ
−
=
≡
⇒
−
≡
−
=
−
−
=
=
⇒
=
+
=
=
+
=
=
+
−
=
4
z
2
1
y
5
x
h
0
,
2
,
1
0
,
6
,
3
4
,
1
,
5
4
,
5
,
2
AH
v
4
2
2
6
z
5
2
3
7
y
2
2
5
1
x
H
hMediana j que pasa por el vértice B y pasa por el punto medio J de A y C
(
) (
) (
) (
)
α
+
=
α
+
=
α
−
−
=
≡
⇒
−
≡
−
−
=
−
−
=
=
⇒
+
=
+
−
=
=
+
=
6
z
2
7
y
2
1
x
j
1
,
2
,
2
3
,
6
,
6
6
,
7
,
1
3
,
1
,
5
BJ
v
2
4
1
2
3
1
y
5
2
5
5
x
J
jContinuación de la Cuestión B2 de la opción B
a) Continuación
Mediana k que pasa por el vértice C y pasa por el punto medio K de A y B
(
) (
) (
) (
)
β
+
=
=
β
−
=
≡
⇒
−
≡
−
=
−
=
=
⇒
=
+
=
=
+
−
=
=
−
=
2
z
3
y
5
x
k
1
,
0
,
1
3
,
0
,
3
2
,
3
,
5
5
,
3
,
2
CK
v
5
2
6
4
z
3
2
7
1
y
2
2
1
5
x
K
k b)Veamos el punto de corte de las medianas h y j
( )
( )
(
)
B
(
3
,
3
,
4
)
4
z
3
2
2
1
y
3
2
5
x
Baricentro
corte
de
Punto
2
4
7
2
1
2
2
7
2
1
2
4
1
5
2
2
1
5
2
6
4
2
7
2
1
2
1
5
6
z
2
7
y
2
1
x
j
4
z
2
1
y
5
x
h
⇒
=
=
⋅
+
−
=
=
−
=
=
λ
⇒
−
=
λ
+
−
⇒
−
⋅
+
=
λ
+
−
=
λ
⇒
+
−
=
λ
−
⇒
−
⋅
−
−
=
λ
−
⇒
−
=
α
⇒
α
+
=
α
+
=
λ
+
−
α
−
−
=
λ
−
⇒
α
+
=
α
+
=
α
−
−
=
≡
=
λ
+
−
=
λ
−
=
≡
Punto de corte de las medianas h y k
(
)
B
(
3
,
3
,
4
)
4
z
3
2
2
1
y
3
2
5
x
Baricentro
corte
de
Punto
ado
min
Deter
Compatible
2
5
2
5
2
2
4
2
4
2
2
4
3
2
1
5
5
2
z
3
y
5
x
k
4
z
2
1
y
5
x
h
⇒
=
=
⋅
+
−
=
=
−
=
⇒
−
=
−
⇒
=
−
=
β
=
λ
⇒
=
λ
⇒
β
+
=
=
λ
+
−
β
−
=
λ
−
⇒
β
+
=
=
β
−
=
≡
=
λ
+
−
=
λ
−
=
≡
Punto de corte de las medianas j y k
( )
( )
B
(
3
,
3
,
4
)
4
2
6
z
3
2
2
7
y
3
2
2
1
x
B
2
2
6
3
2
7
5
2
1
2
z
3
y
5
x
k
6
z
2
7
y
2
1
x
j
⇒
=
−
=
=
−
⋅
+
=
=
−
⋅
−
−
=
⇒
−
=
α
⇒
β
+
=
α
+
=
α
+
β
−
=
α
−
−
⇒
β
+
=
=
β
−
=
≡
α
+
=
α
+
=
α
−
−
=
≡
CUESTIÓN B.3.- Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm.; uniendo sus extremos se forma un triángulo
a) Demuestre que el área de dicho triángulo viene dado por la función A(x) = 12 sen (x) [1.25 puntos]
b) Determine el ángulo que deben de formar las manecillas del reloj para que el área de dicho triángulo sea máxima.¿Cual es el valor de dicha área máxima?. Se puede utilizar el apartado a) aunque no se haya demostrado. [1.25 puntos]
a)
El área es la mitad del producto vectorial de los vectores que representan a las agujas y es igual a la mitad del producto del módulo de uno por el del otro por el seno del ángulo x que forman ambos vectores. El producto de uno de los lados por el seno del ángulo x son la altura del triángulo
x
sen
12
x
sen
4
6
2
1
x
sen
b
a
2
1
b
a
2
1
A
=
⋅
×
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
= b)( )
2 max12
1
12
u
2
sen
12
A
Máximo
0
12
1
12
2
sen
12
2
'
'
A
x
sen
12
'
'
A
2
x
x
cos
0
x
cos
12
0
'
A
x
cos
12
'
A
=
⋅
=
π
⋅
=
⇒
<
−
=
⋅
−
=
π
⋅
−
=
π
⇒
⋅
−
=
⇒
π
=
⇒
⇒
=
⋅
⇒
=
⇒
⋅
=
CUESTIÓN B.4.- a) Dada la función
( )
2x
1
x
3
x
f
−
=
definida para los valores -1 < x < 1,determine los puntos de corte de la recta y = 4x con la gráfica de f [0’75 puntos]
b) Calcule el área limitado por la recta y = 4x y la gráfica de f [1’75 puntos]
(
)
(
)(
)
( )
(
)
−
−
⇒
−
=
−
=
−
−
−
⋅
=
−
⇒
−
=
⇒
=
−
⇒
=
+
⇒
=
=
−
⋅
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
=
−
⋅
=
⇒
=
⇒
=
+
−
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
−
=
⇒
=
−
2
,
2
1
2
4
3
2
3
2
1
1
2
1
3
2
1
f
2
1
x
x
2
1
0
x
2
1
2
,
2
1
2
4
3
2
3
2
1
1
2
1
3
2
1
f
2
1
x
x
2
1
0
x
2
1
0
,
0
0
1
0
0
1
0
3
0
f
0
x
corte
de
Puntos
0
x
2
1
x
2
1
x
0
x
4
1
x
0
x
4
x
x
4
x
4
x
3
x
4
x
1
x
3
)
a
2 2 2 2 3 3 2Continuación de la Cuestión B.4
