UNIDAD 3 TRIANGULOS.pdf

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UNIDAD 3. TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un triángulo es un polígono de tres vértices. Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y C lo denotamos ABC .

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

Un triángulo es:

ESCALENO: Si tiene sus tres lados desiguales.

ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de lados congruentes. Si AB AC entonces se dice que el ABC es isósceles de base BC. EQUILÁTERO: Si tiene sus tres lados congruentes.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS Un triángulo es:

ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos agudos.

RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que lo forman son los catetos. OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso. EQUIÁNGULO: Si tiene los tres ángulos congruentes.

TEOREMA: Todo triángulo equilátero es isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA: Es el segmento que une un vértice con el punto medio M de su lado opuesto, por ejemplo AM.

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación, por ejemplo AH. El lado BC es la base relativa a dicha altura.

BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo interior, por ejemplo AD.

BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo exterior, por ejemplo

AE

.

MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa por el punto medio M de un lado, por ejemplo

MNsuur .

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CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes:

AB DE _A _D

ABC DEF BC EF B E

C F AC DF    __{  } _                   _  _{  }       

Dos elementos respectivamente congruentes son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos). TEOREMA: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC 3. Transitiva:

ABCDEFDEFGHIABCGHI

NOTA: La transitividad será muy útil para probar que dos triángulos son congruentes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S CRITERIO L.A.L.

AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

2. Todo triángulo equilátero es equiángulo. (Ejercicio)

3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella.

5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes.

6. Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos. (Ejercicio)

Dm:

1. Supongamos que el

ABC es isósceles de base BC y tracemos la bisectriz ADdel BAC, con B-D-C.

Tenemos:

L : AB AC hip. A : BAD CAD const. L : AD AD reflex.

    _ _{ }     _   

, luego

por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos homólogos resulta B = C.

3. También por lados homólogos BD=DC entonces AD es mediana. Además por sHs

ADB=ADC, pero BDC=180º (por B-D-C), entonces ADC=90º, luego ADes altura y como pasa por el punto medio de BC, también es su mediatriz.

(3)

4. Debemos probar tanto la existencia como la unicidad de dicha perpendicular.

Existencia: Sea A un punto exterior a la recta L. Tomemos dos

puntos B y C sobre L y

tracemos AB. Construyamos el CBD tal que BD=BA y

CBDCBA, con D en el semiplano opuesto de A con respecto a L .

Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por

construcción el ABD es isósceles y BEes bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre

AD y en definitiva

AD

L.

Unicidad: Supongamos que existe otro punto F sobre la recta L tal

que AF L, luego

AFB =90º.

Tracemos FD. Por LAL, ABFDBF, luego AFBDFB, (sHs) y entonces también DFB = 90º.

Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden porque las rectas

AD

y L sólo tienen un punto

en común.

5. En el ABC consideremos el ángulo exterior DAC y veamos que DAC BCA.

Tracemos la mediana

BM y prolonguémosla hasta F de modo que BM=MF. Tracemos AF. Por LAL resulta

AMFCMB, luego

FACBCA, (sHs).

Pero

AF

es interior al CAD, luego FAC

DAC 

 y por lo tanto DAC BCA.

CRITERIO A.L.A.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que

BE, BC=EF y CF.

En la semirrecta BA tomemos el punto G tal que BG=ED y tracemos CG. Por el axioma LAL se obtiene GBCDEF, luego BCGEFD (sHs) y como EFDBCA entonces por transitividad BCGBCA. Por lo tanto G está sobre la semirrecta CA y debe coincidir con A y resulta BG=BA. Por transitividad BA=ED y por el axioma LAL se obtiene

(4)

COROLARIOS:

1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.

2. Todo triángulo equiángulo es equilátero. (Ejercicio)

Dm: 1. Consideremos el

ABC tal que BC. Tracemos las bisectrices

BD y CE, tales que A-D-C y A-E-B. Por el teorema ALA resulta BCDCBE luego BD=CE (LsHs), y

BDCCEB (sHs), y por suplementos BDACEA. Por el teorema ALA se obtiene BDACEA luego AB=AC (LsHs).

CRITERIO L.L.L.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos

FEGCBA con G en el semiplano opuesto de D y EG=BA y tracemos DG. Por el axioma LAL se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y

BACEGF (sHs).

En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se forman los triángulos isósceles EDG y FDG, entonces EDGEGD y FDGFGD. Sumando EDFEGF y por transitividad

BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL se obtiene ABCDEF.

CRITERIO A1 A2 L1

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que

BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la semirrecta BC el punto G con BG=EF y tracemos AG. Por el axioma LAL se obtiene

ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero

DFEACB entonces AGBACB (*).

Debemos probar que G coincide con C. Si no coinciden entonces G precede a C ó C precede a G. Si G precede a C entonces en el AGC se tiene AGBACB (exterior), lo que contradice (*). En forma similar se obtiene una contradicción cuando C precede a G. En definitiva G y C tienen que coincidir, luego BC=EF y por el axioma LAL se obtiene

ABCDEF.

CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son congruentes si satisfacen alguna de las siguientes condiciones:

1. RCC: Si tienen respectivamente congruentes los dos catetos.

2. RCAady: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo adyacente a dicho cateto.

(5)

3. RCAop: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto.

4. RHA: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo.

5. RHC: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. (Ejercicio)

Dm:

1. Por el axioma LAL 2. Por el teorema ALA 3. Por el teorema A1 A2 L1

4. Por el teorema A1 A2 L1

CONGRUENCIA DE LAS LÍNEAS NOTABLES HOMÓLOGAS

TEOREMA: Si dos triángulos son congruentes entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente homólogas son congruentes. (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES

TEOREMA:

1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos congruentes.

2. En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto, coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)

3. Todo triángulo isósceles tiene respectivamente congruentes dos alturas, dos medianas y dos bisectrices. (Ejercicio)

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados se opone un ángulo mayor y recíprocamente.

Dm:

[] Supongamos que en el

ABC AC AB. Tomemos D sobre AC con AD=AB y tracemos BD.

Resulta el ABD isósceles y ABDADB. Como BD es interior al ABC entonces ABC ABD luego ABC ADB . Además ADB DCB (por exterior en el

DBC), y por transitividad ABC  DCB, es decir, en el ABC se obtiene que B C.

[] Supongamos que en el ABC B C(*) y probemos que AC AB. Supongamos que

AB

AC  ó AC=AB. Si AC AB entonces por la primera implicación se obtiene BC lo que contradice (*). Si AC=AB entonces el

ABC es isósceles y resulta B=C que también contradice (*). En definitiva se debe cumplir que AC AB.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. (Ejercicio)

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DESIGUALDAD TRIANGULAR

TEOREMA: En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la diferencia entre ellos.

Dm: En el ABC tomemos D sobre la prolongación de BA

tal que AD=AC y tracemos DC y obtenemos el ADC isósceles con

ADC=ACD y como

CA es interior al

BCD resulta ACDBCD luego BCD

ADC 

 y en el DBC se obtiene

C D 

 , luego BC BDBAAC, es decir BC

AB

BC   . De un modo similar se prueba que AC ABBC y que ABAC BC.

De las dos últimas desigualdades se obtiene AB

AC

BC   y BC ABAC entonces

AC AB

BC   .

COROLARIOS:

1. El camino más “corto” entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos. (Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio)

3. Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos. (Ejercicio)

TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido desigual entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado y recíprocamente.

Dm:

[] Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, AC=DF y   A D y probemos que

EF BC  .

Tracemos AG en el interior del BAC tal que

BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento

BG. Por el axioma LAL resulta BAGEDF, luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz del GAC con B–R-C y tracemos RG. Por el axioma LAL se obtiene GARCAR, luego RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene

RG BR

BG   , luego EFBRRG, por lo tanto EF BC.

[] (Ejercicio)

(7)

PERPENDICULARES Y OBLICUAS

TEOREMA: Si desde un punto exterior a una recta se trazan el segmento perpendicular a la recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que cualesquiera de los segmentos oblicuos. (Ejercicio)

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes sii sus pies equidistan del pie de la perpendicular. (Ejercicio)

3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie más cercano del pie de la perpendicular es menor y recíprocamente.

Dm:

3. [] Sean AH L, AB y AC oblicuas

tales que HBHC y probemos que AB AC Si HBHC entonces existe un punto D, tal que D-H-C y HDHB.

Tracemos AD y

entonces los pies de las oblicuas AB y AD

equidistan del pie de la perpendicular y por lo tanto AB=AD, luego el

ABD es isósceles con

ABD=ADB.

Además el ADB ACD (ext. al ADC), luego ADB ACD , es decir, en el ABC se tiene que BC, luego AC AB.

[] (Ejercicio)

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Se llama “Distancia de un punto P a una recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la

medida del segmento PQL, QL.

Si el punto P es interior a la recta L entonces

la distancia es cero.

La distancia de un punto a una semirrecta o a un segmento es la distancia del punto a la recta que contiene a la semirrecta o al segmento.

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

Una figura F es el lugar geométrico de una

propiedad P si está formada por todos los

puntos que cumplen la propiedad P y solamente

por ellos, es decir, F es el lugar geométrico

de P si se cumple que:

1. (X) ( X F X cumple P)

2. (X) ( X cumple P X F)

LA MEDIATRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

Dm: [] Sea M la mediatriz de AB, entonces M es perpendicular a AB en su punto medio C.

Sea XM, como AC=CB, los pies de las oblicuas XA y XB equidistan del pie de la perpendicular entonces XA=XB.

(8)

COROLARIO: En un plano, si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la recta que ellos determinan es la mediatriz del segmento. (Ejercicio)

** Este corolario será muy útil para realizar la construcción de perpendiculares.

LA BISECTRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo.

Dm: [] Ejercicio

[] Supongamos que un punto P en el interior del AOB equidista de los lados OAuuur y OBuuur, es decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB .

Luego por RHC resulta QOPROP y entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto

OPuur es la bisectriz del AOB.

COROLARIO: Si un punto del interior de un ángulo, equidista de los lados del ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.

CONSTRUCCIONES BÁSICAS

1. Trazar la mediatriz de un segmento. 2. Trazar la perpendicular a una recta por

un punto interior a ella.

3. Trazar la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.

4. Construir un ángulo congruente con un ángulo dado.

5. Trazar la bisectriz de un ángulo con vértice dado.

6. Construir un triángulo dado dos lados y el ángulo formado por ellos.

7. Construir un triángulo dado dos ángulos y el lado adyacente a ambos.

8. Construir un triángulo dados sus tres lados.

9. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un ángulo agudo.

10. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un cateto.

11. Construir un triángulo dados dos de sus lados y la mediana relativa al tercer lado. 12. Construir un triángulo dados dos de sus

lados y la altura relativa al tercer lado. Analizar todas las posibles soluciones.

(9)

CRUCIGRAMA

Triángulos

(Elaboró:Carlos Alberto Ríos Villa)

(10)

2/2 10

30

39

HORIZONTALES

1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 3 ALA EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA CUANDO DOS TRIÁNGULOS TIENEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS, RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES ESTE SEGMENTO TRAZADO DESDE EL VÉRTICE RECTO, DIVIDE EL TRIÁNGULO EN DOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIANGULOS RECTÁNGULOS QUE TIENEN UN CATETO Y LA HIPOTENUSA RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES 8 ESTE PUNTO DEL LA HIPOTENUSA EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES

DEL TRIÁNGULO LADOS O ÁNGULOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES DE DOS TRIÁNGULOS CONGRUENTES

SEGMENTO QUE PASA POR EL PUNTO MEDIO DE UN LADO Y ADEMÁS ES PERPENDICULAR A ÉL

EN UN TRIÁNGULO UN LADO ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS OTROS DOS Y MAYOR QUE EL VALOR ABSOLUTO DE SU DIFERENCIA

14 QUE TRIÁNGULO MAS DEFORME

VERTICALES

1 PUNTO DONDE UNA DE LAS RECTAS NOTABLES CORTA AL LADO EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES LOS ÁNGULOS OPUESTOS A LOS LADOS IGUALES SON IGUALES

AUNQUE NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA EN LOS DEMÁS TRIÁNGULOS EN EL RECTÁNGULO SÍ Y SE LLAMA... EN UN TRIÁNGULO, SEGMENTO TRAZADO DE UN VÉRTICE PERPENDICULAR AL LADO OPUESTO O SU PROLONGACIÓN 9 POLIGONO DE TRES LADOS Y TRES ÁNGULOS

11 TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO TAMBIÉN LO ES 15 ESTE TRIÁNGULO TIENE UN ÁNGULO MUY RECTO

CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS 21 ÁNGULOS Y EL LADO OPUESTO A UNO DE ELLOS RESPECTIVAMENTE

CONGRUENTES

EN GENERAL NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA PERO UN DE LAS 25 ESCEPCIONES EN EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y SE CONOCE

COMO RHC CONCLUYE SOBRE LO QUE SUCEDE EN DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS

16 LADOS RESPECTIVAMENTE IGUALES Y EL ÁNGULO ENTRE ELLOS DIFERENTE

PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO Y QUE TAMBIÉN ES SU CENTRO DE MASA

31 ÚNICO TRIÁNGULO EN EL QUE COINDIDEN TODOS LOS PUNTOS TRIÁNGULO QUE TIENE AL MENOS DOS ALTURAS, DOS MEDIANAS Y DOS

BISECTRICES CONGRUENTES 18 MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 19 TRIÁNGULO CON LOS TRES ÁNGULOS AGUDOS 20 AQUI SE ENCUENTRAN LAS ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

TODOS LOS PUNTOS DEL PLANO QUE EQUIDISTAN DE LOS EXTREMOS DE UN SEGMENTO

23 ES EL MISMO LADO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS

LÓGICO, SI LOS TRES LADOS SON RESPECTIVAMENTE IGUALES LOS TRIÁNGULOS SON CONGRUENTES

26 LO MISMO QUE LAS PARTES CORRESPONDIENTES

EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES ES EL LADO DISTINTO, PERO SI NO ES ISO, SERÁ CUALQUIERA

TODOS LOS PUNTOS INTERIORES AL ÁNGULO QUE EQUIDISTAN DE LOS LADOS DE ÉSTE

29 PROPIEDAD QUE PODRIAMOS RELACIONAR CON LOS TRILLIZOS CONJUNTO DE PUNTOS QUE CUMPLEN UNA MISMA PROPIEDAD Y SOLAMENTE ELLOS LA CUMPLEN

ÁNGULO FORMADO POR UN LADO DE UN POLÍGONO Y LA PROLONGACIÓN DE OTRO

34 EL MISMO ÁNGULO PARA DOS O MAS TRIÁNGULOS

35 PUNTO DONDE CONCURREN LAS MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA DOS TRIÁNGULOS QUE TIENEN DOS

NOTABLES

32 EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES EL ÁNGULO DISTINTO

PROPIEDAD QUE SE REFIERE A QUE TODA FIGURA GEOMÉTRICA ES CONGRUENTE CON ELLA MISMA

EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO QUE DIVIDE UN ÁNGULO EN DOS PARTES IGUALES

42 AAL EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

36 ÁNGULOS Y EL LADO ADYACENTE A ELLOS RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES

37 PUNTO DONDE CONCURREN LAS BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO TRIÁNGULOS QUE TIENEN RESPECTIVAMENTE CONGRUENTES SUS LADOS Y SUS ÁNGULOS

40 PROPIEDAD QUE ME PERMITE CAMBIAR EL ORDEN DEL NOMBRE EN UN TRIÁNGULO SEGMENTO TRAZADO DEL VÉRTICE AL PUNTO MEDIO DEL LADO OPUESTO

CRITERIO DE CONGRUENCIA PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS QUE 42 TIENEN UN CATETO Y EL ÁNGULO OPUESTO A ÉL, RESPECTIVAMENTE

CONGRUENTES

EN UN TRIÁNGULO SON LOS LADOS ADYACENTES AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE

44 LAL EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 45 TRIÁNGULO CON UN ÁNGULO OBTUSO

46 AAAAAAH, NO ES CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

47 EN UN TRIÁNGULO ES EL LADO OPUESTO AL ÁNGULO RECTO, SI LO TIENE 5 6 7 2 3 4 12 13 27 17 22 24 27 28 32 33 38 41 43

(11)

UNIDAD 3

TRIANGULOS: ELEMENTOS Y CONGRUENCIA

Para afrontar la solucion de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener

presente la importancia de la gráfica con sus correspondientes datos de tal forma que

puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la solucion de los

ejercicios es necesario recordar los siguientes aspecto:

1. Clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos

2. Líneas notables del triangulo

3. Los criterios de congruencia de triángulos (LLL ,LAL ,ALA ,LAL, AAL, HC, CC)

4. Corolarios sobre los triángulos equiláteros e isósceles

5. Teoremas sobre congruencia de las líneas notables

6. Propiedades del triángulo isósceles

7. Teorema de desigualdad en el triangulo

8. Teorema de desigualdad triangular

9. Teorema de la bisagra

(12)

1. En un



ABC equilátero, sobre cada lado a partir del vértice y en el mismo sentido, se

toman A', B' y C' con AA'=BB'=CC'. Probar que el



A'B'C' es equilátero.

GRÁFICA 17

AFIRMACION

RAZON

1

2 ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

3 ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

̅̅̅̅

´

( ) ( )

4 ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

5

6 ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅

7 ( )

2. En un



ABC isósceles de base BC, se trazan las bisectrices de los ángulos



B y



C, las

cuales se cortan en I. Probar que el



BIC es isósceles.

GRAFICA 18

̂

=

* +

AFIRMACION

RAZON

1

(13)

2 =

=

( )

3 =

=

( )

4 ( )

3. En un



ABC isósceles de base BC, se toman sobre las prolongaciones de los lados BA y

CA los puntos E y D con AE=AD:

Probar que



DAB=



EAC.

GRAFICA 19

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

4

4. En un



ABC isósceles de base BC, se toman B' y C' sobre AB y AC tales que AB'=AC' y

se trazan B'C y C'B que se cortan en O. Probar que



BOB'=



COC'.

GRAFICA 20

* +

AFIRMACION

RAZON

1

2 ̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅

3 ̅̅̅̅̅

=

̅̅̅̅̅

( ) ( )

(14)

5 =

6 =

7

8 ( ) ( ) ( )

9 ( )

10 ( ) ( ) ( )

5. Sobre los lados AB y AC de un



ABC isósceles de base BC, se toman los puntos E y F

tales que AE = AF y se unen con el pie H de la altura relativa a la base. Demostrar que



EHA=



FHA y



EFH=



FEH.

GRAFICA 21

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

4 ( ) ( )

5

6

7 ( )

8 ( ) ( )

,

( )

9 ( )

10

11 _{( )}

_,

_{( ) ( )}

12 ( )

13 ( )

14 ( )

15 ( )

(15)

6. En un



ABC rectángulo en A, se traza la bisectriz CD del



C, con D sobre AB. Probar

que DB > DA.

GRAFICA 22

AFIRMACION

RAZON

1 ̅̅̅̅

2 (

̅̅̅̅

̅̅̅̅)

̅̅̅̅

3

4 ̅̅̅̅

̅̅̅̅

5

6

7 ̅̅̅̅

8

7. Sean a, b reales positivos, con a > b. ¿Cuál otra condición deben cumplir para que sean

las medidas de los lados de un triángulo isósceles?.

GRAFICA 23

(16)

AFIRMACION

RAZON

1 Si los lados iguales miden a

a

a + b

2 Si los lados iguales miden b

a + b

8. Dados una recta y dos puntos situados en el mismo semiplano con respecto a ella,

encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por la recta dada.

GRAFICA 24

Determina la hipótesis y la tesis

Para resolverlo busquemos en el semiplano

opuesto el B’ talque BD=B’D si unimos A y B’ la

distancia más corta entre ellos es AB’ que corta

a la recta en el punto E, podemos demostrar

fácilmente que EB’=EB luego la distancia más

corta para llegar de A hasta B será:

AE+EB’=AE+EB

Realízalo por afirmación- razón

9. Dados dos puntos y una recta, encontrar sobre ella un punto que equidiste de los puntos

dados. Intuitivamente analizar las posibles alternativas.

GRAFICA 25

Determina la hipótesis y la tesis, argumenta

cada una de las afirmaciones.

(17)

AFIRMACION

RAZON

1

2

3

10. En un



XOY se toman A y B sobre OX y OY. Se trazan las bisectrices de los ángulos



XAB y



YBA que se cortan en R. Probar que



ROA=



ROB.

GRAFICA 26

Determina la hipótesis y la tesis.

AFIRMACION

RAZON

1 Tracemos desde R

2

3

4 =

( ) ( )

5

11. Sea OM la bisectriz del



XOY. Sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; se unen

A y B con un punto cualquiera C de la bisectriz. Probar que



OAC=



OBC y AC=BC.

GRAFICA 27

:

(18)

AFIRMACION

RAZON

1

2 ̂

=

̂

3

4

5 ( )

6 ( )

12. Dados dos triángulos



ABC y



A'B'C' tales que AB=A'B', BC=B'C' y las medianas

AM=A'M', probar que los dos triángulos son congruentes.

GRAFICA 28

AFIRMACION

RAZON

1 , BC = B'C'

2

3

4 ̂

( )

5 ( ) ( )

13. Si dos triángulos isósceles tienen las bases y las alturas relativas a ellas

respectivamente congruentes, probar que los triángulos son congruentes.

GRAFICA 29

,

(19)

AFIRMACION

RAZON

1

2

3 ( )

4 ( )

,

5 ( )

6 ( )

y

7 _{( )}

14. Dado un ángulo agudo



XOY. Por O y hacia el exterior se levantan OX'



OX y

OY'



OY. Se toman A, B, C y D sobre OX, OX', OY y OY' tales que OA=OB y OC=OD.

Se trazan AD y BC. Probar que



OAD=



OBC y AD=BC.

GRAFICA 30

AFIRMACION

RAZON

1

2 -

3 ( )

4 ̅̅̅̅

5

6 ( )

(20)

15. En un



ABC ( AB > AC), se traza la bisectriz AD. Se traza la semirrecta DE tal que



ADE=



ADC, con E sobre AB. Probar que:

a. DE = DC y AE = AC.

b. AD es la mediatriz de EC.

GRAFICA 31

( )

̅̅̅̅

( )

AFIRMACION

RAZON

1

2 3 AD = AD

4

5 ( )

6 ( )

7

(21)

EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIANGULOS

1. En un



ABC equilátero, a partir de cada vértice en el mismo sentido, se prolongan

los lados de modo que AA'=BB'=CC'. Probar que el



A'B'C' es equilátero.

Grafica 20

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina

la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

𝜶

=β=θ

02

∢

A’AC’=

∢

B’BA’=C’CB’

03

AA’=BB’=CC’

04

AB=BC=CA

05

AA’-AB=BB’-BC=CC’-CA

BA’ CB’ AC’

06

Δ A’A’C’

ΔB’BA’’

ΔC’CB’

07 A’C’=B’A’=C’B’

(22)

2. En un



ABC isósceles de base BC, se trazan las medianas relativas a los lados AB y

AC, las cuales se cortan en G. Probar que el



BGC es isósceles.

Grafica 21

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado

del

problema

determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

02

03

̂

=

̂

04

∢

ABC=

∢

ACB

05

̅̅̅̅

06

ΔNBC

ΔMCB

07

∢

NCB=

∢

MBC

08

ΔBGC isósceles

09

BG=CG

10

ΔABG

AGC

11

∢

BAG

∢ CAG

12

AP=AP

13

ΔBAP

Δ CAP

14

BP=CP

15

P es punto medio

(23)

3. Desde un punto A sobre el lado OX del



XOY, se traza AB perpendicular a la

bisectriz OZ, con B sobre OY. Probar que AB forma ángulos congruentes con los lados

del



XOY.

Grafica 22

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

∢AOZ ∢BOZ

02

O

̅̅̅̅ O

̅̅̅̅

03

∢O B ∢O A 90°

04

ΔAO ΔBO

05

∢ OA OBP

4. En un ABC isósceles de base BC, se traza la secante BD con D sobre AC. Probar que DC < BD.

Grafica 23

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

AB=AC

02

BD

̅̅̅̅ AD

̅̅̅̅ AB

̅̅̅̅

03

BD

̅̅̅̅ AD

̅̅̅̅ AC

̅̅̅̅

04

BD

̅̅̅̅ AD

̅̅̅̅ DC

̅̅̅̅

(24)

5. Si dos lados de un triángulo miden 2 m y 9 m, hallar el mayor tercer lado posible cuya medida sea un número entero.

Grafica 24

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de

cada paso.

AFIRMACION RAZON

01

9 9

02

03

Por lo tanto el mayor lado

0

6. En un ABC se traza la mediana AM y se prolonga hasta D con AM=MD. a. Probar que BD=CA.

b. Deducir que la mediana es menor AM que la semisuma de los lados que parten desde el mismo vértice que ella.

Grafica 25

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

AFIRMACION RAZON

01

CM=MB

02

AM=MD

03

A C

̂ D B

̂

04

ΔA C ΔD B

05

AC

̅̅̅̅ BD

̅̅̅̅

06

AD

̅̅̅̅ A

̅̅̅̅̅

(25)

07

AB+BD

̅̅̅̅ AD

08

AB+BD 2AM

09

AB BD

_A

7. Dados un ángulo y dos puntos en su interior, encontrar el camino más corto entre los dos puntos y que pase por los dos lados del ángulo.

En el siguiente ejercicio te daremos las gráficas y la explicación del mismo, tu trabajo es realizarlo bajo la afirmación y su respectiva razón.

Grafica 26

La distancia más corta desde un punto a una recta es el segmento perpendicular

̅̅̅̅

con p

O

⃗⃗⃗⃗⃗

_{, Desde p trazamos}

_̅̅̅̅

_⊥

_⃗⃗⃗⃗

_{y por último}

_̅̅̅̅

̅̅̅̅

Pero observemos el siguiente grafico (2)

(26)

Si trazamos la línea que une los dos puntos simétricos de

( ’, ’)

dicho segmento es el

camino más corto para unirlos

Pero además

’S S ’ ’.

Por lo tanto la trayectoria MS+SR+RN=M’N’

Ahora podemos demostrar que cualquier otra trayectoria es mayor a

’ ’

por ejemplo

S

̅̅̅̅̅ S

̅̅̅

̅̅̅̅ S S ’ ’ ’

pero

’ ’

Observemos además :

’ ’

n ’ ’

S S

8. Probar que la semirrecta opuesta a la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano exteriores al ángulo, que equidistan de los lados del ángulo.

Grafica 28

En el siguiente ejercicio te damos la

gráfica y la explicación del mismo, tu

trabajo es realizarlo bajo la afirmación

y su respectiva razón.

OBSERVEMOS

Todo punto sobre la bisectriz

⃗⃗⃗⃗⃗

equidistante de los lados del

∢

YOZ y si

tomamos las prolongaciones podemos

decir que

P

sobre la prolongación de la

bisectriz

equidista

de

las

prolongaciones del

∢YOZ

(27)

9. Encontrar un punto que a la vez equidiste de dos puntos dados y equidiste de dos

rectas concurrentes dadas.

Grafica 29

En este ejercicio debemos tener presente dos condiciones

1. Si un punto equidista de dos puntos Ay B entonces dicho punto está sobre la

mediatriz de dicho segmento

2. Si un punto equidista de dos rectas concurrentes entonces esta sobre la bisectriz

del ángulo formado

Unamos los dos aspectos en una sola gráfica

Grafica 30

̅̅̅̅

_∧

_̅̅̅̅

Esta es una de las muchas probabilidades

(28)

10.Dadas dos rectas X'OX y Y'OY, sobre OX y OY se toman A y B con OA=OB; sobre OX' y OY' se toman A' y B' con OA'=OB'. Probar que A'B=AB' y OA'B=OB'A.

Grafica 31 1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

AFIRMACION RAZON

01

OA=OB

02

OA’ OB’

03

∢A’OB ∢B’OA

04

ΔA’OB ΔB’OA

05

A’B B’A

06

∢OA’B ∢OB’A

11.Dados dos triángulos ABC y A'B'C' tales que B=B' , BC=B'C' y las bisectrices BE=B'E', probar que los dos triángulos son congruentes.

Grafica 32

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis 2. Dada las afirmaciones determina la razón de cada paso.

(29)

AFIRMACION RAZON 01

BC=B’C’

02

B̂ B

̂

03

_B̂

_B

_{∢ABE ∢EBC ∢A}

_B

_E

_{∢E B C}

04

BE B’E’

05

ΔEBC ΔE’B’C’

06

Ĉ C’

07

ΔABC ΔA’B’C’

12.Si dos triángulos isósceles tienen congruentes los ángulos opuestos a las bases y las alturas relativas a ellas, probar que los triángulos son congruentes.

Grafica 33

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

2. Dada la información en cada paso debes determinar las afirmaciones y determina la razón de cada uno de ellos.

01

Tenemos que el ΔABC es isósceles con

C

̅̅̅̅

altura implica que

C

̅̅̅̅

también es

bisectriz, por lo tanto

∢ ∢ ∢

02

_{De igual forma si tomamos el Δ DEF obtenemos}

∢ ∢ ∢

03

Ahora, recordemos que si dos ángulos son iguales entonces sus mitades son

iguales

∢ ∢ ∢ ∢

∢ ∢

04

Entonces por el criterio ALA

(30)

13.Dos triángulos ABC y A'BC están situados en distinto semiplano con respecto a la recta BC, la cual es bisectriz de los ángulos ABA' y ACA'. Probar que:

a. ABC=A'BC.

b. Para todo punto M de BC, se cumple que AM=A'M.

c. AA'BC

Grafica 34

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y

la tesis

2.

Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 BC lado común

02 ΔABC

Δ A’BC por ALA

03 AB

A’B

04 BM

BM

05 ΔA’BM

ΔABN por LAL

06 A’M

AM

07 ΔA’BA isósceles

08 BP bisectriz del

∢

A’BA

09 BP altura

10 BC

⊥

AA’

(31)

14.Por el punto medio O de un segmento AB se traza una recta cualquiera. Desde A y B se trazan las perpendiculares AC y BD a la recta. Probar que AC=BD. ¿Cuál propiedad tienen los vértices A y B de un MAB con respecto a la mediana relativa al lado AB?.

Grafica 35

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del problema determina la hipótesis y la tesis

Grafica 36

Podemos concluir con la primera parte que los

vértices del triángulo equidistan en la

mediana

̅̅̅̅̅

01

̅̅̅̅

∢

AOC=

∢

BOD

∢ACD ∢BOD 90°

ΔAOC

ΔBOD

̅̅̅̅

(32)

EJERCICIOS UNIDAD 3 – TRIÁNGULOS

1. En un



ABC equilátero, sobre

cada lado a partir del vértice y

en el mismo sentido, se toman

A', B' y C' con AA'=BB'=CC'.

Probar que el



A'B'C' es

equilátero.

2. En un



ABC equilátero, a

partir de cada vértice en el

mismo sentido, se prolongan los

lados

de

modo

que

AA'=BB'=CC'. Probar que el



A'B'C' es equilátero.

3. En un



ABC isósceles de base

BC, se trazan las bisectrices

de los ángulos



B y



C, las

cuales se cortan en I. Probar

que el



BIC es isósceles.

4. En un



ABC isósceles de base

BC, se trazan las medianas

relativas a los lados AB y AC,

las cuales se cortan en G.

Probar que el



BGC es

isósceles.

5. En un



ABC isósceles de base

BC, se toman sobre las

prolongaciones de los lados BA

y CA los puntos E y D con

AE=AD:

a. Probar que



DAB=



EAC.

b. Se toman B' y C' sobre AB

y AC tales que AB'=AC' y se

trazan B'C y C'B que se cortan

en

O. Probar

que



BOB'=



COC'.

c. Probar que la recta AO pasa

por el punto medio de BC.

6. Desde un punto A sobre el lado

OX del



XOY, se traza AB

perpendicular a la bisectriz

OZ, con B sobre OY. Probar

que

AB

forma

ángulos

congruentes con los lados del



XOY.

7. Sobre los lados AB y AC de un



ABC isósceles de base BC, se

toman los puntos E y F tales

que AE = AF y se unen con el

pie H de la altura relativa a la

base.

Demostrar

que



EHA=



FHA y



EFH=



FEH.

8. En un



ABC isósceles de base

BC, se traza la secante BD con

D sobre AC. Probar que DC <

BD.

9. En un



ABC rectángulo en A,

se traza la bisectriz CD del



C, con D sobre AB. Probar

que DB > DA.

10. Si dos lados de un triángulo

miden 2 m y 9 m, hallar el

mayor tercer lado posible cuya

medida sea un número entero.

11. Sean a, b reales positivos, con

a > b. ¿Cuál otra condición

deben cumplir para que sean

(33)

las medidas de los lados de un

triángulo isósceles?.

12. En un



ABC se traza la

mediana AM y se prolonga

hasta D con AM=MD.

a. Probar que BD=CA.

b. Deducir que la mediana es

menor que la semisuma de los

lados que

parten desde el

mismo vértice que ella.

13. Dados una recta y dos puntos

situados en el mismo semiplano

con respecto a ella, encontrar

el camino más corto entre los

dos puntos y que pase por la

recta dada.

14. Dados un ángulo y dos puntos

en su interior, encontrar el

camino más corto entre los dos

puntos y que pase por los dos

lados del ángulo.

15. Dados dos puntos y una recta,

encontrar sobre ella un punto

que equidiste de los puntos

dados. Intuitivamente analizar

las posibles alternativas.

16. Probar que la semirrecta

opuesta a la bisectriz de un

ángulo es el lugar geométrico

de los puntos del plano

exteriores al ángulo, que

equidistan de los lados del

ángulo.

17. En un



XOY se toman A y B

sobre OX y OY. Se trazan las

bisectrices de los ángulos



XAB y



YBA que se cortan

en R. Probar que



ROA=



ROB.

18. Encontrar un punto que a la vez

equidiste de dos puntos dados

y equidiste de dos rectas

concurrentes dadas.

19. Sea OM la bisectriz del



XOY. Sobre OX y OY se

toman A y B con OA=OB; se

unen A y B con un punto

cualquiera C de la bisectriz.

Probar que



OAC=



OBC y

AC=BC.

20. Dadas dos rectas X'OX y

Y'OY, sobre OX y OY se toman

A y B con OA=OB; sobre OX' y

OY' se toman A' y B' con

OA'=OB'.

Probar

que

A'B=AB' y



OA'B=



OB'A.

21. Dados dos triángulos



ABC y



A'B'C' tales que AB=A'B',

BC=B'C' y las medianas

AM=A'M', probar que los dos

triángulos son congruentes.

22. Dados dos triángulos



ABC y



A'B'C' tales que



B=



B' ,

BC=B'C' y las bisectrices

BE=B'E', probar que los dos

triángulos son congruentes.

23. Si dos triángulos isósceles

tienen las bases y las alturas

(34)

respectivamente congruentes,

probar que los triángulos son

congruentes.

24. Si dos triángulos isósceles

tienen congruentes los ángulos

opuestos a las bases y las

alturas relativas a ellas, probar

que

los

triángulos

son

congruentes.

25. Dado un ángulo agudo



XOY.

Por O y hacia el exterior se

levantan OX'



OX y OY'



OY.

Se toman A, B, C y D sobre

OX, OX', OY y OY' tales que

OA=OB y OC=OD. Se trazan

AD y BC. Probar que



OAD=



OBC y AD=BC.

26. Dos triángulos



ABC y



A'BC

están situados en distinto

semiplano con respecto a la

recta BC, la cual es bisectriz

de los ángulos ABA' y ACA'.

Probar que:

a.



ABC=



A'BC.

b. Para todo punto M de BC, se

cumple que AM=A'M.

c. AA'



BC

27. En un



ABC ( AB > AC), se

traza la bisectriz AD. Se

traza la semirrecta DE tal que



ADE=



ADC, con E sobre AB.

Probar que:

a. DE = DC y AE = AC.

b. AD es la mediatriz de EC.

28. Por el punto medio O de un

segmento AB se traza una

recta cualquiera. Desde A y B

se trazan las perpendiculares

AC y BD a la recta. Probar que

AC=BD. ¿Cuál propiedad

tienen los vértices A y B de un



MAB con respecto a la

mediana relativa al lado AB?.

(35)

TALLER N°4- DESIGUALDAD TRIANGULAR

1. _{Dado un}

_

_ABC

_con

_AB

_>

_AC

_y

_AM

_{mediana relativa a}

_BC

_{, desde D}

perteneciente a

AM

se trazan

BD

y

DC

demostrar que

BD

>

DC

2. Demostrar que en un triángulo cualquiera una altura es menor que la semisuma de

los lados adyacentes.

3. Se tiene un triángulo ABC con el lado AB>AC. Desde el vértice C se traza el

segmento CD, con D sobre AB y desde el vértice B se traza el segmento BF, con F

sobre AC y siendo DB = CF. Demostrar que FB>CD

4. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo es menor que

su perímetro.

5. En un triángulo ADB isósceles de base AB, DB es mayor que AB; se prolonga AD

hasta C. Probar que el triángulo ABC es escaleno.

6. Demostrar que la suma de las distancias de un punto O dentro de un triángulo a

sus tres vértices es mayor que el semiperímetro y menor que el perímetro del

triángulo.

7. Se tiene el triángulo ABC cualquiera, se traza AE con E sobre BC, se traza BD con

D sobre AE, demostrar que

8. En un triángulo cualquiera ABC, se trazan las bisectrices del <A y <B que se

intersectan en el punto D. Si BC > AC, demostrar que DB > AD

9. Demuestre que para cualquier cuadrilátero convexo ABCD se cumple:

10. Se tienen los puntos

colineales en dicho orden, desde un punto

no

colineal con dichos puntos se trazan los segmentos

̅̅̅̅

tales que

̅̅̅̅

_{. Demostrar que:}

̅̅̅̅

_.

(36)